% 表題: 断熱温度減率の計算
%
% 履歴: 2004-11-19 杉山耕一朗


\section{静的安定度の近似系}

本節では, 静的安定度と凝縮成分気体のモル比との関係を調べるために, 
簡単な系を設定し, その時の断熱温度減率と静的安定度を議論する. 


\subsection{系の設定}

簡単のために, 大気は乾燥成分と凝縮成分の 2 成分から成るものとする. 
乾燥成分と凝縮成分の分子量をそれぞれ $M_{d}$ と $M_{v}$,  
乾燥成分と凝縮成分の比熱をそれぞれ ${c_{p}}_{d}$ と ${c_{p}}_{v}$,  
凝縮成分のモル比を $X$ とする. その時, 系全体の分子量と比熱は以下のよう
に書ける. 
%
\begin{eqnarray}
 M = M_{d} (1 - X) + M_{v} X
  \Deqlab{MolWtMean}
\\
 c_{p} = {c_{p}}_{d} (1 - X) + {c_{p}}_{v} X
  \Deqlab{CpMean}
\end{eqnarray}



\subsection{断熱温度減率}

Weidenschilling and Lewis (1973), Atreya and Romani (1985) に従って
湿潤断熱減率を定式化する. 熱力学の第 1 法則は, 
%
\begin{eqnarray}
dU = \delta Q + \delta W + \delta Z ,
\Deqlab{1}
\end{eqnarray}
である. 
%
ここで $dU$ は内部エネルギー，
 $\delta Q$ は系に加えられる熱量，
 $\delta W$ は系に加える仕事，
 $\delta Z$ は化学エネルギーである．
考えている系において気体は理想気体として取り扱うことができ，
その変化は断熱的にであるとすると，
 \Deqref{3} 式の各項は以下のように書ける．
%
\begin{eqnarray}
dU &=& c_{v} dT. 
 \Deqlab{2}\\
\delta Q &=& 0. 
 \Deqlab{3}\\
\delta W &=& - p dV, \nonumber \\
&=& - d(pV) + V dp,\nonumber \\
&=& - R dT + V dp, \nonumber \\
&=& - R dT + V \left( \frac{- M p g}{R T} \right) dz, 
\; (∵ 静水圧平衡の式)\nonumber \\
&=&  - R dT - M g  dz . 
 \Deqlab{4}\\
\delta Z &=& - \sum \lambda dX. 
 \Deqlab{5}
\end{eqnarray}
%
ここで $c_{v}$ は大気の定積モル比熱の平均値，
$T$ は温度, $p$ は圧力, 
$V$ は 気体分子の 1 モル当たりの体積，
$R$ は気体定数, $M$ は平均分子量, 
$g$ は重力加速度, 
 $\lambda$ は大気中の凝縮成分のモル当たりの
凝縮のエンタルピー，
 $dX$ は凝縮成分のモル比の変化である. 
%
\Deqref{1} 式に \Deqref{2} -- \Deqref{5} 式を代入することで, 
%
\begin{eqnarray}
&& c_{v}dT + R dT + M g dz   + \sum \lambda dX = 0 ,\nonumber \\
&& c_{p}dT + M g dz   + \sum \lambda dX = 0 ,
\Deqlab{dQ}
\end{eqnarray}
%
となる．但し $c_{p}$ は大気の定圧モル比熱の平均値で，
理想気体の場合 $c_{p} = c_{v} + R$ である．


\subsubsection{乾燥断熱温度減率}

\Deqref{dQ} 式の潜熱による項を無視することで乾燥断熱温度減率が
求まる．
%
\begin{eqnarray}
 && c_{p}dT + M g dz = 0, \nonumber \\
 &&\DD{T}{z} = - \frac{ M g }{c_{p}}.
\Deqlab{dtdz-dry}
\end{eqnarray}
%
また, 温度の圧力微分は以下のように書ける. 
%
\begin{eqnarray}
 &&\DD{T}{p} =  \frac{ R T }{ c_{p} p }.
\Deqlab{dtdp-dry}
\end{eqnarray}
%


\subsubsection{湿潤断熱温度減率}

$dX$ をモル分率と分圧の関数として表すと以下のようになる. 
%
\begin{eqnarray}
dX &=& \Dinv{p} de - \left( \frac{e}{p^{2}} \right) dp.
 \Deqlab{X}
\end{eqnarray}
%
ただし $e$ は凝縮成分の飽和蒸気圧である. この式にクラウジウス・クラペイ
ロンの式
%
\begin{eqnarray}
de = \frac{e \lambda dT}{R T^{2}}, 
 \Deqlab{CK}
\end{eqnarray}
%
を代入して変形すると, 
%
\begin{eqnarray}
dX &=& \Dinv{p} de - \frac{e}{p^{2}} dp, \nonumber \\
&=& \Dinv{p} \left( \frac{e \lambda dT}{R T^{2}} \right)
- \frac{e}{p^{2}} \left( - \frac{ M p g}{R T} dz \right) , \nonumber \\ 
&=& \frac{e}{p} \frac{\lambda}{ R_{v} T^{2}} dT
+  \frac{e}{p} \frac{M g}{ R T} dz , \nonumber \\ 
&=& \frac{ \lambda X }{ R T^{2}} dT
+  \frac{M g X}{ R T} dz .
\Deqlab{Xk}
\end{eqnarray}
%
となる. 

\Deqref{dQ} 式に \Deqref{Xk} 式を代入することで湿潤断熱温度減率が求まる．
%
\begin{eqnarray}
 &&c_{p} dT + M g dz + \sum \lambda dX = 0, \nonumber \\
 &&c_{p} dT + M g dz + 
  \sum \lambda 
  \left(\frac{\lambda X }{ R T^{2}} dT
    +  \frac{M g X}{ R T} dz \right)  = 0, \nonumber \\
&&c_{p} 
\left( 1+ \frac{\sum \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} \right) dT 
+ M g \left( 1 +  \frac{\sum \lambda X}{R T} \right) dz 
= 0, \nonumber \\
 &&\DD{T}{z} = - \frac{M g}{c_{p}} 
  \left(
 \frac{ 1 +  \frac{ \lambda X}{R T}}
{ 1 + \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} }
 \right). 
\Deqlab{dtdz}
\end{eqnarray}
%
但し和の規約を用いている. \Deqref{dtdz} を変形すると温度の圧力微分は, 
%
\begin{eqnarray}
 &&\DD{T}{p} =  \frac{R T}{c_{p} p} 
  \left(
 \frac{ 1 +  \frac{ \lambda X}{R T}}
{ 1 + \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} }
 \right). 
\Deqlab{dtdp}
\end{eqnarray}
%
と書ける. 



\subsection{湿潤断熱温度減率の近似系}

前節で求めた \Deqref{dtdz} 式に対して, 凝縮成分の多い近似と少ない近似を
施す. 

\subsubsection{凝縮成分が少ない近似}

\Deqref{dtdz} 式において十分に凝縮性成分の少ない場合, つまり
%
\begin{eqnarray}
\frac{ \lambda^{2} X }{ c_{p} R T^{2} } \ll 1 
  \Deqlab{approx_low}
\end{eqnarray}
%
の場合には, 
%
\begin{eqnarray}
\DD{T}{z} 
 &\approx& - \frac{M g}{c_{p}} 
  \left( 1 +  \frac{ \lambda X}{R T} \right)
  \left( 1 - \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R
   T^{2}} \right) ,
  \nonumber \\
 &\approx& - \frac{M g}{c_{p}} 
  \left\{  1 -  \frac{\lambda X}{c_{p} T} 
   \left( \frac{ \lambda}{ R T} 
    - \frac{c_{p}}{R} \right) \right\}. 
\Deqlab{dtdz_low}
\end{eqnarray}
%
と近似できる.  水の凝縮の場合の代表的な値を代入すると$ \lambda /
c_{p} T > 1$ である. そのため$ \lambda^{2} X/ c_{p}
R T^{2} \ll 1 $ ならば必ず $\lambda X / R T \ll 1$ である.
\Deqref{dtdz_low} 式の導出において, これら 2 次の微小量の積は十分に小さ
いものとみなし無視した. さらに \Deqref{approx_low} に水の凝縮の場合の代
表的な値を代入すると, 
%
\begin{eqnarray}
 X \ll 2 \times 10^{-2}
\Deqlab{cond-1}
\end{eqnarray}
%
となる(詳細は \ref{appendix-a} 章参照). \Deqref{cond-1} 式を用いると, 
\Deqref{MolWtMean} および \Deqref{CpMean} 式は以下のように書き換えられる. 
%
\begin{eqnarray}
 M \approx M_{d} 
\Deqlab{approx_low_MolWt} \\
%
 c_{p} \approx {c_{p}}_{d} 
\Deqlab{approx_low_Cp}
\Deqlab{cond-1}
\end{eqnarray}
%
木星型惑星大気では, 乾燥成分である水素と凝縮成分である酸素の
モル当たりの比熱はほとんど等しく, 
また乾燥成分である水素と凝縮成分である酸素の分子量はおおよそ 10 倍異なる. 
凝縮成分のモル比は $X \ll 10^{-2}$ なので, 
乾燥成分の分子量に対して凝縮成分の分子量は無視しうる程小さい. 
\Deqref{approx_low_MolWt} と \Deqref{approx_low_Cp} 式を用いると, 
\Deqref{dtdz_low} 式は以下のように書き換えられる. 
%
\begin{eqnarray}
\DD{T}{z} 
 &\approx& - \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} 
  \left\{  1 -  \frac{\lambda X}{c_{p} T} 
   \left( \frac{ \lambda}{ R T} 
    - \frac{{c_{p}}_{d}}{R} \right) \right\}. 
\Deqlab{dtdz_low}
\end{eqnarray}


\subsubsection{凝縮成分が多い近似}


\Deqref{dtdz} において十分に凝縮性成分の多い場合, すなわち 
%
\begin{eqnarray}
 \frac{\lambda X }{R T }\gg 1 
\Deqlab{approx_high}
\end{eqnarray}
%
の場合には, 
%
\begin{eqnarray}
\DD{T}{z} 
 &\approx& - \frac{M g}{c_{p}} 
  \frac{\frac{ \lambda X}{R T}}
  {\frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R
   T^{2}} } ,
  \nonumber \\
 &\approx& 
  -
  \frac{M g}{c_{p}}\frac{c_{p} T}{\lambda}
\Deqlab{dtdz_high}
\end{eqnarray}
%
と近似できる. 水の凝縮の場合の代表的な値を代入すると$ \lambda /
c_{p} T > 1$ である. そのため $\lambda X / R T \gg 1$ 
ならば必ず $\lambda^{2} X/ c_{p}
R T^{2} \gg 1 $ である. 
%
さらに \Deqref{approx_high} に水の凝縮の場合の代
表的な値を代入すると, 
%
\begin{eqnarray}
 X \gg 1 \times 10^{-1}
\Deqlab{cond-2}
\end{eqnarray}
%
となる(詳細は \ref{appendix-a} 章参照). \Deqref{cond-2} 式を用いると, 
\Deqref{MolWtMean} および \Deqref{CpMean} 式は以下のように書き換えられる. 
%
\begin{eqnarray}
 M \approx M_{v} 
\Deqlab{approx_high_MolWt} \\
%
 c_{p} \approx {c_{p}}_{v} 
\Deqlab{approx_high_Cp}
\Deqlab{cond-1}
\end{eqnarray}
%
凝縮成分のモル比は $X \gg 10^{-1}$ なので, 大気の分子量と比熱はそれぞれ
凝縮成分の値で代表させることが可能である. 
\Deqref{approx_high_MolWt} と \Deqref{approx_high_Cp} 式を用いると, 
\Deqref{dtdz_high} 式は以下のように書き換えられる. 
%
\begin{eqnarray}
\DD{T}{z} 
 &\approx& 
  - \frac{M_{v} g}{{c_{p}}_{v}}\frac{{c_{p}}_{v} T}{\lambda}
\Deqlab{dtdz_high}
\end{eqnarray}



\subsection{静的安定度}

静的安定度の式 \Deqref{M*=M,dry での静的安定度} 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 =
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z}
   + \frac{M g}{c_{p}}
  \right)
  - 
  \frac{ g (M_{v} - M_{d})}{M} \DD{X}{z}
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
にクラウジウス・クラペイロンの式を変形した式 \Deqref{Xk} 
%
\begin{eqnarray}
\DD{X}{z} 
= \frac{ \lambda X }{ R T^{2}} \DD{T}{z} +  \frac{M g X}{ R T}
\nonumber
\end{eqnarray}
%
を代入すると, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z}
   + \frac{M g}{c_{p}}
  \right)
  - 
  \frac{ g (M_{v} - M_{d})}{M} 
  \left( \frac{ \lambda X }{ R T^{2}} \DD{T}{z} +  \frac{M g X}{ R T} \right)
\nonumber \\
 &=&
  \frac{g}{T} 
  \left[
   \frac{M g}{c_{p}}  + 
   \DD{T}{z} \left\{
	      1 -  \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M}  \frac{ \lambda X }{ R T}
   \right\}
  \right]
  - 
  \frac{g}{T} \frac{  (M_{v} - M_{d})}{M} \frac{M g X}{ R }
\Deqlab{stab2}
\end{eqnarray}
%



\subsubsection{凝縮成分の少ない近似}

\Deqref{stab2} 式に \Deqref{approx_low_MolWt} -- \Deqref{dtdz_low} 式を
代入する. 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T} 
  \left[
   \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}}  
  - \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} 
  \left\{  1 -  \frac{\lambda X}{{c_{p}}_{d} T} 
   \left( \frac{ \lambda}{ R T} 
    - \frac{{c_{p}}_{d}}{R} \right) \right\}
 \left\{
	      1 -  \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}}  \frac{ \lambda X }{ R T}
   \right\}
  \right] \nonumber \\ 
  && - 
  \frac{g}{T} \frac{  (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \frac{M_{d} g X}{ R }
\nonumber \\
 &=&
   \frac{M_{d} g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} 
  \left\{  
   \frac{\lambda X}{{c_{p}}_{d} T} 
   \left( \frac{ \lambda}{ R T} 
    - \frac{{c_{p}}_{d}}{R} \right)
   + 
	  \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}}  \frac{ \lambda X }{ R T}
    - 
        \frac{\lambda X}{{c_{p}}_{d} T} 
             \left( \frac{ \lambda}{ R T} 
                   - \frac{{c_{p}}_{d}}{R} \right)
	  \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}}  \frac{ \lambda X }{ R T}
   \right\}
  \nonumber \\
 && - 
   \frac{M_{d} g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} 
   \frac{  (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \frac{ {c_{p}}_{d} X}{ R }
\nonumber \\
 &=&
   \frac{M_{d} g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} 
   \left( 
       \frac{ \lambda}{ R T} 
     - \frac{{c_{p}}_{d}}{R} \right)
   \left\{
       \frac{\lambda}{{c_{p}}_{d} T} 
     + \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}}
     \left( 1 - \frac{\lambda^{2} X}{{c_{p}}_{d} R T^{2}} \right)
   \right\} X
\nonumber
\end{eqnarray}
%
ここで \Deqref{cond-1} 式の凝縮成分の少ない条件, すなわち $\frac{\lambda^{2}
X}{{c_{p}}_{d} R T^{2}}  \ll 1$ より, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2} &=&
   \frac{M_{d} g^{2}}{{c_{p}}_{d} T} 
   \left( 
       \frac{ \lambda}{ R T} 
     - \frac{{c_{p}}_{d}}{R} \right)
   \left(
       \frac{\lambda}{{c_{p}}_{d} T} 
     + \frac{ (M_{v} - M_{d})}{M_{d}}
   \right) X
\end{eqnarray}
%
が求まる. 


\subsubsection{凝縮成分の多い近似}

\Deqref{stab2} 式に \Deqref{approx_high_MolWt} -- \Deqref{dtdz_high} 式を
代入すると, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T} 
  \left[
   \frac{M_{v} g}{{c_{p}}_{v}}  
  - \frac{M_{v} g}{{c_{p}}_{v}} \frac{{c_{p}}_{v} T}{\lambda} 
 \left\{
	      1 -  \frac{ (M_{v} - M_{v})}{M_{v}}  \frac{ \lambda X }{ R T}
   \right\}
   - 
   \frac{  (M_{v} - M_{v})}{M_{v}} \frac{M_{v} g X}{ R }
  \right] 
\nonumber \\
 &=&
  \frac{g}{T} 
  \left[
   \frac{M_{v} g}{{c_{p}}_{v}}  
   \left( 1 - \frac{{c_{p}}_{v} T}{\lambda} \right)
  + \frac{M_{v} g}{{c_{p}}_{v}} \frac{{c_{p}}_{v} T}{\lambda}
	      \frac{ (M_{v} - M_{v})}{M_{v}}  \frac{ \lambda X }{ R T}
   - 
   \frac{  (M_{v} - M_{v})}{M_{v}} \frac{M_{v} g X}{ R }
  \right] 
\nonumber \\
 &=&
   \frac{M_{v} g^{2}}{{c_{p}}_{v} T}  
   \left( 1 - \frac{{c_{p}}_{v} T}{\lambda} \right)
\end{eqnarray}
%
が求まる. 
