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%表題   2 次元非静力学モデル -- 付録 B 乱流パラメタリゼーション
%
%履歴   2003-07-25 高橋 こう子   新規作成
%       2003-09-03 高橋 こう子   骨子完成
%       2003-09-08 高橋 こう子   参考文献追加
%       2003-09-09 高橋 こう子   Appendix 追加
%       2003-11-17 高橋 こう子   修正
%       2003-11-22 高橋 こう子   運動エネルギーの式修正
%       2004-07-25 小高正嗣      2 次元乾燥大気版へ再構成
%
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\chapter{乱流パラメタリゼーション}

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%\subsection{レイノルズ応力方程式}


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%\newpage

\section{サブグリッドスケールの運動エネルギー方程式}


Klemp and Wilhelmson (1978) および CReSS で用いられている 1.5 次のクロー
ジャーを用いる. 1.5 次のクロージャーでは, 乱流運動エネルギーの時間発展方
程式を, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{E}{t} &=& B + S + D_{E}  
  - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
    E^{\frac{3}{2}}.
\Deqlab{B:dEdt}
\end{eqnarray} 
%
とする. 但し $l$ は混合距離であり $l = \left(\Delta x \Delta
z\right)^{1/2}$ とする.  $B$ と $S$ は
それぞれ浮力と流れの変形速度による乱流エネルギー生成項, $D_{E}$ は乱流エ
ネルギー拡散項, 第 4 項は乱流エネルギーの消散項であり,
%
\begin{eqnarray}
 B &=& 
  \frac{g_{j}}{\overline{\theta}} 
  \overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} ,
  \nonumber \\
 S &=& 
  - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}
  \DP{u_{i}}{x_{j}} ,
  \nonumber \\
 D_{E} &=& \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}} \right)
\end{eqnarray}
%
である. 1.5 次のクロージャーでは, レイノルズ応力を以下のように定義する.
%
\begin{eqnarray}
  \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}
  &=& - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}}
	  	        + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
	  + \frac{2}{3} \delta_{ij} E
\\
  \overline{u_{j}^{\prime} \theta } &=& K_{h}\DP{\theta}{x_{j}}
\end{eqnarray}
%
ここで $K_{m}$ は運動量に対する渦粘性係数であり, $E$ はサブグリッドス
ケールの乱流運動エネルギー, $K_{h}$ は渦拡散係数である.
$K_{m}$, $K_{h}$ は $E$ を用いて以下のように与えられる.
%
 \begin{eqnarray}
  K_{m} &=& C_{m} E^{\frac{1}{2}} l,
   \Deqlab{B:E}\\
  K_{h} &=& 3 K_{m}.
 \end{eqnarray}
%


\Deqref{B:dEdt} 式の各項を書き下す. 浮力による乱流エネルギー生成項は, 
%
\begin{eqnarray}
 B &=& 
  \frac{g_{j}}{\overline{\theta}} 
  \overline{u^{\prime}_{j} \theta^{\prime}} ,
  \nonumber \\
  &=& 
  - \frac{g}{\overline{\theta}} 
  \overline{w^{\prime}  \theta^{\prime}} ,
  \nonumber \\
  &=& 
  - \frac{g}{\overline{\theta}} 
  \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right)
\Deqlab{B}
\end{eqnarray}
%
である. 次に流れの変形速度による乱流エネルギー生成項 $S$ は, 
%
\begin{eqnarray}
 S 
  &=& 
  - \overline{(u_{i}^{\prime} u_{j}^{\prime})}
  \DP{u_{i}}{x_{j}} ,
  \nonumber \\
  &=& 
  - \left\{
     - K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
	  + \frac{2}{3} \delta_{ij} E
    \right\}
  \DP{u_{i}}{x_{j}},
  \nonumber \\
  &=& 
   \left\{ 
      K_{m} \left(\DP{u_{i}}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x_{i}}\right)
	  - \frac{2}{3} \delta_{ij} E
   \right\} 
  \DP{u_{i}}{x_{j}}, 
  \nonumber \\
  &=& 
   \left\{ 
    K_{m} \left(\DP{u}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{x}\right)
    - \frac{2}{3} \delta_{1j} E
   \right\} 
  \DP{u}{x_{j}} 
  \nonumber \\
  &&+  
   \left\{ 
      K_{m} \left(\DP{w}{x_{j}} + \DP{u_{j}}{z}\right)
	  - \frac{2}{3} \delta_{3j} E
   \right\} 
  \DP{w}{x_{j}}, 
  \nonumber \\
  &=& 
   \left\{ 
      2 K_{m} \left(\DP{u}{x} \right)
	  - \frac{2}{3} E
   \right\} 
  \DP{u}{x}
  +  
   K_{m} \left( \DP{w}{x} + \DP{u}{z} \right)
  \DP{u}{z}
  \nonumber \\
  &&+  
   K_{m} \left(\DP{w}{x} + \DP{u}{z}\right)
  \DP{w}{x}
  +  
   \left\{ 
     2 K_{m} \left(\DP{w}{z}  \right)
	  - \frac{2}{3} E
   \right\} 
  \DP{w}{z}, 
  \nonumber \\
 &=&  
   2 K_{m} \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
  +  K_{m}
     \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}
     \nonumber \\
 && - \frac{2}{3} E \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) 
\Deqlab{S}
\end{eqnarray}
%
である. 乱流エネルギー拡散項 $D_{E}$ は, 
%
\begin{eqnarray}
 D_{E} &=& \DP{}{x_{j}} \left(K_{m} \DP{E}{x_{j}} \right), 
  \nonumber \\
  &=& \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right)  
      + \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right)  
\Deqlab{De}
\end{eqnarray}
%
である. 以上の \Deqref{B}, \Deqref{S}, \Deqref{De} 式を \Deqref{B:dEdt} 式
に代入することで以下の式を得る. 
%
 \begin{eqnarray}
  \DD{E}{t}
  &=& 
   - \frac{g}{\overline{\theta}} 
      \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right)
\nonumber \\
  &&+ 2 K_{m} \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
  +  K_{m}
     \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}
  - \frac{2}{3} E \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) 
\nonumber \\
  &&+ \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right)  
      + \DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x} \right)  
\nonumber \\
  && - \left(\frac{C_{\varepsilon}}{l}\right)
	  E^{\frac{3}{2}}.
\Deqlab{B:TurbE}	  
\end{eqnarray}
%

さらに \Deqref{B:TurbE} 式を \Deqref{B:E} 式を用いて $K_{m}$ に関する式
に変形する. 
右辺の乱流エネルギー拡散項を書き下すと, 
%
 \begin{eqnarray}
\DP{}{x} \left(K_{m} \DP{E}{x}\right)
       &+& \DP{}{z} \left(K_{m} \DP{E}{z}\right)
\nonumber \\
   &=& \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}}
       \Biggl\{\DP{}{x}
               \left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{x}\right)
             + \DP{}{z}
	        \left(K_{m} \DP{K_{m}^{2}}{z}\right)
       \Biggr\}
  \nonumber \\
   &=& \frac{1}{C_{m}^{2} l^{2}}
       \Biggl\{K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
               + \DP{K_{m}}{x}
                 \DP{K_{m}^{2}}{x}
               + K_{m} \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
               + \DP{K_{m}}{z}
                 \DP{K_{m}^{2}}{z}
       \Biggr\}
  \nonumber \\
   &=& \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}}
       \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
	       + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
       \right)
   + \frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}}
         \Biggl\{\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
	 + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
	 \Biggr\}
\nonumber \\
 \end{eqnarray}
%
となるので, \Deqref{B:TurbE} 式を変形すると, 
%
 \begin{eqnarray}
\frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}}  \DD{K_{m}}{t}
  &=& 
   - \frac{g}{\overline{\theta}} 
      \left( K_{h} \DP{\theta}{z} \right)
  + 2 K_{m} \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
\nonumber \\
  &&
  +  K_{m}
     \left(\DP{u}{z} + \DP{w}{z}\right)^{2}
  - \frac{2}{3} \frac{K_{m}^{2}}{C_{m}^{2} l^{2}} \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) 
\nonumber \\
   && 
   + \frac{K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}}
       \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
	       + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
       \right)
   + \frac{2 K_{m}}{C_{m}^{2} l^{2}}
         \Biggl\{\left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
	 + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
	 \Biggr\}
\nonumber \\
  && 
   - \frac{C_{\varepsilon}}{C_{m}^{3} {l}^{4}} 
	  K_{m}^{3}
\nonumber \\
 \DP{K_{m}}{t}
  &=& 
   - \left( 
      u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z}
     \right)
   - \frac{g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}} \frac{K_{h}}{K_{m}}
      \left(\DP{\theta}{z} \right)
\nonumber \\
  && 
  + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
\nonumber \\
  &&
  +  \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2}
     \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{z}\right)^{2}
  - \frac{K_{m}}{3}
     \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) 
\nonumber \\
   && 
   + \Dinv{2}
       \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
	       + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
       \right)
   + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
   + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
\nonumber \\
  && 
   - \frac{C_{\varepsilon}}{2 C_{m} l^{2}} K_{m}^{2}
\nonumber 
\end{eqnarray}
% 
となり, ここで $C_{m} = C_{\varepsilon} = 0.2$ と $K_{h} = 3 K_{m}$ という
関係を用いると, 
%
\begin{eqnarray}
 \DP{K_{m}}{t}
  &=& 
   - \left( 
      u \DP{K_{m}}{x} + w \DP{K_{m}}{z}
     \right)
   - \frac{3 g C_{m}^{2} l^{2}}{ 2 \overline{\theta}} 
      \left(\DP{\theta}{z} \right)
\nonumber \\
  && 
  + \left( C_{m}^{2} l^{2} \right) \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
\nonumber \\
  &&
  +  \frac{ C_{m}^{2} l^{2} }{2}
     \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}
  - \frac{K_{m}}{3}
     \left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z} \right) 
\nonumber \\
   && 
   + \Dinv{2}
       \left(\DP[2]{K_{m}^{2}}{x}
	       + \DP[2]{K_{m}^{2}}{z}
       \right)
   + \left(\DP{K_{m}}{x}\right)^{2}
   + \left(\DP{K_{m}}{z}\right)^{2}
\nonumber \\
  && 
   - \Dinv{2 l^{2}} K_{m}^{2}
\Deqlab{close_1.5}
\end{eqnarray}
%
となる. 

\Deqref{close_1.5} 式において, 乱流エネルギーは定常であり, 
生成項と消散項がつりあうと仮定すると, Meller and Yamada (1974) の 1 次の
クロージャーに対応するような式が求まる. 但し速度の収束を零とみなした. 
%
\begin{eqnarray}
K_{m}^{2} = 
 - \frac{3 g}{\overline{\theta}} 
      \left(\DP{\theta}{z} \right)
  + 2 \left\{ 
       \left( \DP{u}{x} \right)^{2}
     + \left( \DP{w}{z} \right)^{2}
    \right\}
  + \left( \DP{u}{z} + \DP{w}{x}\right)^{2}
\Deqlab{close_1}
\end{eqnarray}
%




