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\学籍番号={114s407s}
\氏名={河合 佑太}
\専攻={地球惑星科学}
\主査氏名={林 祥介}
\第一副査氏名={山中 大学}
\第二副査職名={准教授}
\第二副査氏名={岩山 隆寛}
\論文題目={
 { 高精度有限体積法による非静力学惑星大気循環モデルの開発}
}




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%%%%%%以下本文%%%%%%%%%%%%%%%
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\sevenmin\sevenrm{

全球的な数値天気予報や気候予測において, 大気大循環モデル (Atmospheric General Circulation Model: AGCM) は重要な道具である. 
継続的な計算機技術の発展は, 全球規模の気象シミュレーションにおいても水平解像度が数 km 以下の高解像度計算を可能にしつつある. 
そのため, 近年開発される AGCM において, 静水圧近似を仮定しない非静力学方程式系が使われる傾向にある. 

伝統的にほとんどの AGCM の数値解法には, 格子点法に比べ高い数値精度を持つ, 球面調和関数展開に基づくスペクトル変換法が採用されてきた. 
しかし, 高性能計算 (High Performance Computing: HPC) で実現されるような高解像度計算では, 
ルジャンドル変換の計算量や大規模並列計算機におけるノード間データ転送がネックになることが指摘されている. 
一方, 数値天気予報現場で使われる多くの領域非静力学モデルは, 
空間離散化に格子点法の一種である有限差分法を用いる. 
有限差分法は効率的であるが, 位相誤差, 領域形状に対する柔軟性, 並列計算におけるスケーラビリティの問題が存在する.

これらの欠点を克服するために, 近年開発されている領域および全球非静力学モデルでは, 
有限体積法 (Finite Volume Method: FVM), 有限要素法 (Finite Element Method: FEM), 
スペクトル要素法 (Spectral Element Method: SEM), 不連続 Galerkin 法 (Discontinuous Galerkin Method: DGM) などがしばしば用いられる.
これらはもともと数値流体力学 (Computational Fluid Dynamics: CFD) 分野で活発に研究されてきたものであり, 
気象あるいは地球流体力学分野での応用は 10 年 前ほどからである. 

次世代の非静力学モデル開発における数値解法と関連した問題は, 
1) 空間高精度化, 
2) 計算領域形状に対する柔軟性, 
3) 優れた分散特性, 
4) 並列計算機におけるスケーラビリティなどである. 
4) と関係することとしては, 
1990 年代後半からの HPC の傾向として, ベクトル型よりもスカラ型のスーパーコンピュータの開発に重点が置かれている事実である. 
スカラ型のスーパーコンピュータの特徴は, 安価な汎用マルチコアプロセッサを大量に用いて並列計算を行うところである. 
このような膨大な数のプロセッサコアを持つ計算機の利点を生かすには, 一プロセッサに対する演算量が多く, ノード間でのデータ通信の少ない, 
より局所的な数値解法が望ましいであろう.
したがって, 新しく作られる全球非静力学モデルに採用される数値解法には, 
メモリ空間上で局所的なデータに対して多くの演算を行うことにより高精度化する手法が適していると考えられる. 
これには, FVM, FEM, SEM, DGM といった方法が当てはまる. 
地球流体力学的問題に対して, これらの方法を適用した研究は 2000 年代に入ってから見られるが, 
当初は全球浅水モデルであったり, 全球非静力学モデルであっても古典的な FVM (空間 2 次精度) に限られていた. 
特に, より複雑な方程式系を持つ全球非静力学モデルに対する適用は数年前からであり, まだ広く研究されていない. 
このため, 本研究では CENO 法を用いた高精度 FVM による全球非静力学モデル%, 
%DECAMO(Dennou Cubed sphere grid point Atmospheric MOdel) 
を提案する.

ここからは, 本研究で提案する全球非静力学モデルの特徴を簡単に述べる. 
まず, 全球モデルに伴う極問題を解決するために, 格子系には立方球面格子を用いる. 
なお, この立方球面格子を用いた数値モデルは, 
超並列計算機においてスケーラビリティが保たれることが示されている. 
また, 支配方程式は保存形式の密度, 運動量, 全エネルギーの時間発展式で構成される完全圧縮方程式系であり, 
これらの空間離散化には有限体積法を用いる. 
これにより, 本質的には系の全質量, 全運動量, 全エネルギーは保存される. 
ただし, 非線形方程式の反復計算の残差や浮動小数演算の丸め誤差のために, 非常に小さな変動は存在する. 

有限体積法の高精度化において, セル界面での場の値を正確に補間するための再構築の方法と, セル界面における数値流束の評価手法の選択が重要となる. 
CFD 分野において再構築の技術は古くからよく研究されており, 近年では WENO 法 (Weighted Essentially Non-Oscillatory Method) などが有名である. 
本研究では, WENO 法よりも効率的で安定な Central ENO 法を用いる. 
この再構築の手法は, 原理的には, より高次の補間多項式を生成することにより, 任意空間精度の有限体積法を実現することができる.
次に, 検査体積の界面における数値流束の評価方法の選択について述べる. 
数値流束の評価する方法としては, 近似リーマン解法や比較的新しいものには風上分離法がある. 
伝統的にこれらの方法は, 大気のような低マッハ数の流れよりもむしろ, 
遷音速や超音速のレジームの流れを模倣するために設計されている. 
しかし, 近年, 低マッハ数の流れに対しても適切に流れを模倣できるように, これらの手法は拡張されている. 
本研究では数値流束の評価手法として, 計算効率と数値精度の観点から, 
風上分離法の一種である AUSM$^+$-up スキームを選択することにする. 

次に時間積分スキームについて述べる. 
全球モデルでは, 依然として鉛直格子幅は水平格子幅に比べはるかに小さい. 
特に, 速い位相速度で鉛直方向に伝播する音波や重力波を含む非静力学モデルでは, 
この相対的に小さな鉛直方向の格子幅により, 
可能な時間刻み幅は総観規模の運動がもつ時間スケールに比べて厳しく制限される. 
したがって, 多くの全球モデルでなされるように, 鉛直方向の運動に対する時間離散化は陰的に行う. 
時空間精度を維持しつつ, 水平方向の運動に対する陽的な積分と鉛直方向の運動に対する陰的な積分を組み合わすために, 
演算子分割 Runge-Kutta-Rosenbrock スキームを用いる. 

本研究では, 空間精度に関して,  水平方向には CENO 法による 3 次精度の再構築, 
鉛直方向には 2 次多項式による 空間 3 次精度の再構築を行う. 
時間精度に関しては, 水平方向の陽的な時間積分には, 4 次の Runge=Kutta 法を用いる. 
演算子分割 Runge-Kutta-Rosenbrock スキームは, 時間積分一スッテプあたりに陽解法と陰解法を複数回組み合わせることで, 
次元分割していても最高 3 次精度の時間積分を可能にする. 
しかし, 今回は全体としての空間・時間精度が 2 次精度となるような方法を適用した. 
そのため, 結果的に全体としての空間精度の 3 次収束は保証されないが,
場の急峻な水平勾配の捕捉や水平伝播する波の分散関係の表現が改善される. 

次に, 非静力学モデルの力学コアに対する標準テストケースである, 
音波・内部重力波・傾圧不安定のテストケースを行い, 力学コアの性能を検証する. 
これらのテストケースの結果は, 高精度 FVM と低マッハ数流れ向けの数値流束の評価方法により, 
古典的な FVM による非静力学モデルに比べて場の急勾配をより捕捉できる特性を示している.

最後に, この修士論文の構成について説明する. 
第 2 章は, 全球モデルの格子系として立方球面格子を導入する. 
第 3 章では, 立方球面格子座標系において, 非静力学モデルの定式化を行う. 
第 4 章において, 支配方程式系の数値解法についれ説明する.
第 5 章では, 非静力学コアに対する標準テストの数値計算の結果を示し,力学コアの性能を考察する. 
第 6 章では, 結論および今回開発した全球非静力学モデルによる数値シミュレーションの可能性や今後の方針について議論する.

以上のように河合佑太君の提出した標記論文は, 
修士の学位を授与するに十分な価値を持つものであると判定する. 
}

\vfill
\end
