% 表題: 近似の成立する条件
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% 履歴: 2004/11/19 杉山耕一朗


\section{近似の成立する条件}
\label{appendix-a}

凝縮物の少ないとする条件 \Deqref{approx_low} 式と
凝縮物の多いとする条件 \Deqref{approx_high} 式が成立する
条件を検討する. 木星型惑星で凝縮しうる化合物の代表的な数値を
\Dtabref{tab:lambda} の通りに与えることとする. 但し気体定数 $R = 8.31$
J/K mol, 平均比熱 $\bar{c_{p}} = 27$ J/K mol とする. 

\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{l|ccc} \hline
物理量    &   
   水    &   
   アンモニア     &   
   メタン    \\ \hline
 
潜熱 [J/mol] &
    $40.66 \times 10^{3}$  & 
    $23.35 \times 10^{3}$  &
    $8.180 \times 10^{3}$  \\
温度 [K] &
    $373.15$ &
    $195.40$ &
    $90.68$ \\ 
平均比熱 [J/K mol] & \multicolumn{3}{c}{27}  \\ 
気体定数 [J/K mol] & \multicolumn{3}{c}{8.31}  \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center}

\caption{ 木星条件での化合物の代表的な数値. 
水, アンモニア, メタンの潜熱(蒸発エンタルピー)と凝縮温度は化学
便覧の第 9.4 節「転移のエンタルピー」より抜粋.  
平均比熱はほぼ水素の比熱に等しいものとみなしている.}

\Dtablab{tab:lambda}
\end{table}

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\subsection{水の凝縮}


凝縮物の少ないとする近似 \Deqref{approx_low} 式に\Dtabref{tab:lambda} の
数値を代入すると,
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\begin{eqnarray}
 X_{k} 
 &\ll& \frac{ 27 \times 8.31 \times ( 373.15 )^{2}}
        { (40.66 \times 10^3)^2 }
\nonumber \\
 &\ll&  2.0 \times 10^{-2}
\nonumber
\end{eqnarray}
%
である. 1 $\times$ solar の場合にはモル比はおおよそ $1.5 \times 10^{-3}$ 
となるので, 上記の数値に比べて 1 桁小さいだけである. 近似が正確に成り立
つとは言い難い. 10 $\times$ solar の場合には, 上記の近似は成立しなくなる.


凝縮物の多いとする近似 \Deqref{approx_high} 式に\Dtabref{tab:lambda} の
数値を代入すると, 
%
\begin{eqnarray}
 X_{k} 
 &\gg& \frac{ 8.31 \times  373.15 }{ 40.66 \times 10^3 }
\nonumber \\
 &\gg&  8.0 \times 10^{-2}
\nonumber
\end{eqnarray}
%
である. 50 $\times$ solar の場合にはモル比はおおよそ $7.5 \times 10^{-2}$ 
となるので, この近似に近付く. 



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\subsection{アンモニアの凝縮}


凝縮物の少ないとする近似 \Deqref{approx_low} 式に\Dtabref{tab:lambda} の
数値を代入すると,
%
\begin{eqnarray}
 X_{k} 
 &\ll& \frac{ 27 \times 8.31 \times ( 195.4 )^{2}}
        { ( 23.35 \times 10^3)^2 }
\nonumber \\
 &\ll&  1.5 \times 10^{-2}
\nonumber
\end{eqnarray}
%
である. 1 $\times$ solar の場合にはモル比はおおよそ $1.5 \times 10^{-3}$ 
となるので, 上記の数値に比べて 1 桁小さいだけである. 近似が正確に成り立
つとは言い難い. 10 $\times$ solar の場合には, 上記の近似は成立しなくなる.


凝縮物の多いとする近似 \Deqref{approx_high} 式に\Dtabref{tab:lambda} の
数値を代入すると, 
%
\begin{eqnarray}
 X_{k} 
 &\gg& \frac{ 8.31 \times  195.4 }{ 23.35 \times 10^3 }
\nonumber \\
 &\gg&  7.0 \times 10^{-2}
\nonumber
\end{eqnarray}
%
である. 50 $\times$ solar の場合にはモル比はおおよそ $7.5 \times 10^{-2}$ 
となるので, この近似に近付く. 



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\subsection{メタンの凝縮}


凝縮物の少ないとする近似 \Deqref{approx_low} 式に\Dtabref{tab:lambda} の
数値を代入すると,
%
\begin{eqnarray}
 X_{k} 
 &\ll& \frac{ 27 \times 8.31 \times ( 90.68 )^{2}}
        { (8.18 \times 10^3)^2 }
\nonumber \\
 &\ll&  3.0 \times 10^{-2}
\nonumber
\end{eqnarray}
%
である. 1 $\times$ solar の場合にはモル比はおおよそ $1.5 \times 10^{-3}$ 
となるので, 上記の数値に比べて 1 桁小さいだけである. 近似が正確に成り立
つとは言い難い. 10 $\times$ solar の場合には, 上記の近似は成立しなくなる.


凝縮物の多いとする近似 \Deqref{approx_high} 式に\Dtabref{tab:lambda} の
数値を代入すると, 
%
\begin{eqnarray}
 X_{k} 
 &\gg& \frac{ 8.31 \times  90.68 }{ 8.18 \times 10^3 }
\nonumber \\
 &\gg&  9.0 \times 10^{-2}
\nonumber
\end{eqnarray}
%
である. 50 $\times$ solar の場合にはモル比はおおよそ $7.5 \times 10^{-2}$ 
となるので, この近似に近付く. 



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