% 表題: 断熱温度減率の計算
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% 履歴: 2004-11-19 杉山耕一朗


\section{湿潤断熱減率の計算}


Weidenschilling and Lewis (1973), Atreya and Romani (1985) に従って
湿潤断熱減率を定式化する. 熱力学の第 1 法則は, 
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\begin{eqnarray}
dU = \delta Q + \delta W + \delta Z ,
\Deqlab{1}
\end{eqnarray}
である. 
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ここで $dU$ は内部エネルギー，
 $\delta Q$ は系に加えられる熱量，
 $\delta W$ は系に加える仕事，
 $\delta Z$ は化学エネルギーである．
考えている系において気体は理想気体として取り扱うことができ，
その変化は断熱的にであるとすると，
 \Deqref{3} 式の各項は以下のように書ける．
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\begin{eqnarray}
dU &=& c_{v} dT. 
 \Deqlab{2}\\
\delta Q &=& 0. 
 \Deqlab{3}\\
\delta W &=& - p dV, \nonumber \\
&=& - d(pV) + V dp,\nonumber \\
&=& - R dT + V dp, \nonumber \\
&=& - R dT + V \left( \frac{- M p g}{R T} \right) dz, 
\; (∵ 静水圧平衡の式)\nonumber \\
&=&  - R dT - M g  dz . 
 \Deqlab{4}\\
\delta Z &=& - \sum \lambda dX. 
 \Deqlab{5}
\end{eqnarray}
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ここで $c_{v}$ は大気の定積モル比熱の平均値，
$T$ は温度, $p$ は圧力, 
$V$ は 気体分子の 1 モル当たりの体積，
$R$ は気体定数, $M$ は平均分子量, 
$g$ は重力加速度, 
 $\lambda$ は大気中の凝縮成分のモル当たりの
凝縮のエンタルピー，
 $dX$ は凝縮成分のモル比の変化である. 
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\Deqref{1} 式に \Deqref{2} -- \Deqref{5} 式を代入することで, 
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\begin{eqnarray}
&& c_{v}dT + R dT + M g dz   + \sum \lambda dX = 0 ,\nonumber \\
&& c_{p}dT + M g dz   + \sum \lambda dX = 0 ,
\Deqlab{dQ}
\end{eqnarray}
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となる．但し $c_{p}$ は大気の定圧モル比熱の平均値で，
理想気体の場合 $c_{p} = c_{v} + R$ である．


\subsection{乾燥断熱温度減率}

\Deqref{dQ} 式の潜熱による項を無視することで乾燥断熱温度減率が
求まる．
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\begin{eqnarray}
 && c_{p}dT + M g dz = 0, \nonumber \\
 &&\DD{T}{z} = - \frac{ M g }{c_{p}}.
\Deqlab{dtdz-dry}
\end{eqnarray}
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また, 温度の圧力微分は以下のように書ける. 
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\begin{eqnarray}
 &&\DD{T}{p} =  \frac{ R T }{ c_{p} p }.
\Deqlab{dtdp-dry}
\end{eqnarray}
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\subsection{湿潤断熱温度減率}

$dX$ をモル分率と分圧の関数として表すと以下のようになる. 
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\begin{eqnarray}
dX &=& \Dinv{p} de - \left( \frac{e}{p^{2}} \right) dp.
 \Deqlab{X}
\end{eqnarray}
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ただし $e$ は凝縮成分の飽和蒸気圧である. この式にクラウジウス・クラペイ
ロンの式
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\begin{eqnarray}
de = \frac{e \lambda dT}{R T^{2}}, 
 \Deqlab{CK}
\end{eqnarray}
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を代入して変形すると, 
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\begin{eqnarray}
dX &=& \Dinv{p} de - \frac{e}{p^{2}} dp, \nonumber \\
&=& \Dinv{p} \left( \frac{e \lambda dT}{R T^{2}} \right)
- \frac{e}{p^{2}} \left( - \frac{ M p g}{R T} dz \right) , \nonumber \\ 
&=& \frac{e}{p} \frac{\lambda}{ R_{v} T^{2}} dT
+  \frac{e}{p} \frac{M g}{ R T} dz , \nonumber \\ 
&=& \frac{ \lambda X }{ R T^{2}} dT
+  \frac{M g X}{ R T} dz .
\Deqlab{Xk}
\end{eqnarray}
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となる. 

\Deqref{dQ} 式に \Deqref{Xk} 式を代入することで湿潤断熱温度減率が求まる．
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\begin{eqnarray}
 &&c_{p} dT + M g dz + \sum \lambda dX = 0, \nonumber \\
 &&c_{p} dT + M g dz + 
  \sum \lambda 
  \left(\frac{\lambda X }{ R T^{2}} dT
    +  \frac{M g X}{ R T} dz \right)  = 0, \nonumber \\
&&c_{p} 
\left( 1+ \frac{\sum \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} \right) dT 
+ M g \left( 1 +  \frac{\sum \lambda X}{R T} \right) dz 
= 0, \nonumber \\
 &&\DD{T}{z} = - \frac{M g}{c_{p}} 
  \left(
 \frac{ 1 +  \frac{ \lambda X}{R T}}
{ 1 + \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} }
 \right). 
\Deqlab{dtdz}
\end{eqnarray}
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但し和の規約を用いている. \Deqref{dtdz} を変形すると温度の圧力微分は, 
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\begin{eqnarray}
 &&\DD{T}{p} =  \frac{R T}{c_{p} p} 
  \left(
 \frac{ 1 +  \frac{ \lambda X}{R T}}
{ 1 + \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} }
 \right). 
\Deqlab{dtdp}
\end{eqnarray}
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と書ける. 



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\begin{screen}
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断熱的な温度減率は以下の表現される. 
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\begin{description}
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\item[乾燥断熱温度減率] 
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\begin{eqnarray}
  \DD{T}{z} = - \frac{M g}{c_{p}} .
\nonumber
\end{eqnarray}

\item[湿潤断熱温度減率]
%
\begin{eqnarray}
  \DD{T}{z} = - \frac{M g}{c_{p}} 
  \left(
 \frac{ 1 +  \frac{ \lambda X}{R T}}
{ 1 + \frac{ \lambda^{2} X}{ c_{p} R T^{2}} }
 \right).
\nonumber 
\end{eqnarray} 
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\end{description}
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\end{screen}