\section{実際の惑星大気を想定した静的安定度の計算}


地球大気の平均的な温度・分子量の決まりかたの模式図を\Dfigref{地球の模式
図} を示す. 地球大気の場合, 平均的な温度は上昇流域(雲の中)の湿潤断熱減率
で決まり, 平均的な分子量はほぼ乾燥成分の分子量とみなすことができる. 惑星
大気一般に対して地球の経験を適用できるという保証はないが, 活発な湿潤対流
が生じているならば, 地球と同様に平均的な大気構造が決まっている可能性があ
る.

\begin{figure}[h]
 \begin{center}
  \Depsf[140mm]{./ps/cloud.eps}
 \end{center}
\caption{地球大気での平均的な温度・分子量の決まりかたの模式図.  地球大気
 の対流構造は, 狭い上昇流域と広い下降流域, によって特徴づけられる. 平均
 的な温度は雲の中の湿潤断熱減率で決まり, 平均的な分子量は下降域の乾燥成
 分のみの分子量で決まる. } 
\Dfiglab{地球の模式図}
\end{figure}


そこで, 分子量と温度は以下のように仮定する. 
%
\begin{itemize}
%
 \item 分子量 \\ 
%
       気塊とその周囲の大気の分子量は等しい. その値は上昇流域(雲の中)の飽
       和大気に対して湿度 $r$ (定数)であると仮定する. すなわち飽和大気で
       の湿潤成分のモル比を $X^{sat}$ とすると気塊とその周囲の大気の湿潤
       成分のモル比は $X = rX^{sat}$ となり, 分子量は
%
\begin{eqnarray}
 M = M^{*} = (1 - rX^{sat}) M_{d} + rX^{sat} M_{v} 
\Deqlab{気塊とその周囲の大気の分子量}
\end{eqnarray}       
%
       となる. ただし $M_{d}, M_{v}$ はそれぞれ大気の乾燥成分と湿潤成分
       の分子量である. 
%
 \item 周囲の大気の温度減率 $dT(z)/dz$ \\
%
       上昇域において実現される湿潤断熱温度減率. 
%
 \item 気塊の温度減率 $dT^{*}(z)/dz$ \\
%
       気塊の分子量 $M$ によって決まる断熱温度減率. 
       気塊内で凝縮が生じるか否かで, 
       湿潤断熱温度減率もしくは乾燥断熱減率のどちらかが選ばれる. 
% 
\end{itemize}
%

\Deqref{気塊とその周囲の大気の分子量} 式を用いると, 静的安定度の式
 \Deqref{温度と組成を使って書き下した静的安定度} は以下のように
書ける. 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} -  \DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  \frac{g}{M} \DD{}{z}
  \left\{
     (1 - r X^{sat}) M_{d} + r X^{sat} M_{v}
  \right\},
  \nonumber \\
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} - \DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  g \left(
    \frac{r (M_{v} - M_{d})}{M} \DD{X^{sat}}{z}
  \right).
\Deqlab{M*=M での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
ただし湿度は $0 \le r \le 1$ である. 


\subsection{気塊内で凝縮が生じない場合}
%
気塊内で凝縮が生じない場合, \Deqref{M*=M での静的安定度} 式中の
$dT^{*}/dz$ は以下のように表すことができる. 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{T^{*}}{z} = - \frac{M g}{c_{p}}. 
\end{eqnarray}
%
ただし比熱は $c_{p} = (1 - rX^{sat}){c_p}_{d} + r X^{sat} {c_{p}}_{v}$
	    となる. ${c_{p}}_{d}$ は乾燥成分の比熱, 
	    ${c_{p}}_{v}$ は湿潤成分の比熱である. 
上式を \Deqref{M*=M での静的安定度} に代入することで, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 =
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z}
   + \frac{M g}{c_{p}}
  \right)
  - 
  \frac{ g (M_{v} - M_{d})}{M} \DD{X^{sat}}{z}
\Deqlab{M*=M,dry での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
と書ける. 

飽和気塊 $r = 1$ においても, 気塊を下向きに変位させたときの静的安定度は 
	    \Deqref{M*=M,dry での静的安定度} で与えられる.
また $r = 0$ の場合は \Deqref{M*=M,dry での静的安定
	    度} 式の右辺第 2 項の分子量効果が無視できるので, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} + \frac{M_{d} g}{{c_{p}}_{d}}
  \right)
\Deqlab{M*=M,dry,r=0での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
と書ける. すなわち静的安定度は湿潤断熱減率と乾燥断熱減率との差から見積も
ることができる. 


\subsection{気塊内で凝縮が生じる場合}
%
$r = 1$ において気塊を上向きに変位させる場合, 気塊内で凝縮が生じる. 
気塊の断熱温度減率は湿潤断熱温度減率に等しくなるので, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD{T^{*}}{z} = \DD{T}{z}
\nonumber 
\end{eqnarray}
%
であり, 静的安定度 \Deqref{M*=M での静的安定度} は, 
%
\begin{eqnarray}
N^{2}
 &=&
  - 
  \frac{ g (M_{v} - M_{d})}{M} \DD{X^{sat}}{z}
\Deqlab{M*=M,r=1,湿潤,での静的安定度}
\end{eqnarray}
%
と書ける. すなわち静的安定度は分子量効果によって決まる. 
%




