\underline{{回転球面順圧流体 \atop 1 回転 2 次元球面上の非圧縮流体の支配方程式の導出 1}}

回転球面上での 2 次元順圧流体の定式化

竹広真一, SPMODEL 開発グループ

平成 20 年 1 月 12 日

この文書では回転 2 次元球面上の非圧縮流体の支配方程式と渦度方程式を導出することを行う.

導出の計算の見通しは 3 次元系において渦度方程式をベクトル形式で表現し, その後に球面への拘束条件を適用し動径成分を書き下すやり方がお薦めである (理論マニュアル線形波動「ロスビー波 (2 次元非発散球面)」 ) が, 以下では緯度経度動径座標の各成分の式をまず書き下し, 式変形していくという手間のかかる計算を敢えて行う.

1 回転 2 次元球面上の非圧縮流体の支配方程式の導出

まず 3 次元回転系の非圧縮流体の支配方程式から回転 2 次元球面上の非圧縮流体の支配方程式を導出する. 3 次元回転系での非圧縮流体の支配方程式を緯度経度動径座標 (λ, φ, r) で書き表すと,

\frac{∂u}{∂t} + \frac{u}{r cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{v}{r} \frac{∂u}{∂φ} + w\frac{∂u}{∂r} + \frac{uw − uv tan φ}{r}

−2Ω sin φv + 2Ω cos φw = −\frac{1}{ρr cos φ} \frac{∂p}{∂λ}

+ν [\frac{1}{r^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}u}{∂λ^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}u}{∂φ^{2}} − \frac{tan φ}{r^{2}} \frac{∂u}{∂φ} + \frac{1}{r} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} (ru)

+\frac{2}{r^{2} cos φ} \frac{∂w}{∂λ} − \frac{2 sin φ}{r^{2} cos^{2} φ} \frac{∂v}{∂λ} − \frac{u}{r^{2} cos^{2} φ}, ] ,  (1)

baro ḟormulate.tex  平成 20 年 1 月 12 日 (竹広真一)

\frac{∂v}{∂t} + \frac{u}{r cos φ} \frac{∂v}{∂λ} + \frac{v}{r} \frac{∂v}{∂φ} + w\frac{∂v}{∂r} + \frac{vw + u^{2} tan φ}{r} + 2Ω sin φu = −\frac{1}{ρr} \frac{∂p}{∂φ}

+ν [\frac{1}{r^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}v}{∂λ^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}v}{∂φ^{2}} − \frac{tan φ}{r^{2}} \frac{∂v}{∂φ} + \frac{1}{r} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} (rv)

+\frac{2}{r^{2}} \frac{∂w}{∂φ} + \frac{2 sin φ}{r^{2} cos^{2} φ} \frac{∂u}{∂λ} − \frac{v}{r^{2} cos^{2} φ}, ] ,  (2)

\frac{∂w}{∂t} + \frac{u}{r cos φ} \frac{∂w}{∂λ} + \frac{v}{r} \frac{∂w}{∂φ} + w\frac{∂w}{∂r} − \frac{u^{2} + v^{2}}{r} − 2Ω cos φu = −\frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂r}

+ν [\frac{1}{r^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}w}{∂λ^{2}} + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂^{2}w}{∂φ^{2}} − \frac{tan φ}{r^{2}} \frac{∂w}{∂φ} + \frac{1}{r} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} (rw)

−\frac{2}{r^{2}} \frac{∂v}{∂φ} + \frac{2v tan φ}{r^{2}} − \frac{2}{r^{2} cos φ} \frac{∂u}{∂λ} − \frac{2w}{r^{2}}, ] ,  (3)
\frac{1}{r cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{r cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) + \frac{1}{r^{2}} \frac{∂}{∂r} (r^{2}w) = 0.  (4)

ここで u, v, w はそれぞれ速度の緯度, 経度, 動径成分である. Ω は系の回転角速度でありその回転軸は北極向きである. 球面への拘束条件として, u, v ∝ r, w = 0 を適用し, r → a の極限をとると, w のついた項は消え, 粘性項の\frac{1}{r} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} (ru) = \frac{2u}{a^{2}},

\frac{1}{r} \frac{∂^{2}}{∂r^{2}} (rv) = \frac{2v}{a^{2}} となるので,

\frac{∂u}{∂t} + \frac{u}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂u}{∂φ} − \frac{uv tan φ}{a} − 2Ω sin φv = −\frac{1}{ρa cos φ} \frac{∂p}{∂λ} + f_{λ}, (5)
\frac{∂v}{∂t} + \frac{u}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂v}{∂φ} + \frac{u^{2} tan φ}{a} + 2Ω sin φu = −\frac{1}{ρa} \frac{∂p}{∂φ} + f_{φ},  (6)
\frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) = 0.  (7)

ただし f_{λ}, f_{φ} は粘性項であり,

f_{λ} = ν [\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}u}{∂λ^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \frac{∂^{2}u}{∂φ^{2}} − \frac{tan φ}{a^{2}} \frac{∂u}{∂φ} + \frac{2u}{a^{2}} − \frac{2 sin φ}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂v}{∂λ} − \frac{u}{a^{2} cos^{2} φ}, ] (8)

f_{φ} = ν [\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}v}{∂λ^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \frac{∂^{2}v}{∂φ^{2}} − \frac{tan φ}{a^{2}} \frac{∂v}{∂φ} + \frac{2v}{a^{2}} + \frac{2 sin φ}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂u}{∂λ} − \frac{v}{a^{2} cos^{2} φ}] . (9)

球面への拘束条件を適用した u, v ∝ r, w = 0 は r が有限の元では正しい解にはならないことに注意されたい. 運動方程式の動径成分とつじつまをあわせることができなくなる. r → a の極限では動径方向には壁からの応力により球面へ運動が拘束されていると考えて運動方程式の動径成分は扱わない.

\underline{{回転球面順圧流体 \atop 2 回転 2 次元球面上の非圧縮流体の渦度方程式の導出 3}}

2 回転 2 次元球面上の非圧縮流体の渦度方程式の導出

ここでは回転する 2 次元球面上の非圧縮流体の支配方程式から渦度方程式を導出する. 支配方程式は回転系での 2 次元球面上の運動方程式および連続の式 (5),(6),(7) である. 渦度方程式は (5) に −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ, (6) に\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} を作用させることにより求まる. 両式の時間変化項からは

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ\frac{∂u}{∂t} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} \frac{∂v}{∂t} = \frac{∂}{∂t} [−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ) + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ]

= \frac{∂ζ}{∂t}

ここで ζ = −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ) + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} は渦度 (の動径成分) である. 非線形項からは

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ [\frac{u}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂u}{∂φ} − \frac{uv tan φ}{a}]

+\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} [\frac{u}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂v}{∂φ} + \frac{u^{2} tan φ}{a}]

渦度の移流の形と連続の式の形を意識して変形していく. 第 1 項目は

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (cos φ\frac{u}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ}) = −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (\frac{u}{a} \frac{∂u}{∂λ})

= −\frac{1}{a cos φ} \frac{u}{a} \frac{∂}{∂λ} (\frac{∂u}{∂φ} ) − \frac{1}{a^{2} cos φ} (\frac{∂u}{∂λ} \frac{∂u}{∂φ} )

= −\frac{u}{a cos φ} \frac{1}{a} \frac{∂}{∂λ} [\frac{∂}{∂φ} \frac{u cos φ}{cos φ}] − \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂u}{∂λ} \frac{∂u}{∂φ}

= −\frac{u}{a cos φ} \frac{1}{a} \frac{∂}{∂λ} [\frac{1}{cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ) + \frac{u cos φ sin φ}{cos^{2} φ}] − \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂u}{∂λ} \frac{∂u}{∂φ}

= −\frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] − \frac{u}{a cos φ} \frac{tan φ}{a} \frac{∂u}{∂λ} − \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂u}{∂λ} \frac{∂u}{∂φ}

第 2 項目は

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (cos φ\frac{v}{a} \frac{∂u}{∂φ} ) = −\frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{a} \frac{∂u}{∂φ} ) − \frac{1}{a} \frac{∂u}{∂φ} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)

= −\frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{a} \frac{∂}{∂φ} (\frac{u cos φ}{cos φ})] − \frac{1}{a} \frac{∂u}{∂φ} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)

= −\frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ) + \frac{u cos φ}{a} \frac{− sin φ}{− cos φ^{2}} ] − \frac{1}{a} \frac{∂u}{∂φ} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)

baro ḟormulate.tex  平成 20 年 1 月 12 日 (竹広真一)

\underline{{回転球面順圧流体 \atop 2 回転 2 次元球面上の非圧縮流体の渦度方程式の導出 4}}

= −\frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] − \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} [\frac{u tan φ}{a}] − \frac{1}{a} \frac{∂u}{∂φ} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)

第 3 項目は

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ (−\frac{uv tan φ}{a}) = \frac{u tan φ}{a} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) + \frac{v cos φ}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (\frac{u tan φ}{a})

= \frac{u tan φ}{a} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) + \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} (\frac{u tan φ}{a})

第 4 項目は

\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{u}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) = \frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂u}{∂λ} \frac{∂v}{∂λ}

第 5 項目は

\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{v}{a} \frac{∂v}{∂φ} ) = \frac{v}{a} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (\frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂v}{∂λ} \frac{∂v}{∂φ}

= \frac{v}{a} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (\frac{cos φ}{cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂v}{∂λ} \frac{∂v}{∂φ}

= \frac{v}{a} \frac{1}{a} \frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) − \frac{v}{a} \frac{1}{a cos φ} (\frac{sin φ}{cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂v}{∂λ} \frac{∂v}{∂φ}

= \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) − \frac{v tan φ}{a^{2} cos φ} \frac{∂v}{∂λ} + \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂v}{∂λ} \frac{∂v}{∂φ}

= \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂v}{∂λ} (\frac{∂v}{∂φ} − v tan φ)

= \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)

第 6 項目は

\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{u^{2} tan φ}{a}) = \frac{u tan φ}{a} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{u tan φ}{a} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ}

全ての項を足しあわせると,

= −\frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] − \frac{u}{a cos φ} \frac{tan φ}{a} \frac{∂u}{∂λ} − \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂u}{∂λ} \frac{∂u}{∂φ}

−\frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] − \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} [\frac{u tan φ}{a}] − \frac{1}{a} \frac{∂u}{∂φ} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)

+\frac{u tan φ}{a} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) + \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} (\frac{u tan φ}{a})

+\frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂u}{∂λ} \frac{∂v}{∂λ}

\underline{{回転球面順圧流体 \atop 2 回転 2 次元球面上の非圧縮流体の渦度方程式の導出 5}}

+\frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)

+\frac{u tan φ}{a} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{u tan φ}{a} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ}

= −\frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] − \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂u}{∂λ} \frac{∂u}{∂φ}

−\frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] − \frac{1}{a} \frac{∂u}{∂φ} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)

+\frac{u tan φ}{a} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)

+\frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂u}{∂λ} \frac{∂v}{∂λ}

+\frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)

+\frac{u tan φ}{a} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ}

= \frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] + \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)]

+\frac{u tan φ}{a} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)] − \frac{1}{a} \frac{∂u}{∂φ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)]

+\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)]

= [\frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} ] [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)]

+ [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} − \frac{1}{a} \frac{∂u}{∂φ} + \frac{u tan φ}{a}] [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)]

= [\frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} ] [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)]

+ [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)]

= [\frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} ] ζ + ζ [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)]
= [\frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} ] ζ

最後に連続の式 (7) を用いた. コリオリ力の項からは

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ(−2Ω sin φv) + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (2Ω sin φu)

baro ḟormulate.tex  平成 20 年 1 月 12 日 (竹広真一)

= 2Ω\frac{sin φ}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ) + 2Ω\frac{v cos φ}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (sin φ) + 2Ω\frac{sin φ}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ}
= 2Ω sin φ [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂u}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)] + 2Ω\frac{v}{a} cos φ = 2Ω\frac{v}{a} cos φ.

圧力項は

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ (\frac{1}{ρa cos φ} \frac{∂p}{∂λ} ) + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{1}{ρa} \frac{∂p}{∂φ} )

= −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{ρa} \frac{∂p}{∂λ} ) + \frac{1}{ρa^{2} cos φ} \frac{∂^{2}p}{∂λ∂φ}

= −\frac{1}{ρa^{2} cos φ} \frac{∂^{2}p}{∂λ∂φ} + \frac{1}{ρa^{2} cos φ} \frac{∂^{2}p}{∂λ∂φ} = 0.

粘性項は, まず f_{λ} の 2,3,6 項目をまとめて

\frac{1}{a^{2}} \frac{∂^{2}u}{∂φ^{2}} − \frac{tan φ}{a^{2}} \frac{∂u}{∂φ} − \frac{u}{a^{2} cos^{2} φ} = \frac{1}{a^{2}} \frac{∂^{2}u}{∂φ^{2}} − \frac{1}{a^{2}} \frac{∂}{∂φ} (u tan φ)

= \frac{1}{a^{2}} \frac{∂}{∂φ} (\frac{∂u}{∂φ} − u tan φ) = \frac{1}{a^{2}} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)]

f_{φ} も同様に,

\frac{1}{a^{2}} \frac{∂^{2}v}{∂φ^{2}} − \frac{tan φ}{a^{2}} \frac{∂v}{∂φ} − \frac{v}{a^{2} cos^{2} φ} = \frac{1}{a^{2}} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)]

したがって,

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (cos φf_{λ}) + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂f_{φ}}{∂λ}

= −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ \{\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}u}{∂λ^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] + \frac{2u}{a^{2}} − \frac{2 sin φ}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂v}{∂λ} \}

+\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} \{\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}v}{∂λ^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)] + \frac{2v}{a^{2}} + \frac{2 sin φ}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂u}{∂λ}\}

これより渦度の形を意識しながら変形していく. 第 1 項目は

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ \{\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}u}{∂λ^{2}} \} = −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂^{2}u}{∂λ^{2}} ]

= −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} \frac{∂}{∂φ} (\frac{u}{a^{2} cos φ}) = −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} \frac{∂}{∂φ} (\frac{u cos φ}{a^{2} cos^{2} φ})
= −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} [\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ) + u cos φ\frac{2 sin φ cos φ}{a^{2} cos^{4} φ}]
= −\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} (\frac{2u sin φ}{a^{2} cos^{2} φ})
= −\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{2 sin φ}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂u}{∂λ}) .

baro ḟormulate.tex  平成 20 年 1 月 12 日 (竹広真一)

\underline{{回転球面順圧流体 \atop 2 回転 2 次元球面上の非圧縮流体の渦度方程式の導出 7}} 第 2 項目は

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ \{\frac{1}{a^{2}} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)]\}

= −\frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} \{cos φ\frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)]\} .

第 3 項目は

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (cos φ\frac{2u}{a^{2}}) = −\frac{2}{a^{2}} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ).

第 4 項目は

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ (−\frac{2 sin φ}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂v}{∂λ} ) = \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (\frac{2 sin φ}{a^{2} cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) .

第 5 項目は

\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} [\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}v}{∂λ^{2}} ] = \frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ] .

第 6 項目は

\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} \{\frac{1}{a^{2}} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{cos φ} \frac{∂}{∂φ} (v cos φ)]\} = \frac{1}{a^{3} cos φ} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{cos φ} \frac{∂}{∂φ} (cos φ\frac{∂v}{∂λ} )]

= \frac{1}{a^{3} cos φ} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{cos φ} \frac{∂}{∂φ} (\frac{cos φ}{cos φ^{2}} \frac{∂v}{∂λ} )]
= \frac{1}{a^{3} cos φ} \frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{cos φ} (cos^{2} φ\frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{1}{cos φ} \frac{∂v}{∂λ} (−2 sin φ cos φ))]
= \frac{1}{a^{3} cos φ} \frac{∂}{∂φ} [cos φ\frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) − \frac{2 sin φ}{cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ]
= \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} [cos φ\frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} )] − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (\frac{2 sin φ}{a^{2} cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) .

第 7 項目は

\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{2v}{a^{2}} ) = \frac{2}{a^{2}} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} .

第 8 項目はそのままで

\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{2 sin φ}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂u}{∂λ}) .

\underline{{回転球面順圧流体 \atop 2 回転 2 次元球面上の非圧縮流体の渦度方程式の導出 8}} 全てまとめると

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (cos φf_{λ}) + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂f_{φ}}{∂λ}

= −\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)] − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{2 sin φ}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂u}{∂λ})

−\frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} \{cos φ\frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)]\}

−\frac{2}{a^{2}} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ) + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (\frac{2 sin φ}{a^{2} cos φ} \frac{∂v}{∂λ} )

+\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ] + \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} [cos φ\frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} )]

−\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (\frac{2 sin φ}{a^{2} cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ) + \frac{2}{a^{2}} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} (\frac{2 sin φ}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂u}{∂λ})

= −\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)]

−\frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} \{cos φ\frac{∂}{∂φ} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)]\}

−\frac{2}{a^{2}} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ) + \frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} ]

+\frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} [cos φ\frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} )] + \frac{2}{a^{2}} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ}

= \frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)]

+\frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} [cos φ\frac{∂}{∂φ} (\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ))]

+\frac{2}{a^{2}} [\frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ} − \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ)]

= \frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}ζ}{∂λ^{2}} + \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} (cos φ\frac{∂ζ}{∂φ} ) + \frac{2ζ}{a^{2}} .

これより, 渦度方程式は

\frac{∂ζ}{∂t} + [\frac{u}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} + \frac{v}{a} \frac{∂}{∂φ} ] ζ + 2Ω\frac{v}{a} cos φ

= ν [\frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}ζ}{∂λ^{2}} + \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} (cos φ\frac{∂ζ}{∂φ} ) + \frac{2ζ}{a^{2}} ] .

ここで流線関数 ψ を

u = −\frac{1}{a} \frac{∂ψ}{∂φ} , v = \frac{1}{a cos φ} \frac{∂ψ}{∂λ} ,  (10)
baro ḟormulate.tex  平成 20 年 1 月 12 日 (竹広真一)

\underline{回転球面順圧流体  3 角運動量保存則  9}

として定義すると, 連続の式 (7) を自動的に満たす. 渦度 ζ は

ζ = −\frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂φ} (u cos φ) + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂v}{∂λ}
= \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} (cos φ\frac{∂ψ}{∂φ} ) + \frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}ψ}{∂λ^{2}} = ∇^{2}ψ.

ここで ∇^{2} = \frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} + \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ\frac{∂}{∂φ} は球面上の水平ラプラシアンである. これらを渦度方程式 (10) に代入すると,

\frac{∂∇^{2}ψ}{∂t} + [−\frac{1}{a} \frac{∂ψ}{∂φ} \frac{1}{a cos φ} \frac{∂}{∂λ} + \frac{1}{a cos φ} \frac{∂ψ}{∂λ} \frac{1}{a} \frac{∂}{∂φ} ] ∇^{2}ψ + \frac{2Ω}{a^{2}} \frac{∂ψ}{∂λ} = ν (∇^{2} + \frac{2}{a^{2}} ) ∇^{2}ψ.

さらに sin 緯度 μ = sin φ を導入すると, \frac{∂}{∂μ} = \frac{1}{cos φ} \frac{∂}{∂φ} であるから,

\frac{∂∇^{2}ψ}{∂t} + [−\frac{1}{a^{2}} \frac{∂ψ}{∂μ} \frac{∂}{∂λ} + \frac{1}{a^{2}} \frac{∂ψ}{∂λ} \frac{∂}{∂μ} ] ∇^{2}ψ + \frac{2Ω}{a^{2}} \frac{∂ψ}{∂λ} = ν (∇^{2} + \frac{2}{a^{2}} ) ∇^{2}ψ.

よって

\frac{∂∇^{2}ψ}{∂t} + \frac{1}{a^{2}} J(ψ, ∇^{2}ψ) + \frac{2Ω}{a^{2}} \frac{∂ψ}{∂λ} = ν (∇^{2} + \frac{2}{a^{2}} ) ∇^{2}ψ.  (11)

ただし J(f, g) = (∂_{λ}f)(∂_{μ}g) − (∂_{λ}g)(∂_{μ}f) はヤコビアンである. ラプラシアンを μ で表しておくと

∇^{2} = \frac{1}{a^{2} cos^{2} φ} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} + \frac{1}{a^{2} cos φ} \frac{∂}{∂φ} cos φ\frac{∂}{∂φ} = \frac{1}{a^{2}(1 − μ^{2})} \frac{∂^{2}}{∂λ^{2}} + \frac{1}{a^{2}} \frac{∂}{∂μ} (1 − μ^{2})\frac{∂}{∂μ} .

(12)

3 角運動量保存則

ψ の球面調和函数 Y_{n}^{m}(μ, λ) で展開した成分のうち, n = 0 は剛体回転流を表わす. (n, m) = (1, 0) は極方向を回転軸とする剛体回転流, (n, m) = (1, 1), (1, −1) は赤道面上の軸を回転軸とする剛体回転流である. したがってこれらの成分は各々の軸に対する角運動量となっており, 非回転系では全て, 回転系では (n, m) = (1, 0) 成分だけ保存しているはずである. そのことを確かめてみよう.

いま流線関数が球面調和函数の足しあわせで

ψ(λ, μ, t) = ∑_{n=1}^{∞} ∑_{m=−n}^{n} ψ̃_{n,m}Y_{n}^{m}(λ, μ) = ∑_{n=1}^{∞} ∑_{m=−n}^{n} ψ̃_{n,m}P_{n}^{m}(λ)e^{iμλ}  (13)

と表わされているとする. このとき ψ が実数であることから係数には

ψ̃_{n,−m} = ψ̃_{n,m}^{∗}  (14)

が成り立つ.

まず (n, m) = (1, 0) 成分について考えよう. 渦度方程式 (11) において, 粘性項の 1,0 成分は

(∇^{2} + \frac{2}{a^{2}} ) ∇^{2}ψ̃_{1,0}Y_{1}^{0}(λ, μ) = (\frac{−1 × 2}{a^{2}} + \frac{2}{a^{2}} ) \frac{−1 × 2}{a^{2}} ψ̃_{1,0}Y_{1}^{0}(λ, μ) = 0. (15)

(11) の β 項の 1,0 成分は

\frac{2Ω}{a^{2}} \frac{∂}{∂λ} ψ̃_{1,0}Y_{1}^{0}(λ, μ) = 0.  (16)

非線形項からの寄与は, (13) をヤコビアンに代入して Y_{1}^{0}(λ, μ) = μ をかけて球面上で積分することにより得られる.

∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} dλdμ\frac{1}{a^{2}} J(ψ, ∇^{2}ψ)Y_{1}^{0}(λ, μ)

= \frac{1}{a^{2}} ∑_{n,m} ∑_{n′,m′} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} [imψ̃_{n,m}ψ̃_{n′,m′}μY_{n}^{m} \frac{∂Y_{n′}^{m′}}{∂μ} − im′ψ̃_{n,m}ψ̃_{n′,m′}μ\frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}] dλdμ
= \frac{1}{a^{2}} ∑_{n,m} ∑_{n′,m′} ψ̃_{n,m}ψ̃_{n′,m′} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} [imμY_{n}^{m} \frac{∂Y_{n′}^{m′}}{∂μ} − im′μ\frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}] dλdμ

ここで m = −m′ 成分のみ 0 でないことに注意すると

∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} dλdμ [imμY_{n}^{m} \frac{∂Y_{n′}^{m′}}{∂μ} − im′μ\frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}]

= ∫_{0}^{2π} [imμY_{n}^{m}Y_{n′}^{m′}]_{−1}^{1} dλ − ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} imY_{n}^{m}Y_{n′}^{m′}dλdμ − ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} imμ\frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}dλdμ

+ ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} [−im′μ\frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}] dλdμ

= ∫_{0}^{2π} [imμY_{n}^{m}Y_{n′}^{−m}]_{−1}^{1} dλ − ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} imY_{n}^{m}Y_{n′}^{−m}dλdμ − ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} imμ\frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{−m}dλdμ

+ ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} imμ\frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{−m}dλdμ

= ∫_{0}^{2π} [imμY_{n}^{m}Y_{n′}^{−m}]_{−1}^{1} dλ − ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} imY_{n}^{m}Y_{n′}^{−m}dλdμ
= ∫_{0}^{2π} [imμY_{n}^{m}Y_{n′}^{−m}]_{−1}^{1} dλ − ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} imY_{n}^{m}Y_{n}^{−m}dλdμ

最後に Y_{n}^{m} の直交関係を用いている. 第 1 項目の値を評価する. Y_{n}^{m} の μ = ±1 での値は m ≠ 0 のとき 0 である. m = 0 のときは係数 m がかかっているので結局この項は 0 となる. したがって, n, m, n′, m′ 成分からは

−ψ̃_{n,m}ψ̃_{n,−m} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} imY_{n}^{m}Y_{n}^{−m}dλdμ = −|ψ̃_{n,m}|^{2} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} imY_{n}^{m}Y_{n}^{−m}dλdμ (17)

一方, n, −m から

−|ψ̃_{n,−m}|^{2} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1}(−imY_{n}^{−m}Y_{n}^{m})dλdμ = |ψ̃_{n,m}^{∗}|^{2} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} imY_{n}^{−m}Y_{n}^{m}dλdμ (18)

したがってこの項は互いにキャンセルする. 結局非線形項からの (n, m) = (1, 0) への寄与は 0 となる. 最後に時間変化項は

\frac{∂}{∂t} ∇^{2}ψ̃_{1,0}(t)Y_{1}^{0} = −\frac{1(1 + 1)}{a^{2}} \frac{dψ̃_{1,0}}{dt} Y_{1}^{0}  (19)

よって

\frac{dψ̃_{1,0}}{dt} = 0  (20)

となり極方向を軸とする角運動量は保存する.

次に (n, m) = (1, 1) 成分について考えよう. 粘性項の (1, 1) 成分は (n, m) = (1, 0) と同様にして 0 である. (11) の β 項の 1,1 成分は

\frac{2Ω}{a^{2}} \frac{∂}{∂λ} ψ̃_{1,1}Y_{1}^{1}(λ, μ) == i\frac{2Ω}{a^{2}} ψ̃_{1,1}Y_{1}^{1}(λ, μ).  (21)

非線形項からの寄与は, (13) をヤコビアンに代入して Y_{1}^{1}(λ, μ) = \sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} をかけて球面上で積分することにより得られる.

∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} dλdμ\frac{1}{a^{2}} J(ψ, ∇^{2}ψ)Y_{1}^{1}(λ, μ)

= \frac{1}{a^{2}} ∑_{n,m} ∑_{n′,m′} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} [imψ̃_{n,m}ψ̃_{n′,m′} \sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ}Y_{n}^{m} \frac{∂Y_{n′}^{m′}}{∂μ}

−im′ψ̃_{n,m}ψ̃_{n′,m′} \sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}] dλdμ

= \frac{1}{a^{2}} ∑_{n,m} ∑_{n′,m′} ψ̃_{n,m}ψ̃_{n′,m′} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} [im\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ}Y_{n}^{m} \frac{∂Y_{n′}^{m′}}{∂μ} − im′\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}] dλdμ

ここで m′ = −1 − m 成分のみ 0 でないことに注意すると, m = n のときは 0 になり, 0 < m < n + 1 なる n, m に対して

∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} dλdμ [im\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ}Y_{n}^{m} \frac{∂Y_{n′}^{m′}}{∂μ} − im′\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}]

\underline{回転球面順圧流体  3 角運動量保存則  12}
= ∫_{0}^{2π} [im\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ}Y_{n}^{m}Y_{n′}^{m′}]_{−1}^{1} dλ − ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} −im\frac{μ}{\sqrt{1 − μ^{2}}} e^{iλ}Y_{n}^{m}Y_{n′}^{m′}dλdμ

− ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} im\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}dλdμ + ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} [−im′\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}] dλdμ

= ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} im\frac{μ}{\sqrt{1 − μ^{2}}} e^{iλ}Y_{n}^{m}Y_{n′}^{m′}dλdμ − i(m + m′) ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} \sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}dλdμ
= ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} im\frac{μ}{\sqrt{1 − μ^{2}}} e^{iλ}Y_{n}^{m}Y_{n′}^{m′}dλdμ + i ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} \sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}dλdμ
= i ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 − μ^{2}}} e^{iλ} [mμY_{n}^{m} + (1 − μ^{2})\frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} ] Y_{n′}^{m′}dλdμ

ここでルジャンドル函数の漸化式

(1 − μ^{2})\frac{∂P_{n}^{m}}{∂μ} = \sqrt{1 − μ^{2}}P_{n}^{m+1} − mμP_{n}^{m}  (22)

より

e^{iλ} [mμY_{n}^{m} + (1 − μ^{2})\frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} ] = e^{i(m+1)λ} [mμP_{n}^{m} + (1 − μ^{2})\frac{∂P_{n}^{m}}{∂μ} ]
= \sqrt{1 − μ^{2}}P_{n}^{m+1}e^{i(m+1)λ} = \sqrt{1 − μ^{2}}Y_{n}^{m+1}.

したがって, n, m 成分からの寄与は

\frac{1}{a^{2}} ψ̃_{n,m}ψ̃_{n′,m′} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} dλdμ [im\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ}Y_{n}^{m} \frac{∂Y_{n′}^{m′}}{∂μ} − im′\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}]

= i\frac{1}{a^{2}} ψ̃_{n,m}ψ̃_{n′,−m−1} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} Y_{n}^{m+1}Y_{n′}^{m′}dλdμdλdμ
= i\frac{1}{a^{2}} ψ̃_{n,m}ψ̃_{n,−m−1} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} Y_{n}^{m+1}Y_{n}^{−m−1}dλdμdλdμ

最後に直交関係を使って n′ = n とした. 一方 m < 0 の成分に対して, m → −m − 1 > −n − 1 を選んで計算すると m′ = m の時のみ 0 でなく,

∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} dλdμ [im\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ}Y_{n}^{m} \frac{∂Y_{n′}^{m′}}{∂μ} − im′\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}]

= ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} dλdμ [i(−m − 1)\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ}Y_{n}^{−m−1} \frac{∂Y_{n′}^{m′}}{∂μ} − im′\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{−m−1}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}]
= ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} dλdμ [i(−m − 1)\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ}Y_{n}^{−m−1} \frac{∂Y_{n′}^{m}}{∂μ} − im\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{−m−1}}{∂μ} Y_{n′}^{m}]
baro ḟormulate.tex  平成 20 年 1 月 12 日 (竹広真一)

= − ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} dλdμ [im\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ}Y_{n′}^{m} \frac{∂Y_{n}^{−m−1}}{∂μ} − i(−m − 1)\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n′}^{m}}{∂μ} Y_{n}^{−m−1}]
= −i ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} Y_{n′}^{m+1}Y_{n}^{−m−1}dλdμdλdμ
= −i ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} Y_{n}^{m+1}Y_{n}^{−m−1}dλdμdλdμ.

最後の計算は n, m の時の式変形と同様に行った. したがって, n, −m − 1 成分からの寄与は

\frac{1}{a^{2}} ψ̃_{n,−m−1}ψ̃_{n′,m′} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} dλdμ [im\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ}Y_{n}^{m} \frac{∂Y_{n′}^{m′}}{∂μ} − im′\sqrt{1 − μ^{2}}e^{iλ} \frac{∂Y_{n}^{m}}{∂μ} Y_{n′}^{m′}]

= −i\frac{1}{a^{2}} ψ̃_{n,−m−1}ψ̃_{n′,m} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} Y_{n}^{−m−1}Y_{n′}^{m}dλdμdλdμ
= −i\frac{1}{a^{2}} ψ̃_{n,−m−1}ψ̃_{n,m} ∫_{0}^{2π} ∫_{−1}^{1} Y_{n}^{−m−1}Y_{n}^{m}dλdμdλdμ

よって n, m 成分と n, −m − 1 成分からの寄与が打ち消しあって非線形項は 0 となる.

最後に時間変化項は (1, 0) 成分と同じであり

\frac{∂}{∂t} ∇^{2}ψ̃_{1,1}(t)Y_{1}^{1} = −\frac{1(1 + 1)}{a^{2}} \frac{dψ̃_{1,1}}{dt} Y_{1}^{1}  (23)

よって (1, 1) 成分の式は

−\frac{2}{a^{2}} \frac{dψ̃_{1,1}}{dt} + i\frac{2Ω}{a^{2}} ψ̃_{1,1} = 0,  ψ̃_{1}^{1} = Ae^{iΩt}.  (24)

A は任意定数であり初期値で定まる. したがって (1, 1) 成分の振舞は

ψ(μ, λ, t) = Ae^{i(λ+Ωt)}P_{1}^{1}(μ)  (25)

緯度方向に速度 Ω で逆向きに伝播する. この解は回転系で見れば波数 (1, 1) のロスビー波である. 慣性系から見て保存している極をとおる剛体回転流を, 回転系から見ると Ω で逆まわりしているように見えるのがこの解である.

(1, −1) 成分は (1, 1) 成分と同様に粘性項, 非線形項の寄与が 0 となる.

−\frac{2}{a^{2}} \frac{dψ̃_{1,−1}}{dt} − i\frac{2Ω}{a^{2}} ψ̃_{1,−1} = 0,  ψ̃_{1}^{1} = Ae^{−iΩt}.  (26)

したがって (1, 1) 成分の振舞は

ψ(μ, λ, t) = Ae^{−i(λ+Ωt)}P_{1}^{1}(μ)  (27)

緯度方向に速度 Ω で逆向きに伝播する. 特に回転がなければ時間微分が 0 となり保存する.

\underline{回転球面順圧流体文献 14}

文献

地球流体電脳倶楽部理論マニュアル「ロスビー波(2 次元非発散球面)」 https://www.gfddennou.org/GFD Dennou Club/dc-arch/zz1998/gfd-note/waveli/ros2dnds/index.htm