% 表題: 基本場と擾乱場の分離
%
% 履歴: 2005-11-26 杉山耕一朗


準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う. 


\subsection{基本場と擾乱場の分離}


変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. 
この時, 変数は以下のように書ける. 
%
\begin{eqnarray}
&& u = u^{'}(x,z,t) \nonumber \\
&& w = w^{'}(x,z,t) \nonumber \\
&& \pi = \bar{\pi}(z) + \pi^{'}(x,z,t) \nonumber \\
&& \theta_{v} = \bar{\theta_{v}}(z) + {\theta_{v}}^{'}(x,z,t) \nonumber \\
&& \rho = \bar{\rho}(z) + \rho^{'}(x,z,t) \nonumber \\
&& q_{v} = \bar{q_{v}}(z) + q_{v}^{'}(x,z,t) \nonumber \\
&& q_{r} = q_{r}^{'}(x,z,t) \nonumber \\
&& q_{c} = q_{c}^{'}(x,z,t) \nonumber 
\end{eqnarray}
% 
但し, $\theta_{v} = \theta/f$ とし, 
基本場の風速 $u, w$ と雲粒混合比と雨粒混合はゼロと見なした. 
そして基本場には静水圧平衡, 
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\bar{\pi}}{z} 
  = - \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}} 
  = - \frac{g}{{c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})} 
\end{eqnarray}
%
の関係が成り立つものとする. 



\subsection{水平方向の運動方程式の線形化}

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する. 
%
\begin{eqnarray}
 \DP{u^{'}}{t} = 
  - \left( 
       u^{'} \DP{u^{'}}{x} 
     + w^{'} \DP{u^{'}}{z} 
    \right)
  - {c_{p}}_{d}
  \left(
     \bar{\theta_{v}} \DP{\bar{\pi}}{x}
   + \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x}
   + {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{x}
   + {\theta_{v}}^{'} \DP{\pi^{'}}{x}
  \right)
  + Turb.u \nonumber 
\end{eqnarray}
%
上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は $x$ 方向に
は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{u^{'}}{t} 
  &=&   - \left( 
       u^{'} \DP{u^{'}}{x} 
     + w^{'} \DP{u^{'}}{z} 
    \right)
  - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x} + Turb.u
  \nonumber \\
  &=& 
  - \left( 
       u^{'} \DP{u^{'}}{x} 
     + w^{'} \DP{u^{'}}{z} 
    \right)
  -{c_{p}}_{d} \left( \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}\right)
  \DP{\pi^{'}}{x}
  + Turb.u
  \Deqlab{bunri:moist:dudt}
\end{eqnarray}
%
ここで $\bar{f}$ は, 
%
\begin{eqnarray}
\bar{f} = 
  {\left( 
    1 - \frac{\sum \bar{q_{v}}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum \bar{q_{v}}/M_{v}}
   \right)
  (1 + \sum \bar{q_{v}} )}
  \Deqlab{bunri:moist:bar_f}
\end{eqnarray}
%
である. 


\subsection{鉛直方向の運動方程式の線形化}

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する. 
%
\begin{eqnarray}
 \DP{w^{'}}{t} = 
  - \left( 
       u^{'} \DP{w^{'}}{x} 
     + w^{'} \DP{w^{'}}{z} 
    \right)
  - {c_{p}}_{d}
  \left(
     \bar{\theta_{v}} \DP{\bar{\pi}}{z}
   + \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{z}
   + {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{z}
   + {\theta_{v}}^{'} \DP{\pi^{'}}{z}
  \right) 
  - g
  + Turb.w
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる. 
%
\begin{eqnarray}
 \DP{w^{'}}{t} = 
  - \left( 
       u^{'} \DP{w^{'}}{x} 
     + w^{'} \DP{w^{'}}{z} 
    \right)
  -{c_{p}}_{d}
  \left(
     \bar{\theta_{v}} \DP{\bar{\pi}}{z}
   + \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{z}
   + {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\pi}}{z}
  \right)
    - g
    + Turb.w . \nonumber 
\end{eqnarray}
%
さらに静水圧の式を利用すると以下となる. 
%
\begin{eqnarray}
 \DP{w^{'}}{t} 
  &=& 
  - \left( 
       u^{'} \DP{w^{'}}{x} 
     + w^{'} \DP{w^{'}}{z} 
    \right)
  + {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} 
  \left( \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}} \right)
  -   {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x}
  +   {c_{p}}_{d} {\theta_{v}}^{'} 
  \left( \frac{g}{{c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}} \right)
  - g + Turb.w  \nonumber \\
  &=& 
  - \left( 
       u^{'} \DP{w^{'}}{x} 
     + w^{'} \DP{w^{'}}{z} 
    \right)
  -    {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x}
  +   \frac{{\theta_{v}}^{'}}{\bar{\theta_{v}}} g
  + Turb.w  \nonumber 
\end{eqnarray}
%
ここで ${\theta_{v}}^{'}$ は, 
%
\begin{eqnarray}
 {\theta_{v}}^{'} 
  &=& \Dinv{f}
  \left\{
   \theta^{'}
   - \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{v}} q_{v}^{'}
   - \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{c}} q_{c}^{'}
   - \sum \frac{\theta}{f} \DP{f}{q_{r}} q_{r}^{'}
  \right\}
  \nonumber \\
 &=& \Dinv{f}
  \left\{
   \frac{\theta^{'}}{\theta}
   - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{v}} q_{v}^{'}
   - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{c}} q_{c}^{'}
   - \sum \Dinv{f} \DP{f}{q_{r}} q_{r}^{'}
  \right\}
  \Deqlab{DTheta}
\end{eqnarray}
%
であり, \Deqref{DTheta} 式の第 2 項を計算すると, 
%
\begin{eqnarray}
\sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{v}} 
 &=& 
 \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
 (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}
 \DP{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
 (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{v}}
 \nonumber \\
 &=&
 \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
 (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}  \nonumber \\ 
&&
 \left[
   \frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
 - 
 \left\{
  \frac{\sum 1/M_{d}M_{v}}{(1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v})^{2}}  
  (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})
 \right\}
 \right]
 \nonumber \\
 &=&
  \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} 
  - \frac{\sum 1/M_{v}}{1/M_{d} + \sum  q_{v}/M_{v}} 
 \nonumber 
\end{eqnarray}
%
であり, \Deqref{DTheta} 式の第 3 項を計算すると, 
%
\begin{eqnarray}
\sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{c}} 
 &=& 
 \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
 (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}
 \DP{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
 (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{c}}
 \nonumber \\
 &=&
  \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} 
 \nonumber 
\end{eqnarray}
%
であり, \Deqref{DTheta} 式の第 4 項を計算すると, 
%
\begin{eqnarray}
\sum \Dinv{f}\DP{f}{q_{r}} 
 &=& 
 \Dinv{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
 (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}
 \DP{\frac{1/M_{d}}{1/M_{d} + \sum q_{v}/M_{v}}
 (1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r})}{q_{r}}
 \nonumber \\
 &=&
  \Dinv{1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} 
 \nonumber 
\end{eqnarray}
%
となるので, 
%
\begin{eqnarray}
 {\theta_{v}}^{'} 
  = \Dinv{f}
  \left\{
   \frac{\theta^{'}}{\theta}
   + \frac{\sum q_{v}^{'}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum  q_{v}/M_{v}} 
   - \frac{\sum q_{v}^{'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}}
          {1 + \sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}} 
  \right\}
\end{eqnarray}
%
である. ここで擾乱成分は平均成分に比べて十分に小さいので, 
全量を平均成分に置き換えることで, 
%
\begin{eqnarray}
 {\theta_{v}}^{'} 
  = \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}
  \left\{
   \frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}}
   + \frac{\sum q_{v}^{'}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum  \bar{q_{v}}/M_{v}} 
   - \frac{\sum q_{v}^{'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}}
          {1 + \sum \bar{q_{v}}}
  \right\}
\end{eqnarray}
%
となる. これを用いると, 擾乱成分の速度 $w$ の式は以下のように書ける. 
%
\begin{eqnarray}
 \DP{w^{'}}{t} 
  &=& 
  - \left( 
       u^{'} \DP{w^{'}}{x} 
     + w^{'} \DP{w^{'}}{z} 
    \right)  
  - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi^{'}}{x}
\nonumber \\
&&  +   
\left(
   \frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}}
   + \frac{\sum q_{v}^{'}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum  \bar{q_{v}}/M_{v}} 
   - \frac{\sum q_{v}^{'} + \sum q_{c}^{'} + \sum q_{r}^{'}}
          {1 + \sum \bar{q_{v}}}
  \right) g
  + Turb.w  \nonumber \\
\end{eqnarray}
%


\subsection{圧力方程式の線形化}

Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と
凝縮に伴う圧力変化を無視し, 
%
\begin{eqnarray}
\DD{\pi}{t} 
 = 
  - \frac{{C_{s}}^{2}}{ {c_{p}}_{d} (\theta/f)}
    \Ddiv \Dvect{u} 
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
として定式化した. 本モデルで考える系では, 凝縮成分が十分に小さいので, 
この近似を用いることとした. 


圧力方程式に関して, 平均成分と擾乱成分に分ける. ただし, 擾乱成分は平均成
分よりも十分小さいという仮定を用い, 
$1/\theta = 1/\bar{\theta}$, $1/f = 1/\bar{f}$ とする. 
%
\begin{eqnarray}
\DP{\bar{\pi} + \pi^{'}}{t} 
 + u^{'} \DP{\bar{\pi}+\pi^{'}}{x} 
 + w^{'} \DP{\bar{\pi}+\pi^{'}}{z}
  =   - \frac{\overline{{C_{s}}^{2} }}{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})}
   \Ddiv \Dvect{u^{'}}
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
%
上式では ${C_{s}}^{2}$ を平均成分と擾乱成分に分離して 2 次の微小項を
無視すると, $\overline{{C_{s}}^{2}}$ と等しくなることを利用している. 
%
\begin{eqnarray}
{C_{s}}^{2} &=&  
  \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} (\bar{\pi} + \pi^{'})
  \left( \frac{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{\bar{f}} \right)
\nonumber \\
 &\approx&
  \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} 
  \left( 
   \bar{\pi} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}
   + \bar{\pi} \frac{\theta^{'}}{\bar{f}}
   + \pi^{'} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}
  \right)
  \nonumber \\
  &=&
  \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} 
  \bar{\pi} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}  
  \left( 
   1 + \frac{\theta^{'}}{\bar{\theta}} + \frac{ \pi^{'} }{\bar{\pi}} 
  \right)
  \nonumber \\
  &\approx&
  \frac{{c_{p}}_{d}}{{c_{v}}_{d}} R_{d} 
  \bar{\pi} \frac{\bar{\theta}}{\bar{f}}  
  \equiv \overline{{C_{s}}^{2}}
\end{eqnarray}
%
ただし $\theta^{'}/\bar{\theta} \ll 1$,  
$\pi^{'}/\bar{\pi} \ll 1$ であることを用いた. 
平均成分は $z$ にのみ依存することを利用し, また 2 次の微小項を無視する. 
%
\begin{eqnarray}
\DP{\pi^{'}}{t} 
 =  
 - w^{'} \DP{\bar{\pi}}{z}
 - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}} }{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta} /\bar{f})}
    \Ddiv \Dvect{u^{'}}
\nonumber
\end{eqnarray}
%
さらに $\pi$ を理想気体の状態方程式で変形してまとめると, 
圧力の擾乱成分の時間発展方程式が得られる. 
%
\begin{eqnarray}
\DP{\pi^{'}}{t} 
 &=&  
 - w^{'} \DP{}{z} 
 \left( \frac{\bar{\rho} R_{d}(\bar{\theta}/\bar{f})}{p_{0}}\right)^{R_{d}/{c_{v}}_{d}}
 - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}} }{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})}
   \left( \DP{ u^{'}}{x} + \DP{ w^{'}}{z} \right)
\nonumber \\
%
 &=& 
- w^{'} 
 \frac{R_{d}}{{c_{v}}_{d}} \bar{\pi}
 \Dinv{\left( \frac{\bar{\rho}
	R_{d}(\bar{\theta}/\bar{f})}{p_{0}}\right)}
 \frac{R_{d}}{p_{0}}
 \DP{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})}{z} 
 - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}} }{ {c_{p}}_{d} (\bar{\theta}/\bar{f})}
   \left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right)
\nonumber \\
%
 &=&
 - \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d}  \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})^{2}}
 \left\{
 w^{'} 
 \DP{ \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})}{z} 
 + \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})
   \left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right)
\right\}
\nonumber \\
%
 &=&
- \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d}  \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})^{2}}
 \Ddiv \left\{
	\bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u^{'}}
       \right\}
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
以上より, 
\begin{eqnarray}
 \DP{\pi^{'}}{t}=
- \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d}  \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})^{2}}
 \Ddiv \left\{
	\bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u^{'}}
       \right\}
\end{eqnarray}
%
である. 


\subsection{熱の式の線形化}

熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する. 
%
\begin{eqnarray}
&& \DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{t} 
 = 
 - u^{'}\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{x} 
 - w^{'}\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{x} 
 + Q + Turb.(\bar{\theta} + \theta^{'})
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
ここで平均場の量は $z$ の関数であることを用いると, 
%
\begin{eqnarray}
&& \DP{\theta^{'}}{t} 
 = 
 - \left(
    u^{'}\DP{\theta^{'}}{x} 
    + w^{'}\DP{\theta^{'}}{x} 
   \right)
 - w^{'}\DP{\bar{\theta}}{x} 
 + Q  + Turb.\bar{\theta}   + Turb.\theta^{'}
\end{eqnarray}
%
となる. 


\subsection{混合比の保存式の線形化}

凝縮成分の混合比の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 
熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ
存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝縮は生じていないと考えることに
等しい. 
%
\begin{eqnarray}
%
&& \DP{q_{v}^{'}}{t} 
= 
 - \left(
    u^{'}\DP{q_{v}^{'}}{x} 
    + w^{'}\DP{q_{v}^{'}}{x} 
   \right)
  - w^{'}\DP{\bar{q_{v}}}{x} 
  + Src.q_{v}^{'} + Turb.\bar{q_{v}} + Turb.q_{v}^{'}, \\
%
&& \DP{q_{c}^{'}}{t} 
=
  - \left(
    u^{'}\DP{q_{c}^{'}}{x} 
    + w^{'}\DP{q_{c}^{'}}{x} 
   \right)
  + Src.q_{c}^{'} + Turb.q_{c}^{'}, \\
%
&& \DP{q_{r}^{'}}{t} 
= - \left(
    u^{'}\DP{q_{r}^{'}}{x} 
    + w^{'}\DP{q_{r}^{'}}{x} 
    \right)
   + Src.q_{r}^{'} + Fall.q_{r}^{'} + Turb.q_{r}^{'}
%
\end{eqnarray}
%
但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である. 


\section{まとめ}

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる. ただし, 擾乱を示す $~^{'}$ は
除いた. 
%
\begin{description}
%
 \item[運動方程式]~
%
\begin{eqnarray}
 \DP{u}{t} 
  &=& 
  - \left( u \DP{u}{x} + w \DP{u}{z} \right)
  - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}}  \DP{\pi}{x}
  + Turb.u
  \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:u} \\
%
 \DP{w}{t} 
 &=& 
  - \left( 
       u \DP{w}{x} 
     + w \DP{w}{z} 
    \right)  
  - {c_{p}}_{d} \bar{\theta_{v}} \DP{\pi}{x}
  + Turb.w 
\nonumber \\
&&  +   
 \left(
   \frac{\theta}{\bar{\theta}}
   + \frac{\sum q_{v}/M_{v}}{1/M_{d} + \sum  \bar{q_{v}}/M_{v}} 
   - \frac{\sum q_{v} + \sum q_{c} + \sum q_{r}}
          {1 + \sum \bar{q_{v}}}
 \right) g
  \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:w} 
\end{eqnarray}
%
 \item[圧力方程式]~
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\pi}{t}=
- \frac{\overline{{C_{s}}^{2}}}{{c_{p}}_{d}  \bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f})^{2}}
 \Ddiv \left\{
	\bar{\rho} (\bar{\theta}/\bar{f}) \Dvect{u}
       \right\}
  \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:continue}
\end{eqnarray}
%
 \item[熱の式]~
%
\begin{eqnarray}
\DP{\theta}{t} 
 = 
 - \left(
    u\DP{\theta}{x} 
    + w\DP{\theta}{x} 
   \right)
 - w\DP{\bar{\theta}}{x} 
 + Q  + Turb.\bar{\theta}   + Turb.\theta
  \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:theta}
\end{eqnarray}
%
 \item[凝縮成分の混合比の保存式]~
%
\begin{eqnarray}
&& \DP{q_{v}}{t} 
= 
 - \left(
    u\DP{q_{v}}{x} 
    + w\DP{q_{v}}{x} 
   \right)
  - w\DP{\bar{q_{v}}}{x} 
  + Src.q_{v} + Turb.\bar{q_{v}} + Turb.q_{v}, 
  \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:qv} \\
%
&& \DP{q_{c}}{t} 
=
  - \left(
    u\DP{q_{c}}{x} 
    + w\DP{q_{c}}{x} 
   \right)
  + Src.q_{c} + Turb.q_{c}, 
  \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:qc} \\
%
&& \DP{q_{r}}{t} 
= - \left(
    u\DP{q_{r}}{x} 
    + w\DP{q_{r}}{x} 
    \right)
   + Src.q_{r} + Fall.q_{r} + Turb.q_{r}
  \Deqlab{quasi-equations:u-w-pi-theta:qr}
\end{eqnarray}
%
\end{description}