% 表題: 諸々の計算
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% 履歴: 2006/03/13 杉山耕一朗

\chapter{単位の換算等の計算}


\section{混合比とモル比(分圧)との換算式}

混合気体を考える. 乾燥成分の添え字を $d$ とし, 湿潤成分の添え字を $v$ と
する. ここでは任意の湿潤成分気体(添え字 $x$)の混合比, 分圧を求める. 

混合比 $q_{x}$ を分圧 $p_{x}$ で表現すると, 
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\begin{eqnarray}
 q_{x} 
  &=& \frac{\rho_{x}}{\rho_{d}} 
  \nonumber \\
  &=& \left(
       \frac{R_{d} T}{p} \frac{1/M_{d} + \sum_{v} q_{v}/M_{v}}{1/M_{d}}
      \right)
    \frac{p_{x}}{R_{x}T}
    \nonumber \\
 &=& 
  \frac{p_{x}}{p} M_{x} (1/M_{d} + \sum_{v} q_{v}/M_{v})
  \nonumber \\
 q_{x} \left(1 - \frac{p_{x}}{p} \right) &=& 
  \frac{p_{x}}{p} M_{x} (1/M_{d} + \sum_{v \neq x} q_{v}/M_{v})  
  \nonumber \\
 q_{x} &=& 
  \frac{p_{x}}{p}\frac{ M_{x} (1/M_{d} + \sum_{v \neq x} q_{v}/M_{v})  }
  {\left(1 - \frac{p_{x}}{p} \right) }
  \nonumber \\
 q_{x} &=& 
  \frac{ p_{x} M_{x}  (1/M_{d} + \sum_{v \neq x} q_{v}/M_{v}) }{p - p_{x}}
  \nonumber \\
 q_{x} &=& 
  \frac{ p_{x} M_{x}  (1/M_{d} + \sum_{v \neq x} q_{v}/M_{v}) }
  {p_{0} \pi^{{c_{p}}_{d}/R_{d}} - p_{x}}
\end{eqnarray}
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となり, モル比 $x_{x}$ で表現すると, 
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\begin{eqnarray}
 q_{x} = 
  \frac{ x_{x} M_{x} (1/M_{d} + \sum_{v \neq x} q_{v}/M_{v})}{ 1 - x_{x} }
\end{eqnarray}
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となる. 

一方で, 分圧 $p_{x}$ を混合比 $q_{x}$ で表現すると, 
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\begin{eqnarray}
 p_{x} &=& \frac{q_{x} p}{M_{x} (1/M_{d} + \sum_{v} q_{v}/M_{v})}
  \nonumber \\
 p_{x} &=& \frac{q_{x}p_{0} \pi^{{c_{p}}_{d}/R_{d}}  }{M_{x} (1/M_{d} + \sum_{v} q_{v}/M_{v})}
\end{eqnarray}
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であり, モル比 $x_{x}$ で表現すると, 
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\begin{eqnarray}
 x_{x} &=& \frac{q_{x}}{M_{x} (1/M_{d} + \sum_{v} q_{v}/M_{v})}
\end{eqnarray}
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である.