%表題 磁気流体力学の定式化
%
%履歴 1990/07/03 吉田茂生      セミナーのレジュメ
%     2001/06/13 佐々木洋平    TeX 化開始
%     2001/07/07 竹広真一
%     2001/07/23 竹広真一      境界条件追加
%     2001/08/05 竹広真一      林コメントによる修正, 著作権変更
%     2001/08/07 竹広真一      2.1 節など少しずつ修正
%     2001/08/?? 吉田茂生      MHD, EHD 近似の導入説明変更
%     2001/09/02 佐々木洋平    4 章の図, 5章追加
%     2001/09/27 竹広真一      5,6 章追加修正
%     2001/11/06 佐々木洋平    1,2 章修正
%     2001/11/13 佐々木洋平    5 章 修正
%     2001/11/14 佐々木洋平    林コメント修正
%     2001/11/21 吉田茂生      境界条件修正
%     2001/11/24 佐々木洋平    誤字脱字修正
%     2001/11/30 吉田茂生      2.1 MHD近似の補足説明
%     2001/12/21 佐々木洋平    2.1 MHD近似の補足説明,修正
%     2001/12/24 林祥介        添削修正
%     2001/12/25 佐々木洋平    ソースの修正.
%     2001/12/27 佐々木洋平    2.1, 2.2 節の改訂, 林コメント修正
%     2002/03/23 佐々木洋平    4 章改訂, 吉田コメント修正
%     2002/04/19 佐々木洋平    林コメント修正
%         :
%     2002/07/25 佐々木洋平    4 章改定
%
\documentclass[a4j,12pt,notitlepage]{jarticle}
\usepackage{times} % pdf ファイルを作成する場合にはコメントを外す.
\usepackage{Dennou6}

\Dtitle[MHD の定式化]{磁気流体力学(MHD)の定式化}
\Dauthor[吉田・竹広・佐々木・林]
        {吉田茂生・竹広真一・佐々木洋平・林祥介}
\Ddate{2002 年 7 月 5 日}
\Dpath{/riron/mhd/teishiki/src/}
\Dnoparindent

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents
% \footnote{この文章はまだ未完成である. 
%          $\mu, \varepsilon, \sigma$ を一定としない場合で統一したい.}

\newpage
\markright{\abstractname}
\begin{abstract}
\noindent
  「磁気流体力学(Magnetohydrodynamics, 以下 MHD)」は
  電気伝導性流体のゆっくりとした運動を記述するための基本的な
 理論の枠組である.
  ここでは  MHD の基礎方程式系を導出する. 
\vspace{1em}

\noindent 
  電気伝導性流体の運動を完全に記述するためには, 
  電磁場の基礎方程式(マクスウェルの方程式とオームの法則)
  および流体の支配方程式(質量保存則, 運動方程式, エネルギー保存則)
  を組み合わせる必要がある. 
  しかしながら流体の速度が光速と比較して十分に小さく, 
  かつ, 流体の電気伝導度が十分に大きく電荷の緩和時間に比べて
  系の特徴的な時間スケールが十分長い場合には, 
  電場を陽に用いず磁場だけで電磁場の振舞を表現することができるようになる. 
  結果として, 光速で伝わる電磁波が系から取り除かれることになっている. 
  この事情はちょうど圧縮性を伴う流体から音波を取り除く
  非弾性近似あるいは非圧縮近似と良く似ている. 

\end{abstract}

%----------------------------------------------------------------------
\Dparskip

%======================================================================
\newpage
\section{電磁流体の基礎方程式}

%----------------------------------------------------------------------
  \subsection{電磁場の式とその簡単な復習}
  \label{subsec:Maxwell-Eqs}
  
  電磁場を支配する式はマクスウェル方程式
  \begin{eqnarray}
    \Deqlab{ガウスの法則}
      \Ddiv{\Dvect{D}} &=& \rho_{e}, \\
    \Deqlab{磁場のソレノイド条件}
      \Ddiv{\Dvect{B}} &=& 0, \\
    \Deqlab{ファラデーの法則}
      \Drot\Dvect{E} &=& -\DP{\Dvect{B}}{t}, \\
    \Deqlab{アンペールの法則}
      \Drot\Dvect{H} &=& \Dvect{J} + \DP{\Dvect{D}}{t}
  \end{eqnarray}
  である
  \footnote{
  本文書では単位系として MKSA 単位系を用いることとする. 
  }. 
  ここで
  \begin{quote}
    \begin{tabular}{ll}
      $\Dvect{D}$  & 電気変位(electrical displacement) \\
		   & あるいは電束密度(electrical flux density) \\
      $\rho_e$     & 電荷密度(electric charge density) \\ 
      $\Dvect{B}$  & 磁束密度(magnetic flux density) \\ 
      $\Dvect{E}$  & 電場(electric field) \\
      $\Dvect{H}$  & 磁力(magnetizing force) \\ 
		   & あるいは磁場の強さ 
		     (magnetic field, magnetic (field) intensity, \\
		   & magnetic field strength) \\
      $\Dvect{J}$  & 電流密度(electric current density) 
    \end{tabular}
  \end{quote}
  である.
  
  \Deqref{ガウスの法則}はガウスの法則と呼ばれる. 
  電荷が存在するとその正負によって電場が湧き出し,  
  あるいは吸い込みとなることを表す. 
  
  \Deqref{磁場のソレノイド条件}は, 磁場の湧き出しあるいは吸い込みに
  あたる磁気単極子が存在しないことを表しており, 
  磁束が途中で切れてしまわないことを意味している. 
  
  \Deqref{ファラデーの法則}はファラデーの電磁誘導の法則と呼ばれる.
  ある閉曲線で囲まれた面をつき抜ける磁束密度が変化すると, 
  閉曲線にそって電場が生じることを表している. 
  
  \Deqref{アンペールの法則}はアンペールの法則と呼ばれる. 
  電束密度が時間変化しない場合には
  ある閉曲線で囲まれた面をつき抜ける電流の総量と, 
  閉曲線に沿った磁場が比例関係にあることを示している. 
  $\partial \Dvect{D}/\partial t$
  は変位電流(displacement current)と呼ばれ, 
  電場の時間変化が電流と同じ効果をもたらし磁場を伴うことを表している. 
  この項が存在することの必然性は電荷の保存則から要請される. 

  アンペールの法則 \Deqref{アンペールの法則} 
  に対して $\Ddiv$ を作用すると, 
  \begin{displaymath}
    \Ddiv(\Drot\Dvect{H})
	= \Ddiv\left(\Dvect{J} + \DP{\Dvect{D}}{t}\right)
        = \Ddiv\Dvect{J} + \DP{}{t}\Ddiv\Dvect{D}.
  \end{displaymath}
  ここで $\Ddiv(\Drot\Dvect{H})=0$ であることと,
  ガウスの法則 \Deqref{ガウスの法則}を用いることで
  \begin{equation}
    \Deqlab{電荷保存則}
      \DP{\rho_e}{t} + \Ddiv\Dvect{J} = 0
  \end{equation}
  が得られる. 
  この式は電荷保存則と呼ばれ,
  電荷密度の時間変化が, 
  電荷の流束であるところの電流の収束発散によってもたらされることを
  意味している. 
  もしもアンペールの法則に変位電流の項が存在しなければ
  $\Ddiv\Dvect{J}=0$ となってしまい, 電荷の保存則が導出できなくなる.

  マクスウェル方程式だけでは系が閉じておらず, 
  $\Dvect{D}$ と $\Dvect{E}$, $\Dvect{H}$ と $\Dvect{B}$ の
  関係式である構成方程式
  \begin{eqnarray}
    \Deqlab{構成方程式電場}
      \Dvect{D} &=& \varepsilon \Dvect{E}, \\
    \Deqlab{構成方程式磁場}
      \Dvect{B} &=& \mu \Dvect{H}
  \end{eqnarray}
  が必要となる. 
  ここで $\varepsilon$, $\mu$ はそれぞれ誘電率(permittivity), 
  透磁率(permeability)と呼ばれ, 物質毎に定まる量である
  \footnote{
	    一般的には $\varepsilon$, $\mu$ はスカラーではない. 
	    電磁気的に異方的な性質を持つ物質の場合には 2 階テンソ
	    ルとなる
	    (ベクトルを線形的に結びつけるのは 2 階テンソル).
	    以下では簡単のため等方的で一様な物質しか考えないこと
	    とする. 
  }.
	  
  さらに, 導体内部での電流密度と電場の間に線形関係(オームの法則)
  \begin{equation}
    \Deqlab{オームの法則}
      \Dvect{J}'=\sigma \Dvect{E}'
  \end{equation}
  が成立するものと仮定する.
  $\sigma$ は電気伝導度(conductivity)である. 
  添字$~'$ は導体とともに動く系から見たときの量を
  表しており, その系でのみ上の表現が成り立つ
  \footnote{
	    マクスウェル方程式はどの慣性系でも同じ形である. 
            いわゆる相対性原理. 
  }.
  以上 8 本の方程式によって電磁場は完全に記述される.

  ここであげた電磁場の支配方程式の本数は, 
  マクスウェルの式が (1+1+3+3=)8 本 , 
  電荷保存則 1 本, 
  構成方程式が (3+3=)6 本, 
  オームの法則 3 本の計 18 本である.  
  それに対して従属変数は 
  $\Dvect{D}, \Dvect{E}, \Dvect{B}, \Dvect{H}, \rho_e, \Dvect{J}$ 
  であり, 
  その成分毎の数は (3x5+1=)16 個 であるから, 
  変数の数に比べて式の数が多くなっている.  
  そのため条件の与えすぎではないかという疑問が生じる.  
  しかしながら, ガウスの法則 \Deqref{ガウスの法則} と 
  磁場のソレノイド条件 \Deqref{磁場のソレノイド条件} 
  は初期値についての制約でしかない.  
  以下に示すように
  ファラデーの法則 \Deqref{ファラデーの法則} と 
  アンペールの法則 \Deqref{アンペールの法則} の発散をとると
  \begin{eqnarray*}
    \Ddiv\left(\Drot\Dvect{E}\right) = -\Ddiv\DP{\Dvect{B}}{t}
	&\to& 0 = \DP{}{t}\left( \Ddiv\Dvect{B} \right).
    \\
    \Ddiv\left(\Drot\Dvect{H}\right) 
	= \Ddiv\left(\Dvect{J}+\DP{\Dvect{D}}{t}\right) 
	&\to& 0 = \Ddiv\Dvect{J} + \DP{}{t}\Ddiv\Dvect{D}, 
	\\
	&\to&  0 = \DP{}{t}\left( \Ddiv\Dvect{D} - \rho_{e} \right).
  \end{eqnarray*}
  である. 
  後者に関しては電荷保存則も用いた.
  これらの式から, ガウスの法則 \Deqref{ガウスの法則} と
  磁場のソレノイド条件 \Deqref{磁場のソレノイド条件} は
  初期値において満たされているならば, 
  その後も常に満たされていることがわかる.  
  よって, 時間発展計算の際に考える方程式の本数は全部で 16 本となる. 
  この数は従属変数の数( 16 個)と同じであり, 
  条件の与えすぎにはならないことがわかる.
      
  時間発展計算を考える場合, その手順は以下の通りになる.
  \begin{enumerate}
    \item ファラデーの法則 \Deqref{ファラデーの法則}, 
	  アンペールの法則 \Deqref{アンペールの法則}, 
	  そして電荷保存則 \Deqref{電荷保存則}によって, 
	  各々 
	  $\Dvect{B},~\Dvect{D},~\rho_{e}$ 
	  の次の時間の場を計算する.  
    \item 電場と磁場についての構成方程式 
	  \Deqref{構成方程式電場} 及び \Deqref{構成方程式磁場} を
	  用いて $\Dvect{E}, \Dvect{H}$ を求める.  
    \item 最後に オームの法則 \Deqref{オームの法則} を用いて
	  電場から電流密度 $\Dvect{J}$ を計算する. 
  \end{enumerate}
  本来, 電流密度 $\Dvect{J}$ の時間発展方程式
  (流体のうちの電荷を持つ部分の運動方程式) 
  が存在しているはずであるが, 
  オームの法則はその時間変化を無視することによって
  得られるバランス方程式(加速度と散逸がつりあっている)
  として位置付けられる. 

%----------------------------------------------------------------------
  \newpage
  \subsection{流体力学の式}
  
  電磁場と相互作用する流体の支配方程式は,
  連続の式(質量保存則)
  \begin{equation}
    \Deqlab{質量保存則}
      \DP{\rho}{t}+ \Ddiv(\rho\Dvect{v})=0
  \end{equation}
  運動方程式(運動量保存則)
  \begin{equation}
    \Deqlab{運動方程式}
      \rho\left[ \DP{\Dvect{v}}{t} +(\Dvect{v}\cdot\Dgrad)\Dvect{v}\right] 
        = -\Dgrad{p} + \Ddiv{\underline{\Dvect{\tau}}} 
	% -\rho\Dgrad{\phi}
	  + \Dvect{F_V}
  \end{equation}
  熱の式
  \begin{equation}
    \Deqlab{熱の式}
      \rho T \left[\DP{s}{t} + (\Dvect{v}\cdot\Dgrad)s \right] 
        = (\underline{\Dvect{\tau}}\cdot\Dgrad)\Dvect{v} + \Ddiv(k\Dgrad T)
        + H_M
  \end{equation}
  である.
  ここで 
  \begin{quote}
    \begin{tabular}{ll}
      $\rho$  	   & 流体の密度  \\
      $\Dvect{v}$  & 速度ベクトル \\ 
      $p$ 	   & 圧力 \\ 
      $\underline{\Dvect{\tau}}$ & 粘性応力テンソル \\ 
      $\Dvect{F_M}$ & 電磁場から流体へと作用する力 \\ 
      %$-\Dgrad{\phi}$ & 重力, $\phi$ は重力ポテンシャル\\ 
      $s$          & エントロピー \\
      $T$          & 温度 \\ 
      $k$          & 熱伝導率 \\ 
      $H_M$        & 電磁場から流体に加えられる熱
    \end{tabular}
  \end{quote}
  である
  \footnote{
  	   流体力学の式の導出と応力テンソルの表現については
  	   シリーズ「連続体力学(流体力学/弾性体力学)の定式化」
	   を参照のこと.
  }.
  
  以上の方程式では系が閉じておらず, 流体の熱力学的構造を与える
  熱力学関数と応力と運動場との関係を与える構成方程式とが必要になる. 
  通常, 
  熱力学関数は状態方程式と基準圧力における比熱の値の組で与えられる.
  \begin{equation}
    \Deqlab{熱力学関数}
      \rho=\rho(p,T),~~~
      c_{p0}=c_{p}(p_{0},T)~~~\mbox{($p_{0}$ は適当な基準圧力)}
  \end{equation}
  また, 構成方程式は, 例えばいわゆるナビエ・ストークス流体においては
  \begin{equation}
    \tau_{ij} = \rho\nu \left( \DP{v_{i}}{x_{j}} + \DP{v_{j}}{x_{i}} \right)
  \end{equation}
  である. ここで $\nu$ は物質毎に定まる量で, 動粘性率と呼ばれる.

  電磁場が導電性流体に作用する力 $\Dvect{F_M}$ は
  \begin{equation}
    \Deqlab{電磁気力}
      \Dvect{F_M} = \rho_e \Dvect{E} + \Dvect{J}\times\Dvect{B}
  \end{equation}
  である. 
  右辺第 1 項は電場からのクーロン力,
  第 2 項はローレンツ力である
  \footnote{
       電場による力を含めてローレンツ力と呼ぶ流儀もある
       (ex. 砂川, 理論電磁気学).}.
       
  電磁場から流体に加えられる熱 $H_M$ の具体的な形はここでは示さない
  \footnote{
	    流体力学ハンドブックでは
      	    \begin{displaymath}
       	      H_M = -\rho_e\Dvect{E}\cdot\Dvect{v} 
                  + \Dvect{J}\cdot(\Dvect{E}+ \Dvect{v}\times\Dvect{B}).
      	    \end{displaymath}
      	    右辺第 1 項は電場からの仕事, 
      	    第 2 項はジュール熱を表している.
  }.
  電気抵抗を持つ伝導体中を電流が流れることで生じる
  ジュール熱はこの項に含まれることになる. 
  
%======================================================================
\newpage
 \section[MHD 近似]{磁気流体近似(MHD 近似)}
 
%----------------------------------------------------------------------
  \subsection{光速に比べ遅い現象の記述：MHD と EHD}
  \label{subsec:MHDapp}
  
  いま, 考えている現象の時間スケールを $\tau$, 空間スケールを $l$
  とする. 
  また, 電場, 磁場の特徴的な大きさを $E,B$ と表すことにする.
  マクスウェル 方程式のうち   
  ファラデーの法則 \Deqref{ファラデーの法則}, 
  アンペールの法則 \Deqref{アンペールの法則}   
  \begin{eqnarray*}
    \Drot\Dvect{E} = -\DP{\Dvect{B}}{t},~~~
    \Drot\Dvect{H} = \Dvect{J} + \DP{\Dvect{D}}{t}   
  \end{eqnarray*}
  において, 
  仮に両方の式の時間変化項が無視できないとし,
  左辺とバランスするとすれば,
  \begin{eqnarray*}
   && 
    \mathcal{O}\left( \Drot{\Dvect{E}}  \right) = \frac{E}{l},~~~
    \mathcal{O}\left( \DP{\Dvect{B}}{t} \right) = \frac{B}{\tau}. 
    \\ 
   &&
    \mathcal{O}\left( \Drot{\Dvect{H}}  \right) = \frac{B}{l \mu}, ~~~
    \mathcal{O}\left( \DP{\Dvect{D}}{t} \right) = \varepsilon \frac{E}{\tau}.
  \end{eqnarray*}
  より
  \begin{eqnarray*}
    \frac{E}{l} = \frac{B}{\tau},~~~ 
    \frac{B}{l \mu} = \varepsilon \frac{E}{\tau}.
  \end{eqnarray*}
  すなわち
  \begin{equation}
    \tau = l \sqrt{\mu \varepsilon} \sim \frac{l}{c}
  \end{equation}
  でなければならない.
  ここで, $\sim$ は
  誘電率と透磁率が真空中の値と大きな差が無いとした
  ことを意味している.
  $c \equiv 1/\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}} $
  は光速である. このようなバランスが成り立つ現象は光（電磁波）である.

  したがって, 光の伝播時間に比べて十分長い時間スケールで変化する現象
  \begin{equation}
    \tau \gg \frac{l}{c}
  \end{equation}
  を扱うならば, 
  上記バランスのいずれかが成立しなくなり,
  ファラデーの法則 \Deqref{ファラデーの法則}, 
  もしくは アンペールの法則 \Deqref{アンペールの法則} 
  が含む時間変化項のうちどちらかが無視できることになるはずである.
  以下で説明するように, アンペールの法則 
  が含む時間変化項が無視できれば, 
  磁場が卓越する 「MHD （磁気流体力学）」の式が導かれる. 
  一方で, ファラデーの法則が含む時間変化項が無視できれば 
  電場が卓越する「 EHD （電気流体力学）」の式が導かれる. 
  それらの違いは,
  電気が良く流れるかどうかで決まる. 
  電気が良く流れる場合は MHD の世界になり, 
  流れない場合は EHD の世界になる.

  いまファラデーの法則 \Deqref{ファラデーの法則} の時間変化項が
  無視できないものとする. すなわち,
  \begin{equation}
   \Deqlab{E/B比}
    \frac{E}{B} = \frac{l}{\tau}
  \end{equation}
  が成り立っているとする
  ($E \ll cB$である, すなわち磁場が卓越している).
  これを用いてアンペールの法則\Deqref{アンペールの法則}の
  右辺と左辺第 2 項の大きさを比較すると
  \begin{displaymath}
    \mathcal{O}
     \left(
     \frac{\partial\Dvect{D}/\partial t}{\Drot\Dvect{H}} 
     \right)
      = \frac{\varepsilon E}{\tau}\cdot\frac{\mu l}{B}
   	\sim \varepsilon_0 \mu_0\frac{l}{\tau}\cdot\frac{E}{B}
      = \frac{1}{c^2} \left(\frac{l}{\tau} \right)^2
   	\ll 1. 
  \end{displaymath}
  したがって変位電流の項を無視することができ, アンペールの法則が
  \begin{equation}
    \Deqlab{MHDアンペールの法則}
      \Drot\Dvect{H} = \Dvect{J}
  \end{equation}
  となる. これが成立するのが MHD の世界である.

  一方, アンペールの法則 \Deqref{アンペールの法則} の時間変化項が
  無視できないものとする
  ($E \gg cB$である, すなわち磁場が卓越している).
  このときは, 前段落と同様にして
  \begin{equation}
    \Deqlab{H/D比}
      \frac{B}{E} = \varepsilon \mu \frac{l}{\tau}
                  \sim \frac{1}{c^{2}}\frac{l}{\tau}
  \end{equation}
  である.
  これを用いてファラデーの法則\Deqref{ファラデーの法則}の
  右辺と左辺の大きさを比較すると
  \begin{displaymath}
    \mathcal{O}
     \left(
     \frac{\partial\Dvect{B}/\partial t}{\Drot\Dvect{E}} 
     \right)
      = \frac{B}{\tau} \cdot \frac{l}{E}
      \sim \frac{1}{c^2} \left(\frac{l}{\tau} \right)^2
   	\ll 1. 
  \end{displaymath}
  したがって磁場変化の項を無視することができ, ファラデーの法則が
  \begin{equation}
    \Deqlab{EHDファラデーの法則}
      \Drot\Dvect{E} = \Dvect{0}
  \end{equation}
  となる. これが成立するのが EHD の世界である。
  
  さて, 光より遅い世界で, MHD と EHD のどちらが成立するかを分けるものは
  何だろうか? 
  それを見るために, アンペールの法則の方に注目してみよう.
  \ref{subsec:Maxwell-Eqs} 節で見たように, 
  アンペールの法則の
  発散は電荷保存則である. そこで,
  導体に対して静止している座標系において考え, 
  オームの法則 \Deqref{オームの法則} と
  ガウスの法則 \Deqref{ガウスの法則}
  \begin{displaymath}
    \Dvect{J}' = \sigma \Dvect{E}',~~~
    \Ddiv \Dvect{D}' = \rho_{e}'
  \end{displaymath}
  を, 電荷の保存則 \Deqref{電荷保存則}
  \begin{displaymath}
    \DP{\rho_{e}'}{t} + \Ddiv\Dvect{J}' = 0
  \end{displaymath}
  に代入すると
  \begin{displaymath}
    \DP{\rho_e'}{t}
    + \frac{\sigma}{\varepsilon} \rho_e' = 0
  \end{displaymath}
  が得られる. 
  ここで簡単のため $\sigma$ は一定とした. 
  この式より電荷の大きさが $e^{-1}$ になる時間を
  電荷の緩和時間 $\tau_{e} \equiv \varepsilon/\sigma$ 
  と定義することができる. 
  すでに見たように, 
  MHD 近似が成り立つということは
  アンペールの法則において変位電流が無視できるということであった. 
  それは, 電荷の保存則
  にやきなおして考えると, 
  $\partial \rho_e' / \partial t$ が無視できるということに他ならない. 
  そのためには, 
  現象の変化の時間スケール $\tau$ が緩和時間 $\tau_e$ に比べて
  十分に長いことが必要である:
  \begin{displaymath}
    \tau \gg \tau_e = \frac{\varepsilon}{\sigma}.
  \end{displaymath}
  それを言い換えれば, 
  電気を十分に良く流すので, 考える時間スケールよりも
  十分速やかに電気的な中性が達成されるということである.
  そのため, 電荷密度が $\rho_{e}' \sim 0 $
  となる.

  まとめると, MHD 近似の世界が現れるのは, 
  十分に電気を良く通し, 流体とともに動く系で電気的な中性が
  速やかに達成されるような系である, ということになる.
  それほど電気を流さない系では EHD 近似の世界が現れる. 
  現実的に有用な系では
  MHD の世界が重要になる場合が多い. 
  そこで, 以下ではずっと MHD 近似を扱う.

  以上で議論は一応十分なのだが, 
  いろいろな量の大きさをより明快にするために, 
  形式的なオーダリングにより MHD 近似を導いてみよう. 
  簡単のために以下の議論では導体に静止している座標系において考える.
  電磁場の諸量を次の様に無次元化する:
  \begin{eqnarray}
    \Dvect{E}' &=& E \Dvect{E}_{*}, \\
    \Dvect{D}' &=& \varepsilon_{0} E \Dvect{D}_{*},\\
    \Dvect{B}' &=& B \Dvect{B}_{*},\\
    \Dvect{H}' &=& \frac{1}{\mu_{0}} B \Dvect{H}_{*}, \\
    \Dvect{J}' &=& J_{0}\Dvect{J}_{*},\\
    \rho_{e}'  &=& \rho_{e0}\rho_{e*}.
  \end{eqnarray}
  ただし $\rho_{e0}$, $J_{0}$ は
  それぞれ電荷密度, 電流密度のスケールであり,
  添字 $*$ は無次元量であることを意味している.
  無次元化されたマクスウェル方程式は
  \begin{eqnarray}
    \Deqlab{無次元化したガウスの法則}
      \nabla_{*}\cdot\Dvect{D}_{*} &=& 
        \frac{l\rho_{e0}}{\varepsilon_{0}E}\rho_{e*}, 
    \\
      \nabla_{*}\cdot\Dvect{B}_{*} &=& 0, 
    \\
    \Deqlab{無次元化したファラデーの法則}
      \nabla_{*}\times\Dvect{E}_{*} &=& 
        - \frac{lB}{\tau E} \DP{\Dvect{B}_{*}}{t_{*}}, 
    \\
    \Deqlab{無次元化したアンペールの法則}
      \nabla_{*}\times\Dvect{H}_{*} &=& 
       \frac{\mu_{0} l J_{0}}{B}\Dvect{J}_{*} 
     + \frac{\mu_{0}\varepsilon_{0} l E}{\tau B}\DP{\Dvect{D}_{*}}{t_{*}}
  \end{eqnarray}
  となる. 

  オームの法則 \Deqref{オームの法則}より,
  \begin{displaymath}
    \Dvect{J} = \sigma \Dvect{E} 
      \to
    J_{0} \Dvect{J}_{*} = \sigma E \Dvect{E}_{*}
  \end{displaymath}
  であるから, 
  \begin{displaymath}
   J_{0} = \sigma E = \frac{\varepsilon_{0}}{\tau_{e}} E
  \end{displaymath}
  とするのがよい. 
  ここで,
  $\tau_{e} \equiv \varepsilon_{0} / \sigma$ 
  は電荷の緩和時間である.

  さて,
  \begin{displaymath}
    \epsilon \equiv \frac{l}{c\tau} \ll 1
  \end{displaymath}
  を導入して
  無次元化されたファラデーの法則
  \Deqref{無次元化したファラデーの法則}及び
  アンペールの法則
  \Deqref{無次元化したアンペールの法則}
  を書き直すと,
  \begin{eqnarray}
    \nabla_{*}\times\Dvect{E}_{*} &=& 
        - \epsilon \frac{cB}{E} \DP{\Dvect{B}_{*}}{t_{*}}, 
    \\
    \nabla_{*}\times\Dvect{H}_{*} &=&   
      \epsilon\frac{E}{cB}
      \left[
	\frac{\tau}{\tau_{e}} \Dvect{J}_{*} + \DP{\Dvect{D}_{*}}{t_{*}}
      \right].
  \end{eqnarray}  
  
  従って, 
  \begin{quote}
    $E \sim \epsilon cB$
   かつ $\tau \gg \tau_{e}$ ならば   
   \begin{eqnarray}
     \nabla_{*}\times\Dvect{E}_{*} &=& 
         -  \DP{\Dvect{B}_{*}}{t_{*}}, 
     \\
      \nabla_{*}\times\Dvect{H}_{*} &=&   
      \epsilon^{2}
	\frac{\tau}{\tau_{e}} \Dvect{J}_{*}
   \end{eqnarray}  
   となり, MHD が成り立つ. ここで, $E = \epsilon cB$ とした
\iffalse
   \footnote{
   この条件は,
   速度スケール $v$ ($ \sim l/ \tau$) を用いて,
   \[
    E \sim v B
   \]
   と表される事が多い.
   }
\fi
.  
  \end{quote}
  一方
  \begin{quote}
    $E \sim \epsilon^{-1} cB$ ならば   
   \begin{eqnarray}
     \nabla_{*}\times\Dvect{E}_{*} &=& 0,
     \\
     \nabla_{*}\times\Dvect{H}_{*} &=&   
       \frac{\tau}{\tau_{e}} \Dvect{J}_{*} + \DP{\Dvect{D}_{*}}{t_{*}}
   \end{eqnarray}  
   となり, EHD が成り立つ. ただし, $E = \epsilon^{-1} cB$ とした.
  \end{quote}
  
%----------------------------------------------------------------------
  \newpage
  \subsection{MHD 近似の下での電荷保存則}

  \ref{subsec:MHDapp}節より, MHD 近似の下では
  マクスウェル方程式のうちアンペールの法則だけが変更される.
  すなわち
  \Deqref{アンペールの法則} の変位電流が無視できることより,
  \Deqref{MHDアンペールの法則} が得られた:
  \begin{displaymath}
   \Drot\Dvect{H} = \Dvect{J}. 
  \end{displaymath}  
  さらにこの発散を取ると, 
  MHD 近似の下での電荷保存則
  \begin{equation}
   \Deqlab{MHD電荷保存則}
    \Ddiv\Dvect{J}=0
  \end{equation}
  が得られる. 
  MHD 近似の元では電荷密度の時間変化が無視されていることに
  注意されたい. 
  このことは導体中に電荷がほとんどたまらないということを意味している.

  前節の導体に対して静止している系での
  スケーリングを用いて考えるならば以下の様な議論になる.
  電荷密度のスケール $\rho_{e0}$ を 
  無次元化されたガウスの法則 \Deqref{無次元化したガウスの法則} より
  \begin{equation}
    \rho_{e0} = \varepsilon_{0}\frac{E}{l}
  \end{equation}
  と選ぶことになる.
  その結果,電荷保存則 \Deqref{電荷保存則} は
  \begin{equation}
    \frac{\tau_{e}}{\tau}  \DP{\rho_{e*}}{t_{*}} 
     + \nabla_{*}\cdot\Dvect{J}_{*}=0.
  \end{equation}
  従って $\tau \gg \tau_{e}$ である, MHD 近似が成立する条件の下では,
  \begin{equation}
    \nabla_{*}\cdot\Dvect{J}_{*}=0
  \end{equation}
  が得られる.
  これに対応して,
  \begin{equation}
    \rho_{e*} = 0, ~~~
    \nabla_{*}\cdot\Dvect{E}_{*} = 0
  \end{equation}
  であることになる
%  \footnote{
%  物性値が異なる場合の電荷保存…
%  }.
  
%----------------------------------------------------------------------
\newpage
  \subsection{MHD 近似の下でのオームの法則}
  \label{subsec:Lorentz}

  慣性系とそれに対して相対的に動いている系(導体とともに動いている)での
  電磁場の諸量の変換則を MHD 近似の下で書き直し, 
  動いてる物質に対するオームの法則の表現を求めることにする. 

  電磁場中を速度 $\Dvect{v}$ で運動している導体について考える. 
  導体に対して静止している系
  (観測者に対して 速度 $\Dvect{v}$ で運動する系)
  の諸量に$~'$をつけて表し, 
  観測者のいる系での諸量はそのまま表記することにする. 
  これらはローレンツ変換により
  \begin{eqnarray}
   \Dvect{E}' 
    &=& (1-\gamma)\frac{(\Dvect{v}\cdot\Dvect{E})\Dvect{v}}{v^2}
    +\gamma(\Dvect{E}+\Dvect{v}\times\Dvect{B}),\\
   \Dvect{B}' 
    &=& (1- \gamma)\frac{(\Dvect{v}\cdot\Dvect{B})\Dvect{v}}{v^2}
    +\gamma(\Dvect{B} - \frac{\Dvect{v}\times\Dvect{E}}{c^2}),\\
   \rho_{e}' 
    &=& \gamma\left(\rho_{e}-\frac{\Dvect{v}\cdot\Dvect{J}}{c^2}\right),\\
   \Dvect{J}' 
    &=& \Dvect{J}+(\gamma-1)\frac{(\Dvect{v}\cdot\Dvect{J})\Dvect{v}}{v^2}
    - \gamma\rho_{e}\Dvect{v}
  \end{eqnarray}
  という関係で結ばれる. ここで
  \begin{equation}
   \gamma = \sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}
  \end{equation}
  である\footnote{ローレンツ変換の導出については別文書を用意すべし}. 
  
  MHD 近似の下では, 導体の速さスケール $v = l / \tau$ 
  が光速よりも十分に小さい事より,
  \begin{equation}
   \Deqlab{c_v}
    \gamma = 1. 
  \end{equation}
  よってローレンツ変換は
  \begin{eqnarray}
   \Deqlab{K_E}
    \Dvect{E}' &=& \Dvect{E} + \Dvect{v}\times\Dvect{B},  \\
   \Deqlab{K_B}
    \Dvect{B}' &=& \Dvect{B} - \frac{\Dvect{v}\times\Dvect{E}}{c^2},\\
   \Deqlab{K_rho}
    \rho_{e}' &=& \rho_{e} - \frac{\Dvect{v}\cdot\Dvect{J}}{c^2},\\
   \Deqlab{K_J} 
    \Dvect{J}' &=& \Dvect{J}  - \rho_{e}\Dvect{v}
  \end{eqnarray}
  と近似される. 
  さらに \Deqref{K_B},\Deqref{K_J} の右辺の項の大きさを
  ガウスの法則 \Deqref{ガウスの法則},
  電場と磁場のスケールの比 \Deqref{E/B比},  
  MHD 近似の下でのアンペールの法則 \Deqref{MHDアンペールの法則}
  を用いて比較すると
  \begin{eqnarray}
   & & \mathcal{O}\left(
    \frac{ \Dvect{v}\times\Dvect{E}/c^2}{\Dvect{B}}
		 \right)
    =  \frac{v^2}{c^2} \ll 1,\\
   & & \mathcal{O}\left(
    \frac{\rho_e\Dvect{v}}{\Dvect{J}}
		 \right)
    = \mathcal{O}\left(
    \frac{\Ddiv\Dvect{D}~\Dvect{v}}{\Drot\Dvect{H}}
		\right)
    \sim \frac{\varepsilon_0 Ev}{l}\frac{\mu_0 l}{B}
    = \frac{v^2}{c^2} \ll 1.
  \end{eqnarray}
  よって \Deqref{K_B},\Deqref{K_J}の右辺第 2 項は無視することができる. 
  これに対して, \Deqref{K_E}, \Deqref{K_rho} の右辺の各項は
  それぞれ同じオーダーとなっている. 

  結果として, MHD 近似の下でのローレンツ変換
  \begin{eqnarray}
   \Deqlab{変換したE}
   \Dvect{E}' &=& \Dvect{E}+\Dvect{v}\times\Dvect{B}, \Deqlab{Lorentz_E}\\
   \Dvect{B}' &=& \Dvect{B},  \\
   \Deqlab{変換したrho}
   \rho_{e}' &=& \rho_{e} - \frac{\Dvect{v}\cdot\Dvect{J}}{c^2}, \\
   \Dvect{J}' &=& \Dvect{J}
  \end{eqnarray}
  が得られる.
  磁場と電流は相対的に動いている系から見ても変わらないが, 
  電場と電荷密度は系によって見え方が違って来ることに注意されたい. 
    
  これらからオームの法則 \Deqref{オームの法則} は
  \begin{equation}
   \Deqlab{MHDオームの法則}
    \Dvect{J} = \sigma (\Dvect{E}+\Dvect{v}\times\Dvect{B})
  \end{equation}
  となる. これが MHD 近似の元でのオームの法則である.

%----------------------------------------------------------------------
\newpage
  \subsection{誘導方程式の導出}
   
  MHD 近似を施したマクスウェル方程式とオームの法則から,
  磁場 $\Dvect{B}$ 以外の電磁場の諸量を消去することにより, 
  磁場 $\Dvect{B}$ の時間発展の式である
  「誘導方程式」を導出する.

  MHD 近似の下
  でのオームの法則 \Deqref{MHDオームの法則} より,
  \begin{displaymath}
   \frac{\Dvect{J}}{\sigma} = \Dvect{E}+\Dvect{v}\times\Dvect{B}
  \end{displaymath}
  である. 左辺の電流密度を \Deqref{MHDアンペールの法則}より磁場について
  書き直すと
  \begin{displaymath}
   \frac{1}{\sigma}\Drot\left(\frac{\Dvect{B}}{\mu}\right) 
    =\Dvect{E}+\Dvect{v}\times\Dvect{B}
  \end{displaymath}
  である. この回転をとると,
  \begin{displaymath}
   \Drot\left(
   \frac{1}{\sigma \mu} \Drot\Dvect{B}
   \right)
   = \Drot \Dvect{E}+\Drot(\Dvect{v}\times\Dvect{B})
  \end{displaymath}  
  となる. 
  ここで 
  ファラデーの法則 \Deqref{ファラデーの法則} より,
  \begin{displaymath}
   \Drot\Dvect{E} = -\DP{\Dvect{B}}{t}
  \end{displaymath}
  であるから,
  \begin{equation}
   \Deqlab{誘導方程式}
    \DP{\Dvect{B}}{t} = 
    \Drot(\Dvect{v}\times\Dvect{B})
    - \Drot( \eta\Drot\Dvect{B})
  \end{equation}
  となる. この式は「誘導方程式(Induction equation)」と呼ばれる. 
  ここで $\eta=1/\sigma\mu$ は磁気拡散率である. 
  特に $\eta$ が場所によらず一定であるならば
  磁場のソレノイド条件 \Deqref{磁場のソレノイド条件} より
  \begin{displaymath}
   \Drot(\Drot{\Dvect{B}}) = \Dgrad(\Ddiv\Dvect{B}) - \nabla^2\Dvect{B}
			   = - \nabla^2\Dvect{B}
  \end{displaymath}
  であるから,
  \begin{equation}
   \Deqlab{誘導方程式(拡散)}
    \DP{\Dvect{B}}{t} = \Drot(\Dvect{v}\times\Dvect{B})
    + \eta\nabla^2\Dvect{B}
  \end{equation}
  となり, 右辺第 2 項が磁場を拡散させる効果を表していることがわかる. 

  誘導方程式を用いて磁場 $\Dvect{B}$ の時間発展の計算ができれば, 
  その他の電磁場の量は $\Dvect{B}$ および速度 $\Dvect{v}$ から
  診断的に定められる. 
  電流 $\Dvect{J}$ は
  MHD 近似の下でのアンペールの法則 
  \Deqref{MHDアンペールの法則} より 
  \begin{equation}
   \Dvect{J}=\frac{\Drot\Dvect{B}}{\mu}.
  \end{equation}
  電場 $\Dvect{E}$ は
  MHD 近似の下でのオームの法則 
  \Deqref{MHDオームの法則}より
  \begin{eqnarray}
   \Deqlab{MHD電場の式}
   \Dvect{E} &=& \frac{\Dvect{J}}{\sigma} - \Dvect{v}\times\Dvect{B} \\
             &=& \eta\Drot\Dvect{B} - \Dvect{v}\times\Dvect{B}. \nonumber
  \end{eqnarray}
  電荷密度は,
  \Deqref{MHDオームの法則}の発散をとり, \Deqref{MHD電荷保存則}を用いると
  \begin{displaymath}
   0 = \Ddiv\Dvect{E} + \Ddiv(\Dvect{v}\times\Dvect{B}).
  \end{displaymath}
  さらに\Deqref{ガウスの法則}を用いると, 
  \begin{equation}
   \rho_{e} = - \varepsilon \Ddiv(\Dvect{v}\times\Dvect{B}).
  \end{equation}
  よく用いられる表現は, この右辺を展開し 
  \Deqref{MHDアンペールの法則}を使うことにより
  \begin{eqnarray*}
   \rho_{e} &=& - \varepsilon (\Drot\Dvect{v})\cdot\Dvect{B}
                + \varepsilon \Dvect{v}\cdot (\Drot\Dvect{B}), \\
   \rho_{e} &+&   \varepsilon (\Drot\Dvect{v})\cdot\Dvect{B}
                = \mu \varepsilon \Dvect{v}\cdot \Dvect{J} \\
  \end{eqnarray*}    
  すなわち
  \begin{equation}
   \Deqlab{MHD電荷の式}
   \rho_e + \varepsilon(\Drot\Dvect{v})\cdot\Dvect{B}
    = \frac{\Dvect{v}\cdot\Dvect{J}}{c^2}
  \end{equation}
  である

  この式は, \ref{subsec:Lorentz} 節でのMHD近似の元でのローレンツ変換
  によって求められた電荷の式 \Deqref{変換したrho}
  に矛盾するように見える.
  MHD近似の元では
  導体に対して静止している系の電荷 $\rho_{e}'$ は常にゼロであるので,
  \Deqref{変換したrho} からは
  \begin{displaymath}
    0 = \rho_{e} - \frac{\Dvect{v}\cdot\Dvect{J}}{c^2}
  \end{displaymath}
  となるからである.
  しかし, この矛盾は \Deqref{変換したrho} が
  速度 $\Dvect{v}$ が定数である場合
  ($\Drot{\Dvect{v}} =0$) の式であることをわすれていたために
  発生したものである.
  \Deqref{MHD電場の式} は
  元々 MHD 近似の元での電場のローレンツ変換 
  \Deqref{変換したE} であった.
  \Deqref{MHD電場の式} 以降の変形は
  \Deqref{変換したE} の発散を取っていることに他ならない:
  \begin{eqnarray*}
   && \Ddiv \Dvect{E}' = \Ddiv \Dvect{E} + \Ddiv(\Dvect{v}\times \Dvect{B}) \\
   &&\to  
     \frac{\rho_{e}'}{\varepsilon} = \frac{\rho_{e}}{\varepsilon} 
          +(\Drot\Dvect{v})\cdot \Dvect{B} - (\Drot\Dvect{B})\cdot\Dvect{v} \\
   &&\to 
    0 = \rho_{e} +\varepsilon (\Drot\Dvect{v})\cdot \Dvect{B} 
	   - \varepsilon \mu \Dvect{J}\cdot\Dvect{v} 
  \end{eqnarray*}
  これが \Deqref{MHD電荷の式} である.
  速度が場所に依存する場合は $\Drot{\Dvect{v}} =0$ とは限らない, 
  ということに注意する必要がある.


%----------------------------------------------------------------------
\newpage
  \subsection{ローレンツ力とマクスウェル応力テンソル}

  MHD 近似の下での電磁場から流体へ加えられる力$\Dvect{F}_{M}$の形を導く. 
  電磁場から流体へ加わる力 \Deqref{電磁気力} の
  右辺第 1,2 項の大きさを比較すると, 
  ガウスの法則 \Deqref{ガウスの法則}, 
  電場と磁場のスケール比 \Deqref{E/B比},
  MHD 近似の下でのアンペールの法則 \Deqref{MHDアンペールの法則}
  より
  \begin{displaymath}
   \mathcal{O}\left(
   \frac{\rho_e \Dvect{E}}{\Dvect{J}\times\Dvect{B}}
   \right)
   = \frac{ \varepsilon E^2 }{B^2 / \mu}
   \sim \frac{v^2}{c^2} \ll \mathcal{O}(1).
  \end{displaymath}
  したがって電場による力は無視でき,
  \Deqref{電磁気力} はローレンツ力のみとなる. 
  すなわち
  \begin{equation}
   \Deqlab{ローレンツ力}
    \Dvect{F_M} = \Dvect{J}\times\Dvect{B}
  \end{equation}
  である. 

  ローレンツ力はアンペールの法則 \Deqref{MHDアンペールの法則} を用いて
  応力の形に変形することができる:
  \begin{eqnarray*}
   \Dvect{J}\times\Dvect{B} 
    &=& \frac{1}{\mu}(\Drot\Dvect{B})\times\Dvect{B}
    = \frac{1}{\mu}\left\{- \frac{1}{2}\Dgrad|\Dvect{B}|^2
		    + (\Dvect{B}\cdot\Dgrad)\Dvect{B} \right\} \\
   &=&  - \Dgrad\left(\frac{|\Dvect{B}|^2}{2\mu}\right)
    + \frac{1}{\mu}(\Dvect{B}\cdot\Dgrad)\Dvect{B}. 
  \end{eqnarray*}
    %
    右辺第 1 項の微分の中身 $|\Dvect{B}|^2/2\mu$ は磁気圧と呼ばれる. 
    運動方程式に代入したときに, 圧力項と同じ形をしているからである. 
    右辺第 2 項は磁気張力と呼ばれる.
    磁力線を曲げたときにこれを真直に引き戻そうとする力が働くことを表している.

    さらに成分で表して $\Deqref{磁場のソレノイド条件}$ を用いれば
    \begin{displaymath}
      F_{Mi} = - \DP{}{x_i}\left(\frac{B_kB_k}{2\mu}\right)
               + \frac{1}{\mu}B_j\DP{B_i}{x_j}
             = \frac{1}{\mu} \DP{}{x_j} 
     \left( B_iB_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}B_k^2\right)
    \end{displaymath}
    したがって
    \begin{equation}
     \Deqlab{マクスウェル応力}
      F_{Mi} = \DP{m_{ij}}{x_j}, \quad
      m_{ij} = \frac{1}{\mu}
               \left(B_iB_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}B_k^2\right)
    \end{equation}
    と表される. $m_{ij}$ は MHD 近似でのマクスウェルの応力テンソルである
    \footnote{
      電磁場が応力として作用することを先に知っていることにして
      力の表現を求めるというやり方もできる. その場合には
      マクスウェルの応力テンソル
      \begin{displaymath}
         m_{ij} = \varepsilon
                   \left(E_iE_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}E_k^2\right)
                + \frac{1}{\mu}
                   \left(B_iB_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}B_k^2\right)
      \end{displaymath}
      から出発する. 右辺の項を比較すると MHD 近似の下では
      \begin{displaymath}
        \frac{\varepsilon|E_iE_j|}{|B_iB_j|/\mu} \sim \frac{v^2}{c^2}
        \ll O(1)
      \end{displaymath}
      となり, 電場による応力の項を無視できることになる. 
      したがって \Deqref{マクスウェル応力} が得られる. 
      さらに応力テンソルの発散を取ったものが流体に働く力として
      計算され, \Deqref{ローレンツ力}が得られる.
      }.

%----------------------------------------------------------------------
\newpage
  \subsection{磁場のエネルギーの式とジュール熱}
    \Dseclab{磁場のエネルギーの式とジュール熱}

    熱の式 \Deqref{熱の式} での
    電磁場から流体に加えられる熱 $H_M$ の具体的な形を
    見出すために, 磁場のエネルギーの式を導いてみる. 
    簡単のため $\sigma$ も一定とする.
    %\footnote{
    % 場所に依存する場合はどうなる? (竹広)
    % }.
    
    
    誘導方程式 \Deqref{誘導方程式}
    の辺々と $\Dvect{B}/\mu$ との内積をとると
    %
    \begin{displaymath}
       \frac{\Dvect{B}}{\mu}\cdot\DP{\Dvect{B}}{t}
         = \frac{\Dvect{B}}{\mu}\cdot\Drot(\Dvect{v}\times\Dvect{B})
          -\frac{\Dvect{B}}{\mu}\cdot\Drot(\eta\Drot{\Dvect{B}}). 
    \end{displaymath}
    それぞれの項は
    \begin{eqnarray*}
       \frac{\Dvect{B}}{\mu}\cdot\DP{\Dvect{B}}{t} 
           &=& \DP{}{t}\left(\frac{|\Dvect{B}|^2}{2\mu}\right),\\
       \frac{\Dvect{B}}{\mu}\cdot\Drot(\Dvect{v}\times\Dvect{B})
           &=& \frac{1}{\mu}\Ddiv[(\Dvect{v}\times\Dvect{B})\times\Dvect{B}]
              + \frac{1}{\mu}(\Dvect{v}\times\Dvect{B})\cdot\Drot\Dvect{B}\\
           &=& \frac{1}{\mu}\Ddiv[(\Dvect{v}\times\Dvect{B})\times\Dvect{B}]
              + (\Dvect{v}\times\Dvect{B})\cdot\Dvect{J}\\
           &=& \frac{1}{\mu}\Ddiv[(\Dvect{v}\times\Dvect{B})\times\Dvect{B}]
              - \Dvect{v}\cdot(\Dvect{J}\times\Dvect{B}),\\
       -\frac{\Dvect{B}}{\mu}\cdot\Drot(\eta\Drot{\Dvect{B}})
           &=& \Ddiv\biggl[\frac{\eta}{\mu}(\Dvect{B}\times\Drot\Dvect{B})\biggr]
               - (\Drot\Dvect{B})\cdot(\frac{\eta}{\mu}\Drot\Dvect{B}), \\
           &=& \Ddiv(\eta\Dvect{B}\times\Dvect{J})
               - \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}.
    \end{eqnarray*}
    したがって, 
    \begin{eqnarray*}
      \DP{}{t}\left(\frac{|\Dvect{B}|^2}{2\mu}\right)
      &=&  \frac{1}{\mu}\Ddiv[(\Dvect{v}\times\Dvect{B})\times\Dvect{B}]
              - \Dvect{B}\cdot(\Dvect{J}\times\Dvect{v})
        +\Ddiv(\eta\Dvect{B}\times\Dvect{J}) - \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}\\
      &=&  \Ddiv\left[(\Dvect{v}\times\Dvect{B})\times\frac{1}{\mu}\Dvect{B}
                      + \eta\Dvect{B}\times\Dvect{J}\right]
         - \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}
         - \Dvect{v}\cdot(\Dvect{J}\times\Dvect{B}).
    \end{eqnarray*}
    さらに MHD近似の元でのオームの法則 \Deqref{MHDオームの法則} を用いて
    右辺第 1 項目を変形すると, 
    \begin{eqnarray*}
      \Ddiv\left[(\Dvect{v}\times\Dvect{B})\times\frac{1}{\mu}\Dvect{B}
                 + \eta\Dvect{B}\times\Dvect{J}\right]
      &=& -\Ddiv\left[\frac{1}{\mu}\Dvect{B}\times 
                   \left(\Dvect{v}\times\Dvect{B} 
                          -\frac{1}{\sigma}\Dvect{J} \right)\right]\\
      &=& \Ddiv\left(\frac{1}{\mu}\Dvect{B}\times \Dvect{E}\right)
       =  -\Ddiv\left(\Dvect{E}\times\frac{1}{\mu}\Dvect{B}\right).
    \end{eqnarray*}
    よって磁場のエネルギーの式が次のように得られる:
    \begin{equation}
      \Deqlab{磁場エネルギーの式}
      \DP{}{t}\left(\frac{|\Dvect{B}|^2}{2\mu}\right)
      =  -\Ddiv\left(\Dvect{E}\times\frac{1}{\mu}\Dvect{B}\right)
         - \Dvect{v}\cdot(\Dvect{J}\times\Dvect{B})
         - \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}.
    \end{equation}
    左辺が磁場のエネルギーの時間変化, 
    右辺第 1 項が磁場エネルギーフラックス(ポインティングベクトル)の
    収束による磁場エネルギーの増加, 
    第 2 項目は磁場がローレンツ力を通じて流体に対して行う仕事である. 
    第 3 項目は抵抗を持つ導体に電流が流れることで発生するジュール熱である. 
    この項は常に正である. 
    磁場のエネルギーが減少する分は, 
    流体が熱として受とりあたたまらなければならない.
    したがって
    \begin{equation}
      H_M = \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}
    \end{equation}
    であることが見出される. 

%======================================================================
\newpage
\section{MHD の基礎方程式}

  以上より, MHD 近似を施した電磁流体の支配方程式(MHD 方程式系)は
  次のようにえられる. 

  誘導方程式
  \begin{equation}
    \Deqlab{MHD誘導方程式}
      \DP{\Dvect{B}}{t} = \Drot(\Dvect{v}\times\Dvect{B})
                         -\Drot(\eta\Drot{\Dvect{B}})
  \end{equation}
  磁場のソレノイド条件
  \begin{equation}
      \Deqlab{MHD磁場のソレノイド条件}
        \Ddiv{\Dvect{B}} = 0
  \end{equation}
  アンペールの法則
  \begin{equation}
       \Drot \Dvect{B} = \mu \Dvect{J}
  \end{equation}  
  質量保存則
  \begin{equation}
    \Deqlab{MHD質量保存則}
    \DP{\rho}{t}+ \Ddiv(\rho\Dvect{v})=0
  \end{equation}
  運動方程式
  \begin{equation}
    \Deqlab{MHD運動方程式}
    \rho\left[ \DP{\Dvect{v}}{t} +(\Dvect{v}\cdot\Dgrad)\Dvect{v}\right] 
     = -\Dgrad{p} + \Ddiv{\underline{\Dvect{\tau}}} + \Dvect{J}\times\Dvect{B}
  \end{equation}
  熱の式
  \begin{equation}
    \Deqlab{MHD熱輸送の式}
    \rho T \left[\DP{s}{t} + (\Dvect{v}\cdot\Dgrad)s \right] 
      = (\underline{\Dvect{\tau}}\cdot\Dgrad)\Dvect{v} + \Ddiv(k\Dgrad T)
      + \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}
  \end{equation}
  状態方程式と基準圧力における比熱の値
  \begin{equation}
    \rho=\rho(p,T),~~~
    c_{p}=c_{p0}(p_{0},T)~~~
    \mbox{($p_{0}$ は適当な基準圧力)}
  \end{equation}
  そして流体の構成方程式(以下の式は, ナビエ・ストークス流体の場合)
  \begin{equation}
   \tau_{ij} = \rho\nu \left( \DP{v_{i}}{x_{j}} + \DP{v_{j}}{x_{i}} \right)
  \end{equation}
  である.
  
  透磁率 $\mu$, 磁気拡散率 $\eta$, 熱伝導率 $k$, 
  そして動粘性率 $\nu$ は適宜与えられなくてはならない.

%======================================================================
\newpage
\section{電磁場の境界条件}

  電気伝導度の異なる 2 つの媒質の境界における電磁場の接続条件を導出する. 

  \subsection{法線成分}

  場の法線成分の接続条件を導出する.
  \Dfigref{境界1}のような, 
  領域 1(図の上側)と 2(図の下側) を分ける
  境界を挟んだ微小体積 $V$ を考える.
  境界面において領域 2 から 1 へ向かう
  法線ベクトル(図の上向き)を $\Dvect{n}$ とする.
  面 $S_{1}, S_{2}$ は領域 $V$ の上端と下端の面とする.
  以後, 添字 $1, 2$ は領域 1,2 の物理量を示しているとする.
  
  \begin{figure}[htbp!]
   \begin{center}
    \Depsf[][4cm]{./img/boundary1.eps}
   \end{center}
   \vspace{-2em}
   \caption{法線成分の境界条件を考えるための積分領域} \Dfiglab{境界1}
  \end{figure}

  先ず磁束密度 $\Dvect{B}$ について考える.
  磁場のソレノイド条件 \Deqref{磁場のソレノイド条件} を領域 $V$ で積分する. 
  \begin{equation}
   \int_V \Ddiv{\Dvect{B}}dV = 0.
    ~~~\oint_S \Dvect{B}\cdot\Dvect{n_S} dS = 0. 
  \end{equation}
  ここで $\Dvect{n_S}$ は $V$ を囲む閉曲面 $S$ の外向き単位法線ベクトルである. 
  領域を薄くしていくことにより, 境界に平行な面の寄与だけが残り, 
  \begin{equation}
   \int_{S_1}\Dvect{B}_{1}\cdot\Dvect{n}dS
    -\int_{S_2}\Dvect{B}_{2}\cdot\Dvect{n}dS=0
  \end{equation}
  となる.
  この式が
  任意の $S_1,S_2$ について成り立つには, 
  \begin{equation}
   \Dvect{n}\cdot(\Dvect{B}_1-\Dvect{B}_2) = 0.
  \end{equation}
  すなわち
  境界を挟んで $\Dvect{B}\cdot\Dvect{n}$ が連続でなければならない. 

  次に電流密度 $\Dvect{J}$ について考える.
  MHD 近似の下での電荷保存則 \Deqref{MHD電荷保存則} 
  に対して $\Dvect{B}$ と同様の計算を行うことで
  \begin{equation}
   \int_V \Ddiv{\Dvect{J}}dV =0, 
    ~~~\to~~~  
    \int_{S_1}\Dvect{J}\cdot\Dvect{n}dS
    -\int_{S_2}\Dvect{J}\cdot\Dvect{n}dS = 0.
  \end{equation}
  したがって 境界において $\Dvect{J}\cdot\Dvect{n}$ が連続となる:
  \begin{equation}
   \Dvect{n}\cdot(\Dvect{J}_1-\Dvect{J}_2) = 0. 
  \end{equation}

  最後に電場 $\Dvect{E}$について考える.
  $\Dvect{E}$ に関しては特別の考慮が必要となる.
  これまで同様に
  ガウスの法則 \Deqref{ガウスの法則}を積分すると
  \begin{equation}
   \int_V \Ddiv{\Dvect{E}}dV 
    =   
    \int_V \frac{\rho_e}{\varepsilon} dV 
    ~~~\to~~~
    \oint_S \Dvect{E}\cdot\Dvect{n_S} dS 
    = 
    \int_V \frac{\rho_e}{\varepsilon} dV 
  \end{equation}
  となる.
  ここで電荷密度 $\rho_e $ が有限であるならば
  領域を薄くしていくと
  $\int_V (\rho_e/\varepsilon) dV \rightarrow 0$ 
  となり, $\Dvect{E}\cdot\Dvect{n}$ は連続となる.

  しかしながら, 
  MHD 近似の下では電気伝導度が異なる伝導体との境界面において必ず
  電荷が存在すること,
  すなわち $\rho_{e} $  が有限ではないことに
  注意しなければならない.
  このことは
  MHD 近似の下でのオームの法則 \Deqref{MHDオームの法則}において 
  境界で $\Dvect{v}=0$ であるとした場合
  を考えることで理解される.
  $\Dvect{v} = 0$ とおいたオームの法則
  \begin{displaymath}
    \Dvect{J} = \sigma \Dvect{E}
  \end{displaymath}
  を閉曲面 $S$ で面積分すると,
  既に述べたように $\Dvect{J}\cdot\Dvect{n}$ は境界において連続であるから,
  $\sigma\Dvect{E}\cdot\Dvect{n}$ も境界において連続である.
  しかし $\sigma$ は境界を挟んで異なるので
  $\Dvect{E}\cdot\Dvect{n}$ は境界で不連続となる.
  これは境界表面に電荷が存在すること,
  すなわち積分領域を小さくしても
  積分 $\int_{V} \rho_{e} \Dd V$ が 0 にならない事を意味している.
  よって境界面での単位面積あたりの電荷密度 $\sigma_{eS}$ を導入する:
  \begin{equation}
   \int_V (\rho_e/\varepsilon) dV \to \int_S \sigma_{eS} dS.
  \end{equation}
  従って
  \begin{equation}
   \int_{S_1}\Dvect{E}\cdot\Dvect{n}dS
    -\int_{S_2}\Dvect{E}\cdot\Dvect{n}dS
    =   \int_S \frac{\sigma_{eS}}{\varepsilon} dS.
  \end{equation}
  よって電束密度の法線成分の境界条件は一般に次式で表される:
  \begin{equation}
   \Dvect{n} \cdot(\Dvect{E}_1-\Dvect{E}_2)= \frac{\sigma_{eS}}{\varepsilon}. 
  \end{equation}


%----------------------------------------------------------------------
\newpage
  \subsection{接線成分}

  電磁場の法線成分の接続条件を導出する.
  \Dfigref{境界2}のような
  領域 1 と 2 を分ける境界と直行して交わる
  微小平面 $S_{3}(A_{1}C_{1}C_{2}A_{2})$ を考える. 
  $S_{3}$ の法線ベクトルを $\Dvect{n_S}$とし,
  境界面と $S$ とが成す交線の単位接ベクトルを $\Dvect{t}$, 
  境界面全体の法線ベクトルを $\Dvect{n}$ とする.
  
  \begin{figure}[htbp!]
   \begin{center}
    \Depsf[][4cm]{./img/boundary2.eps}
   \end{center}
   \vspace{-2em}
   \caption{接線成分の境界条件を考えるための積分領域} \Dfiglab{境界2}
  \end{figure}

  先ず電場 $\Dvect{E}$の接線成分について考える.
  ファラデーの法則\Deqref{ファラデーの法則}を 
  面 $S$ に関して面積分する事で
  \begin{equation}
   \int_S\DP{\Dvect{B}}{t}\cdot\Dvect{n_S}dS
    =- \int_S \Drot\Dvect{E}\cdot\Dvect{n_S}dS
    ~~~\to~~~
    \int_S \DP{\Dvect{B}}{t}\cdot\Dvect{n_S}dS
    = \oint_{C}\Dvect{E}\cdot\Dd \Dvect{l} 
  \end{equation}
  となる.
  ただし $C$ は面 $S$ を囲む閉曲線であり, 
  $\Dd \Dvect{l}$ はその単位接ベクトルである. 
  境界面を挟む方向の辺を短くして領域 $S$ を小さくしていく. 
  $\displaystyle \int_S \DP{\Dvect{B}}{t}\cdot\Dvect{n_S}dS \rightarrow 0$ 
  となるので, 
  \begin{equation}
      \Dvect{n}\times(\Dvect{E}_1-\Dvect{E}_2) = 0
  \end{equation}
  が成立する.
  すなわち電場の接線成分は連続でなければならない.


  次に磁場 $\Dvect{B}$ の接線成分を考えるため,
  MHD 近似の下でのアンペールの法則
  \Deqref{MHDアンペールの法則}を面積分する. 
  \begin{equation}
   \int_S \Drot\Dvect{B}\cdot\Dvect{n_S}dS 
    =
    \int_S \mu\Dvect{J}\cdot\Dvect{n_S}dS 
    ~~~\to~~~
    \oint_C \Dvect{B}\cdot \Dd \Dvect{l}    
    =
    \int_S \mu\Dvect{J}\cdot\Dvect{n_S}dS. 
  \end{equation}
  $\Dvect{J}$ が有限であれば 
  $\displaystyle \int_S \Dvect{J}\cdot\Dvect{n_S}dS \rightarrow 0$
  であるから, 
  閉曲線の積分も境界面に平行な部分からの寄与だけが残り, 
  $\Dvect{B}$ の接線成分が連続となる: 
  \begin{equation}
   \int_{A_1C_1}\Dvect{B}\cdot\Dvect{t}dl
    - \int_{C_2A_2}\Dvect{B}\cdot\Dvect{t} dl=0.
  \end{equation}

  しかしながら,
  境界の一方が完全導体(電気伝導度が無限大)の場合には
  境界面に集中した電流が存在してしまう
  \footnote{
  電気伝導度が無限大であるため, 
  電場は常に $\Dvect{E}=0$ (すぐに電荷が移動して電場を遮蔽する)
  であるにもかかわらず, $\Dvect{J}$ が有限な値をとり得る事に起因する.  
  形式的にはオームの法則 $\Dvect{J} = \sigma \Dvect{E}$において,
  $\sigma \to \infty, \Dvect{E} =0$ であるから
  $\Dvect{J}$ は不定形であり, 
  電場に全く関係のない電流が存在し得る事になる.
  }.
  このため
  単位体積あたりの電流密度が無限大となり
  $\displaystyle \int_S \Dvect{J}\cdot\Dvect{n_S}dS \rightarrow 0$
  とはならない.
  よって境界面での単位面積あたりの電流密度 $\Dvect{J_S}$ を導入して
  \begin{equation}
   \int_S \mu \Dvect{J}\cdot\Dvect{n_S}dS 
   \to \int_{CA} \Dvect{J_S}\cdot\Dvect{n_S}dl
  \end{equation}
  とする. このことより,
  \begin{eqnarray*}
          \int_{CA} \mu\Dvect{J_S}\cdot\Dvect{n_S} dl
      &=&   \int_{A_1C_1}\Dvect{n_S}\cdot(\Dvect{n}\times\Dvect{B}) dl
           - \int_{C_2A_2}\Dvect{n_S}\cdot(\Dvect{n}\times\Dvect{B}) dl
  \end{eqnarray*}
  となる. ここで $\Dvect{t} = \Dvect{n}_{S}\times\Dvect{n}$ を用いた.
  この式が任意の面について成り立たねばならないので, 
  磁場の接線成分について
  \begin{equation}
   \Dvect{n}\times(\Dvect{B}_2-\Dvect{B}_1) = \mu\Dvect{J_S}
  \end{equation}
  が成立する.

  最後に電流密度 $\Dvect{J}$ の接線成分についてである.
  これは一般に不連続であることが
  MHD近似の元でのオームの法則\Deqref{MHDオームの法則}
  において速度が $0$ となる場合
  \begin{displaymath}
    \Dvect{J} = \sigma \Dvect{E}
  \end{displaymath}
  を考えることで理解される.
  この式を閉曲線 $C$ のまわりで周積分し, 
  境界を挟む方向の線分を短くして面 $S$ を小さくしていくと, 
  既に見たように 
  $\Dvect{n}\times \Dvect{E}$ は常に連続であるから, 
  $\Dvect{n}\times(\sigma\Dvect{E})$ は一般に不連続であり,
  $\Dvect{n}\times\Dvect{J}$ も一般には不連続となる.  
  すなわち:
  \begin{equation}
   \Dvect{n}\times(\Dvect{J}_{1} - \Dvect{J}_{2}) \neq 0.
  \end{equation} 

%----------------------------------------------------------------------
\newpage
  \subsection{境界条件まとめ}

  導出された境界条件をまとめると
  \begin{eqnarray}
   \Dvect{n}\cdot(\Dvect{B}_1-\Dvect{B}_2) =0, & & 
    \Dvect{n}\times(\Dvect{B}_1-\Dvect{B}_2) = \mu\Dvect{J_S}, \\
   \Dvect{n}\cdot(\Dvect{E}_1-\Dvect{E}_2) 
    = \frac{\rho_{eS}}{\varepsilon}, & &
    \Dvect{n}\times(\Dvect{E}_1-\Dvect{E}_2) = 0, \\
   \Dvect{n}\cdot(\Dvect{J}_1-\Dvect{J}_2) = 0, & &  
    \Dvect{n}\cdot(\Dvect{J}_1-\Dvect{J}_2) \neq 0. 
  \end{eqnarray}
  すでに述べた様に,
  表面電流 $\Dvect{J_{S}}$ は一方が完全導体である場合にのみ
  存在するので, それ以外の場合には $\Dvect{J_S}=0$ としてよい.
  
  これらの条件のうち実際に問題を解く上で必要となる条件は
  なんであろうか.
  誘導方程式\Deqref{誘導方程式}はそもそもマクスウェル方程式のうち
  ファラデーの法則\Deqref{ファラデーの法則}と
  アンペールの法則\Deqref{MHDアンペールの法則}を
  使って導出された.
  よってこの二つから導かれる境界条件
  \begin{eqnarray}
   \Deqlab{電場の接線成分の連続条件}
    \Dvect{n}\times(\Dvect{E}_1-\Dvect{E}_2) = 0, \\
   \Deqlab{磁場の接線成分の連続条件}
    \Dvect{n}\times(\Dvect{B}_1-\Dvect{B}_2) = 0
  \end{eqnarray}
  が基本的には問題を解くのに必要な条件である.
  すなわち, 境界条件は
  電場と磁場の接線成分が境界において連続となることである.

  上記二つの条件が満たされるならば残りの条件は問題を解くのには不要である.
  そもそも磁場のソレノイド条件\Deqref{磁場のソレノイド条件} は
  ファラデーの法則\Deqref{ファラデーの法則} の発散の初期条件に対する
  制約であったから, 
  \Deqref{磁場のソレノイド条件}より導出される
  \begin{equation}
   \Deqlab{磁場の法線成分の連続条件}
    \Dvect{n}\cdot(\Dvect{B}_1-\Dvect{B}_2) =0
  \end{equation}
  は \Deqref{電場の接線成分の連続条件} の初期条件に対する
  制約でしかなく, 
  \Deqref{電場の接線成分の連続条件} が満たされていれば
  自動的満たされていることになる.
  同様に MHD 近似の元での電荷保存則
  \Deqref{MHD電荷保存則} はアンペールの法則
  \Deqref{MHDアンペールの法則} の発散から得られるので、
  \begin{equation}
       \Deqlab{電流の法線成分の連続条件}
         \Dvect{n}\cdot(\Dvect{J}_1-\Dvect{J}_2) = 0
  \end{equation}
  は, \Deqref{磁場の接線成分の連続条件} が満たされれば, 自動的に
  満たされる. 
  最後に残った
  \begin{equation}
   \Deqlab{電場の法線成分の連続条件}
    \Dvect{n}\cdot(\Dvect{E}_1-\Dvect{E}_2) 
    = \frac{\rho_{eS}}{\varepsilon}
  \end{equation}
  は, MHD 近似では高次の微小量になってしまうガウスの法則
  \Deqref{ガウスの法則}から得られるものなので,
  表面電荷密度が必要なときに使えば良いだけで磁場を解く際には関係がない.

  境界面の一方が完全導体や絶縁体であるときには, 特別の考慮が必要になる.
  まず, 一方が絶縁体（電気伝導度が $0$）である場合には,
  %\footnote{最も簡単なマントルのモデルとしてよく用いられる.},
  絶縁体側の電場が決まらなくなってしまい,
  電場の接線成分の連続条件\Deqref{電場の接線成分の連続条件} が
  使えなくなる. 
  しかし, 磁場のソレノイド条件\Deqref{磁場のソレノイド条件}
  は依然として成り立っていなければならないから
  \footnote{
  絶縁体側 では $\sigma=0$ であり
  $\Dvect{J}=0$ となる. 
  この場合の絶縁体側の磁場は
  $\Ddiv{\Dvect{B}}=0$ と $\Drot{\Dvect{B}}=0$ から求められる. 
  よくなされる解き方としては,
  $\Drot{\Dvect{B}}=0$ より
  $\Dvect{B}= \Dgrad{V}$ のように, 磁気ポテンシャル $V$ を導入する.
  $\Ddiv{\Dvect{B}}=0$ よりこのポテンシャルは $\Dlapla V = 0$ を
  満たす. このラプラス方程式を解けばよい.
  },
  \Deqref{電場の接線成分の連続条件}に代えて
  磁場の法線成分の連続条件\Deqref{磁場の法線成分の連続条件}
  を用いる.
  これらを組み合わせる事で境界条件は
  \begin{eqnarray*}
   \Dvect{n}\cdot(\Dvect{B}_1-\Dvect{B}_2) =0, \quad
    \Dvect{n}\times(\Dvect{B}_1-\Dvect{B}_2) = 0, 
  \end{eqnarray*}
  すなわち, 磁場 $\Dvect{B}$ が境界で連続であることである
      \footnote{ポテンシャル場では, 磁場の法線成分, すなわち
        $\Dvect{B}\cdot\Dvect{n} = \partial V / \partial n$ 
        が境界で決まれば, 内部の磁場を求めることができる
	(第二種ディレクレ問題).
        しかしこれは境界条件が磁場の法線成分の連続性だけで十分という
        ことを意味するわけではない.
        }:
    \begin{equation}
       \Dvect{B}_{1}=\Dvect{B}_{2}.
    \end{equation}

    一方が完全導体の場合には  
    表面電流 $\Dvect{J_{S}}$ が存在するので
    磁場の接線成分に関する条件
    \begin{equation}
         \Dvect{n}\times(\Dvect{B}_1-\Dvect{B}_2) = \mu\Dvect{J_S}
    \end{equation}
    は表面電流を決める式になり, 
    境界条件として用いる事はできない. 
    よって完全導体の場合に問題を解くための境界条件は
    \begin{eqnarray*}
     \Dvect{n}\cdot(\Dvect{B}_1-\Dvect{B}_2) &=&0, \\
     \Dvect{n}\times(\Dvect{E}_1-\Dvect{E}_2)&=& 0. 
    \end{eqnarray*}    
    となる
\iffalse
\footnote{
    さらに
    完全導体側では,
    \begin{equation}
     \Dvect{E} = -\Dvect{v}\times\Dvect{B}
    \end{equation}
    が成立しているから,
    添字 $2$ の側を完全導体として
    電場の接線成分の連続条件
    \Deqref{電場の接線成分の連続条件}より,
    \begin{eqnarray*}
     &&\Dvect{n}\times\Dvect{E}_{1}
      + \Dvect{n} \times (\Dvect{v}_{2}\times\Dvect{B}_{2})= 0. \\
      &\to&
       \Dvect{n}\times\Dvect{E}_{1}
       + (\Dvect{n}\cdot\Dvect{B}_{2})\Dvect{v}_{2}
       - (\Dvect{n}\cdot\Dvect{v}_{2})\Dvect{B}_{2} =0.
    \end{eqnarray*}
    ここで流体の
    運動学的境界条件
    \begin{equation}
     \Dvect{n}\cdot\Dvect{v}_{2}=0
    \end{equation}
    及び
    磁場の法線成分の連続条件
    \Deqref{磁場の法線成分の連続条件}
    より,
    \begin{equation}
     \Dvect{n}\times\Dvect{E}_{1} 
      +(\Dvect{n}\cdot\Dvect{B}_{1})\Dvect{v}_{2} = 0
    \end{equation}
    となる.
    あとは流体の力学的境界条件を用いることで
    完全導体側の電場を求めなくても
    流体側の電場の接線成分は決まる事となる.
}
\fi
.
 
    
%======================================================================
\newpage
 \section{回転系での MHD 方程式}
 
     誘導方程式は回転系でも同じ形をしていることを示す.
     誘導方程式 \Deqref{MHD誘導方程式}の右辺第 2 項を展開すると.
     \begin{displaymath}
      \Drot{(\Dvect{v}\times\Dvect{B})} =
      (\Dvect{B}\cdot\Dgrad)\Dvect{v} -(\Dvect{v}\cdot\Dgrad)\Dvect{B}
      +\Dvect{v}(\Ddiv\Dvect{B}) -\Dvect{B}(\Ddiv\Dvect{v})
     \end{displaymath}
     となるので, 誘導方程式は
     \begin{equation}
      \Deqlab{展開した誘導方程式}
      \frac{D\Dvect{B}}{D t} 
       = (\Dvect{B}\cdot\Dgrad)\Dvect{v}-\Dvect{B}(\Ddiv\Dvect{v})
       + \eta\nabla^2\Dvect{B}
     \end{equation}
     となる. ここで $D/Dt$ はラグランジュ微分
     \begin{displaymath}
      \frac{D}{Dt} = \DP{}{t} + (\Dvect{v}\cdot\Dgrad)
     \end{displaymath}
     である.
     %
     %この式は渦度方程式と形が同じであるので, 
     %各項の意味も同じように解釈できる({\it e.g.} Pedlosky 1987). 
     %左辺はラグランジュ的な磁場の時間変化を表す. 
     %右辺第 1 項の磁場 $\Dvect{B}$ に垂直な成分は
     %渦度方程式の titing 項に対応しており, 
     %速度場のシアーによって磁場が傾けられることを表している. 
     %右辺第 1, 2 項の磁場 $\Dvect{B}$ に平行な成分は
     %渦度方程式の stretching 項に対応しており, 
     %磁場に垂直方向の流れの収束発散に伴って磁力線が
     %集められたり話されたりする効果を表している. 
     %右辺第 3 項は電気抵抗による磁場の拡散である. 

     次に慣性系に対して角速度 $\Dvect{\Omega}$ で回転している座標への
     座標変換を考える. これらの座標の間では, 
     任意のベクトル $\Dvect{A}$ とラグランジュ微分に対して
     \begin{displaymath}
      \biggl(\frac{D\Dvect{A}}{Dt} \biggr)_{I} 
      = \biggl(\frac{D\Dvect{A}}{Dt}\biggr)_{R} + \Dvect{\Omega}\times\Dvect{A}
     \end{displaymath}
     が成立する. ここで添字 $I$, $R$ はそれぞれ慣性系と回転系の
     ものであることを表している.
     この関係式より, 慣性系と回転系での速度について
     \begin{displaymath}
      \Dvect{v}_{I} = \Dvect{v}_{R} + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{r}
     \end{displaymath}
     が成立する. 
     %また \ref{subsec:Lorentz} 節より
     %MHD近似の元でのローレンツ変換では磁場はどの慣性系においても
     %その表現を変えない. 
     よって
     \begin{displaymath}
      \biggl(\frac{D\Dvect{B}}{Dt} \biggr)_{I} 
      = \biggl(\frac{D\Dvect{B}}{Dt}\biggr)_{R} + \Dvect{\Omega}\times\Dvect{B}
     \end{displaymath}
     が成立する.

     以上の関係式を用いて, \Deqref{展開した誘導方程式}を回転系での表現に
     書き直すと,
     %
     \begin{eqnarray*}
      \biggl(\frac{D \Dvect{B}}{D t}\biggr)_{I} &=& 
       - \Dvect{B}(\Ddiv\Dvect{v}_{I})
       + (\Dvect{B}\cdot\Dgrad)\Dvect{v}_{I} 
       + \eta\nabla^2\Dvect{B} \\
      %
      &=&
       - \Dvect{B}(\Ddiv\Dvect{v}_{R})
       - \Dvect{B}[\Ddiv(\Dvect{\Omega}\times\Dvect{r})]
       + (\Dvect{B}\cdot\Dgrad)\Dvect{v}_R 
       + (\Dvect{B}\cdot\Dgrad)(\Dvect{\Omega}\times\Dvect{r})
       + \eta\nabla^2\Dvect{B}. 
     \end{eqnarray*}
     %
     回転系での回転角速度 $\Dvect{\Omega}$ が一定であるとすると,
     \begin{eqnarray*}
      \biggl(\frac{D \Dvect{B}}{D t}\biggr)_{I}-\Dvect{\Omega}\times\Dvect{B}
      &=&  - \Dvect{B}(\Ddiv\Dvect{v}_{R})
           + (\Dvect{B}\cdot\Dgrad)\Dvect{v}_R
            + \eta\nabla^2\Dvect{B}. 
     \end{eqnarray*}
     したがって, 回転系での誘導方程式は
     \begin{equation}
      \biggl(\frac{D \Dvect{B}}{D t}\biggr)_{R} 
       = (\Dvect{B}\cdot\Dgrad)\Dvect{v}_{R} 
         - \Dvect{B}(\Ddiv\Dvect{v}_{R})
         + \eta\nabla^2\Dvect{B}
     \end{equation}     
     となる. よって
     誘導方程式は回転系でも慣性系での表現と変わらないことがわかる. 

%======================================================================
\newpage
 \section{エネルギー保存則}

%----------------------------------------------------------------------
  \subsection{運動エネルギー保存則}

    運動エネルギーは, \Deqref{MHD運動方程式}に $\Dvect{v}$ を
    内積することで得られる
    \footnote{磁場との相互作用がない場合のエネルギーの式は
        シリーズ「連続体力学(流体力学/弾性体力学)の定式化」に詳しい.}:
    %  
    \begin{displaymath}
     \rho\left[ \DP{\Dvect{v}}{t} +(\Dvect{v}\cdot\Dgrad)\Dvect{v}\right]
     \cdot \Dvect{v}
     = \biggl(-\Dgrad{p} + \Ddiv{\underline{\Dvect{\tau}}} 
     + \Dvect{J}\times\Dvect{B}\biggr)
     \cdot \Dvect{v}.
    \end{displaymath}
    %
    質量保存則\Deqref{質量保存則}を用いて流束形式に変形すると
    %
    \begin{equation}
      \Deqlab{運動エネルギーの式}
      \DP{}{t}\left( \frac{1}{2}\rho |\Dvect{v}|^2 \right)
       + \Ddiv\left(\frac{1}{2}\rho |\Dvect{v}|^2\Dvect{v}\right)
       + \Ddiv(p\Dvect{v})
       - \Ddiv(\underline{\Dvect{\tau}}\cdot\Dvect{v})
      = p\Ddiv\Dvect{v}-(\underline{\Dvect{\tau}}\cdot\Dgrad)\Dvect{v}
      + (\Dvect{J}\times\Dvect{B})\cdot \Dvect{v},
    \end{equation}
    %
    となる. 左辺第 1 項が運動エネルギーの時間変化, 
    2,3,4 項が運動エネルギー流束密度の収束, 
    右辺第 1, 2 項が内部エネルギーとの変換項, 
    第 3 項がローレンツ力がする仕事であり, 
    磁場エネルギーとの変換を表している. 

%----------------------------------------------------------------------
\newpage
  \subsection{磁場エネルギー保存則}
  
    既に\Dsecref{磁場のエネルギーの式とジュール熱}にて導出したように
    磁場のエネルギーは, \Deqref{MHD誘導方程式}に
    $\Dvect{B}/\mu_{0}$ を内積することで得られる:
    \begin{equation}
        \Deqlab{再掲磁場エネルギーの式}
        \DP{}{t}\left(\frac{|\Dvect{B}|^2}{2\mu}\right)
        =  -\Ddiv\left(\Dvect{E}\times\frac{1}{\mu}\Dvect{B}\right)
           - \Dvect{v}\cdot(\Dvect{J}\times\Dvect{B})
           - \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}.
    \end{equation}
    左辺が磁場のエネルギーの時間変化, 
    右辺第 1 項が磁場エネルギーフラックス(ポインティングベクトル)の
    収束による磁場エネルギーの増加, 
    第 2 項目がローレンツ力を通じて流体に対して行う仕事である. 
    第 3 項目は抵抗を持つ導体に電流が流れることで発生するジュール熱である. 

    系が定常であり, 
    境界において磁場エネルギーフラックスの収支がゼロである場合に,
    \Deqref{再掲磁場エネルギーの式}を系全体で体積分することで,
    \begin{eqnarray}
     0 &=& -\int_{V} \biggl\{\Dvect{v}\cdot(\Dvect{J}\times\Dvect{B})
           + \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}\biggr\} \Dd V \nonumber \\
     &\to& 
      \int_{V}\Dvect{v}\cdot(\Dvect{J}\times\Dvect{B})\Dd V 
          =-\int_{V} \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}\Dd V.
    \end{eqnarray}
    これは定常な系においては, 系全体では
    磁場が流体に体して行う仕事とジュール熱が等しい事を意味している.

%----------------------------------------------------------------------
\newpage
  \subsection{内部エネルギー保存則}

    内部エネルギーの保存則は, 既に示している熱の式を
    変形することで得られる. 熱の式\Deqref{MHD熱輸送の式}に対して
    熱力学関係式
    \begin{displaymath}
      Tds = du+pd(1/\rho) = du -\frac{p}{\rho^2}d\rho
    \end{displaymath}
    を用いて内部エネルギー $u$ の式に書き直すと
    %
    \begin{displaymath}
      \rho \left[\DP{u}{t} + (\Dvect{v}\cdot\Dgrad)u \right] 
        -\frac{p}{\rho}\left[\DP{\rho}{t} + (\Dvect{v}\cdot\Dgrad)\rho \right] 
        = (\underline{\Dvect{\tau}}\cdot\Dgrad)\Dvect{v} + \Ddiv(k\Dgrad T)
        + \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}.
    \end{displaymath}
    %
    この式は質量保存則を用いることにより
    \begin{displaymath}
      \rho \left[\DP{u}{t} + (\Dvect{v}\cdot\Dgrad)u \right] 
        +p\Ddiv\Dvect{v}
        = (\underline{\Dvect{\tau}}\cdot\Dgrad)\Dvect{v} + \Ddiv(k\Dgrad T)
        + \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}
    \end{displaymath}
    あるいは,
    \begin{equation}
      \Deqlab{内部エネルギーの式}
      \DP{(\rho u)}{t} + \Ddiv(\rho u\Dvect{v})
        = -p\Ddiv\Dvect{v}
          +(\underline{\Dvect{\tau}}\cdot\Dgrad)\Dvect{v} + \Ddiv(k\Dgrad T)
          + \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}
    \end{equation}
    と変形できる.
%----------------------------------------------------------------------
\newpage
  \subsection{全エネルギー保存則}

    全エネルギーの保存則は, 運動エネルギー・磁場エネルギー・内部エネルギー
    の式\Deqref{運動エネルギーの式}, \Deqref{再掲磁場エネルギーの式}, 
    \Deqref{内部エネルギーの式}を足すことにより得られる:
    %
    \begin{eqnarray}
      \DP{(E_{tot})}{t} + \Ddiv\Dvect{F} &=& 0, 
       \\\nonumber
       E_{tot} &=&
        \rho \frac{1}{2}|\Dvect{v}|^2 + \rho u +\frac{|\Dvect{B}|^2}{2\mu},
       \\\nonumber
       \Dvect{F} &=& \frac{1}{2}\rho |\Dvect{v}|^2 \Dvect{v}
                      + \rho u \Dvect{v} + p\Dvect{v} 
                      + \Dvect{v}\cdot\underline{\Dvect{\tau}}
                      - k\Dgrad T
                      + \Dvect{E}\times\frac{1}{\mu}\Dvect{B}.
    \end{eqnarray}

%----------------------------------------------------------------------
\iffalse
\newpage
  \subsection{領域積分したエネルギーの式}

    しかるべき境界条件
    \footnote{境界を通して各エネルギーの出入りがないことが条件. 
      境界で速度の法線成分 $\Dvect{v}\cdot\Dvect{n}=0$,
      熱フラックスが $0$, 電磁場が遠方で十分速く $0$ に近づけばよい.}
    の下で
    運動エネルギー・磁場エネルギー・内部エネルギーの式
    \Deqref{運動エネルギーの式}, \Deqref{再掲磁場エネルギーの式}, 
    \Deqref{内部エネルギーの式}を考える全領域において積分すれば, 
    積分した各エネルギーの変化の式を作ることができる.
    \begin{eqnarray}
      \Deqlab{積分運動エネルギーの式}
        \DD{}{t}\int_V\frac{1}{2}\rho |\Dvect{v}|^2 dV
         &=&  \int_V p\Ddiv\Dvect{v}dV
             -\int_V (\underline{\Dvect{\tau}}\cdot\Dgrad)\Dvect{v} dv
             +\int_V (\Dvect{J}\times\Dvect{B})\cdot \Dvect{v}dv, \\
      \Deqlab{積分磁場エネルギーの式}
        \DD{}{t}\int_V \frac{|\Dvect{B}|^2}{2\mu} dV
         &=&  - \int_V \Dvect{v}\cdot(\Dvect{J}\times\Dvect{B})dV
           - \int_V \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}dV, \\
      \Deqlab{積分内部エネルギーの式}
      \DD{}{t}\int_V\rho u dV 
         &=& -\int_V p\Ddiv\Dvect{v}dV
            +\int_V (\underline{\Dvect{\tau}}\cdot\Dgrad)\Dvect{v} dV
            + \int_V \frac{|\Dvect{J}|^2}{\sigma}dV.
    \end{eqnarray}
\fi
%======================================================================
\newpage
\section*{参考文献}
\markright{参考文献}
  \begin{description}
    \item Landau, L.D. and Lifshitz, E.M.(著), 
          井上健夫, 安河内昂, 佐々木健(共訳), 1962:
          『電磁気学 -- 連続媒質の電気力学 --』第 1 巻.
          ランダウリフシッツ理論物理学教程, 東京図書.

    \item 砂川  重信 1973: 理論電磁気学, 紀伊国屋書店, 459pp.

    \item 電磁流体力学, 第 2 版流体力学ハンドブック第 22 章, 丸善, 951--960.

    \item 吉田茂生, 1990: 電磁流体力学入門. GFDノート『電磁流体力学』第 1 章.

    \item Gubbins, D., and Roberts, P.H., 1987: 
	  Magnetohydrodynamics of the earth's core.  
	  Jacobs, J.A., Ed., {\it Geomagnetism}, Vol.2, 1--184.

    \item Pedlosky, J., 1987 : Geophysical Fluod Dynamics. 
          Springer Verlag, 710pp.

  \end{description}

%======================================================================
\newpage
\section*{謝辞}
\markright{謝辞}

本稿は 1989 年から 1993 年に東京大学地球惑星物理学科で行われていた, 
流体理論セミナーでのセミナーノートがもとになっているものである. 
原作版は吉田茂生による「電磁流体力学入門」 (1990-07-03) であり, 
竹広真一, 佐々木洋平, 吉田茂生, 林祥介によって
「磁気流体力学の定式化」として書き直された (2002-07-05). 
セミナー参加者および校正とデバッグに協力してくれたすべての方々に
感謝するものである. 

本資源は, 
地球流体電脳倶楽部の
インターネット上での学術知識の集積と活用の実験の一環として
\begin{center}
 http://www.gfd-dennou.org/arch/riron/mhd/teishiki/pub
\end{center}
において公開されているものである.
\copyright 吉田茂生・竹広真一・佐々木洋平・林祥介
 (S. Yoshida , S. Takehiro, Y. Sasaki and Y.-Y. Hayashi) 2001. 
本資源は, 
著作者の諸権利に抵触しない(迷惑をかけない)限りにおいて
自由に利用していただいて構わない. 
なお, 利用する際には今一度自ら内容を確かめることをお願いする
(無保証無責任原則). 

本資源に含まれる元資源提供者(図等の版元等を含む)からは, 
直接的な形での WEB 上での著作権または使用許諾を得ていない
場合があるが, 
勝手ながら, 「未来の教育」のための実験という
学術目的であることをご理解いただけるものと信じ, 
学術標準の引用手順を守ることで諸手続きを略させていただいている. 
本資源の利用者には, この点を理解の上, 
注意して扱っていただけるようお願いする. 
万一, 不都合のある場合には
\begin{center}
 riron@gfd-dennou.org
\end{center}
まで連絡していただければ幸いである. 

\end{document}

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