\section{静的安定度の計算}

気塊を断熱的に上昇させる過程を考える. 気塊の密度と周囲の空気の密度差
によって浮力が生じ, その浮力を復元力とする振動の振動数を浮力振動数 $N$
と呼ぶ. 浮力振動数の 2 乗を静的安定度  $N^{2}$ と呼ぶ. 

気塊が上昇することによって, 本来は気塊の周囲の大気の圧力と密度も影響を
受けるはずである. しかしその影響を小さいとして無視する方法をパーセル法と
いう. 本節ではパーセル法による静的安定度の定式化を述べる.

気塊とその周囲の大気を考える. 気塊とその周囲の大気には以下のような関係が
成立すると仮定する. 
%
\begin{itemize}
 \item 気塊を変位させる前の高度 $z = z_{0}$ において, 
       気塊と周囲の大気の密度は等しい. 
%
\begin{eqnarray}
 \rho|_{z=z_{0}} =  \rho^{*}|_{z=z_{0}}
\Deqlab{rho と rho* の関係}  
\end{eqnarray}
%%
%大気は理想気体の状態方程式に従うと仮定すると, 密度が等しいという条件は，
%%
%\begin{eqnarray}
% \frac{M}{T}|_{z=z_{0}} =  \frac{M^{*}}{T^{*}}|_{z=z_{0}}
%\Deqlab{rho と rho* の関係}  
%\end{eqnarray}
%%%
%と書ける．

 \item 気塊の分子量は変化しない. すなわち, 雨として凝縮物が気塊から分離
       することはない.
%
\begin{eqnarray}
 \DD{M^{*}}{z} = 0
\Deqlab{M* の性質}  
\end{eqnarray}
%
 \item 気塊と周囲の大気は理想気体の状態方程式に従う. 
%
\end{itemize}
%
ただし, 気塊と周囲の大気の密度をそれぞれ $\rho^{*}$, $\rho$ とし, 気塊と
周囲の大気の分子量をそれぞれ $M^{*}$, $M$ とした. 気塊と周囲の大気の密度
差は,
%
\begin{eqnarray}
      d \rho = \rho^{*} - \rho   
\end{eqnarray}
%
と書けるので, 運動方程式は, 
%
\begin{eqnarray}
 \DD[2]{}{t} \delta z
  &=& \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}
   \Deqlab{運動方程式_rho}
\end{eqnarray}
%
となる. ただし $g$ は重力加速度である. \Deqref{運動方程式_rho} 式右辺の 
$\rho, \rho^{*}$ をテーラー展開し, 2 次以上の微小項を無視すると,
%
\begin{eqnarray}
 \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}
  &=& \frac{g}{\rho^{*}} 
   \left\{
      \left( 
       \rho|_{z=z_{0}} + \DD{\rho}{z} \delta z 
      \right)
      - 
      \left( 
       \rho^{*}|_{z=z_{0}} + \DD{\rho^{*}}{z} \delta z 
      \right)
   \right\},
  \nonumber \\
  &=& \frac{g}{\rho^{*}} 
      \left( 
       \DD{\rho}{z} \delta z  - \DD{\rho^{*}}{z} \delta z 
      \right)
  \nonumber 
%
\end{eqnarray}
%
となる. ただし式変形において \Deqref{rho と rho* の関係} 式の関係を用い
た. 理想気体の状態方程式が成立するので, 以下のように変形できる. 
%
\begin{eqnarray}
 \frac{g}{\rho^{*}} 
      \left( 
       \DD{\rho}{z} \delta z  - \DD{\rho^{*}}{z} \delta z 
      \right)
  &=& \frac{g T^{*}}{ M^{*} } 
      \left\{
         \DD{}{z} \left( \frac{M}{T} \right) 
       - \DD{}{z} \left( \frac{M^{*}}{T^{*}} \right) 
      \right\} \delta z  ,
  \nonumber \\
  &=& \frac{g T^{*}}{ M^{*} } 
      \left\{
          M \DD{}{z} \left( \Dinv{T} \right)
       + \Dinv{T} \DD{M}{z}
       -  M^{*} \DD{}{z} \left( \Dinv{T^{*}} \right) 
       - \Dinv{T^{*}} \DD{M^{*}}{z}
      \right\} \delta z  ,
  \nonumber \\
  &=& \frac{g T^{*}}{ M^{*} } 
      \left\{
       - \frac{M}{T^{2}} \DD{T}{z} 
       + \frac{M^{*}}{{T^{*}}^{2}} \DD{T^{*}}{z} 
       + \Dinv{T} \DD{M}{z}
      \right\} \delta z  ,
  \nonumber \\
  &=& 
   \left\{
    \frac{g} {T } 
      \left(
       - \DD{T}{z} 
       + \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
      \right)
      + g
      \left(
        \Dinv{M} \DD{M}{z}
      \right)
  \right\} \delta z  
   \Deqlab{運動方程式_rhoの展開}
\end{eqnarray} 
%
ただし式変形において \Deqref{M* の性質} 式を利用した. 
\Deqref{運動方程式_rhoの展開} 式を \Deqref{運動方程式_rho} 式に代入する
ことで, 
%
\begin{eqnarray}
      \DD[2]{}{t} \delta z
       = 
    \left\{
    \frac{g} {T } 
      \left(
       - \DD{T}{z} 
       + \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
      \right)
      + g
      \left(
        \Dinv{M} \DD{M}{z}
      \right)
  \right\} \delta z  
\end{eqnarray}  
%
となり, $\delta z = sin(Nt)$ を代入することで静的安定度は, 
%
\begin{screen}
%
\begin{eqnarray}
 N^2 
 \equiv
  \frac{g}{T}
  \left(
   \DD{T}{z} - \frac{M}{M^{*}} \DD{T^{*}}{z} 
  \right)
  - 
  g 
  \left(
    \Dinv{M} \DD{M}{z}  
  \right)
  \Deqlab{温度と組成を使って書き下した静的安定度}
\end{eqnarray}
%
\end{screen}
%
と定義される. 



\begin{figure}[h]
 \begin{center}
  \Depsf[80mm]{./ps/parcel.eps}
 \end{center}
\caption{パーセル法による静的安定度の見積もりの概要. 
 気塊の周囲の大気の温度 $T$ と 分子量 $M$, 
 気塊の温度 $T^{*}$ と分子量 $M^{*}$ とする. 
 $z = z_0$ において気塊と周囲の大気の密度が等しく, 理想気体の状態方程式
 が成立するならば, $M/T = M^{*}/T^{*}$ となる. 
 また気塊を上昇・下降させた際, 気塊の温度は変化するが
 気塊から凝縮物が離脱しないと仮定したので, 
 $z+dz$ における気塊の分子量は $M^{*}$ のまま維持される. 
  }
\end{figure}



