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% 学部卒業論文
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% 2018/03/26
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\chapter{二流体モデルにおける Alfv\'{e}n 波}
\markright{二流体モデルにおける Alfv\'{e}n 波}

ここでは電子とイオンの二つの磁気流体を考え, Alfv\'{e}n 速度を電子およびイオンの熱速度と比較することにより複数のモードの波を考察する.


\section{二流体モデル}

今, 流体は非圧縮性であるとする. つまり生じる波はシアーモードである. 以後, 荷電粒子に関する物理量を添字 $s$ を付けて表す. そのような物理量のうち電子に関するものは添字を $e$ と置き換え, イオンに関するものは添字を $i$ と置き換える. また準中性条件 $n=n_{e}=n_{i}$ を用いる.

(\ref{kiso3})の運動方程式は
\setcounter{equation}{0}
\begin{equation}
  m_{s}n\left\{\frac{\partial\bm{v}_{s}}{\partial t}+(\bm{v}_{s}\cdot\nabla)\bm{v}_{s}\right\}=-\nabla p_{s}+nq_{s}(\bm{E}+\bm{v}_{s}\times\bm{B})
\end{equation}
である. これを前章と同様の方法で線形化すると,
\begin{equation}
  m_{s}n\frac{\partial\bm{v}_{s1}}{\partial t}=-\nabla p_{s1}+nq_{s}(\bm{E}_{1}+\bm{v}_{s1}\times\bm{B}_{0}) \label{kin-motion}
\end{equation}
となる. 今, 磁場に平行な成分 ($z$ 成分) を考えると,
\begin{equation}
  m_{s}n\frac{\partial v_{sz1}}{\partial t}=-T_{s}\frac{\partial n_{1}}{\partial z}+nq_{\sigma}E_{z1} \label{motion-parallel}
\end{equation}
である. ここで, 横波であるシアーモードの波を考えているために $B_{z1}=0$ であることを用いた. また等温過程として $p_{s1}=n_{1}T_{s}$ ($T_{s}$ は電荷の温度) を用いた.

次に, 一度(\ref{kin-motion})の磁場に垂直な成分について考える. 取り扱っている運動の時間スケールは荷電粒子のサイクロトロン運動の周期よりもずっとゆっくりである. つまり, 運動の周波数は荷電粒子のサイクロトロン運動の周波数よりも十分小さいので, (\ref{kin-motion})の左辺の時間変化の項を無視することにする. すると, (\ref{kin-motion})の磁場に垂直な成分は,
\begin{equation}
  \bm{v}_{s\perp1}\times\bm{B}_{0}=-\bm{E}_{\perp1}+\frac{\nabla_{\perp}p_{s\perp1}}{nq_{s}} \label{kin-motion-approx}
\end{equation}
となる. (\ref{kin-motion-approx})に $\bm{B}_{0}$ との外積をとると,
\begin{equation}
  (\bm{v}_{s\perp1}\times\bm{B}_{0})\times\bm{B}_{0}=-\bm{E}_{\perp1}\times\bm{B}_{0}+\frac{\nabla_{\perp}p_{s\perp1}\times\bm{B}_{0}}{nq_{s}} \label{kin-motion-approx2}
\end{equation}
であり, この式の左辺をベクトル解析の公式を用いて変形すると,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    (\bm{v}_{s\perp1}\times\bm{B}_{0})\times\bm{B}_{0}&=-\bm{B}_{0}\times(\bm{v}_{s\perp1}\times\bm{B}_{0}) \notag \\
    &=-(\bm{B}_{0}\cdot\bm{B}_{0})\bm{v}_{s\perp1}+(\bm{B}_{0}\cdot\bm{v}_{s\perp1})\bm{B}_{0} \notag \\
    &=-B^{2}_{0}\bm{v}_{s\perp1} \tag{5.6}
  \end{align}
\end{subequations}
である. これを用いて(\ref{kin-motion-approx2})を整理すると,
\begin{equation}
  \bm{v}_{\sigma\perp1}=\frac{\bm{E}_{1}\times\bm{B}_{0}}{B^{2}_{0}}-\frac{\nabla_{\perp}p_{\sigma\perp1}\times\bm{B}_{0}}{nq_{\sigma}B^{2}_{0}} \label{kin-motion-approx2-1}
\end{equation}
が得られる\footnote{(\ref{kin-motion-approx2-1})の右辺第一項について, $\bm{E}_{1}=\bm{E}_{\perp1}+E_{z1}\bm{\mathrm{k}}$ かつ $E_{z1}\bm{\mathrm{k}}\times\bm{B}_{0}=E_{z1}\bm{\mathrm{k}}\times B_{0}\bm{\mathrm{k}}=0$ より, $\bm{E}_{\perp1}\times\bm{B}_{0}$ を$\bm{E}_{1}\times\bm{B}_{0}$ と書き換えた.}. 右辺第一項は線形化した単一粒子の $\bm{E}\times\bm{B}$ ドリフト, 右辺第二項は線形化した反磁性ドリフトを表す. この式の発散をとると,
\begin{equation}
  \nabla\cdot\bm{v}_{\sigma\perp1}=\frac{1}{B^{2}_{0}}\nabla\cdot(\bm{E}_{1}\times\bm{B}_{0})-\frac{1}{nq_{\sigma}B^{2}_{0}}\nabla\cdot(\nabla_{\perp}p_{\sigma\perp1}\times\bm{B}_{0}) \label{kin-motion-approx3}
\end{equation}
である. 右辺の各項をベクトル解析の公式を用いて変形すると,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \nabla\cdot(\bm{E}_{1}\times\bm{B}_{0})&=\bm{B}_{0}\cdot(\nabla\times\bm{E}_{1})-\bm{E}_{1}\cdot(\nabla\times\bm{B}_{0}) \notag \\
    &=\bm{B}_{0}\cdot(\nabla\times\bm{E}_{1}) \tag{5.9}
  \end{align}
\end{subequations}
と
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \nabla\cdot(\nabla_{\perp}p_{\sigma\perp1}\times\bm{B}_{0})&=\bm{B}_{0}\cdot(\nabla\times\nabla_{\perp}p_{\sigma\perp1})-\nabla_{\perp}p_{\sigma\perp1}\cdot(\nabla\times\bm{B}_{0}) \notag \\
    &=0 \tag{5.10}
  \end{align}
\end{subequations}
となる. これと(\ref{kiso-maxwell})を用い, $\partial/\partial t \to -i\omega$ と置き換えると, (\ref{kin-motion-approx3})から
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \nabla\cdot\bm{v}_{\sigma\perp1}&=\frac{1}{B^{2}_{0}}\bm{B}_{0}\cdot(\nabla\times\bm{E}_{1}) \notag \\
    &=-\frac{1}{B^{2}_{0}}\bm{B}_{0}\cdot\frac{\partial\bm{B}_{1}}{\partial t} \notag \\
    &=-\frac{1}{B^{2}_{0}}B_{0}\bm{\mathrm{k}}\cdot\frac{\partial}{\partial t}(\bm{B}_{\perp1}+B_{z1}\bm{\mathrm{k}}) \notag \\
    &=\frac{i\omega}{B_{0}}B_{z1} \tag{5.11}
  \end{align}
\end{subequations}
という関係式を得る.

そしてもう一度磁場に平行な成分を考えると, $B_{z1}=0$ より $\nabla\cdot\bm{v}_{\sigma\perp1}=0$ である. これを考慮し $\rho=m_{\sigma}n$ を用いると, 線形化した連続の式は
\begin{equation}
  \frac{\partial n_{1}}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial z}(nv_{\sigma z1})=0 \label{cont-eq}
\end{equation}
と書ける. (\ref{cont-eq})の $z$ 微分をとったものを(\ref{motion-parallel})の時間微分をとったものと組み合わせて整理すると,
\begin{equation}
  \frac{\partial^{2}v_{\sigma z1}}{\partial t^{2}}-\frac{T_{\sigma}}{m_{\sigma}}\frac{\partial^{2}v_{\sigma z1}}{\partial z^{2}}=\frac{q_{\sigma}}{m_{\sigma}}\frac{\partial E_{z1}}{\partial t} \label{kin-hadou}
\end{equation}
が得られる. この式が, 磁場に平行な電場の寄与を考慮した場合の波動方程式である. すべての物理量が $\mathrm{exp}(i(k_{z}z-\omega t))$ に比例するとすれば, (\ref{kin-hadou})の解として
\begin{equation}
  v_{\sigma z1}=\frac{i\omega q_{\sigma}}{m_{\sigma}}\frac{E_{z1}}{\omega^{2}-k^{2}_{z}T_{\sigma}/m_{\sigma}}
\end{equation}
が得られる. そして $J_{z1}=\sum nq_{\sigma}v_{\sigma z1}$ を用い, またプラズマ周波数 $\omega^{2}_{p\sigma}=nq^{2}_{\sigma}/\epsilon m_{\sigma}$ を導入すると, 上の式から磁場に平行な電流と電場の間の関係式
\begin{equation} 
  \mu J_{z1}=\frac{i\omega}{c^{2}}E_{z1}\sum_{\sigma}\frac{\omega^{2}_{p\sigma}}{\omega^{2}-k^{2}_{z}T_{\sigma}/m_{\sigma}} \label{5-1}
\end{equation}
が得られる. ここで $c$ は光速であり,
\begin{equation}
  c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}
\end{equation}
である.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

ここで, (\ref{5-1})の左辺の $\mu J_{z1}$ を書き換える. (\ref{kin-motion-approx2-1})について, $\bm{v}_{\sigma\perp 1}$ は時間に依存するため単一粒子の分極ドリフト $(m_{\sigma}/q_{\sigma}B^{2}_{0})d\bm{E}_{\perp1}/dt$ を考慮する. そして, 単一粒子に対する $\bm{E}_{\perp1}$ の代わりに流体に対する $\bm{E}_{\perp1}-\nabla_{\perp}p_{\sigma\perp1}/nq_{\sigma}$ を用いる ((\ref{kin-motion-approx})を参照). ($d\bm{E}_{\perp1}/dt$ と $dp_{\sigma\perp1}/dt$ はそれぞれ $\bm{E}_{1}$ と $p_{\sigma\perp1}$ に比べて小さいため, (\ref{kin-motion-approx2-1})ではそれらを無視していた.) すると, (\ref{kin-motion-approx2-1})は
\begin{equation}
  \bm{v}_{\sigma\perp1}=\frac{\bm{E}_{1}\times\bm{B}_{0}}{B^{2}_{0}}-\frac{\nabla_{\perp}p_{\sigma\perp1}\times\bm{B}_{0}}{nq_{\sigma}B^{2}_{0}}+\frac{m_{\sigma}}{q_{\sigma}B^{2}_{0}}\frac{d\bm{E}_{\perp1}}{dt}-\frac{m_{\sigma}}{nq^{2}_{\sigma}B^{2}_{0}}\nabla_{\perp}\frac{dp_{\sigma\perp1}}{dt} \label{5-7-1}
\end{equation}
となる. 次に, (\ref{5-7-1})を用いて磁場に垂直な電流 $\bm{J}_{\perp1}=\sum nq_{\sigma}\bm{v}_{\sigma\perp1}$ を計算する. 電子とイオンは互いに反対回りにドリフト運動するので $\bm{E}\times\bm{B}$ ドリフトの項は互いに打ち消し合う. また, 電子の分極ドリフトの項は分子の質量のためにイオンの分極ドリフトの項に比べて小さいので無視し, $dp_{\perp1}/dt$ は $p_{\perp1}$ に比べて小さいので無視する. したがって, 磁場に垂直な電流は
\begin{equation}
  \mu\bm{J}_{\perp1}=\frac{\mu nm_{i}}{B^{2}_{0}}\frac{d\bm{E}_{\perp1}}{dt}-\sum_{\sigma}\frac{\mu\nabla_{\perp}p_{\sigma\perp1}\times\bm{B}_{0}}{B^{2}_{0}}=\frac{1}{v^{2}_{A}}\frac{d\bm{E}_{\perp1}}{dt}-\frac{\mu\nabla_{\perp}p_{\perp1}\times\bm{B}_{0}}{B^{2}_{0}} \label{perp-current}
\end{equation}
である. ここで $\sum p_{\sigma\perp1}=p_{\perp1}$ を用いた. $v_{A}$ は 4.3 節で導入した Alfv\'{e}n 速度である. 次に Maxwell 方程式について考える. $\bm{E}_{1}=\bm{E}_{\perp1}+E_{z1}\bm{\mathrm{k}}, \bm{B}_{1}=\bm{B}_{\perp1}+B_{z1}\bm{\mathrm{k}}$ と $\nabla=\nabla_{\perp}+\bm{\mathrm{k}}\partial/\partial z$ を用いると, Maxwell 方程式(\ref{kiso-maxwell})は
\begin{equation}
  \nabla_{\perp}\times\bm{E}_{\perp1}+\nabla_{\perp}\times E_{z1}\bm{\mathrm{k}}+\bm{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial z}\times\bm{E}_{\perp1}=-\frac{\partial}{\partial t}(\bm{B}_{\perp1}+B_{z1}\bm{\mathrm{k}})
\end{equation}
と書ける. そしてこの式の磁場に平行な成分は
\begin{equation}
  \bm{\mathrm{k}}\cdot\nabla_{\perp}\times\bm{E}_{\perp1}=i\omega B_{z1} \label{Faraday-parallel}
\end{equation}
であり, 磁場に垂直な成分は
\begin{equation}
  (\nabla_{\perp}E_{z1}-ik_{z}\bm{E}_{\perp1})\times\bm{\mathrm{k}}=i\omega\bm{B}_{\perp1} \label{Faraday-perp}
\end{equation}
である. ここで $\partial/\partial t \to -i\omega, \partial/\partial z \to ik_{z}$ と置き換えた. 同様に Maxwell 方程式(\ref{kiso-maxwell2})は
\begin{equation}
  \nabla_{\perp}\times\bm{B}_{\perp1}+\nabla_{\perp}\times B_{z1}\bm{\mathrm{k}}+\bm{\mathrm{k}}\frac{\partial}{\partial z}\times\bm{B}_{\perp1}=\mu(\bm{J}_{\perp1}+J_{z1}\bm{\mathrm{k}})
\end{equation}
と書けて, 磁場に平行な成分は
\begin{equation}
  \bm{\mathrm{k}}\cdot\nabla_{\perp}\times\bm{B}_{\perp1}=\mu J_{z1} \label{Ampere-parallel}
\end{equation}
で, 磁場に垂直な成分は
\begin{equation}
  (\nabla_{\perp}B_{z1}-ik_{z}\bm{B}_{\perp1})\times\bm{\mathrm{k}}=\mu\bm{J}_{\perp1} \label{Ampere-perp}
\end{equation}
である. (\ref{Ampere-perp})を(\ref{perp-current})に代入すると, 
\begin{equation}
  (\nabla_{\perp}B_{z1}-ik_{z}\bm{B}_{\perp1})\times\bm{\mathrm{k}}=\frac{1}{v^{2}_{A}}\frac{d\bm{E}_{\perp1}}{dt}-\frac{\mu\nabla_{\perp}p_{\perp1}\times\bm{B}_{0}}{B^{2}_{0}}
\end{equation}
である. この式において $\partial/\partial t \to -i\omega$ と置き換え, また $\bm{B}_{0}=B_{0}\bm{\mathrm{k}}$ であることを用いると,
\begin{equation}
  (\nabla_{\perp}B_{z1}-ik_{z}\bm{B}_{\perp1})\times\bm{\mathrm{k}}=-\frac{i\omega}{v^{2}_{A}}\bm{E}_{\perp1}-\frac{\mu\nabla_{\perp}p_{\perp1}\times\bm{\mathrm{k}}}{B_{0}}
\end{equation}
となる. これを変形して,
\begin{equation}
  -ik_{z}\bm{B}_{\perp1}\times\bm{\mathrm{k}}+\frac{i\omega}{v^{2}_{A}}\bm{E}_{\perp1}=-\nabla_{\perp}\left(B_{z1}+\frac{\mu p_{\perp1}}{B_{0}}\right)\times\bm{\mathrm{k}} \label{Ampere-perp2}
\end{equation}
となる. また, (\ref{Faraday-perp})と $\bm{\mathrm{k}}$ との外積をとると, 
\begin{equation}
  i\omega\bm{B}_{\perp1}\times\bm{\mathrm{k}}-ik_{z}\bm{E}_{\perp1}=-\nabla_{\perp}E_{z1} \label{Faraday-perp2}
\end{equation}
となる. (\ref{Ampere-perp2})と(\ref{Faraday-perp2})は $\bm{E}_{\perp1}$ と $\bm{B}_{\perp1}\times\bm{\mathrm{k}}$ についての連立方程式とみなせるので, それを解くと
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \bm{E}_{\perp1}&=\frac{ik_{z}\nabla_{\perp}E_{z1}+i\omega\nabla_{\perp}(B_{z1}+\mu p_{\perp1}/B_{0})\times\bm{\mathrm{k}}}{\omega^{2}/v^{2}_{A}-k^{2}_{z}} \\
    \bm{B}_{\perp1}\times\bm{\mathrm{k}}&=\frac{i(\omega/v^{2}_{A})\nabla_{\perp}E_{z1}+ik_{z}\nabla_{\perp}(B_{z1}+\mu p_{\perp1}/B_{0})\times\bm{\mathrm{k}}}{\omega^{2}/v^{2}_{A}-k^{2}_{z}}
  \end{align}
\end{subequations}
が得られる. 一方, (\ref{Faraday-parallel})と(\ref{Ampere-parallel})はそれぞれ
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \nabla\cdot(\bm{E}_{\perp1}\times\bm{\mathrm{k}})&=i\omega B_{z1} \\
    \nabla\cdot(\bm{B}_{\perp1}\times\bm{\mathrm{k}})&=\mu J_{z1} 
  \end{align}
\end{subequations}
と書ける. これらの式に $\bm{E}_{\perp1}$ と $\bm{B}_{\perp1}\times\bm{\mathrm{k}}$ を代入すると,
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \nabla\cdot\left(\frac{ik_{z}\nabla_{\perp}E_{z1}\times\bm{\mathrm{k}}-i\omega\nabla_{\perp}(B_{z1}+\mu p_{\perp1}/B_{0})}{\omega^{2}/v^{2}_{A}-k^{2}_{z}}\right)&=i\omega B_{z1} \\
    \nabla\cdot(\frac{i(\omega/v^{2}_{A})\nabla_{\perp}E_{z1}+ik_{z}\nabla_{\perp}(B_{z1}+\mu p_{\perp1}/B_{0})\times\bm{\mathrm{k}}}{\omega^{2}/v^{2}_{A}-k^{2}_{z}})&=\mu J_{z1}
  \end{align}
\end{subequations}
が得られる. ここで, スカラーポテンシャル $\psi$ に対して, $\nabla\cdot(\nabla_{\perp}\psi\times\bm{\mathrm{k}})=\bm{\mathrm{k}}\cdot\nabla\times\nabla_{\perp}\psi=0$ であるので, 上の二式は
\begin{subequations}
  \begin{align}
    \nabla\cdot\left(\frac{\nabla_{\perp}(B_{z1}+\mu p_{\perp1}/B_{0})}{\omega^{2}/v^{2}_{A}-k^{2}_{z}}\right)&=-B_{z1} \\
    \nabla\cdot\left(\frac{i\omega\nabla_{\perp}E_{z1}}{\omega^{2}/v^{2}_{A}-k^{2}_{z}}\right)&=v^{2}_{A}\mu J_{z1} \label{perp-current2}
  \end{align}
\end{subequations}
となる. ここで得られた(\ref{perp-current2})を用いると, (\ref{5-1})を書き換えることができ,
\begin{equation}
  \nabla\cdot\left(\frac{\nabla_{\perp}E_{z1}}{\omega^{2}/v^{2}_{A}-k^{2}_{z}}\right)-\frac{v^{2}_{A}}{c^{2}}E_{z1}\sum_{\sigma}\frac{\omega^{2}_{p\sigma}}{\omega^{2}-k^{2}_{z}T_{\sigma}/m_{\sigma}}=0 \label{5-2}
\end{equation}
が得られる.

(\ref{5-2})において $\nabla_{\perp}\to i\bm{k}_{\perp}$ と置き換えて整理すると,
\begin{equation}
  \frac{k^{2}_{\perp}}{\omega^{2}-k^{2}_{z}v^{2}_{A}}+\frac{\omega^{2}_{pe}}{c^{2}}\frac{1}{\omega^{2}-k^{2}_{z}T_{e}/m_{e}}+\frac{\omega^{2}_{pi}}{c^{2}}\frac{1}{\omega^{2}-k^{2}_{z}T_{i}/m_{i}}=0 \label{kin-dispersion-relation}
\end{equation}
が得られる.

次に, (\ref{kin-dispersion-relation})において, Alfv\'{e}n 速度 ($v_{A}=\omega/k\cos{\theta}=\omega/k_{z}$) と電子およびイオンの熱速度の大小関係を考えることにより二つのモードの波に分類し, それぞれについて考察する. 


\section{$v^{2}_{Ti}\ll v^{2}_{A}\ll v^{2}_{Te}$, および $v^{2}_{A}\ll v^{2}_{Ti}, v^{2}_{Te}$ の場合}

まず, $v^{2}_{Ti}\ll v^{2}_{A}\ll v^{2}_{Te}$, つまり $T_{i}/m_{i}\ll \omega^{2}/k^{2}_{z}\ll T_{e}/m_{e}$ の場合, (\ref{kin-dispersion-relation})は
\begin{equation}
  \frac{k^{2}_{\perp}}{\omega^{2}-k^{2}_{z}v^{2}_{A}}-\frac{\omega^{2}_{pe}}{c^{2}}\frac{1}{k^{2}_{z}T_{e}/m_{e}}+\frac{\omega^{2}_{pi}}{c^{2}}\frac{1}{\omega^{2}}=0 \label{kin-dispersion-relation2}
\end{equation}
となる. ここで, 今考えているモードの波がイオン音波よりも十分に速い, つまり $\omega^{2}/k^{2}_{z} \gg T_{e}/m_{i}$ であると仮定すると\footnote{イオン音波の位相速度は, 電子の温度がイオンの温度より十分高いとすると $T_{e}/m_{i}$ である.}, (\ref{kin-dispersion-relation2})の左辺第三項は無視でき, そこから分散関係
\begin{equation}
  \omega^{2}=k^{2}_{z}v^{2}_{A}\left(1+\frac{k^{2}_{\perp}}{v^{2}_{A}}\frac{T_{e}}{m_{e}}\frac{c^{2}}{\omega^{2}_{pe}}\right) \label{kin-dis-rel2-1}
\end{equation}
を得る. この分散関係で表される波は Kinetic Alfv\'{e}n 波と呼ばれる.

(\ref{kin-dis-rel2-1})から位相速度が得られ, 磁場に平行なものは
\begin{equation}
  v^{K}_{pz}=v_{A}\left(1+\frac{k^{2}_{\perp}}{v^{2}_{A}}\frac{T_{e}}{m_{e}}\frac{c^{2}}{\omega^{2}_{pe}}\right)^{1/2}
\end{equation}
であり, 磁場に垂直なものは
\begin{equation}
  v^{K}_{p\perp}=\frac{k_{z}}{k_{\perp}}v_{A}\left(1+\frac{k^{2}_{\perp}}{v^{2}_{A}}\frac{T_{e}}{m_{e}}\frac{c^{2}}{\omega^{2}_{pe}}\right)^{1/2}=\cot{\theta}v^{K}_{pz}
\end{equation}
である.

次に, $v^{2}_{A}\ll v^{2}_{Ti}, v^{2}_{Te}$, つまり $\omega^{2}/k^{2}_{z}\ll T_{i}/m_{i}, T_{e}/m_{e}$ の場合, (\ref{kin-dispersion-relation})は
\begin{equation}
  \frac{k^{2}_{\perp}}{\omega^{2}-k^{2}_{z}v^{2}_{A}}-\frac{\omega^{2}_{pe}}{c^{2}}\frac{1}{k^{2}_{z}T_{e}/m_{e}}-\frac{\omega^{2}_{pi}}{c^{2}}\frac{1}{k^{2}_{z}T_{i}/m_{i}}=0 \label{kin-dispersion-relation3}
\end{equation}
となる. これより, 同様に分散関係
\begin{equation}
  \omega^{2}=k^{2}_{z}v^{2}_{A}\left(1+\frac{k^{2}_{\perp}}{v^{2}_{A}}\frac{T_{e}}{(1+T_{e}/T_{i})m_{e}}\frac{c^{2}}{\omega^{2}_{pe}}\right) \label{kin-dis-rel3-1}
\end{equation}
を得る. この分散関係で表される波も Kinetic Alfv\'{e}n 波と呼ばれている. 

(\ref{kin-dis-rel3-1})から位相速度が得られ, 磁場に平行なものは
\begin{equation}
  v^{K}_{pz}=v_{A}\left(1+\frac{k^{2}_{\perp}}{v^{2}_{A}}\frac{T_{e}}{(1+T_{e}/T_{i})m_{e}}\frac{c^{2}}{\omega^{2}_{pe}}\right)^{1/2} 
\end{equation}
であり,
\begin{equation}
  v^{K}_{p\perp}=\frac{k_{z}}{k_{\perp}}v_{A}\left(1+\frac{k^{2}_{\perp}}{v^{2}_{A}}\frac{T_{e}}{(1+T_{e}/T_{i})m_{e}}\frac{c^{2}}{\omega^{2}_{pe}}\right)^{1/2}=\cot{\theta}v^{K}_{pz}
\end{equation}
である.

分散関係より, Kinetic Alfv\'{e}n 波は電子の慣性長 $c/\omega_{pe}$ と電子の熱速度 $T_{e}/m_{e}$ により Alfv\'{e}n 速度 $v_{A}$ からずれることがわかる. また Kinetic Alfv\'{e}n 波の位相速度に関して, $k_{z}\ll k_{\perp}$, つまり $\cot{\theta}\ll 1$ より, $v^{K}_{p\perp}\ll v^{K}_{pz}$ であることがわかる.



\section{$v^{2}_{A}\gg v^{2}_{Te}, v^{2}_{Ti}$ の場合}

$v^{2}_{A}\gg v^{2}_{Te}, v^{2}_{Ti}$, つまり $\omega^{2}/k^{2}_{z}\gg T_{e}/m_{e}, T_{i}/m_{i}$ の場合, 質量が $m_{i}\gg m_{e}$ より $\omega^{2}_{pe}\gg \omega^{2}_{pi}$ であることも考慮すると, (\ref{kin-dispersion-relation})は
\begin{equation}
  \frac{k^{2}_{\perp}}{\omega^{2}-k^{2}_{z}v^{2}_{A}}+\frac{\omega^{2}_{pe}}{c^{2}}\frac{1}{\omega^{2}}=0
\end{equation}
となる. これより分散関係
\begin{equation}
  \omega^{2}=\frac{k^{2}_{z}v^{2}_{A}}{1+k^{2}_{\perp}c^{2}/\omega^{2}_{pe}} \label{in-dis-rel}
\end{equation}
を得る. この波は Inertial Alfv\'{e}n 波と呼ばれる.

(\ref{in-dis-rel})から位相速度が得られ, 磁場に平行なものは
\begin{equation}
  v^{I}_{pz}=\frac{v_{A}}{(1+k^{2}_{\perp}c^{2}/\omega^{2}_{pe})^{1/2}}
\end{equation}
であり, 磁場に垂直なものは
\begin{equation}
  v^{I}_{p\perp}=\frac{k_{z}}{k_{\perp}}\frac{v_{A}}{(1+k^{2}_{\perp}c^{2}/\omega^{2}_{pe})^{1/2}}=\cot{\theta}v^{I}_{pz}
\end{equation}
である.

分散関係より, Inertial Alfv\'{e}n 波は電子の慣性長 $c/\omega_{pe}$ により Alfv\'{e}n 速度 $v_{A}$ からずれることがわかる. また Inertial Alfv\'{e}n 波の位相速度に関して, Kinetic Alfv\'{e}n 波の位相速度と同様に, $v^{I}_{p\perp}\ll v^{I}_{pz}$ であることがわかる.



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%\begin{figure}[htpb]
%  \centering
%  \includegraphics[width=12cm]{test.png}
%  \caption{\footnotesize{

%  }} 
%\end{figure}

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%\newpage
%\appendix
%\section*{付録 A }
%\markright{付録 A}
%\def\thepage{443-\arabic{page}}
%\def\theequation{\arabic{equation}}
%\setcounter{equation}{0}
%\setcounter{page}{1}

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% ここで本文おしまい
\end{document}

