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%  履歴  2004/08/14  杉山耕一朗: 作成開始
%        2004/09/03  小高正嗣, 北守太一
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\section{境界条件}

ここでは離散化した変数に対する境界条件の与え方をまとめる. 考慮する境界条
件は, 周期境界条件, 境界ですべりなし条件と応力なし条件である. 

\subsection{周期境界条件の与え方}

例として, $x$ 方向フラックス格子点に配置された変数 $u_{i(u),k}$ を考える. 
計算領域内の $x$ 方向の添字を $1(u)\sim im(u)$ とし, 糊代部分の格子点数
を $2$ とする(\Dfigref{num}参照).  このとき周期境界条件は以下のように与
えられる.
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\begin{eqnarray}
 &&u_{0(u), k} = u_{im(u), k} \\
 &&u_{-1(u), k} = u_{im-1(u), k} \\
 &&u_{im+1(u), k} = u_{1(u), k} \\
 &&u_{im+2(u), k} = u_{2(u), k}
\end{eqnarray}
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ただし $k$ は任意の整数であり, その範囲は $-1 \leq k \leq km + 2$ である. 

$z$ 方向フラックス格子点に配置された変数, スカラー格子点に配置された変数
に対しても同様に与えることができる. 


\subsection{すべりなし条件の与え方}

境界で速度を 0 とする. この場合, 境界をはさんで変数の値が反対称になるよ
うに与える. 

例として $x$ 方向に境界を与えた場合を考える. $x$ 方向フラックス格子点に
配置された変数に対しては.
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\begin{eqnarray}
 &&u_{0(u),k} = u_{im(u),k} = 0 \\
 &&u_{-1(u),k} = - u_{1(u),k} \\ 
 &&u_{im+1(u),k} = - u_{im-1(u),k} \\ 
 &&u_{im+2(u),k} = - u_{im-2(u),k}
\end{eqnarray}
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とする. 境界上に配置されていない変数に対しては, 
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\begin{eqnarray}
 &&\pi_{0,k} = - \pi_{1,k}  \\
 &&\pi_{-1,k} = - \pi_{1,k} \\ 
 &&\pi_{im+1,k} = - \pi_{im,k} \\ 
 &&\pi_{im+2,k} = - \pi_{im-1,k}
\end{eqnarray}
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とする. 


\subsection{応力なし条件の与え方}

境界上で法線方向速度を 0, 接線方向速度の法線方向微分を 0 とする. この場
合, 境界上で配置された速度成分は境界をはさんで変数の値が反対称になるよう
に与え, 境界上に配置されていない変数に対しては壁をはさんで変数の値が対称
になるように与える.

例として $x$ 方向に境界を与えた場合を考える. $x$ 方向フラックス格子点に
配置された変数に対しては.
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\begin{eqnarray}
 &&u_{0(u),k} = u_{im(u),k} = 0 \\
 &&u_{-1(u),k} = - u_{1(u),k} \\ 
 &&u_{im+1(u),k} = - u_{im-1(u),k} \\ 
 &&u_{im+2(u),k} = - u_{im-2(u),k}
\end{eqnarray}
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とする. 境界上に配置されていない変数に対しては, 
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\begin{eqnarray}
 &&\pi_{0,k} =  \pi_{1,k}  \\
 &&\pi_{-1,k} =  \pi_{1,k} \\ 
 &&\pi_{im+1,k} =  \pi_{im,k} \\ 
 &&\pi_{im+2,k} =  \pi_{im-1,k}
\end{eqnarray}
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とする. 
