\documentclass[a4j,30pt,landscape]{foils}

% パッケージの読み込み

\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{Dennou6}
\pagestyle{empty}

% 余白の調整

\setlength{\topmargin}{-2.5cm}
\setlength{\textheight}{17.8cm}
\setlength{\textwidth}{24.5cm}

% コマンドの定義

\def\items{\item[\textcolor{blue}{{\small ■}}]\vspace{-1.5ex}}
\def\itemr{\item[\textcolor{magenta}{{\scriptsize ●}}]}
\def\itemt{\item[\textcolor{cyan}{{\scriptsize ▼}}]}
\def\({{\sf (}}
\def\){{\sf )}}
\def\green#1{\colorbox{green}{\textcolor{white}{#1}}}
\def\cyan{\colorbox{cyan}}
\def\DL#1#2{\frac{D {#1}}{D {#2}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

% 表紙

\begin{center}
\LARGE

\textbf{
\hspace{-0.33em}\green{Mellor and Yamada (1974)\hspace{0.33em}}\\ 
\vspace{-0.2ex}
\hspace{-0.34em}
\green{\hspace{0.96em}の乱流クロージャモデル\hspace{0.96em}}
}\\
\vspace{-0.1ex}
\Large
\green{\hspace{1.33em}
A Turbulence Closure Model \hspace{1.33em}}
\\
\vspace{-0.2ex}
\hspace{-0.35em}
\green{\hspace{1.45em}of Mellor and Yamada (1974)\hspace{1.4em}}

\large
\textbf{北守 太一}\\
Kitamori Taichi

\normalsize
\textbf{北海道大学理学部地球科学科\\
地球流体力学研究室 {\sf 4} 年
}

2004/02/03

\end{center}

\clearpage
\def\thesection{\arabic{section}}
\bf

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{1. 目的\hspace{11em}}}

{\sf Mellor (1973)} および {\sf Mellor and Yamada (1974)} の
乱流クロージャモデルの議論を紹介する.

\begin{itemize}
\items {\sf Mellor (1973)} および {\sf Mellor and Yamada (1974)}
\begin{itemize}
\itemr 現在の大気モデルに用いられている代表的な乱流クロージャモデル.
\end{itemize}
\end{itemize}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{2. 数値計算で乱流の扱うときの問題}}

\begin{itemize}
\items 乱流の重要性
\begin{itemize}
\itemr 乱流はそれ自身よりも大きなスケールの運動に影響
\end{itemize}
\items 数値計算の重要性
\begin{itemize}
\itemr 大気の運動を記述する方程式は解析的に解けない
\itemr 数値計算で近似解を求める
\end{itemize}
\items 数値計算の問題点
\begin{itemize}
\itemr 格子点間隔以下の運動は切り捨て
\begin{itemize}
\itemt 乱流の影響が無視される
\end{itemize}
\itemr 現象を正しく表現できない
\end{itemize}
\end{itemize}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{3. 物理量の扱い\hspace{8em}}}

\begin{itemize}
\items 物理量を{\sf 2}つの成分に分離する. 
\begin{itemize}
\itemr 平均成分
\begin{itemize}
\itemt 格子点間隔スケールの運動を記述
\end{itemize}
\itemr 変動成分
\begin{itemize}
\itemt 格子点間隔以下のスケールの運動を記述
\end{itemize}
\end{itemize}
\items 格子点間隔以下の運動が考慮可能に
\begin{itemize}
\itemr 乱流の影響による項が明示的に現れる
\end{itemize}
\end{itemize}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{4. 平均成分の方程式\hspace{6em}}}

\vspace{-5ex}
\small
\begin{eqnarray}
  \DP{U_i}{x_i} &=& 0, \\
  \DP{U_i}{t} 
  + \DP{}{x_k}(U_i \hspace{0.2em} U_k
    + \overline{u_i u_k})
  &=& - \frac{1}{\rho} \DP{P}{x_i}
  - g_i \beta \Theta,
  \Deqlab{mean_moteq}
  \\
  \DP{\Theta}{t} 
  + \DP{}{x_k}
      (U_k \hspace{0.2em} \Theta
    + \overline{u_k \theta})
  &=& 0.
  \Deqlab{mean_thrmeq}
\end{eqnarray}
$U_i$: 風速の平均成分, $u_i$: 風速の変動成分, 
$\Theta$: 温位の平均成分, $\theta$: 温位の変動成分, 
$P$: 圧力勾配の平均成分, $g_i=(0,0,g)$: 重力加速度, 
$\beta$: 体積変化率. 
\normalsize
\begin{itemize}
\items $\overline{u_i u_j}$, $\overline{u_i \theta}$の項が
あるので方程式が閉じない.
\items $\overline{u_i u_j}$, $\overline{u_i \theta}$の方程式を
求めても{\sf 3}次のモーメントの項が現れ, やはり方程式は閉じない. 
\end{itemize}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\section{\green{4. 乱流クロージャモデル\hspace{4em}}}
%
%\begin{itemize}
%\items 乱流クロージャモデルのタイプ
%\begin{itemize}
%\itemr {\sf 1}次クロージャモデル\(渦粘性モデル\)
%\begin{itemize}
%\itemt {\sf 2}次のモーメントを{\sf 1}次のモーメントで置き換え
%\itemt {\sf Boussinesq (1887)}が考案
%\itemt 渦粘性係数の関数形を明示的に決める必要あり
%\end{itemize}
%\itemr {\sf 2}次クロージャモデル
%\begin{itemize}
%\itemt {\sf 3}次のモーメントを{\sf 2}次のモーメントで置き換え
%\itemt {\sf Donaldson (1973), Mellor (1973)} が実用化
%\itemt 渦粘性係数の関数形はスケーリングを導入すると明示的に決定する必要がない
%\end{itemize}
%\end{itemize}
%\end{itemize}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{5. Mellor(1973)のクロージャモデル}}

\begin{itemize}
\items 以下のクロージャ仮定を導入し方程式を閉じる.
\begin{itemize}
\itemr
予報変数$\overline{u_i u_j}$, $\overline{u_i \theta}$, 
$\overline{\theta^2}$以外の乱流統計量は
\vspace{0.4ex}
\begin{itemize}
\itemt $\overline{u_i u_j}$, $\overline{u_i \theta}$, 
$\overline{\theta^2}$
\itemt 乱流運動エネルギー $q \equiv \overline{u^2_i}$
\itemt 現象の特徴的なスケール
\end{itemize}
\vspace{0.4ex}
で置き換えることができる. 
\end{itemize}
\end{itemize}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\Large 
\green{6. Mellor and Yamada (1974)\hspace{1.67em}}

\vspace{-1.5ex}

\green{によるクロージャモデルの簡略化\hspace{1em}}
}

\begin{itemize}
\items {\sf Mellor(1973)}のクロージャモデルの方程式数
\vspace{-0.8ex}
\begin{itemize}
\itemr 平均成分 : {\sf 5} 
\itemr 乱流統計量 : {\sf 10}
\end{itemize}
\items 計算時間がかかるため簡略化
\vspace{-0.8ex}
\begin{itemize}
\itemr 乱流は等方的であると仮定
\begin{itemize}
\itemt 異方性を示す部分は小さい
\end{itemize}
\itemr 異方性を代表するパラメータ$a$を導入
\begin{itemize}
\itemt $a$ のオーダーを持つ項は小さい
\end{itemize}
\itemr $a$ を用いて各項のオーダーを比較して微小項を省略
%
%\items {\sf Mellor and Yamada (1974)}による
%{\sf Mellor (1973)}のクロージャモデルの簡略化
%
\end{itemize}
\end{itemize}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{7. 簡略化の方法\hspace{8em}}}

\begin{itemize}
\items 時間変化項のオーダーの仮定
\vspace{-0.7ex}
\begin{itemize}
\itemr 散逸項に対する比
\end{itemize}
\items 省略される項のオーダー
\end{itemize}
\vspace{-1.5ex}
\vspace{-0.5ex}
の決め方により{\sf 4}段階のレベルに分類

\vspace{-0.6ex}
{\small 表{\sf 1}: 各レベルのモデルにおいた仮定}
\vspace{-1ex}
\begin{table}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
レベル  &  4  &  3  &  2  &  1  \\
\hline 
時間変化項 & $O(1)$ & $O(a)$ & $O(a^2)$ & $O(a^2)$ \\
\hline
省略される項 & なし & $O(a^2)$ & $O(a^2)$ & $O(a)$ \\
\hline
乱流統計量の & & & & \\
{時間発展方程式数} &  &  &  & \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\vspace{-1.5ex}
{\small ※ レベル{\sf 4}モデルは {\sf Mellor (1973)} のモデルと同じ}

\vspace{-9ex}\hspace{8.5em}10
\hspace{1.7em}2
\hspace{2.2em}0
\hspace{2.1em}0

\clearpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\scriptsize

\section{\green{8. レベル4モデル\hspace{7em}}}

\begin{eqnarray}
    \DL{}{t}(\overline{u_i u_j})
  &-& \DP{}{x_k} \left[
       q \lambda_1 \left\{
         \DP{}{x_k} (\overline{u_i u_j})
       + \DP{}{x_i} (\overline{u_j u_k})
       + \DP{}{x_j} (\overline{u_i u_k}) \right\} \right]
   \nonumber \\
  &=& - \overline{u_i u_k} \DP{U_j}{x_k}
  - \overline{u_j u_k} \DP{U_i}{x_k}
  - \beta (g_j \overline{u_i \theta} + g_i \overline{u_j \theta})
  \nonumber \\
  &&- \frac{q}{3l_1} (\overline{u_i u_j}
     - \frac{\delta_{ij}}{3} q^2)
  + C q^2 \left( \DP{U_i}{x_j} + \DP{U_j}{x_i} \right)
  - \frac{2}{3} \frac{q^3}{\Lambda_1} \delta_{ij},
  \Deqlab{closed_rynld_stresseq2}
  \\
  \DL{}{t}(\overline{u_i \theta})
  &-& \DP{}{x_k} \left[
      q \lambda_2 \left\{
          \DP{}{x_k} (\overline{u_i \theta})
        + \DP{}{x_i} (\overline{u_k \theta}) \right\} \right]
  \nonumber \\
  &=& - \overline{u_i u_k} \DP{\Theta}{x_k}
  - \overline{u_k \theta} \DP{U_i}{x_k}
  - \beta g_i \overline{\theta^2}
  - \frac{q}{3 l_2} \overline{u_i \theta},
  \Deqlab{closed_thrm_dif_eq2}
  \\
  \DL{\overline{\theta^2}}{t}
  &-& \DP{}{x_k} \left( q \lambda_3 \DP{\overline{\theta^2}}{x_k} \right)
  = - 2 \overline{u_k \theta} \DP{\Theta}{x_k}
  - 2 \frac{q}{\Lambda_2} \overline{\theta^2}.
  \Deqlab{closed_mean_sqerthetaeq2}
\end{eqnarray}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{9. レベル3モデル\hspace{7em}}}

\vspace{-4ex}

\begin{eqnarray}
  &&\DL{q^2}{t}
  - \DP{}{x_k} \left[
      \frac{5}{3} q \lambda_1 \DP{q^2}{x_k}
  \right]
  = - 2 \overline{u_i u_k} \DP{U_i}{x_k}
  - 2 \beta g_k \overline{u_k \theta}
  - 2 \frac{q^3}{\Lambda_1} ,
  \\
  && \overline{u_i u_j}
  = \frac{\delta_{ij}}{3} q^2
  - \frac{3 l_1}{q} \bigr[ 
      (\overline{u_i u_k} - C q^2 \delta_{ik}) 
          \DP{U_j}{x_k}
  \nonumber \\
    &&\hspace{3em}
    + (\overline{u_j u_k} - C q^2 \delta_{jk})
          \DP{U_i}{x_k}
    - \frac{2}{3} \delta_{ij} \overline{u_k u_l}
          \DP{U_l}{x_k}
  \bigr]
  \nonumber \\
  &&\hspace{3em}
    - 3 \frac{l_1}{q} \beta \left(
      g_j \overline{u_i \theta}
    + g_i \overline{u_j \theta}
    - \frac{2}{3}  \delta_{ij} g_l \overline{u_k u_l}
          \DP{\overline{U_l}}{x_k}
  \right)
  \nonumber \\
  &&\hspace{3em}
    + 3 \frac{l_1}{q} \DP{}{x_k} \left\{
      \frac{q \lambda_1}{3} \left(
          \delta_{ik} \DP{q^2}{x_j}
        + \delta_{jk} \DP{q^2}{x_i}
        - \frac{2}{3} \delta_{ij} \DP{q^2}{x_k}
      \right)
  \right] ,
  \\
  &&\overline{u_i \theta}
  = - 3 \frac{l_2}{q} \left(
      \overline{u_i u_k} \DP{\Theta}{x_k}
    + \overline{u_k \theta} \DP{U_i}{x_k}
    + \beta g_i \overline{\theta^2}
  \right), 
  \\
  &&\DL{\overline{\theta^2}}{t}
  - \DP{}{x_k} \left(
      q \lambda_3 \DP{\overline{\theta^2}}{x_k}
  \right)
  = - 2 \overline{u_k \theta} \DP{\Theta}{x_k}
  - 2 \frac{q}{\Lambda_2} \overline{\theta^2} .
\end{eqnarray}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{10. レベル2モデル\hspace{6.7em}}}

\begin{eqnarray}
  &&
  \frac{q^3}{\Lambda}
  = - \overline{u_i u_k} \DP{U_i}{x_k}
  - \beta g_k \overline{u_k \theta} , 
  \Deqlab{level2_turb_energyeq}
  \\
  &&\overline{u_i u_j}
  = \frac{\delta_{ij}}{3} q^2
  - \frac{3 l_1}{q} \bigr[ 
      (\overline{u_i u_k} - C q^2 \delta_{ik}) 
          \DP{U_j}{x_k}
  \nonumber \\
  &&\hspace{3em}
    + (\overline{u_j u_k} - C q^2 \delta_{jk})
          \DP{U_i}{x_k}
    - \frac{2}{3} \delta_{ij} \overline{u_k u_l}
          \DP{\overline{U_l}}{x_k}
  \bigr]
  \nonumber \\
  &&\hspace{3em}
  - 3 \frac{l_1}{q} \beta \left(
      g_j \overline{u_i \theta}
    + g_i \overline{u_j \theta}
    - \frac{2}{3} \delta_{ij} g_l \overline{u_l \theta}
  \right),
  \Deqlab{level2_noniso_rynld_stresseq}
  \\
  &&\overline{u_i \theta}
  = - 3 \frac{l_2}{q} \left(
      \overline{u_i u_k} \DP{\Theta}{x_k}
    + \overline{u_k \theta} \DP{U_i}{x_k}
    + \beta g_i \overline{\theta^2}
  \right) ,
  \Deqlab{level2_thrm_dif_eq}
  \\
  &&\overline{\theta^2}
  = - \frac{\Lambda_2}{q} \overline{u_k \theta}
      \DP{\Theta}{x_k} .
  \Deqlab{level2_mean_sqerthetaeq}
\end{eqnarray}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{11. レベル1モデル\hspace{6.7em}}}

\begin{eqnarray}
  \frac{q^3}{\Lambda}
  &=& - \overline{u_i u_k} \DP{U_i}{x_k}
  - \beta g_k \overline{u_k \theta} , 
  \\
  \overline{u_i u_j}
  &=& \frac{\delta_{ij}}{3} q^2
  - q l_1 \left( 
      \DP{U_j}{x_i}
    + \DP{U_i}{x_j}
  \right) ,
  \\
  \overline{u_i \theta}
  &=& - q l_2 \DP{\Theta}{x_i}
  - \frac{3 \beta l_2}{q} g_i \overline{\theta^2}, 
  \\
  \overline{\theta^2}
  &=& - \frac{\Lambda_2}{q} \overline{u_k \theta}
      \DP{\Theta}{x_k} .
\end{eqnarray}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\normalsize

{\Large
\green{12. Mellor and Yamada (1974)の\hspace{0.2em}}

\vspace{-1.5ex}

\green{シミュレーションによる比較\hspace{2.7em}}
}

\vspace{-0.6ex}

\begin{itemize}
\items モデル : レベル{\sf 4}からレベル{\sf 2}までのモデルに
境界層近似を施したモデル
\items 水平一様を仮定
\items 計算領域 : 鉛直方向は {\sf 0--5200 m} 
\items 格子点数 : {\sf 0--1000 m} : {\sf 20}個 \(対数的に分布\)\\
\hspace{4.5em}{\sf 1000--5200 m} : {\sf 60}個
\items 計算時間 : {\sf 10}日間\(計算が安定するまでに{\sf 3}日間を要する\)
\items 時間ステップ : {\sf 1}分
\end{itemize}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%\section{\green{境界条件および初期値分布 \hspace{3.5em}}}
%\vspace{-1ex}
%\begin{itemize}
%\small
%\items 大気境界層上端境界条件
%\begin{itemize}
%\itemr 風速の平均成分: 一定の強さの地衡風 
%\itemr 温位の平均成分: ?? (詳しい記述なし)
%\itemr 乱流モーメント: ゼロ
%\end{itemize}
%\items 地表面境界条件
%\begin{itemize}
%\itemr 温位の平均成分 : 陽に与える. 
%\itemr 風速の平均成分 : いくつかのパラメータから計算 
%\itemr 乱流モーメント : 風速の平均成分と同様
%\end{itemize}
%\items 初期値分布
%\begin{itemize}
%\itemr 温位の平均成分 : 観測値を単純化したものを与える.  
%\itemr 速度の平均成分 : 中立状態で定常状態の方程式から計算 
%\itemr 乱流モーメント : ?? (詳しい記述なし)
%\end{itemize}
%\end{itemize}
%\normalsize
%
%\clearpage
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{13. 計算結果\hspace{8.5em}}}

\vspace{-1ex}

\begin{center}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{figure}
  \Depsf[9cm][11cm]{./image/my1974fig3.eps}
\end{figure}
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{figure}
  \Depsf[6cm][11cm]{./image/my1974fig6.eps}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{center}
\small
図{\sf 1}:\(左\)風速の平均成分.\(右\)乱流エネルギー.縦軸は高度{\sf (m)}. 
横軸は時間. 上から順にレベル{\sf4, 3, 2}
{\sf (Mellor and Yamada (1974))}.
\normalsize

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{14. 計算結果 まとめ\hspace{6em}}}

\begin{itemize}
\items どのレベルも互いに類似した結果を得る
\begin{itemize}
\itemr 境界層の厚さ
\end{itemize}
\items レベル{\sf 3}のモデルはレベル{\sf 4}の
モデルと比べて結果はほとんど変わらないが計算時間は短い.
\items レベル{\sf 2}のモデルはレベル{\sf 4, 3}のモデルと比べて
重要な特徴は変わらないが計算時間は短い. 
\end{itemize}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{15. まとめ\hspace{10em}}}

\begin{itemize}
\items {\sf Mellor (1973)}のクロージャモデル
\begin{itemize}
\itemr クロージャ仮定を導入して方程式を閉じた
\end{itemize}
\items {\sf Mellor and Yamada (1974)}のクロージャモデル
\begin{itemize}
\itemr {\sf Mellor (1973)}の乱流クロージャモデルを簡略化. 
\itemr 簡略化の度合によって{\sf 4}段階のレベルに分類. 
\end{itemize}
\items {\sf Mellor and Yamada (1974)}の大気境界層シミュレーション
\begin{itemize}
\itemr レベル{\sf 4}, {\sf 3}, {\sf 2}, のモデルの結果を比較
\itemr レベル{\sf 3}, およびレベル{\sf 2}は計算効率がよい
\end{itemize}
\end{itemize}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{\green{16. 参考文献\hspace{9em}}}

\sf
\scriptsize
\begin{itemize}
\item[{[1]}]
Boussinesq, J., 1877: Theeorie de l'ecoulement tourbillant. 
\textit{Mem. Presentes par divers Savants Acad. Sci. Inst. Fr.},
\textbf{23}, 46--50.
\item[{[2]}]
Donaldson, C. duP., 1973: Construction of a dynamic model of the
production of atmospheric turbulence and the dispersal of 
atmospheric pollutants. \textit{Workshop on Micrometeorology}, 
Boston, Amer. Meteor. Soc., 313--390.
\item[{[3]}]
Mellor, G. L., 1973: Analytic Prediction of the Properties of 
Stratified Planetary Surface Layers. \textit{J. Atmos. Sci}., \textbf{30},
1061--1069.
\item[{[4]}]
Mellor, G. L., and T. Yamada, 1974: A Hierarchy of Turbulence
Closure Models for Planetary Boundary Layers. \textit{J. Atmos. Sci}., \textbf{31}, 
1791--1806.
\item[{[5]}]
{\bf 小高正嗣}, 1997: 
{Mellor, Yamada {\bf による境界層モデル.}}
{\bf 地球流体電脳倶楽部}, \\
{http://dennou-h.gfd-dennou.org/arch/review/zz1974/my/pub/index.htm}.  
\item[{[6]}]
{\bf 小高正嗣}, 1998: 
Klemp and Wilhelmson (1978) {\bf による乱流モデル}. 
{\bf 地球流体電脳倶楽部}, \\
http://dennou-h.gfd-dennou.org/arch/review/zz1978/kw/pub/index.htm.
\item[{[7]}]
\bf
山田哲司, {\sf 1999}: 乱流クロージャモデル, 気象研究ノート, 
第\textbf{196}号, {\sf 103--112}.
\item[{{\sf [8]}}]
山田哲司, {\sf 1992}: 第{\sf 3}章{\sf 3}次元大気乱流拡散モデル.
大気環境シミュレーション-大気の流れと拡散-, 
総合編集横山長之, 白亜書房, {\sf 134--202}.
\end{itemize}

\clearpage

\end{document}




