\subsection{従来の論文との比較}

\subsubsection{Achterberg and Ingersoll (1989)}

Achterberg and Ingersoll (1989) は静的安定度, 仮温度, 湿潤擬断熱温度減率
を以下のように与えた
%
\footnote{
Achterberg and Ingersoll (1989) の式には誤植がある. 
}
%
.
%
\begin{eqnarray}
 N^{2} = 
  \frac{g}{T_{v}} 
  \left( 
     \DD{T_{v}}{z} + \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}
  \right), 
\Deqlab{AI89_3.1} \\
 T_{v} = 
  \frac{T }{1 + (\varepsilon - 1) e /p }, 
\Deqlab{AI89_3.2} \\
\DD{T}{z} = - \frac{g}{c_{p}^{\dagger}} 
\left( 
  \frac{ 1 + \frac{\lambda^{\dagger} q}{R^{\dagger} T}  }
       { 1 + \frac{{\lambda^{\dagger}}^{2} \varepsilon q}{R^{\dagger} c_{p}^{\dagger} T^{2}}  }
\right) 
\Deqlab{AI89_3.3} 
\end{eqnarray}
%
ただし添字 $\dagger$ の付いた量は単位質量当たりの量で, $R^{\dagger} = R/M$ は大気の単位質
量当たりの気体定数, $c_{p}^{\dagger} = c_{p}/M$ は大気の単位質量当たりの比熱,
${c_{p}^{\dagger}}_{d}=c_{p}/M_{d}$ は単位質量当たりの乾燥成分の比熱, 
$\lambda^{\dagger}=\lambda/M_{v}$ は単位
質量当たりの潜熱である.  $\varepsilon = M_{v}/M_{d}$ は可凝縮成分の分子
量と乾燥成分の分子量との比, $e$ は可凝縮成分の飽和蒸気圧, $q$ は可凝縮成
分の混合比である.


この式は, 
%
\begin{description}
 \item [(a)]気塊の分子量を乾燥成分の分子量とみなす.  
 \item [(b)]周囲の大気の分子量を湿度 100 \% の大気の分子量, 
       すなわち雲の中の大気の分子量と同じとみなす. 
 \item [(c)]可凝縮成分を少ないとする近似を適用する. 
\end{description}
%
という条件の下で導くことができる. 以下では, 前節で求めた静的安定度, 仮温
度, 湿潤断熱減率が, それぞれ \Deqref{AI89_3.1} -- \Deqref{AI89_3.3} 式で
表現できることを示す. 
%


初めに静的安定度の式 \Deqref{AI89_3.1} は, 上記の条件 (a), (b) の下で求
めた静的安定度の式 \Deqref{地球の静的安定度(仮温度)} 中の単位モル当たり
の量を単位質量当たりに変換することで求めることができる.
%
\begin{eqnarray}
N^{2} 
&=& 
 \frac{g}{T_{v}}
  \left(
   \DD{T_{v}}{z} + \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}} 
  \right)
\nonumber \\
&=& 
 \frac{g}{T_{v}}
  \left(
   \DD{T_{v}}{z} + \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} 
  \right)
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
次に仮温度の式 \Deqref{AI89_3.2} は, 仮温度の定義式を変形することで導かれる. 
%
\begin{eqnarray}
 T_{v} 
  &=& T \frac{M_{d}}{M} ,
  \nonumber \\  
 &=& T \frac{M_{d}}{M_d (1 - X) + M_{v} X} ,
  \nonumber \\  
 &=& T \frac{M_{d}}{M_d (p - e)/p + M_{v} e/p } ,
  \nonumber \\  
 &=& T \frac{M_{d} p}{M_d p +  (M_{v} - M_{d}) e } ,
  \nonumber \\  
 &=& T \frac{1}{1 +  (M_{v} - M_{d})/M_{d} e/p } ,
  \nonumber \\  
 &=& \frac{T}{1 +  (\varepsilon - 1) e/p }.
  \nonumber   
\end{eqnarray}
%
最後に湿潤断熱温度減率の式 \Deqref{AI89_3.3} を, 上記の条件 (c) の下で求
めた湿潤断熱温度減率 \Deqref{dtdz} に一致することを示す. 凝結成分が少な
い場合, 
%
\begin{eqnarray}
&& q 
 = \frac{M_{v} X}{M_{d} (1 - X) + M_{v} X}
 \approx \frac{M_{v}}{M_{d}} X. 
\Deqlab{可凝縮成分が少ない時の混合比とモル比の関係}
\\
&& M \approx M_{d}
\Deqlab{可凝縮成分が少ない時の分子量}
\end{eqnarray}
%
となるので, この関係を用いて \Deqref{dtdz} 式を変形し, また 
\Deqref{dtdz} 式中の単位モル当たりの量を単位質量当たりの量に変換すると,
\begin{eqnarray}
 \DD{T}{z} 
&=&
 - \frac{M g}{c_{p}} 
  \left(
 \frac{ 1 +  \frac{ \lambda X}{R T}}
{ 1 + \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} }
 \right), 
\nonumber \\
&=&
 - \frac{M g}{( M  c_{p}^{\dagger}  ) } 
  \left(
 { 1 +  \frac{ (M_{v} \lambda^{\dagger}) (q M_{d} / M_{v})}{(M_{d} R^{\dagger}) T}}  
  \right)
/
  \left(
{ 1 + \frac{ (M_{v} \lambda^{\dagger})^{2} (q M_{d} / M_{v})}
           { (M_{d} c_{p}^{\dagger}) (M_{d} R^{\dagger})  T^{2}} }
  \right), 
\nonumber \\
&=&
- \frac{g}{c_{p}^{\dagger}} 
\left( 
  \frac{ 1 + \frac{\lambda^{\dagger} q}{R^{\dagger} T} }
       { 1 + \frac{{\lambda^{\dagger}}^{2} \varepsilon q}{R^{\dagger}
	  c_{p}^{\dagger} T^{2}} }
 \right) . 
\nonumber 
\end{eqnarray}



\subsubsection{中島 (1998)}

中島 (1998) は湿潤断熱温度減率と静的安定度を以下のように与えた. 
ただし物理量を示す文字を変えてある. 
%
\begin{eqnarray}
\DD{T}{z} &=& 
 - \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} 
\left( 
  \frac{ 1 + \frac{\lambda^{\dagger} q}{R_{d}^{\dagger} T}  }
       { 1 + \frac{{\lambda^{\dagger}}^{2}  q}{R_{v}^{\dagger} {c_{p}^{\dagger}}_{d} T^{2}}  }
\right) 
\Deqlab{中島98_1} \\
 &=&
  - \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}
  \left\{ 1 -  \left( 
	\frac{\lambda^{\dagger}}{R^{\dagger}_{v} T} - \frac{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}{R_{d}^{\dagger}} 
  \right)
  \frac{\lambda^{\dagger} q^{\dagger}}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T}
  \right\}. 
\Deqlab{中島98_2} \\
%
 N^{2} &=& 
  \frac{g}{T} 
  \left( 
     \DD{T}{z} + \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}
  \right)
  + g \left(\frac{M_{d}}{M_{v}} - 1 \right) \DP{ (rq)}{z}, 
\Deqlab{中島98_3} \\
  &\approx&
  \frac{g^{2}}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T} 
  \left( 
     \frac{\lambda^{\dagger}}{R^{\dagger}_{v} T} - \frac{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}{R^{\dagger}_{d}}
  \right)
  \left\{
   \frac{\lambda^{\dagger}}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T} 
   + \left(1 - \frac{M_{d}}{M_{v}} \right)
  \right\} q
\Deqlab{中島98_4} 
\end{eqnarray}
%
ただし添字 $\dagger$ の付いた量は単位質量当たりの量で, $R_{d}^{\dagger} = R/M_{d}$ 
は乾燥成分の単位質量当たりの気体定数, $R_{v}^{\dagger} = R/M_{v}$ は可凝縮成分
の単位質量当たりの気体定数, ${c_{p}^{\dagger}}_{d}=c_{p}/M_{d}$ は単位質量当た
りの乾燥成分の比熱, $\lambda^{\dagger} = \lambda/M_{v}$ は単位質量当たりの潜熱
である.  $q$ は上昇流域での可凝縮成分の混合比であり, 気塊の周囲の大
気の混合比を湿度 $r$ を用いて $r q$ とした. 

この式は, 
%
\begin{description}
 \item [(a)]気塊の分子量を乾燥成分の分子量とみなす.  
 \item [(b)]周囲の大気の分子量を, 湿度 $r$ の大気の分子量とみなす. 
 \item [(c)]可凝縮成分を少ないとする近似を適用する. 
\end{description}
%
という条件の下で導くことができる. これは Achterberg and Ingersoll (1989) 
と比較すると, (b) の条件のみ異なる. 以下では, 前節で求めた湿潤断熱温度減
率と静的安定度が, それぞれ \Deqref{中島98_1}, \Deqref{中島98_3} 式で表
現されることを示す. また \Deqref{中島98_1} と \Deqref{中島98_3} 式を変形
することで \Deqref{中島98_2} と \Deqref{中島98_4} 式がそれぞれ導かれるこ
とを示す. 
%

\Deqref{中島98_1} 式は \Deqref{AI89_3.3} 式において, $M \approx M_{d},
R^{\dagger}_{v} = R^{\dagger} / \varepsilon$ とすることで直ちに求まる. さらに (c) の
条件が成立する場合には $ 1 \gg \frac{{\lambda^{\dagger}}^{2} q}{R_{v}^{\dagger}
{c_{p}^{\dagger}}_{d} T^{2}} $ となるので, \Deqref{中島98_2} 式は以下のように
導出される.
%
\begin{eqnarray}
\DD{T}{z}
 &=& 
 - \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} 
\left( 
  \frac{ 1 + \frac{\lambda^{\dagger} q}{R_{d}^{\dagger} T}  }
       { 1 + \frac{{\lambda^{\dagger}}^{2}  q}{R_{v}^{\dagger} {c_{p}^{\dagger}}_{d} T^{2}}  }
\right) ,
\nonumber \\
 &\approx& 
 - \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}} 
  \left( 1 + \frac{\lambda^{\dagger} q}{R_{d}^{\dagger} T}  \right)
  \left(
      1 - \frac{{\lambda^{\dagger}}^{2}  q}{R_{v}^{\dagger} {c_{p}^{\dagger}}_{d} T^{2}}
  \right),
\nonumber \\
 &=&
  - \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}
  \left\{ 1 -  \left( 
	\frac{\lambda^{\dagger}}{R^{\dagger}_{v} T} - \frac{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}{R_{d}^{\dagger}} 
  \right)
  \frac{\lambda^{\dagger} q^{\dagger}}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T}
  \right\}. 
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
ただし $q$ の 2 次の項は無視した. 
ちなみに木星の温度条件の場合, この近似が成立する条件はおおよそ $q
\ll 2.0 \times 10^{-2}$ である. 


静的安定度の式 \Deqref{中島98_3} は, 上記の条件 (a), (b) の下で導かれた
静的安定度の式 \Deqref{M*=Md での静的安定度} において, 単位モル当たりの
量を単位質量当たりの量に変換し, 条件 (c) でのモル比と混合比の関係式 
\Deqref{可凝縮成分が少ない時の混合比とモル比の関係} および分子量の関係
\Deqref{可凝縮成分が少ない時の分子量} を用いることで求まる. 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \Gamma_{m} + \frac{M g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} M}
  \right)
  - 
  g \left(
    \frac{r (M_{v} - M_{d})}{M} \DD{X}{z}
  \right)
\nonumber \\
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \Gamma_{m} + \frac{ g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}
  \right)
  - 
  g \left(
    \frac{r (M_{v} - M_{d})}{M_{d}} \frac{M_{d}}{M_{v}} \DD{q}{z} 
  \right)
\nonumber \\
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \Gamma_{m} + \frac{ g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}
  \right)
  + 
  g \left(
      \frac{M_{d}}{M_{v}} - 1
  \right) \DD{(r q)}{z} 
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
ただし $dT/dz = \Gamma_{m}$ とした. さらに \Deqref{中島98_3} 式の変形を
行う. \Deqref{Xk} 式を $dq/dz$ の式に書き換えると, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{ ( r q )}{z}
 &=& 
   \left(
      \frac{ \lambda^{\dagger} M_{v} }{ R^{\dagger}_{d} M_{d} T^{2}} \DD{T}{z}
      +  \frac{M g }{ R^{\dagger}_{d} M T}  
   \right) (r q) , 
\nonumber \\
 &=& 
   \left(
     -  \frac{ \lambda^{\dagger} }{ R^{\dagger}_{v} T^{2}} \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}
      +  \frac{g }{ R^{\dagger}_{d} T} 
   \right) (r q) , 
\nonumber \\
 &=& 
  \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T}
   \left(
      \frac{ {c_{p}^{\dagger}}_{d} }{ R^{\dagger}_{d} } 
     -  \frac{ \lambda^{\dagger} }{ R^{\dagger}_{v} T} 
   \right) (r q) .
\Deqlab{dqdz}
\end{eqnarray}
%
となる. ただし $q$ は小さいので, $dT/dz \approx - g /{c_{p}^{\dagger}}_{d}$
とした. \Deqref{dqdz} 式と \Deqref{中島98_2} 式を \Deqref{中島98_3} 式に
代入することで, \Deqref{中島98_4} 式が得られる. 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \Gamma_{m} + \frac{ g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}
  \right)
  + 
  g \left(
      \frac{M_{d}}{M_{v}} - 1
  \right) \DD{(r q)}{z} 
\nonumber \\
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left[
   \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}
  \left\{ \left( 
	\frac{\lambda^{\dagger}}{R^{\dagger}_{v} T} - \frac{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}{R_{d}^{\dagger}} 
  \right)
  \frac{\lambda^{\dagger} q^{\dagger}}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T}
  \right\} 
  \right]
  + 
  g \left(
      \frac{M_{d}}{M_{v}} - 1
  \right) 
\left\{
  \frac{g}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T}
   \left(
      \frac{ {c_{p}^{\dagger}}_{d} }{ R^{\dagger}_{d} } 
     -  \frac{ \lambda^{\dagger} }{ R^{\dagger}_{v} T} 
   \right) (r q)
\right\} ,
\nonumber \\
%
 &=&
  \frac{g^{2}}{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T}
   \left( 
	\frac{\lambda^{\dagger}}{R^{\dagger}_{v} T} - \frac{{c_{p}^{\dagger}}_{d}}{R_{d}^{\dagger}} 
  \right)  
  \left\{
  \frac{\lambda^{\dagger} }{{c_{p}^{\dagger}}_{d} T}
  + 
  r \left(
    1 -  \frac{M_{d}}{M_{v}} 
  \right) 
  \right\} q. 
\nonumber 
\end{eqnarray}