\section{静的安定度の計算}

空気塊を断熱的に上昇させる過程を考える. 空気塊の密度と周囲の空気の密度差
によって浮力が生じ, その浮力を復元力とする振動の振動数を浮力振動数 $N$
と呼ぶ. 浮力振動数の 2 乗を静的安定度  $N^{2}$ と呼ぶ. 

本節では静的安定度の定式化と, 実際の惑星大気における見積もり方法を述べる. 


\subsection{静的安定度 $N^{2}$ の定式化}

空気塊が上昇することによって, 本来は気塊の周囲の大気の圧力と密度も影響を
受けるはずである. しかしその影響を小さいとして無視する方法をパーセル法と
いう. 本節ではパーセル法による静的安定度の定式化を述べる.

空気塊の密度を $\rho^{*}$, 気塊の周囲の大気の密度を $\rho$ とする. その
密度差は,
%
\begin{eqnarray}
      d \rho = \rho^{*} - \rho   
\end{eqnarray}
%
と書ける. この時運動方程式は,
%
\begin{eqnarray}
 \DD[2]{}{t} \delta z
  &=& \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}
    \nonumber \\
  &=& \frac{R^{*} T^{*} - RT }{R T}
   \nonumber \\
  &=& \frac{(T_{v}^{*} - T_{v}) g}{T_{v}}
   \Deqlab{stab-1}
\end{eqnarray}
%
となる. ただし $T_{v} = T M_{d}/M$ は気塊の周囲の大気の仮温度,
$T_{v}^{*} = T M_{d}/M^{*}$ は気塊の仮温度, $M$ は気塊の周囲の大気の分子
量, $M^{*}$ は気塊の分子量である. $R, R^{*}$ はそれぞれ周囲の大気と気塊
の気体定数である. 式変形の際には $\rho = p / R T$ を用いた. ここで微小区
間 dz の間で温度勾配が一定値をとるとすると,
%
\begin{eqnarray}
 T_{v}^{*} - T_{v} 
  &=& \left( T + \DD{T_{v}^{*}}{z} \delta z \right) 
      - \left( T + \DD{T_{v}}{z} \delta z \right) \nonumber \\
  &=& \left( \DD{T_{v}^{*}}{z} - \DD{T_{v}}{z} \right) \delta z
\end{eqnarray}  
%
である. ここで $\Gamma^{*}$ は気塊の温度減率, $\Gamma$ は気塊の周囲の大気の
温度減率である. したがって, 
%
\begin{eqnarray}
      \DD[2]{}{t} \delta z
       = \frac{g}{T_{v}} 
         \left(\ \DD{T_{v}^{*}}{z} - \DD{T_{v}}{z} \right) \delta z 
\end{eqnarray}  
%
となり, $\delta z = sin(Nt)$ を代入することで静的安定度は, 
%
\begin{eqnarray}
 N^2 \equiv \frac{g}{T_{v}} \left( \DD{T_{v}}{z} - \DD{T_{v}^{*}}{z} \right) 
  \Deqlab{静的安定度の定義}
\end{eqnarray}
%
と定義される. 

さらに仮温度減率の式を変形すると, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{T_{v}}{z} 
  &=& \DD{}{z}\left( \frac{M_{d}}{M} T \right)
  \nonumber \\
 &=& \frac{M_{d}}{M} \DD{T}{z} - \frac{M_{d} T}{M^{2}} \DD{M}{z}. 
  \Deqlab{vdtdz}
\end{eqnarray} 
%
となるので, 
$\Deqref{vdtdz}$ を用いて \Deqref{静的安定度の定義} 式を書き換えると, 
%
\begin{eqnarray}
 N^2 
 &\equiv&
  \frac{g}{T_{v}} \left( \DD{T_{v}}{z} - \DD{T_{v}^{*}}{z} \right) 
  \nonumber \\
 &=&
  \frac{g}{T} \frac{M}{M_{d}} 
  \left\{
    \left(
       \frac{M_{d}}{M} \DD{T}{z} 
       - \frac{M_{d} T}{M^{2}} \DD{M}{z}
    \right)
    - 
    \left(
       \frac{M_{d}}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
     - \frac{M_{d} T^{*}}{{M^{*}}^{2}}   \DD{M^{*}}{z} 
    \right)
  \right\}
  \nonumber \\
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} - \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  g 
  \left(
    \Dinv{M} \DD{M}{z}  
  \right)
  \Deqlab{温度と組成を使って書き下した静的安定度}
\end{eqnarray}
%
である. 気塊の中で凝縮が生じたとしても凝縮物は気塊から分離しないので,
$dM^{*}/dz = 0$ とみなした. 本来, 高度 $z$ において気塊と周囲の大気の分
子量は $M^{*} = M$ となるべきだが, 教科書によっては大気中の可凝縮成分が
少ないと仮定し, 周囲の大気の湿度を 100 \%, 気塊の湿度を 0 \% とすること
がある. そのため \Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度}式では,
$M^{*} \neq M$ としている.



%
\begin{screen}
%
静的安定度は以下のように定義される. 
%
\begin{description}
%
\item[仮温度を用いた表現] 
%
\begin{eqnarray}
 N^2 = \frac{g}{T_{v}} \left( \DD{T_{v}}{z} - \DD{T_{v}^{*}}{z} \right) 
\nonumber
\end{eqnarray}

\item[温度を用いた表現]
%
\begin{eqnarray}
N^{2} =
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} - \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  g 
  \left(
    \Dinv{M} \DD{M}{z}  
  \right)
\nonumber
\end{eqnarray} 
%
\end{description}
%
\end{screen}



\begin{figure}[h]
 \begin{center}
  \Depsf[80mm]{./ps/parcel.eps}
 \end{center}
\caption{パーセル法による静的安定度の見積もりの概要. 
 気塊の周囲の大気の温度 $T$ と 分子量 $M$, 
 気塊の温度 $T^{*}$ と分子量 $M^{*}$ とする. 
 気塊を上昇・下降させた際, 気塊の温度は変化するが
 気塊から凝縮物が離脱しないとすると, 
 $p+dp$ での気塊の分子量は $M^{*}$ のまま維持される. 
  }
\end{figure}



