% 表題: 基礎方程式系 % % 履歴: 2005/11/15 杉山耕一朗 % 履歴: 2006/03/12 杉山耕一朗 地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の 分子量の差は密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような 系を考える. この系では大気の熱エネルギーは乾燥大気の熱エネルギーで 決まることになる. このような系では温位 $\theta$ が保存量として使える. \subsection{気温 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合} 水平鉛直 2 次元大気の状態を 気温 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. % \begin{description} % \item[運動方程式]~ % \begin{eqnarray} && \DD{u}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{x} = Turb.u \Deqlab{equations:u} \\ && \DD{w}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{z} - g = Turb.w \Deqlab{equations:w} \end{eqnarray} % \item[連続の式]~ % \begin{eqnarray} \DD{\rho}{t} + \rho\left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z}\right) = 0 \Deqlab{equations:continue} \end{eqnarray} % \item[密度の式(状態方程式)]~ % \begin{eqnarray} \rho = \frac{p}{R_{d} T_{v}} \Deqlab{equations:rho} \end{eqnarray} % \item[熱の式]~ % \begin{eqnarray} {c_{p}}_{d}\DD{T}{t} - \Dinv{\rho_{d}} \DD{p}{t} = Q + Turb.T \Deqlab{equations:T} \end{eqnarray} % \item[凝縮成分の混合比保存式]~ % \begin{eqnarray} && \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v} \Deqlab{equations:qv} \\ && \DD{q_{c}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c} \Deqlab{equations:qc} \\ && \DD{q_{r}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r} \Deqlab{equations:qr} \end{eqnarray} % \end{description} % ここで $R_{d}$, ${c_{p}}_{d}$, $\rho_{d}$ は単位質量当たりの乾燥成分の 気体定数, 定圧比熱, 密度であり, $Q$ は非断熱加熱, $q_{v}$ は気体成分の混合比, $q_{c}$ は雲水混合比, $q_{r}$ は雨水混合比である. $q_{v}, q_{r}, q_{c}$ は, 凝縮成分の数だけ存在する. $Turb$, $Src$, $Fall$ を付けた項はそれぞれ 拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する. %$T_{v}$ は仮温度であり, ここでは以下のように定義する. %% %\begin{eqnarray} %&& T_{v} \equiv \frac{T}{f(q_{v},q_{x})} \\ %&&f(q_{v}, q_{x}) \equiv %% f \equiv % \left( 1 - \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right) % (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} ) % \Deqlab{equations:moist:f} %\end{eqnarray} %% %但し M は乾燥成分と凝縮成分の分子量である. 密度の式には凝縮成分の混合比が考慮されている. % \begin{eqnarray} \rho &=& \rho_{d} + \sum \rho_{v} + \sum \rho_{c} + \sum \rho_{r} \nonumber \\ &=& \rho_{d} (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} ). \Deqlab{rho:rho} \end{eqnarray} % ただし, $q_v = \rho_v/\rho_{d}$, $q_{c}$, $q_{r}$ はそれぞれ, 凝縮性気体, 雲水, 雨水の混合比を意味する. ここで乾燥成分の分圧 $p_{d}$ は. % \begin{eqnarray} p_{d} &=& p \left( 1 - \frac{\sum p_{v}}{p} \right) \nonumber \\ &=& p \left( 1 - \frac{\sum p_{v}}{p_{d} + \sum p_{v} }\right) \nonumber \\ &=& p \left( 1 - \frac{\sum \rho_{v} R_{v} T}{\rho_{d} R_{d}T + \sum \rho_{v} R_{v} T }\right) \nonumber \\ &=& p \left( 1 - \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right) \nonumber \end{eqnarray} % となるので, % \begin{eqnarray} \rho_{d} = \frac{p_{d}}{R_{d} T} = \frac{p}{R_{d} T} \left(\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right) \Deqlab{rho:rho_d} \end{eqnarray} % である. 但し $M$ は分子量を表し, 凝縮成分の体積は無視できるものと見なした. \Deqref{rho:rho}, \Deqref{rho:rho_d} 式より, % \begin{eqnarray} \rho &=& \frac{p}{R_{d}T} \left( \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right) (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r} ) \Deqlab{rho:p-T_1} \end{eqnarray} % となる. % \begin{eqnarray} f \equiv \left(\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v} }\right) (1 + \sum q_{v} + \sum q_{x} ) \nonumber \end{eqnarray} % と定義すると, \Deqref{rho:p-T_1} 式は以下のように書ける. % \begin{eqnarray} \rho &=& \frac{p}{R_{d} (T/f)} \Deqlab{rho:p-T} \end{eqnarray} % また, 温位とエクスナー関数を用いて表現すると, % \begin{eqnarray} \rho &=& \frac{p}{R_{d} \pi (\theta /f )} \nonumber \\ &=& \frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} (\theta/f)} \Deqlab{rho:p-theta} \end{eqnarray} % である. 但しエクスナー関数 $\pi$ は $\pi = T/\theta$ の関係を満たす. 温位は乾燥断熱状態における保存量である. 乾燥断熱状態を表す熱力学の式は % \begin{eqnarray} c_{p}dT - \alpha dp = 0 \Deqlab{theta1} \end{eqnarray} % である. ここで $T$ は温度, $p$ は圧力, $c_{p}$ は単位質量当たりの比熱, $\alpha$ は比容である. \Deqref{theta1} 式の $\alpha$ は, 理想気体の状態方程式を用いると, % \begin{eqnarray} \alpha = \frac{RT}{p} \Deqlab{theta2} \end{eqnarray} % と書ける. ここで $M$ は分子量, $R$ は気体定数である. \Deqref{theta1} 式に \Deqref{theta2} 式を代入し整理すると, % \begin{eqnarray} \frac{c_{p}}{T}dT - \frac{R}{p} dp = 0 \Deqlab{theta3} \end{eqnarray} % となる. 凝縮を生じない場合には気塊の組成は変化しないので $c_{p}$ と $R$ は共に $p$ に依存しない. 一般に $c_{p}$ は $T$ の関数であるが, {\bf \boldmath $c_{p}$ を定数とみなすと}, % \begin{eqnarray} \int^{T_{0}}_{T} \Dinv{T}dT &=& \frac{R}{c_{p}} \int^{p_{0}}_{p} \Dinv{p} dp \nonumber \\ \ln{(T_{0}/T)} &=& \frac{R}{c_{p}} \ln{(p_{0}/p)} \nonumber \\ \theta &=& T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^\frac{R}{c_{p}} \Deqlab{theta4} \end{eqnarray} % となり, 温位が得られる. \subsection{温位 $\theta$, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合} 水平鉛直 2 次元大気の状態を 温位 $\theta$, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. CReSS(坪木と榊原, 2001)では, この基礎方程式を用いている. % \begin{description} % \item[運動方程式]~ % \begin{eqnarray} && \DD{u}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{x} = Turb.u \Deqlab{equations:u-w-p-theta:u} \\ && \DD{w}{t} + \Dinv{\rho}\DP{p}{z} - g = Turb.w \Deqlab{equations:u-w-p-theta:w} \end{eqnarray} % \item[圧力方程式]~ % \begin{eqnarray} \DD{p}{t} = \rho {C_{s}}^{2} \left\{ - \Ddiv{\Dvect{u}} + \Dinv{\theta}\DD{\theta}{t} - \Dinv{f} \left( \sum \DP{f}{q_{v}} \DD{q_{v}}{t} + \sum \DP{f}{q_{c}} \DD{q_{c}}{t} + \sum \DP{f}{q_{r}} \DD{q_{r}}{t} \right) \right\} \end{eqnarray} % \item[密度の式(状態方程式)]~ % \begin{eqnarray} \rho = \frac{p_{0}}{R_{d} \theta_{v}} \left( \frac{p}{p_{0}}\right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}} \Deqlab{equations:rho} \end{eqnarray} % \item[熱の式]~ % \begin{eqnarray} \DD{\theta}{t} = Q + Turb.\theta \Deqlab{equations:u-w-p-theta:theta} \end{eqnarray} % \item[凝縮成分の混合比の保存式]~ % \begin{eqnarray} && \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v} \Deqlab{equations:u-w-p-theta:qv} \\ && \DD{q_{c}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c} \Deqlab{equations:u-w-p-theta:qc} \\ && \DD{q_{r}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r} \Deqlab{equations:u-w-p-theta:qr} \end{eqnarray} % \end{description} % ただし温位 $\theta$ は % \begin{eqnarray} \theta \equiv T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}} \Deqlab{equations:theta} \end{eqnarray} であり, 仮温位 $\theta_{v}$ は, % \begin{eqnarray} \theta_{v} \equiv \frac{\theta}{f} \end{eqnarray} % である. 音速 $C_{s}$ は % \begin{eqnarray} {C_{s}}^{2} \equiv \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} T_{v} = \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \frac{T}{f} \end{eqnarray} % である. ${c_{p}}_{d}$ と ${c_{v}}_{d}$ はそれぞれ単位質量当たりの 乾燥成分の定圧比熱と定積比熱であり, ${c_{v}}_{d} + R_{d} = {c_{p}}_{d}$ という 関係にある. 圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を $\rho= \rho(\theta,p,q_{v},q_{x})$ として $\rho$ の全微分を求める. % \begin{eqnarray} d\rho &=&d \left[ \frac{p_{0}}{R_{d} \theta_{v}} \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}} \right] \nonumber \\ &=&d \left[ \frac{p_{0}}{R_{d} (\theta / f) } \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}} \right] \nonumber \\ &=& \frac{p_{0} }{R_{d} (\theta/f)} \frac{{c_{v}}_{d}}{{c_{p}}_{d}} \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{-R_{d}/{c_{p}}_{d}} \Dinv{p_{0}}dp - \frac{p_{0} f}{R_{d}} \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}} \frac{d\theta}{\theta^{2}} \nonumber \\ &&+ \frac{p_{0}}{R_{d} \theta} \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{{c_{v}}_{d}/{c_{p}}_{d}} \left\{ \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right\} \nonumber \\ &=& \Dinv{{C_{s}}^{2}} dp - \frac{\rho}{\theta} d\theta + \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{v}} dq_{v} + \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \Deqlab{pressure:theta-p:drho} \end{eqnarray} % となる. \Deqref{pressure:theta-p:drho} 式を圧力の式として整理すると, % \begin{eqnarray} \DD{p}{t} = {C_{s}}^{2} \left( \DD{\rho}{t} + \frac{\rho}{\theta} \DD{\theta}{t} - \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{v}} dq_{v} - \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c} - \sum \frac{\rho}{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \nonumber \end{eqnarray} % であり, 連続の式を用いると, % \begin{eqnarray} \DD{p}{t} = \rho {C_{s}}^{2} \left( - \Ddiv \Dvect{u} + \Dinv{\theta} \DD{\theta}{t} - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{v}} dq_{v} - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{c}} dq_{c} - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \nonumber \end{eqnarray} % となり, 圧力方程式が得られる. \subsection{温位 $\theta$, 無次元圧力 $\pi$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合} 水平鉛直 2 次元大気の状態を 温位 $\theta$, 無次元圧力 $\pi$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる. 連続の式 \Deqref{equations:continue} と状態方程式 \Deqref{equations:rho} を用いることで得られる圧力方程式を利用する. Klemp and Willhelmson (1978)では, この基礎方程式を用いている. % \begin{description} % \item[運動方程式]~ % \begin{eqnarray} && \DD{u}{t} + {{c_{p}}_{d}} \theta_{v} \DP{\pi}{x} = Turb.u \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:u} \\ && \DD{w}{t} + {{c_{p}}_{d}} \theta_{v} \DP{\pi}{z} - g = Turb.w \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:w} \end{eqnarray} % \item[圧力方程式]~ % \begin{eqnarray} \DD{\pi}{t} = \frac{{C_{s}}^{2}}{ {c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} } \left\{ - \Ddiv \Dvect{u} + \Dinv{\theta}\DD{\theta}{t} - \Dinv{f} \left( \sum \DP{f}{q_{v}} \DD{q_{v}}{t} + \sum \DP{f}{q_{c}} \DD{q_{c}}{t} + \sum \DP{f}{q_{r}} \DD{q_{r}}{t} \right) \right\} \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:continue} \end{eqnarray} % \item[状態方程式]~ % \begin{eqnarray} \rho = \frac{p_{0} \pi^{{c_{v}}_{d}/R_{d}}}{R_{d} \theta_{v}} \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:rho} \end{eqnarray} % \item[熱の式]~ % \begin{eqnarray} \DD{\theta}{t} = Q + Turb.\theta \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:theta} \end{eqnarray} % \item[水蒸気および水物質混合比の式]~ % \begin{eqnarray} && \DD{q_{v}}{t} = Src.q_{v} + Turb.q_{v} \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:qv} \\ && \DD{q_{x}}{t} = Src.q_{c} + Turb.q_{c} \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:qc} \\ && \DD{q_{x}}{t} = Src.q_{r} + Fall.q_{x} + Turb.q_{r} \Deqlab{equations:u-w-pi-theta:qr} \end{eqnarray} % \end{description} % ただし, エクスナー関数 $\pi$ は, % \begin{eqnarray} \pi \equiv \frac{T}{\theta} = \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^{R_{d}/{c_{p}}_{d}} \Deqlab{equations:pi} \end{eqnarray} % であり, 音速 $C_{s}$ は % \begin{eqnarray} {C_{s}}^{2} \equiv \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi \theta_{v} = \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} \pi \left( \frac{\theta}{f} \right) \end{eqnarray} % である. 運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる. % \begin{eqnarray} \Dinv{\rho} dp &=& \frac{R_{d} \pi (\theta/f)}{p} d \left( p_{0} \pi^{{c_{p}}_{d}/R_{d}} \right) \nonumber \\ &=& \frac{R_{d} \pi (\theta/f) }{p} \left( \frac{p_{0} {c_{p}}_{d}}{R_{d}} \pi^{{c_{p}}_{d}/R - 1} \right) d\pi \nonumber \\ &=& \frac{R_{d} \pi (\theta/f) }{p} \left( \frac{{c_{p}}_{d}}{R_{d}} p \pi^{-1} \right)d\pi \nonumber \\ &=& {c_{p}}_{d} (\theta/f) d\pi \nonumber \\ &=& {c_{p}}_{d} \theta_{v} d\pi \end{eqnarray} % 圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度を $\rho= \rho(\theta, \pi, q_{v}, q_{x})$ として $\rho$ の全微分を計算する. % \begin{eqnarray} d\rho &=&d \left[ \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}}}{R_{d} \theta_{v}} \right] \nonumber \\ &=&d \left[ \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}}}{R_{d} (\theta/f)} \right] \nonumber \\ &=& \frac{p_{0}}{R_{d} (\theta/f) } \pi^{(c_{v/R_{d}}-1)} \frac{{c_{v}}_{d}}{R_{d}} d\pi - \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} f}{R_{d}} \frac{d\theta}{\theta^{2}} \nonumber \\ &&+ \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} \theta} \left( \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \nonumber \\ &=& {c_{p}}_{d} (\theta/f) \left( \frac{{c_{v}}_{d}}{{c_{p}}_{d} R_{d} \pi (\theta/f) } \right) \left(\frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta/f)} \right) d\pi - \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta/f)} \frac{d\theta}{\theta} \nonumber \\ &&+ \Dinv{f} \left( \frac{p_{0} \pi^{c_{v/R_{d}}} }{R_{d} (\theta / f)} \right) \left( \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \nonumber \\ &=& \frac{ {c_{p}}_{d} \rho (\theta/f)}{{C_{s}}^{2} } d\pi - \frac{\rho}{\theta} d\theta + \rho \Dinv{f} \left( \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \nonumber \\ &=& \frac{ {c_{p}}_{d} \rho \theta_{v}}{{C_{s}}^{2} } d\pi - \frac{\rho}{\theta} d\theta + \rho \Dinv{f} \left( \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \Deqlab{pressure:theta-pi:drho} \end{eqnarray} % となる. \Deqref{pressure:theta-pi:drho} 式を圧力の式として整理すると, % \begin{eqnarray} \DD{\pi}{t} = \frac{{C_{s}}^{2} }{{c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} } \left\{ \Dinv{\rho} \DD{\rho}{t} + \Dinv{\theta}\DD{\theta}{t} - \Dinv{f} \left( \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \right\} \Deqlab{pressure:theta-p:p} \end{eqnarray} % となり, 連続の式を用いると, % \begin{eqnarray} \DD{\pi}{t} = \frac{{C_{s}}^{2} }{{c_{p}}_{d} \rho \theta_{v} } \left\{ - \Ddiv \Dvect{u} + \Dinv{\theta}\DD{\theta}{t} - \Dinv{f} \left( \sum \DP{f}{q_{v}} dq_{v} + \sum \DP{f}{q_{c}} dq_{c} + \sum \DP{f}{q_{r}} dq_{r} \right) \right\} \Deqlab{pressure:theta-p:p} \end{eqnarray} % となり, 圧力方程式が得られる.