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% 学部卒業論文
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% 2018/03/26
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\chapter{プラズマの基本的な性質}
\markright{プラズマの基本的な性質}


\section{プラズマの定義}

プラズマという学名は 1920 年頃, Irving Langmuir により使われ始め, 彼はプラズマの基本的な性質を明らかにした. プラズマは,
\begin{itemize}
\item 正と負の荷電粒子群を同時に含む.
\item 巨視的な電気的中性が保たれている.
\item 荷電粒子群は不規則な熱運動を行なっている.
\item プラズマ周波数は衝突周波数よりも高い.
\item デバイ長より十分大きい媒質空間である.
\end{itemize}
の特徴で定義される, 電離した気体分子による媒質である. 



\section{プラズマの主な特性量}


\subsection{サイクロトロン運動の周期とラーマー半径}

一様な磁場 $\bm{B}$ 中に $\bm{B}$ と垂直な方向に初速度 $\bm{v}$ で入射された荷電粒子の運動を考える. 個々の荷電粒子が互いに影響を及ぼすことなく運動するならば, そのとき一つの荷電粒子には Lorentz 力
\begin{equation}
  \bm{F}=q\bm{v}\times\bm{B} \label{Lorentz-force}
\end{equation}
が働く. ここで $q$ は電荷量である. すると, 荷電粒子の運動方程式は
\begin{equation}
  m\frac{d\bm{v}}{dt}=q\bm{v}\times\bm{B} \label{circ}
\end{equation}
となる. ここで $m$ は荷電粒子の質量である. (\ref{circ})は荷電粒子の円運動を表す運動方程式である. この円運動のことをサイクロトロン運動という. $r, \omega_{c}$ をそれぞれサイクロトロン運動の半径, 角周波数とすると $v=r\omega_{c}$ であり, また $\bm{v}$ と $\bm{B}$ は垂直なので, (\ref{circ})は
\begin{equation}
  mr\omega^{2}_{c}=qr\omega B \label{circ2}
\end{equation}
となる.

(\ref{circ2})より,
\begin{equation}
  \omega_{c}=\frac{qB}{m}
\end{equation}
となる. したがって, サイクロトロン運動の周期 $T$は,
\begin{equation}
  T=\frac{2\pi}{\omega_{c}}=\frac{2\pi m}{qB}
\end{equation}
である. 

また, (\ref{circ2})より,
\begin{equation}
  m\frac{v^{2}}{r}=qvB
\end{equation}
となる. したがって, サイクロトロン運動の半径は
\begin{equation}
  r=\frac{mv}{qB}
\end{equation}
であり, この半径のことをラーマー半径と呼ぶ.  


\subsection{プラズマ周波数}

今, イオンは静止し一様な密度 $n_{0}$ で分布しており, 電子のみが振動する準中性プラズマを考える. 電子の密度と速度をそれぞれ $n_{e}, \bm{v}_{e}$ とすると, 電子の連続の式は
\begin{equation}
  \frac{\partial n_{e}}{\partial t}+\nabla\cdot(n_{e}\bm{v}_{e})=0
\end{equation}
である. また, 電子の電荷量と質量をそれぞれ $e, m_{e}$, 電場を $\bm{E}$ とすると, 電子の運動方程式は
\begin{equation}
  m_{e}n_{e}\frac{\partial\bm{v}_{e}}{\partial t}=-en_{e}\bm{E}
\end{equation}
である. ポアソンの方程式は
\begin{equation}
  \nabla\cdot\bm{E}=\frac{e}{\epsilon_{0}}(n_{0}-n_{e})
\end{equation}
である. ここで $\epsilon_{0}$ は真空中の誘電率である.

ここで, 物理量を時間と空間に一様な定常項 (添字 $0$ を付けて表す) と時間と空間に依存する振動項 (添字 $1$ を付けて表す) に分ける. つまり,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    n_{e}&=n_{0}+n_{e1} \\
    \bm{v}_{e}&=\bm{v}_{e1} \\
    \bm{E}&=\bm{E}_{1}
  \end{align}
\end{subequations}
とする. 電子の速度と電場は電子の振動により生じるため, 定常項はゼロとしている. これらを用いて, 連続の式, 運動方程式, ポアソンの方程式を線形化して整理すると, それぞれ
\begin{equation}
  \frac{\partial n_{e1}}{\partial t}+n_{0}\nabla\cdot\bm{v}_{e1}=0 \label{2-1}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial\bm{v}_{e1}}{\partial t}=-\frac{e}{m_{e}}\bm{E}_{1} \label{2-2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \nabla\cdot\bm{E}_{1}=-\frac{e}{\epsilon_{0}}n_{e1} \label{2-3}
\end{equation}
となる.

まず(\ref{2-1})の時間微分をとると
\begin{equation}
  \frac{\partial^{2} n_{e1}}{\partial t^{2}}+n_{0}\nabla\cdot\frac{\partial\bm{v}_{e1}}{\partial t}=0 \label{2-4}
\end{equation}
となる. そして, この式の左辺第二項を(\ref{2-2})を用いて置き換えると,
\begin{equation}
  \frac{\partial^{2} n_{e1}}{\partial t^{2}}-\frac{n_{0}e}{m_{e}}\nabla\cdot\bm{E}_{1}=0 \label{2-5}
\end{equation}
となる. 最後にこの式の左辺第二項を(\ref{2-3})を用いて置き換えると,
\begin{equation}
  \frac{\partial^{2} n_{e1}}{\partial t^{2}}+\frac{n_{0}e^{2}}{m_{e}\epsilon_{0}}n_{e1}=0 \label{2-6}
\end{equation}
となる. この式は電子の密度の変化に対する振動方程式であり, 周波数を $\omega_{pe}$ とすると,
\begin{equation}
  \omega_{pe}=\left(\frac{n_{0}e^{2}}{m_{e}\epsilon_{0}}\right)^{1/2}
\end{equation}
が得られる. この周波数 $\omega_{pe}$ を, 電子のプラズマ周波数という. 

同様に, イオンのプラズマ周波数 $\omega_{pi}$ は
\begin{equation}
  \omega_{pi}=\left(\frac{n_{0}e^{2}}{m_{i}\epsilon_{0}}\right)^{1/2}
\end{equation}
である. ここで $m_{i}$ はイオンの質量である.


\subsection{デバイ長}

今, 準中性のプラズマ中に静止したイオンが置かれているとする. このとき, イオンの存在のために周囲の電子が移動し電子密度が変化する.

ある領域において, 電子密度が変化すると電気的中性が成り立たなくなる. その結果, 電位 $\phi$ が生じ電位はプラズマに対してポアソンの方程式
\begin{equation}
  \nabla^{2}\phi=-\frac{e}{\epsilon_{0}}(n_{i}-n_{e})　\label{poisson}
\end{equation}
を満たす. ここで, $e$ は電子の電荷量, $\epsilon_{0}$ は真空中の誘電率, $n_{i}$ と $n_{e}$ はそれぞれイオンと電子の数密度である. なお今, 電子密度は歪められるが, イオン密度は準中性条件 $n_{i}=n_{0}$ に従うと仮定する. 電子が熱力学的平衡にあるとすると, 電子の分布はボルツマン分布に従うので, 電子の温度を $T_{e}$, ボルツマン定数を $k_{B}$ とすると
\begin{equation}
  n_{e}=n_{0}\,\mathrm{exp}\left(\frac{e\phi}{k_{B}T_{e}}\right)
\end{equation}
である. $|e\phi|\ll k_{B}T_{e}$ に対して,
\begin{equation}
  n_{e}=n_{0}\left(1+\frac{e\phi}{k_{B}T_{e}}\right)
\end{equation}
と近似できるので, これと(\ref{poisson})より
\begin{equation}
  \nabla^{2}\phi=\frac{n_{0}e^{2}}{\epsilon_{0}k_{B}T_{e}}\phi
\end{equation}
となる. この式の左辺は, 次元に関して, 静電位をある特徴的な長さ ($\lambda_{De}$) の二乗で割ったもの ($\phi/\lambda_{De}$) に等しい. そして上式の両辺を比較することで
\begin{equation}
  \lambda_{De}=\left(\frac{\epsilon_{0}k_{B}T_{e}}{n_{0}e^{2}}\right)^{1/2}
\end{equation}
が導入できる. この特徴的な長さはデバイ長といい, 準中性プラズマ中でイオンの存在のために電子密度が変化する距離である. 

また同様に, イオンのデバイ長 $\lambda_{Di}$ は
\begin{equation}
  \lambda_{Di}=\left(\frac{\epsilon_{0}k_{B}T_{i}}{n_{0}e^{2}}\right)^{2}
\end{equation}
である. ここで $T_{i}$ はイオンの温度である.


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%\begin{figure}[htpb]
%  \centering
%  \includegraphics[width=12cm]{fig6-1.pdf}
%  \caption{\footnotesize{

%  }} 
%\end{figure}

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%\newpage
%\appendix
%\section*{付録 A }
%\markright{付録 A}
%\def\thepage{443-\arabic{page}}
%\def\theequation{\arabic{equation}}
%\setcounter{equation}{0}
%\setcounter{page}{1}

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% ここで本文おしまい
\end{document}

