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% 学部卒業論文
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% 2018/03/26
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\chapter{磁気流体力学の基礎方程式系}
\markright{磁気流体力学の基礎方程式系}

本研究では, 流体を電気伝導性が非常に良いものとして理想磁気流体と考えることにする. そこで本章では, 理想磁気流体を考えることにより得られる近似の解説, そしてその近似に基づく磁気流体の基礎方程式系の導出と磁場の凍結, 各種ドリフトに関する解説を行なう.

初めに, 本論文の以降で用いる物理量を以下のように定義しておく:
\begin{subequations}
  \begin{alignat}{2}
    &\bm{E}  & : &\,\mathrm{電場} \notag \\
    &\bm{D}  & : &\,\mathrm{電束密度} \notag \\
    &\Phi    & : &\,\mathrm{磁束} \notag \\
    &\bm{B}  & : &\,\mathrm{磁束密度} \notag \\
    &\bm{J}  & : &\,\mathrm{電流密度} \notag \\
    &n       & : &\,\mathrm{電荷の数密度} \notag \\
    &m       & : &\,\mathrm{電荷の質量} \notag \\
    &q       & : &\,\mathrm{電荷量} \notag \\
    &\mu     & : &\,\mathrm{透磁率} \notag \\
    &\epsilon& : &\,\mathrm{誘電率} \notag \\
    &\sigma  & : &\,\mathrm{電気伝導率} \notag \\
    &\bm{v}  & : &\,\mathrm{速度} \notag \\
%    &\rho    & : &\,\mathrm{流体の密度} \notag \\
    &\rho_{\sigma}& : &\,\mathrm{電荷密度} \notag \\
    &p       & : &\,\mathrm{圧力} \notag \\
    &\bm{k}  & : &\,\mathrm{波数ベクトル} \notag \\
    &\omega  & : &\,\mathrm{周波数} \notag \\
    &a       & : &\,\mathrm{音速} \notag 
  \end{alignat}
\end{subequations}


\section{磁気流体近似と理想磁気流体}

プラズマの集団を電磁気力が働く流体 (磁気流体) とみなす近似を磁気流体近似という. この近似は, イオンのサイクロトロン運動の周期および半径より大きい時間, 空間スケールを伴う運動に対して適用することができ, プラズマの巨視的な動きを調べる際に有効である. Alfv\'{e}n 波は前述の適用条件を満たすような時間および空間スケールを伴うため, 本研究では磁気流体近似を用いる. 

また, プラズマの電気抵抗が小さく電気伝導率を無限大とした磁気流体を理想磁気流体という. 以降の議論では理想磁気流体を考え $\sigma\to\infty$ が成り立つとする. このとき変位電流は電流に比べて非常に小さく ($\bm{J} \gg \partial\bm{D}/\partial t$) 無視でき, また, 本章で述べる流体に対する磁場の凍結を取り扱うことができる.


\section{基礎方程式系}

\subsection{Maxwell の方程式}

電磁場に関する Maxwell の方程式は,
\setcounter{equation}{0}
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \nabla\times\bm{E}+\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}&=0 \tag{3.1} \label{Maxwell-eq1} \\
    \nabla\times\bm{B}&=\mu\bm{J} \tag{3.2} \label{MHDapprox2} \\
    \nabla\cdot\bm{B}&=0 \tag{3.3} \label{Maxwell-eq2}
  \end{align}
\end{subequations}
である. ここで, (\ref{MHDapprox2})の右辺において, 磁気流体近似により変位電流を無視した. 


\subsection{Ohm の法則}

今, 流体に対して静止した系の量に $^{\prime}$ を付け, 空間に対して静止した系の量には $^{\prime}$ を付けずそのまま表記することにする. 流体に対して静止した系で考えると, Ohm の法則は
\setcounter{equation}{3}
\begin{equation}
  \bm{J}^{\prime}=\sigma\bm{E}^{\prime} \label{Ohm-low1}
\end{equation}
と表される. 空間に対して静止した系で考えると, 速度 $\bm{v}$ で運動している流体に対して $\bm{J}^{\prime}=\bm{J}-\rho_{\sigma}\bm{v}$, $\bm{E}^{\prime}=\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B}$ であり, また, 今流体は準中性条件により電気的に中性であるとみなせるため $\rho_{\sigma}=0$ とできる. したがって, Ohm の法則(\ref{Ohm-low1})は
\begin{equation}
  \bm{J}=\sigma(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B}) \label{Ohm-low2}
\end{equation}
となる. 


\subsection{連続の式}

流体の質量保存を表す連続の式は,
\begin{equation}
  \frac{\partial n}{\partial t}+\nabla\cdot(n\bm{v})=0
\end{equation}
である. 


\subsection{運動方程式}

運動方程式は, 電場を考慮した単位体積あたりにはたらく Lorentz 力 $nq(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})$ を考慮して,
\begin{equation}
  mn\left\{\frac{\partial\bm{v}}{\partial t}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}\right\}=-\nabla p+nq(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B}) \label{eq-of-motion1}
\end{equation}
と書かれる. ここでは, 力としてプラズマによる圧力勾配力と Lorentz 力を考えている.

上記の運動方程式(\ref{eq-of-motion1})に関して考察を行う. $\bm{J}\times\bm{B}$ を書き換えると,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \bm{J}\times\bm{B}&=-\frac{1}{\mu}\bm{B}\times(\nabla\times\bm{B}) \notag \\
    &=-\frac{1}{\mu}\left\{\frac{1}{2}\nabla(\bm{B}\cdot\bm{B})-(\bm{B}\cdot\nabla)\bm{B}\right\} \notag \\
    &=-\nabla\left(\frac{B^{2}}{2\mu}\right)+\frac{1}{\mu}(\bm{B}\cdot\nabla)\bm{B}  \tag{3.8} \label{Lorentz force}
  \end{align}
\end{subequations}
となる. ここで, (\ref{MHDapprox2})とベクトル解析の公式
\setcounter{equation}{8}
\begin{equation}
  \bm{B}\times(\nabla\times\bm{B})=\frac{1}{2}\nabla(\bm{B}\cdot\bm{B})-(\bm{B}\cdot\nabla)\bm{B}
\end{equation}
を用いた. (\ref{Lorentz force})の右辺について, $B^{2}/2\mu$ は磁気圧であるので, 第一項は磁場による圧力を表す. また第二項は磁気張力を表す.

最後に, (\ref{Lorentz force})より運動方程式(\ref{eq-of-motion1})を書き換えると,
\begin{equation}
  mn\left\{\frac{\partial\bm{v}}{\partial t}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}\right\}=-\nabla\left(p+\frac{B^{2}}{2\mu}\right)+\frac{1}{\mu}(\bm{B}\cdot\nabla)\bm{B}+nq\bm{E}
\end{equation}
となる. したがって, プラズマの加速度運動はプラズマと磁場の圧力勾配力および磁気張力, 電場により引き起こされることがわかる.


\subsection{磁気流体の基礎方程式系 (まとめ)}

本節で導出した磁気流体の基礎方程式系をここにまとめる:
\begin{subequations}
  \begin{alignat}{2}
    &\mathrm{Maxwell の方程式}:&\quad&\nabla\times\bm{E}+\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}=0  \label{kiso-maxwell}\\ 
    &\,&\,&\nabla\times\bm{B}=\mu\bm{J} \label{kiso-maxwell2} \\
    &\,&\,&\nabla\cdot\bm{B}=0 \label{kiso1} \\
    &\mathrm{Ohm の法則}:&\,&\bm{J}=\sigma(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B}) \label{kiso-ohm} \\
    &\mathrm{連続の式}:&\,&\frac{\partial n}{\partial t}+\nabla\cdot(n\bm{v})=0 \label{kiso2} \\
    &\mathrm{運動方程式}:&\,&mn\left\{\frac{\partial\bm{v}}{\partial t}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}\right\}=-\nabla p+nq(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B}) \label{kiso3}
  \end{alignat}
\end{subequations}

以上が, 磁気流体の運動と場の時間発展を記述する方程式系である.



\section{誘導方程式}

Maxwell の方程式(\ref{kiso-maxwell})と(\ref{kiso-maxwell2}), そして Ohm の法則(\ref{kiso-ohm})から誘導方程式を導くことができる. まず, (\ref{kiso-maxwell2})と(\ref{kiso-ohm})から $\bm{J}$ を消去して整理すると,
\begin{equation}
  \bm{E}=\frac{1}{\sigma\mu}\nabla\times\bm{B}-\bm{v}\times\bm{B}
\end{equation}
となる. これと(\ref{kiso-maxwell})より,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \frac{\partial\bm{B}}{\partial t}&=-\nabla\times\bm{E} \notag \\
    &=-\nabla\times\left(\frac{1}{\sigma\mu}\nabla\times\bm{B}-\bm{v}\times\bm{B}\right) \notag \\
    &=\nabla\times(\bm{v}\times\bm{B})-\frac{1}{\sigma\mu}\nabla(\nabla\cdot\bm{B})+\frac{1}{\sigma\mu}\nabla^{2}\bm{B} \notag \\
    &=\nabla\times(\bm{v}\times\bm{B})+\frac{1}{\sigma\mu}\nabla^{2}\bm{B} \tag{3.13} \label{induction-eq1}
  \end{align}
\end{subequations}
となり, 誘導方程式が導かれた. ここで, ベクトル解析の公式
\begin{equation}
  \nabla\times(\nabla\times\bm{B})=\nabla(\nabla\cdot\bm{B})-\nabla^{2}\bm{B}
\end{equation}
と(\ref{Maxwell-eq2})を用いた. $1/\sigma\mu$ を磁気粘性率 (磁気拡散率) と呼ぶ.

今, 理想磁気流体, つまり $\sigma\to\infty$ を考えるので, 誘導方程式(\ref{induction-eq1})を 
\begin{equation}
  \frac{\partial\bm{B}}{\partial t}=\nabla\times(\bm{v}\times\bm{B}) \label{induction-eq2}
\end{equation}
と書くことができる.



\section{磁場の凍結}

前節で導出した誘導方程式(\ref{induction-eq1})の右辺第二項は磁場の拡散を表す. しかし理想磁気流体を考慮した誘導方程式(\ref{induction-eq2})中には磁場の拡散を表す項が無い. 今, 磁気流体とともに動く任意の面 $\bm{S}$ を考えると, その面を貫く磁束は
\begin{equation}
  \Phi=\int_{S}\bm{B}\cdot d\bm{S}
\end{equation}
であり, その時間変化は,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \frac{D\Phi}{Dt}&=\int_{S}\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}\cdot d\bm{S}+\int_{S}\bm{B}\cdot\frac{\partial(d\bm{S})}{\partial t} \notag \\
    &=\int_{S}\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}\cdot d\bm{S}+\int_{C}\bm{B}\cdot(\bm{v}\times d\bm{l}) \notag \\
    &=\int_{S}\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}\cdot d\bm{S}+\int_{C}(\bm{B}\times\bm{v})\cdot d\bm{l} \notag \\
    &=\int_{S}\left\{\frac{\partial\bm{B}}{\partial t}-\nabla\times(\bm{v}\times\bm{B})\right\}\cdot d\bm{S} \notag \\
    &=0 \tag{3.17}
  \end{align}
\end{subequations}
となる. ここで, $C$ は $\bm{S}$ の境界に沿った閉曲線であり, $d\bm{l}$ は $C$ の微小線要素である. また式変形の際に, ベクトル解析の公式
\begin{equation}
  \bm{B}\cdot(\bm{v}\times d\bm{l})=(\bm{B}\times\bm{v})\cdot d\bm{l}
\end{equation}
とストークスの定理, 誘導方程式(\ref{induction-eq2})を用いた. したがって, $\bm{S}$ を貫く磁束は保存され, 磁気流体とともに動くことになる. このことを「磁場の凍結」と呼び, 理想 MHD 近似が成り立つ場合, プラズマと磁力線が一体となって動くことを意味している. $\sigma\to\infty$ と仮定し「磁場の凍結」を考えることは巨視的なプラズマの構造や運動を議論する際によくなされており, 本研究においてもこれを用いる.


\section{ドリフト}

磁場が存在するプラズマにおいて, プラズマ粒子の運動は磁場の影響を受ける. プラズマ粒子のサイクロトロン運動の中心が磁場を横切って ($\bm{v}=\bm{v}_{\perp}$) する運動をドリフトと呼ぶ. 以下では, 本研究において後に用いる各種ドリフトについて解説する. 


\subsection{$\bm{E}\times\bm{B}$ ドリフト}

運動方程式(\ref{kiso3})において, 単一粒子の運動は時間変化の項 $d\bm{v}/dt$ を無視できるほどゆっくりとした時間スケールを伴うとし, また圧力勾配力はゼロとすると,
\begin{equation}
  0=q(\bm{E}+\bm{v}_{\perp}\times\bm{B})
\end{equation}
となる. これより
\begin{equation}
  \bm{E}=-\bm{v}_{\perp}\times\bm{B}
\end{equation}
と書ける. この式の両辺に $\bm{B}$ との外積をとると,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \bm{E}\times\bm{B}&=-(\bm{v}_{\perp}\times\bm{B})\times\bm{B} \notag \\
    &=B^{2}\bm{v}_{\perp}-(\bm{B}\cdot\bm{v}_{\perp})\bm{B} \notag \\
    &=B^{2}\bm{v}_{\perp} \tag{3.21} \label{EB}
  \end{align}
\end{subequations}
となる. ここでベクトル解析の公式
\begin{equation}
  (\bm{A}\times\bm{B})\times\bm{C}=(\bm{C}\cdot\bm{A})\bm{B}-(\bm{C}\cdot\bm{B})\bm{A}
\end{equation}
を用いた. (\ref{EB})より $\bm{E}\times\bm{B}$ ドリフト
\begin{equation}
  \bm{v}_{\perp}=\frac{\bm{E}\times\bm{B}}{B^{2}}
\end{equation}
を得る. このドリフトは電荷や質量, 速度に依らないため, 電子とイオンは同じ方向に同じ速度でドリフトする. ただし回転の向きは反対である. 


\subsection{反磁性ドリフト}

運動方程式(\ref{kiso3})において, 先程と同様に $d\bm{v}/dt$ を無視できるとし, 今度は電場がゼロとすると,
\begin{equation}
  0=-\nabla p+nq\bm{v}_{\perp}\times\bm{B}
\end{equation}
である. これより
\begin{equation}
  \frac{\nabla p}{nq}=\bm{v}_{\perp}\times\bm{B}
\end{equation}
となる. この式の両辺に $\bm{B}$ との内積をとり, $\bm{E}\times\bm{B}$ ドリフトを導出したときと同様に $\bm{v}_{\perp}$ を求めると,
\begin{equation}
  \bm{v}_{\perp}=-\frac{\nabla p \times\bm{B}}{nqB^{2}}
\end{equation}
を得る. これが反磁性ドリフトである.


\subsection{分極ドリフト}

単一粒子に対して, 運動方程式(\ref{kiso3})の圧力勾配力をゼロとすると, 
\begin{equation}
  m\frac{d\bm{v}_{\perp}}{dt}=q(\bm{E}+\bm{v}_{\perp}\times\bm{B})
\end{equation}
と書ける. 今, 電場は時間変化すると考え, 速度を $\bm{v}_{\perp}=\bm{v}_{\bm{E}\times\bm{B}}+\bm{v}_{p}$ と分解する. ここで $\bm{v}_{\bm{E}\times\bm{B}}$ は $\bm{E}\times\bm{B}$ ドリフトであり, $\bm{v}_{p}$ は $\bm{v}_{\bm{E}\times\bm{B}}$ に比べて小さいものとする. すると,
\begin{equation}
  m\frac{d(\bm{v}_{\bm{E}\times\bm{B}}+\bm{v}_{p})}{dt}=q\bm{E}+q\bm{v}_{\bm{E}\times\bm{B}}\times\bm{B}+q\bm{v}_{p}\times\bm{B} \label{polar-drift}
\end{equation}
となる. この式の右辺第二項について,
\begin{equation}
  q\bm{v}_{\bm{E}\times\bm{B}}\times\bm{B}=q\frac{(\bm{E}\times\bm{B})\times\bm{B}}{B^{2}}=-q\bm{E}
\end{equation}
であり, これと $d\bm{v}_{p}/dt \ll d\bm{v}_{\bm{E}\times\bm{B}}/dt$ を仮定することにより, (\ref{polar-drift})は,
\begin{equation}
  m\frac{d\bm{v}_{\bm{E}\times\bm{B}}}{dt}=q\bm{v}_{p}\times\bm{B}
\end{equation}
となる. この式の両辺に $\bm{B}$ との外積をとり整理すると,
\begin{equation}
  \bm{v}_{p}=-\frac{m}{qB^{2}}\frac{d\bm{v}_{\bm{E}\times\bm{B}}}{dt}\times\bm{B}
\end{equation}
となり, $\bm{v}_{\bm{E}\times\bm{B}}$ を書き換えて計算すると,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \bm{v}_{p}&=-\frac{m}{qB^{2}}\frac{d}{dt}\left(\frac{\bm{E}\times\bm{B}}{B^{2}}\right)\times\bm{B} \notag \\
    &=\frac{m}{qB^{2}}\frac{d\bm{E}}{dt} \tag{3.32}
  \end{align}
\end{subequations}
を得る. これが分極ドリフトである.



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%\begin{figure}[htpb]
%  \centering
%  \includegraphics[width=12cm]{fig6-1.pdf}
%  \caption{\footnotesize{

%  }} 
%\end{figure}

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%\newpage
%\appendix
%\section*{付録 A }
%\markright{付録 A}
%\def\thepage{443-\arabic{page}}
%\def\theequation{\arabic{equation}}
%\setcounter{equation}{0}
%\setcounter{page}{1}

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% ここで本文おしまい
\end{document}
