\section{静的安定度の計算}

空気塊を断熱的に上昇させる過程を考える. 空気塊の密度と周囲の空気の密度差
によって浮力が生じ, その浮力を復元力とする振動の振動数を浮力振動数 $N$
と呼ぶ. 浮力振動数の 2 乗を静的安定度  $N^{2}$ と呼ぶ. 

本章では静的安定度の定式化と, 実際の惑星大気における見積もり方法を述べる. 


\subsection{静的安定度 $N^{2}$ の定式化}

空気塊が上昇することによって, 本来は空気塊の周囲の大気の圧力と密度も影響
を受けるはずである. しかしその影響を小さいとして無視する方法をパーセル法
という. 本節ではパーセル法による静的安定度の定式化を述べる. 

空気塊の密度を $\rho^{*}$, 周囲の大気の密度を $\rho$ とする. その密度差
は, 
%
\begin{eqnarray}
      d \rho = \rho^{*} - \rho   
\end{eqnarray}
%
と書ける. この時運動方程式は,
%
\begin{eqnarray}
 \DD[2]{}{t} \delta z
  &=& \frac{\left(\rho - \rho^{*}\right) g}{\rho^{*}}\nonumber \\
  &=& \frac{(T_{v}^{*} - T_{v}) g}{T_{v}}
   \Deqlab{stab-1}
\end{eqnarray}
%
となる. ただし $T_{v} = T M_{d}/\bar{M}$ は仮温度, $\bar{M}$ は周囲の大
気と気塊の分子量, $M_{d}$ は非凝結成分の分子量である. 上付き添字 $*$ は
気塊を意味する. 式変形の際には $\rho = p / R_d Tv$ を用いた. ここで微小
区間 dz の間で温度勾配が一定値をとるとすると,
%
\begin{eqnarray}
 T_{v}^{*} - T_{v} 
  &=& (T + \Gamma^{*} \delta z) - (T + \Gamma \delta z) \nonumber \\
  &=& (\Gamma^{*} - \Gamma) \delta z
\end{eqnarray}  
%
である. ここで $\Gamma^{*}$ は気塊の温度減率, $\Gamma$ は周囲の大気の
温度減率である. したがって, 
%
\begin{eqnarray}
      \DD[2]{}{t} \delta z
       = \left\{\frac{(\Gamma^{*} - \Gamma)g}{T_{v}}\right\} \delta z 
\end{eqnarray}  
%
となり, よって静的安定度は, 
%
\begin{eqnarray}
 N^2 = \frac{(\Gamma - \Gamma^{*}) g}{T_{v}} 
\end{eqnarray}
%
となる. ちなみに $\Gamma$ の符号は一般に負である. 
 
\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[80mm]{./ps/parcel.eps}
 \end{center}
\caption{空気塊と周囲の大気の模式図.}
\end{figure}



\subsection{静的安定度の計算手順}

\begin{description}

 \item[(1)] ギブス自由エネルギー最小化法によって, 平衡組成を求める. これ
	    によって温度と圧力と組成の関係を求める. 

 \item[(2)] ギブス自由エネルギー最小化法によって求めた平衡組成を, パーセ
	    ル法でいうところの周囲の温度とみなす. 
	    高度毎の組成から高度毎の空気塊の分子量を求め, 温度を仮温度へ
	    変換する. この結果, 圧力と仮温度の関係が得られる. 

 \item[(3)] 中央差分を用いて仮温度の勾配を求めと
%
\begin{eqnarray}
 \Gamma^{i} = \frac{T_{v}^{i+1} - T_{v}^{i-1}}{2 dz} 
\end{eqnarray}
%
である. 高度変化を圧力変化で置き換えるために静水圧平衡の式
 $ dz = - dp / \rho g$ と, 理想気体の状態方程式
 $ \rho = p/ R_{d} T_{v}$ を用いると, 
%
\begin{eqnarray}
 \Gamma^{i} = (T_{v}^{i-1} - T_{v}^{i+1}) \frac{p g}{R_{d} T_{v} dp}
  \Deqlab{stab-2-1}
\end{eqnarray}     
%
と書くことができる. 

 \item[(4)] 空気塊の組成を大気上部の組成(計算領域の最も上部の組成)とする. 
	    その断熱温度減率はその組成での比熱 $c_{p}$ を用いて, 
%
\begin{eqnarray}
 \Gamma^{*} = \frac{g}{c_{p}}
  \Deqlab{stab-2-2}
\end{eqnarray}
% 
である. 

 \item[(5)] 静的安定度を求める. 
	    \Deqref{stab-2-1}, \Deqref{stab-2-2} 式を用いることで, 
%
\begin{eqnarray}
 N^{2} 
  &=& \frac{(\Gamma - \Gamma^{*}) g}{T_{v}} \nonumber \\
  &=& 
   - \frac{g}{T_{v}}
   \left\{
    (T_{v}^{i-1} - T_{v}^{i+1}) \frac{p g}{R_{d} T_{v} dp}
    - \frac{g}{c_{p}}
   \right\}
\end{eqnarray}
%
が求まる. 
\end{description}


■注意点

  1. 乾燥大気の作り方
     大気組成から凝縮性気体成分を抜く. 
     外惑星の場合, H2 と He だけからなる大気を考える. 
     凝縮性気体を抜いた分, H2 と He のモル比は大きくなる. 

  2. 周囲の大気の仮温度 Tv の作り方
     .....
  