% 表題   dcpam4  座標系・変換公式 -- 水平スペクトル
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% 履歴
%\Drireki{1991/10/31 保坂征宏}
%\Drireki{2008/06/11 森川靖大}
%\Drireki{2008/06/15 森川靖大}

\section{水平スペクトル}

ここでは, 
力学過程の時間積分での計算において用いるスペクトルを導入し, 
格子点での値とスペクトルの係数とのやり取りの公式を示す. 

\subsection{水平スペクトルの基底の導入}
   
格子点上の点で定義された物理量は, 
格子点上でのみ値を持つ (以下このことを, 「離散化した」と呼ぶ) 
球面調和函数の和の形で表現される. 
また, 各格子点における物理量の水平微分を評価するために, 
$(\lambda, \varphi)$ 面で定義された (以下, 「連続系の」と呼ぶ) 
球面調和函数系で内挿して得られる関数を用いる. 
ここではその球面調和函数を導入する. 
なお, 簡単のために, 連続系の球面調和函数のみを陽に記す. 
離散系の球面調和函数は
連続系の球面調和函数に格子点の座標を代入したものから構成される. 

$(\lambda,\varphi)$ 面において, 
球面調和函数
$Y_n^m(\lambda,\varphi)$ 
は次のように定義される.
%
\begin{align}
  Y_n^m(\lambda,\varphi)  
     \equiv P_n^m(\sin \varphi) \exp(im \lambda), 
\end{align}
%
ただし, $m,n$ は $\ 0 \le |m| \le n$ を満たす整数であり, 
$P_n^m(\sin \varphi)$ は
2で規格化されたLegendre函数・陪函数
%
\begin{align}
 & P_n^m(\mu)\equiv
                 \sqrt{\frac{(2n+1)(n-|m|)!}{(n+|m|)!} } 
                 \frac{ (1-\mu^2)^{\frac{|m|}{2}} }{2^n n!}     
                 \DD[n+|m|]{}{\mu} (\mu^2-1)^n, 
   \\ 
 & \int_{-1}^1 P_n^m(\mu) P_{n'}^m(\mu) d \mu = 2 \delta_{nn'}
\end{align}
%
である. なお, $P_n^0$ を $P_n$ とも書く.
また $ \sin \varphi = \mu$ であることを再掲しておく. 


\subsection{波数切断}
   
波数切断は三角形切断 (T) または平行四辺形切断 (R) とする. 
$M$, $N$ は三角形切断, 平行四辺形切断のときについて
それぞれ以下のとおりである. 
ただし, 切断波数を $N_{tr}$ とする. 
%
\begin{itemize}
  \vspace{-2ex}
  \item 三角形切断の場合
   
        $M= N_{tr}, \ N =N_{tr}$ , \ \ 
        $I \ge 3N_{tr}+1$, かつ
        ${\displaystyle J \ge \frac{3N_{tr}+1}{2} }$. 
         
        自由度は, $(N_{tr}+1)^2$ である.  
         
  \item 平行四辺形切断の場合
         
        $M= N_{tr},      \ N(m) =N_{tr}+|m|$         , \ \ 
        $I \ge 3N_{tr}+1$, かつ
        $J \ge 3N_{tr}+1$. 

        自由度は, $ (2N_{tr}+1) (N_{tr}+1) $ である. 
\end{itemize}

よく用いられる値の例としては, 
T42 の場合 $I=128,\ J=64$, 
R21 の場合 $I=64,\ J=64$ がある. 

球面調和函数と波数切断に関する詳細は,
別紙『球面調和函数』および『波数切断』を参照せよ. 


\subsection{離散化したスペクトルの基底の直交性}
   
離散化したLegendre函数と三角関数は
次の直交条件を満たす
       \footnote{
             詳しくは別紙『球面調和函数の離散的直交関係』
             を参照せよ.}. 
%
\begin{align}
  \sum_{j=1}^{J} P_n^m (\mu_j) P_{n'}^m (\mu_j) w_j 
    & =  \delta_{nn'}, \\
  \sum_{i=1}^{I} \exp(im \lambda_i) \exp(-im' \lambda_i) 
    & =  I \delta_{mm'}.
\end{align}
%
ここで $w_j$ は Gauss 荷重で, 
${\displaystyle w_j \equiv
    \frac{(2J-1)(1-\sin^2 \varphi_j)}
         {\left\{J P_{J-1}(\sin \varphi_j)\right\}^2 }    }$
である. 
   
    
\subsection{格子点値とスペクトルの係数との変換法}
   
物理量 $A$ の
格子点 $(\lambda_i,\varphi_j)$ 
 (ただし $i=1,2,\cdots,I. \quad j=1,2,\cdots,J$) での値
$A_{ij}=A(\lambda_i,\varphi_j)$ と
スペクトル空間での $Y_n^m$ 
 (ただし $m=-M,\cdots,M. \quad n=|m|,\cdots,N(m)$ ) 
の係数 $\tilde{A}_n^m$ とは次の変換則に従う
       \footnote{
           正変換, 逆変換時の係数は
           consistent に与えてさえいれば問題がない. 
%           現在の GCM では
%           異なる動作をする2種類の FFT が用意されている.
%           ここでは numerical recipy 版の方法に従っている. 
%            (もう一つは 中村一 版である.)  
%           仕様について
%           詳しくは第３部の FFT に関する項目
%            (「FFT99X」) を見られたい.
       }. 

\begin{align}
  A_{ij} & \equiv
             \sum_{m=-M}^{M} \sum_{n=|m|}^{N} 
             \tilde{A}_n^m 
             Y_n^m (\lambda_i,\varphi_j),  \\
  \tilde{A}_n^m  & =
             \frac{1}{I}
             \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
             A_{ij} Y_n^{m*} (\lambda_i,  \varphi_j) w_j .
\end{align}
%
%
$A$ が実数であることを用いると, 
${\displaystyle 
   \left\{\tilde{A}^m_n \exp(im\lambda) \right\}^*
   = \tilde{A}^{-m}_n \exp(-im\lambda) }$
なので, 
$m$ については負でない整数の範囲で
和をとることができる
   \footnote{
      さらに, 実際の計算手続きとしては, 
      $P_n^m(\sin \varphi)$ が, 
      $n-m$ が 偶数 (even) の時 $\varphi=0$ について対称, 
      $n-m$ が 奇数 (odd) の時 $\varphi=0$ について反対称
      であることを考慮して演算回数を減らすことができる. 
      すなわち, $A_{ij}$ の計算では北半球のみについて
      南北対称成分$A_{ij}^{even}$と
      反対称成分$A_{ij}^{odd}$について
      それぞれ計算し, 南半球については 
      $A{i,J-j}=A_{ij}^{even}-A_{ij}^{odd}$
      とすればよい. 
      また, $A_n^m$ の計算においては, 
      その対称性, 反対称性に基づいて
      $A_{i,j}+A_{i,J-j}$ または
      $A_{i,j}-A_{i,J-j}$ の一方を
      $j$ について 1から $J/2$ まで加えればよい. }. 
ここで, ``$*$'' は複素共役を表す. 
ただし, $A_n^m$ の定義を以下のように修正していることに注意せよ. 
%
\begin{align}
  A_{ij} &=  \sum_{m=0}^{M} \sum_{n=m}^{N}
            \Re \tilde{A}_n^m Y_n^m(\lambda_i, \varphi_j),  \\
  \tilde{A}_n^m &=
  \left\{     
  \begin{array}{ll}
     {\displaystyle \frac{1}{I} 
                 \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  }
                 A_{ij} Y_n^{m*}(\lambda_i, \varphi_j) w_j ,
     &   \ \ \ m=0, \quad m \le n \le N, \\
     {\displaystyle \frac{2}{I} 
                 \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  }
                 A_{ij} Y_n^{m*}(\lambda_i,\varphi_j) w_j ,
     &   \ \ \ 1 \le m \le M, \quad m \le n \le N.
  \end{array}
      \right.           
\end{align}
   

\subsection{内挿公式}
      
$(\lambda,\varphi)$ 空間で定義される物理量 $A(\lambda,\varphi)$ を
格子点値 $A_{ij}$ をもとに内挿する場合には, 
変換公式を用いて $A_{ij}$ から $\tilde{A}_n^m$ を求めた上で,
%
\begin{align}
  A(\lambda,\varphi)
    & \equiv \sum_{m=-M}^{M} \sum_{n=|m|}^{N}
                \tilde{A}_n^m Y_n^m (\lambda, \varphi)  
\end{align}
%
として得る. 
      
   
\subsection{空間微分の評価}   
      
各格子点における空間微分値の評価は, 
内挿公式を用いて得た連続関数の空間微分の格子点値で評価する. 

\begin{itemize}
  \item $\lambda$ 微分
     \begin{align}
        \left( \DP{f}{\lambda} \right)_{ij} 
           &\equiv \sum_{m=-M}^M 
                    \sum_{n=|m|}^N im \tilde{f}_n^m 
                Y_n^m (\lambda_i,\varphi_j) ,    \\
        \widetilde{ \left( \DP{f}{\lambda} \right) }_n^m
           & =   \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J 
                   im f_{ij} Y_n^{m*} (\lambda_i, \varphi_j) w_j  .
     \end{align}
%
  \item $\varphi$ 微分
     \begin{align}
        \left(\DP{f}{\varphi}\right)_{ij} 
            &\equiv  \sum_{m=-M}^M \sum_{n=|m|}^N \tilde{f}_n^m 
                  \left. \DD{P_n^m}{\varphi} \right|_j 
                   \exp(im \lambda_i) ,                \\
        \widetilde{\left(\DP{f}{\varphi}\right)}_n^m
            &= - \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J f_{ij} 
                   \left. \DD{P_n^m}{\varphi}\right|_j 
                   \exp(-im \lambda_i) w_j .
     \end{align}
%
%  \item $\mu$ 微分
%     \begin{align}
%        \left(\DP{f}{\mu}\right)_{ij} 
%            &\equiv  \sum_{m=-M}^M \sum_{n=|m|}^N \tilde{f}_n^m 
%                  \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_j 
%                   \exp(im \lambda_i) ,                \\
%        \widetilde{\left(\DP{f}{\mu}\right)}_n^m
%            &= - \frac{1}{I} \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J f_{ij} 
%                   \left. \DD{P_n^m}{\mu}\right|_j 
%                   \exp(-im \lambda_i) w_j .
%     \end{align}
\end{itemize}
      
