% 表題: イントロ
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% 履歴: 2001/11/21 杉山耕一朗


\chapter{はじめに}

この文章では oboro モデルの計算方法を紹介する.  oboro モデルは惑星大気の
平衡組成, 断熱温度減率を計算するための数値計算プログラムである.  計算に
用いる方法は熱力学関数を最小化して相平衡をさぐる手法であり, その特徴は関
与する反応式を考えずに済むことにある. 
\bigskip


従来の木星型惑星大気の対流平衡研究では, エントロピー $S$ の保存式を, 理
想気体の状態方程式と潜熱・反応熱を用いて温度・圧力・組成の関数として定式
化した(Atreya and Romani, (1985), Atreya {\it et al}., 1999). エントロピー
の変化をもたらす各項は, 空気塊において生じうる個々の化学反応に対応して与
えられる. そのため空気塊内で発生するすべての化学反応をあらかじめ掌握して
いなければならない. 数値コードにおいては, 元素組成や分布の異る大気を考え
るたびに生じうる化学反応が変わるので, 数値コードの基幹部分を書き換えると
いう作業が発生することになる. 
\bigskip


そもそも平衡状態を仮定しているので, 化学反応に関する情報がなくとも断熱温
度減率と凝結物質の鉛直分布は計算できるはずである.  そこで oboro モデルで
は大気の平衡状態をギブスの自由エネルギー $G$ を用いて記述することにより, 
大気中で生じる反応式を考えずに済むようにした. そのため大気の元素組成をパ
ラメタとして扱うことが可能となった.  \bigskip



このギブスの自由エネルギー最小化法は以下の手順を踏む. 

\begin{description}
 \item[平衡化学組成の計算]~\\
	    温度・圧力を固定し, 元素数保存の条件の下で
	    ギブスの自由エネルギーを最小化する. 
	    平衡化学組成は, ギブスの自由エネルギーを最小化する大気組成と
	    して与えられる. 

	    \begin{eqnarray}
	     G(T, p, n^{\phi}_{i}) 
	      &=& \sum \mu_{i}^{\phi}(T, p, n^{\phi}_{i}) n_{i}^{\phi} 
	      \nonumber \\
	     &=& \sum 
	      \left\{
	       {\mu_{i}^{\circ}}^{\phi}(T) 
	       + RT \ln \frac{n_{i}^{\phi}}{\sum n_{i}^{\phi}}
	       + \alpha RT \ln{\frac{p}{p_0}} 
	      \right\}
	      n_{i}^{\phi} \nonumber
	    \end{eqnarray}
	    
	    但し, 添字 $i$ は物質を意味し, $\phi$ は相を意味する. 
	    また $T$ は温度, $p$ は圧力, $\mu_{i}^{\phi}$ は $\phi$ 相の
	    物質 $i$ の化学ポテンシャル, ${\mu_{i}^{\circ}}^{\phi}$ は
	    その標準化学ポテンシャル, $n_{i}^{\phi}$ は$\phi$ 相の
	    物質 $i$ のモル数, $R$ は気体定数, $p_{0}$ は基準圧力である. 
	    気相ならば $\alpha = 1$, 凝縮相ならば $\alpha =  0$ である.



 \item[エントロピー $S$ の計算]~\\
	    温度・圧力空間での平衡組成からエントロピーを計算. 

	    \begin{eqnarray}
	     S 
	      &=& - \left( \DP{G}{T} \right)_{p, n_{i}} 
	      \nonumber \\
	     &=& - 
	      \sum_{i} \left\{ \DP{{\mu_i^{\circ}}^{\phi}(T)}{T}
			+ R \ln \left( \frac{n_i^{\phi}}
				 {\sum n_i^{\phi}}\right) 
			+ \alpha R \ln p \right\} 
			n_{i}^{\phi} \nonumber
	    \end{eqnarray}




 \item[断熱曲線 $dS = 0$ の計算]~\\
	    温度・圧力空間でのエントロピー分布から断熱線を計算. 
	    この際, 擬湿潤断熱減率を仮定する(\Dfigref{adiabat} 参照).



\end{description}
\bigskip


以下の章では, 平衡組成の計算方法, 平衡組成を用いたエントロピーの計算方法
の数値的方法を解説する. 




\begin{figure}
\Depsf[70mm]{images/pseudo3-1.eps}
\Depsf[70mm]{images/pseudo3-2.eps}
\Depsf[70mm]{images/pseudo3-3.eps}
\Depsf[70mm]{images/pseudo3-4.eps}
\caption{
断熱曲線 $dS = 0$ の計算方法. 
 Step 1: 
 初期温度での平衡組成を計算し, エントロピー $S_0$ を求める(左上). 
 Step 2: 
 圧力を $dp$ だけ変化させる. 温度を変化させた時のエントロピーを
 順次計算し, 前のステップでのエントロピー $S_0$ と一致する温度を求める
 (右上). 
 Step 3: 
 ($T_{1}, p_{1}$) において凝縮が生じた場合, 次のステップにおいて保存
 させるエントロピーは ($T_{1}, p_{1}$) での気相のエントロピー 
 ${S_{4}}_{\rm gas}$ (左下). 
 Step 4: 
 Step 1 から Step 3 において得られた温度・圧力を結んで
 断熱線を引く(右下). 
 }
\Dfiglab{adiabat}
\end{figure}





%\begin{figure}
%\Depsf[80mm]{images/pseudo-0.eps}
%\Depsf[80mm]{images/pseudo-1.eps}
%\Depsf[80mm]{images/pseudo-2.eps}
%\Depsf[80mm]{images/pseudo-3.eps}
%\caption{
% 1. 各格子点で化学平衡組成を計算し, エントロピーを計算する(左上). 
% 2. 温度・圧力空間でのエントロピーの等値線を求める(右上). 
% 3. 基準となる温度・圧力を定める(左下). 
% 4. 基準となる温度・圧力を通るエントロピーの等値線が, 求めるべき
% 断熱曲線となる(右下). 
% }
%\end{figure}
