\section{実際の惑星大気を想定した静的安定度の計算}


実際の惑星大気の静的安定度の見積もりを考える. 必要な情報は, 
%
\begin{itemize}
 \item 周囲の大気の温度 $T(z)$
 \item 気塊の温度 $T^{*}(z)$
 \item 周囲の大気の分子量 $M(z)$
 \item 気塊の分子量 $M^{*}(z)$
\end{itemize}
%
である. これら 4 つの変数をどのように与えるかは, 惑星大気をどのようにモ
デル化するかに依存する. 地球大気の平均的な温度・分子量の決まりかたの模式
図を\Dfigref{地球の模式図} を示す. 地球大気の場合, 平均的な温度は上昇流
域(雲の中)の湿潤断熱減率で決まり, 平均的な分子量はほぼ乾燥成分の分子量 
とみなすことができる. 惑星大気一般に地球の経験を適用できるという保証はな
いが, 活発な湿潤対流が生じているならば, 地球と同様に平均的な大気構造が決
まっている可能性がある.


そこで大気は乾燥成分(分子量 $M_{d}$)と可凝縮成分(分子量 $M_{v}$)から成る
ものとし, 上記の 4 つの物理量を以下のように仮定する.
%
\begin{itemize}
 \item 周囲の大気の温度 $T(z)$ \\
       $\rightarrow$ 雲対流で実現される鉛直温度構造. 
       温度勾配は湿潤擬断熱温度減率 $\Gamma_{m}$ と同じになる. 
       $dT/dz = \Gamma_{m}$
%
 \item 気塊の温度 $T^{*}(z)$ \\
       $\rightarrow$ 
       気塊の組成により決まる断熱的な鉛直温度構造.  
%
 \item 周囲の大気の分子量 $M(z)$ \\
       $\rightarrow$ 
       湿度 $r$ の大気の分子量. 
       雲対流で実現される湿潤擬断熱的な可凝縮成分のモル比 $X(z)$ 
       を用いて, 周囲の大気の可凝縮成分のモル比を $rX(z)$ とする. 
       分子量は $M(z) = (1 - rX) M_{d} + rX M_{v}$ となる. 
%
 \item 気塊の分子量 $M^{*}(z)$ \\
       $\rightarrow$ 
       $M^{*} = M_{d}$ の場合と, $M^{*} = M$ の場合
       の 2 通りを考える. 地球のように可凝縮成分が少ない大気に
       おいて, 周囲の大気の分子量が変化する効果を考慮する場合に 
       $M^{*} = M$ とする場合があるからである. 
%
\end{itemize}
%

周囲の大気の分子量を $M(z) = (1 - rX) M_{d} + rX M_{v}$ とすると, 静的安
定度の式 \Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度} は以下のように
書ける. ただし湿度は $0 < r < 1$ である.
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} - \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  \frac{g}{M} \DD{}{z}
  \left\{
     (1 - rX) M_{d} + rX M_{v}
  \right\},
  \nonumber \\
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} - \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  g \left(
    \frac{r (M_{v} - M_{d})}{M} \DD{X}{z}
  \right).
\Deqlab{モル比を用いた静的安定度} 
\end{eqnarray}
%
以下の節では, 気塊の分子量を, (1)周囲の分子量と同じ場合, (2)乾燥成分の分
子量と同じ場合, の 2 通りに与えた場合の静的安定度を定式化する. 


\begin{figure}[h]
 \begin{center}
  \Depsf[140mm]{./ps/cloud.eps}
 \end{center}
\caption{地球大気での平均的な温度・分子量の決まりかたの模式図.  地球大気
 の対流構造は, 狭い上昇流域と広い下降流域, によって特徴づけられる. 平均
 的な温度は雲の中の湿潤断熱減率で決まり, 平均的な分子量は下降域の乾燥成
 分のみの分子量で決まる. } 
\Dfiglab{地球の模式図}
\end{figure}





\subsection{気塊の分子量と気塊の周囲の分子量が同じ場合}


\Deqref{モル比を用いた静的安定度} 式に 
$M^{*} = M$ を代入すると, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \Gamma_{m} - \DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  g \left(
    \frac{r (M_{v} - M_{d})}{M} \DD{X}{z}
  \right)
\Deqlab{M*=M での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
と書ける. ただし $M = (1 - rX)M_{d} + rX M_{v}$ である. 


\subsubsection{湿度 0 \% の場合}

湿度 0 \% の場合には, 気塊の断熱温度減率は大気の乾燥成分の
乾燥断熱減率に等しくなるので, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{T^{*}}{z} = - \frac{ M_{d} g}{{c_{p}}_{d}}
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
となる. ただし ${c_{p}}_{d}$ は乾燥成分の比熱(単位は J/ K mol)である. そ
れを用いると,
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \Gamma_{m} + \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}}
  \right)
\Deqlab{M*=M,r=0での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
と書ける. すなわち静的安定度は湿潤断熱減率と乾燥断熱減率との差から見積も
ることができる. 


\subsubsection{湿度 100 \% の場合}

湿度 100 \% の場合を考える. この場合, (a)気塊内の凝縮を許す場合, 
(b)気塊の過飽和を許す場合, の 2 通りで議論が分かれる. 


(a)気塊内の凝縮を許す場合, 気塊の断熱減率は湿潤断熱減率に等しくなるので, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{T^{*}}{z} = \Gamma_{m}
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
となる. それを用いると, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  - 
  \frac{ g (M_{v} - M_{d})}{(1 - X)M_{d} + X M_{v}} \DD{X}{z}
\Deqlab{M*=M,r=100,湿潤,での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
と書ける. すなわち静的安定度は分子量勾配によって決まる. 

(b)気塊内の過飽和を許す場合, 気塊の断熱減率は湿度 100 \% の場合にも関わらず
乾燥断熱減率に等しくなるので, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{T^{*}}{z} = - \frac{M g}{c_{p}}
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
となる. ただし $c_{p}$ は可凝縮成分のモル比を $X$ とした場合の比熱で
ある. それを用いると, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 =
  \frac{g}{T}
  \left(
   \Gamma_{m} 
   + \left\{ (1 - X)M_{d} + X M_{v} \right\}\frac{g}{c_{p}}
  \right)
  - 
  \frac{ g (M_{v} - M_{d})}{(1 - X)M_{d} + X M_{v}} \DD{X}{z}
\Deqlab{M*=M,r=100,過冷却,での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
と書ける. 

\Deqref{M*=M,r=100,湿潤,での静的安定度}, \Deqref{M*=M,r=100,過冷却,での
静的安定度} 式を比較すると, 当然ながら過冷却を認める 
\Deqref{M*=M,r=100,過冷却,での静的安定度} 式の方が静的安定度は大きくなる.
 




\subsection{気塊の分子量を大気の乾燥成分の分子量とする場合}

気塊の分子量を大気の乾燥成分の分子量とみなすと, 分子量は, 
%
\begin{eqnarray}
 M^{*} = M_{d}
\end{eqnarray}
%
となり, 気塊の断熱温度減率は, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{T^{*}}{z} = - \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} 
\end{eqnarray}
%
となる. ただし ${c_{p}}_{d}$ は大気の乾燥成分の比熱である. 
以上を用いて \Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度} 式を書き下すと,
%
\begin{eqnarray}
N^{2} = 
 \frac{g}{T}
  \left(
   \Gamma_{m} + \frac{M g}{{c_{p}}_{d}} 
  \right)
  - 
  g 
  \left(
    \Dinv{M} \DD{M}{z}  
  \right)
  \Deqlab{地球の静的安定度(1)}
\end{eqnarray}
%
となり, 仮温度を用いて表現すると, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2} = 
 \frac{g}{T_{v}}
  \left(
   \DD{T_{v}}{z} + \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} 
  \right)
  \Deqlab{地球の静的安定度(仮温度)}
\end{eqnarray}
%
となり, モル比を用いて表現すると, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \Gamma_{m} + \frac{M g}{{c_{p}}_{d}}
  \right)
  - 
  g \left(
    \frac{r (M_{v} - M_{d})}{M} \DD{X}{z}
  \right)
\Deqlab{M*=Md での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
である. ただし $M = (1 - rX)M_{d} + rX M_{v}$ である. 




\subsubsection{湿度 0 \% の場合}

湿度 0 \% の場合には, 周囲の分子量は乾燥成分の分子量に等しくなるので, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \Gamma_{m} + \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}}
  \right)
\Deqlab{M*=Md,r=0での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
と書ける. すなわち静的安定度は湿潤断熱減率と乾燥断熱減率との差から見積も
ることができる. この式は気塊の分子量と周囲の分子量と同じにみなした場合の 
\Deqref{M*=M,r=0での静的安定度} 式と同じである. 


\subsubsection{湿度 100 \% の場合}

湿度 100 \% の場合には, $M = (1 - X)M_{d} + X M_{v}$ である. 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 =
  \frac{g}{T}
  \left(
   \Gamma_{m} + \left\{ (1 - X)M_{d} + X M_{v} \right\} \frac{g}{{c_{p}}_{d}}
  \right)
  - 
    \frac{g (M_{v} - M_{d})}{(1 - X)M_{d} + X M_{v}} \DD{X}{z}
\Deqlab{M*=Md,r=100 での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
である. \Deqref{M*=M,r=100,過冷却,での静的安定度} 式と比較すると, 気塊の
比熱の与え方の分だけ異なっている. この式を仮温度で表現すれば, \Deqref{地
球の静的安定度(仮温度)} 式と同じになる. 木星のように「乾燥成分の比熱 $>$ 
可凝縮成分の分子量」ならば, 静的安定度の最大値は \Deqref{M*=M,r=100,過冷
却,での静的安定度} 式で与えられる. しかし地球のように「乾燥成分の分子量 
$>$ 可凝縮成分の分子量」ならば, 静的安定度の最大値は \Deqref{M*=Md,r=100 
での静的安定度} 式で与えられる.