%表題  SPMODEL レファレンスマニュアル
%
%      3 次元球殻領域の拡散方程式の解析解
%      チェビシェフ関数展開を利用した計算チェック用
%
%履歴  2006/02/16 作成  竹広真一
%      2006/02/25 改訂 
%
\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{Dennou6}

\Dtitle[球殻領域での拡散方程式解]
       {3 次元球殻領域での\\拡散型方程式の解析解}
\Dauthor{竹広真一}
\Ddate{平成 18 年 2 月 25 日}

\Dparskip

\begin{document}

\maketitle

この文章では, 球面調和函数--チェビシェフ関数展開を利用した
3 次元球殻領域での流体計算のための SPMODEL ライブラリ(spml)の
モジュール wt\_module のテストのために, 
3 次元球殻領域での拡散型方程式のさまざまな境界条件に対する
解を(できるだけ)解析的に求めることを行う. 

  \section{拡散方程式}

    半径 $r_i,r_o$ の同心球面の間の 3 次元球殻領域での拡散問題を考える. 
    支配方程式は 3 次元拡散方程式
    %
    \begin{equation}
      \Deqlab{拡散方程式}
      \DP{\phi}{t} = \kappa \Dlapla \phi
    \end{equation}
    %
    $\phi$ は拡散する物理量であり, 例えば温度, 組成濃度, 磁場などである.
    $x$, $y$ はそれぞれ壁に平行および垂直方向の座標, 
    $\kappa$ は拡散率(正数)である. 
    $\Dlapla$ は 3 次元ラプラシアンであり, 
    緯度経度動径座標系$ (\lambda,\varphi,r)$ での表現は
    %
    \begin{equation}
      \Dlapla = \frac{1}{r^2}\DP{}{r}\left(r^2\DP{}{r}\right)
             + \frac{1}{r^2\cos\varphi}\DP{}{\varphi}
                 \left(\cos\varphi\DP{}{\varphi}\right)
             + \frac{1}{r^2\cos^2\varphi}\DP[2]{}{\lambda}.
    \end{equation}
    %

    一般的な境界条件は, 内外境界球面での物理量とその $r$ 微分の
    線形結合で与えられる(混合型境界条件). 
    %
    \begin{eqnarray}
      \Deqlab{混合型境界条件下}
      & & \alpha_{1,i}\DP{\phi}{r} + \alpha_{0,i}\phi =0, 
          \quad {\rm at} \quad r=r_i,\\
      \Deqlab{混合型境界条件上}
      & & \alpha_{1,o}\DP{\phi}{r} + \alpha_{0,o}\phi =0, 
          \quad {\rm at} \quad r=r_o,
    \end{eqnarray}
    %
    ここで $\alpha_{i,j}$ は定数係数であり, 以下の条件を満たしている
    ものとする. 
    %
    \begin{equation}
      \alpha_{1,o}\cdot\alpha_{0,o} \ge 0, \quad
      \alpha_{1,i}\cdot\alpha_{0,i} \le 0, \quad
    \end{equation}
    %
    ただし $\alpha_{1,i}$ と $\alpha_{0,i}$, 
    および $\alpha_{1,o}$ と $\alpha_{0,o}$ は同時には
    0 にはならないものとする. 

    \subsection{球面調和関数展開}

      緯度・経度方向には球面調和関数で展開して解くことができる. 
      以下, その 1 波数成分のみ取りだして扱う. 
      時間に関しても指数型の解を仮定し, 
      %
      \begin{equation}
        \Deqlab{球面調和函数展開}
        \phi(x,y,t)=\tilde{\phi}_{lm}(r)Y_{lm}(\lambda,\varphi)e^{\sigma t}
      \end{equation}
      %
      これを支配方程式に代入すると, 
      %
      \begin{equation}
        \Deqlab{拡散方程式球面調和函数展開}
          \sigma \tilde{\phi}_{lm} = 
              \kappa \left[
                \frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right)
                  -\frac{l(l+1)}{r^2}\tilde{\phi}_{lm}\right],
      \end{equation}
      %
      境界条件は, 
      %
      \begin{eqnarray}
        \Deqlab{混合型境界条件上球面調和函数展開}
        & & \alpha_{1,i}\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{y} 
             + \alpha_{0,i}\tilde{\phi}_{lm} =0 
               \quad {\rm at} \quad y=r_i,\\
        \Deqlab{混合型境界条件下球面調和函数展開}
        & & \alpha_{1,o}\DD{\phi}{y} 
              + \alpha_{0,o}\tilde{\phi}_{lm} =0
               \quad {\rm at} \quad y=r_o.
      \end{eqnarray}
      %

    \subsection{最大成長率の見積もり}

      成長率の最大値を領域積分から見積もることができる. 
      \Deqref{拡散方程式球面調和函数展開} $r^2\tilde{\phi}_{lm}^*$ をかけて
      $r$ 方向に全領域積分を行い, 部分積分を繰り返すと, 
      %
      \begin{eqnarray*}
        \sigma \int_{r_i}^{r_o} r^2|\tilde{\phi}_{lm}|^2 dr &=&
               \int_{r_i}^{r_o} dr r^2 \tilde{\phi}_{lm}^*  
                \kappa \left[
                    \frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right)
                   -\frac{l(l+1)}{r^2}\tilde{\phi}_{lm}\right]\\
        &=& \kappa \int_{r_i}^{r_o} dr \tilde{\phi}_{lm}^*
                     \DD{}{r}\left(r^2\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right)
             -\kappa l(l+1) \int_{r_i}^{r_o} |\tilde{\phi}_{lm}|^2 dr\\
        &=&  \kappa\left[
                  r^2\tilde{\phi}_{lm}^*\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right]_{r_i}^{r_o} 
             -\kappa \int_{r_i}^{r_o} 
                  r^2\left|\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|^2 dr
             -\kappa l(l+1) \int_{r_i}^{r_o} |\tilde{\phi}_{lm}|^2 dr\\
      \end{eqnarray*}
      %
      ここで, 境界条件を用いて右辺第 1 項目を見積もると
      %
      \begin{eqnarray*}
        & & \left[r^2\tilde{\phi}_{lm}^*\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{y}\right]_{r_i}^{r_o}\\
        &=& \left\{
        \begin{array}{cc}
          \Ddsty -\frac{\alpha_{1,o}}{\alpha_{0,o}}
               r_o^2\left|\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|^2_{r=r_o}
          & (\alpha_{0,o}\neq0)\\
          \Ddsty -\frac{\alpha_{0,o}}{\alpha_{1,o}}
               r_o^2|\tilde{\phi}_{lm}|^2_{r=r_o}
          & (\alpha_{1,o}\neq0)
        \end{array}
        \right\}
        - \left\{
        \begin{array}{cc}
          \Ddsty -\frac{\alpha_{1,i}}{\alpha_{0,i}}
               r_i^2\left|\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|^2_{r=r_i}
          & (\alpha_{0,i}\neq0)\\
          \Ddsty -\frac{\alpha_{0,i}}{\alpha_{1,i}}
               r_i^2|\tilde{\phi}_{lm}|^2_{r=r_i}
          & (\alpha_{1,i}\neq0)
        \end{array}
        \right\}\\
        &=& -\left\{
        \begin{array}{cc}
          \Ddsty \frac{\alpha_{1,o}}{\alpha_{0,o}}
               r_o^2\left|\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|^2_{r=r_o}
          & (\alpha_{0,o}\neq0)\\
          \Ddsty \frac{\alpha_{0,o}}{\alpha_{1,o}}
               r_o^2|\tilde{\phi}_{lm}|^2_{r=r_o}
          & (\alpha_{1,o}\neq0)
        \end{array}
        \right\}
        + \left\{
        \begin{array}{cc}
          \Ddsty  \frac{\alpha_{1,i}}{\alpha_{0,i}}
               r_i^2\left|\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|^2_{r=r_i}
          & (\alpha_{0,i}\neq0)\\
          \Ddsty \frac{\alpha_{0,i}}{\alpha_{1,i}}
               r_i^2 |\tilde{\phi}_{lm}|^2_{r=r_i}
          & (\alpha_{1,i}\neq0)
        \end{array}
        \right\}\\
        & \le & 0.
      \end{eqnarray*}
      %
      したがって, 
      %
      \begin{eqnarray*}
        \sigma 
        &\le& 
             -\kappa \int_{r_i}^{r_o} 
                  r^2\left|\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|^2 dr
             -\kappa l(l+1) \int_{r_i}^{r_o} |\tilde{\phi}_{lm}|^2 dr
         < -\kappa l(l+1) \int_{r_i}^{r_o} |\tilde{\phi}_{lm}|^2 dr,\\
        \sigma &<& 
            \frac{\Ddsty -\kappa l(l+1)\int_{r_i}^{r_o} r^2|\tilde{\phi}_{lm}|^2 dr}
                 {\Ddsty \int_{r_i}^{r_o} r^2|\tilde{\phi}_{lm}|^2 dr}
         <
            \frac{\Ddsty -\kappa l(l+1)\int_{r_i}^{r_o} |\tilde{\phi}_{lm}|^2 dr}
                 {\Ddsty r_i^2\int_{r_i}^{r_o} |\tilde{\phi}_{lm}|^2 dr}
          = -\kappa \frac{l(l+1)}{r_i^2}.
      \end{eqnarray*}
      %
      よって成長率の最大値が
      %
      \begin{equation}
        \sigma  < -\kappa \frac{l(l+1)}{r_i^2}
      \end{equation}
      %
      と見積もられる.

    \subsection{一般解}

      支配方程式を変形すると
      %
      \begin{displaymath}
        \frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right)
          +\left[\frac{-\sigma}{\kappa} -\frac{l(l+1)}{r^2}\right]\tilde{\phi}_{lm},
      \end{displaymath}
      %
      さらに動径座標を
      \begin{equation}
        \tilde{r} = \sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}r, \quad
        r  = \sqrt{\frac{\kappa}{-\sigma}}\tilde{r},
      \end{equation}
      %
      と変形すると,
      %
      \begin{displaymath}
        \frac{1}{\tilde{r}^2}\DD{}{\tilde{r}}
             \left(\tilde{r}^2\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{\tilde{r}}\right)
          +\left[1 -\frac{l(l+1)}{\tilde{r}^2}\right]\tilde{\phi}_{lm},
      \end{displaymath}
      %
      この微分方程式は球ベッセルの微分方程式であり, その一般解は
      $l$ 次の球ベッセル函数 ${\cal J}_l(\tilde{r}),{\cal N}_l(\tilde{r})$ の
      線形結合として表される.
      %
      \begin{equation}
        \Deqlab{拡散方程式球面調和函数展開一般解}
        \tilde{\phi}_{lm} = A_1 {\cal J}_l(\tilde{r}) + A_2 {\cal N}_l(\tilde{r})
               = A_1 {\cal J}_l\left(\sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}r\right) 
               + A_2 {\cal N}_l\left(\sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}r\right)
      \end{equation}


    \subsection{両端ディリクレ型境界条件の場合}

      両端での境界条件がディリクレ型の
      %
      \begin{equation}
        \Deqlab{ディリクレ型境界条件球面調和函数展開}
        \tilde{\phi}_{lm} =0 \quad {\rm at} \quad y=r_i,r_o
      \end{equation}
      %
      場合を考える. これを一般解
      \Deqref{拡散方程式球面調和函数展開一般解}に代入して整理すると
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{cc}
           {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right) 
           & {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           {\cal J}_l\left(r_o \alpha\right) 
           & {\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        =0,
      \end{equation}
      % 
      ただし $\Ddsty \alpha = \sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}$ とおいた. 
      %
      係数行列の行列式が 0 であることから, 成長率を定める分散関係に相当する
      式が得られる. 
      \begin{equation}
               {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right) 
          \cdot{\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)
        -      {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)
          \cdot{\cal J}_l\left(r_o \alpha\right) 
         =0.
      \end{equation}
      %
      この分散関係から動径波数 $\alpha$ と
      成長率 $\sigma = -\nu \alpha^2$ が定められる. 
      \footnote{
        球ベッセル関数の形は
        %
        \begin{equation}
          {\cal J}_l(x) = a_l(x) \sin x + b_l(x) \cos x, \quad
          {\cal J}_l(x) = b_l(x) \sin x - a_l(x) \cos x,
        \end{equation}
        %
        と表される. ここで $a_l(x), b_l(x)$ は $x$ の有理多項式である. 
        この形を代入すると
        %
        \begin{eqnarray*}
         & &
            [a_l(r_i\alpha)\sin(r_i\alpha) + b_l(r_i\alpha)\cos(r_i\alpha)]
            [b_l(r_o\alpha)\sin(r_o\alpha) - a_l(r_o\alpha)\cos(r_o\alpha)]\\
         &&-[b_l(r_i \alpha)\sin(r_i\alpha) - a_l(r_i\alpha)\cos(r_i\alpha)]
            [a_l(r_o \alpha)\sin(r_o\alpha) + b_l(r_o\alpha)\cos (r_o\alpha)]\\
         &=&
             a_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)\sin(r_i\alpha)\sin(r_o\alpha)
            -a_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)\sin(r_i\alpha)\cos(r_o\alpha)\\
         && +b_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)\cos(r_i\alpha)\sin(r_o\alpha)
            -b_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)\cos(r_i\alpha)\cos(r_o\alpha)\\
         && -b_l(r_i \alpha)a_l(r_o \alpha)\sin(r_i\alpha)\sin (r_o\alpha)
            -b_l(r_i \alpha)b_l(r_o\alpha)\sin(r_i\alpha)\cos (r_o\alpha)\\
         && +a_l(r_i\alpha)a_l(r_o \alpha)\cos(r_i\alpha)\sin (r_o\alpha)
            +a_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)\cos(r_i\alpha)\cos (r_o\alpha)\\
         &=&
             a_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)
             [\sin(r_i\alpha)\sin(r_o\alpha)+\cos(r_i\alpha)\cos(r_o\alpha)]\\
         && +a_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)
             [-\sin(r_i\alpha)\cos(r_o\alpha)+\cos(r_i\alpha)\sin (r_o\alpha)]\\
         && +b_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)
             [\cos(r_i\alpha)\sin(r_o\alpha)-\sin(r_i\alpha)\cos (r_o\alpha)]\\
         && +b_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)
             [-\cos(r_i\alpha)\cos(r_o\alpha)-\sin(r_i\alpha)\sin (r_o\alpha)]\\
         &=&
             a_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)\cos[(r_o-r_i\alpha)]
            +a_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)\sin[(r_o-r_i)\alpha)]\\
         && +b_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)\sin[(r_o-r_i)\alpha)]
            -b_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)\cos[(r_o-r_i\alpha)]\\
         &=&
             [a_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)-b_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)]
             \cos[(r_o-r_i)\alpha)]\\
         && +[a_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)+b_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)]
             \sin[(r_o-r_i)\alpha]\\
         &=& \sin[(r_o-r_i)\alpha+\theta_l]=0, 
        \end{eqnarray*}
        %
        ただし
        \begin{eqnarray*}
          \sin\theta_l  &=&
          \frac{a_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)-b_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)}
               {\sqrt{
                 [a_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)-b_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)]^2
                +[a_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)+b_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)]^2}},\\        \cos\theta  &=&
          \frac{a_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)+b_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)}
               {\sqrt{
                 [a_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)-b_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)]^2
                +[a_l(r_i\alpha)a_l(r_o\alpha)+b_l(r_i\alpha)b_l(r_o\alpha)]^2}},
        \end{eqnarray*}
        %
        したがって $\theta$ が $\alpha$ に対してそれほど急激に
        変化しないならば, この式の形は $\sin[(r_o-r_i)\alpha$ によって
        だいたいさだまるだろう. 
        したがって
        %
        \begin{eqnarray}
          & &(r_o-r_i)\alpha+\theta_l = n\pi, \quad n=1,2,\ldots, \nonumber\\
          & & {\rm i.e.}\quad
          \alpha =\sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}= \frac{n\pi-\theta_l}{r_o-r_i}, 
          \quad
          \sigma = -\kappa \left(\frac{n\pi-\theta_l}{r_o-r_i}\right)^2
              \quad n=1,2,\ldots.
        \end{eqnarray}
        %
        特に $l=0$ の場合, $a_0(x) =1/x , b_0=0$ であるから
        %
        \begin{eqnarray*}
          \sin\theta_0 = 0, \quad \cos\theta_0 = 1 \quad 
          {\rm i.e.} \quad \theta_0=0,
        \end{eqnarray*}
        %
        となるので
        \begin{eqnarray}
          \alpha =\sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}= \frac{n\pi}{r_o-r_i}, 
          \quad
          \sigma = -\kappa \left(\frac{n\pi}{r_o-r_i}\right)^2
              \quad n=1,2,\ldots
        \end{eqnarray}
      }
      係数 $A_1, A_2$ の組合せは, 求まった $\alpha$ を用いて
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        ={\rm const}\cdot
        \left(
        \begin{array}{c}
           -{\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right) 
        \end{array}
        \right).
      \end{equation}

    \subsection{両端ノイマン型境界条件の場合}

      両端での境界条件がノイマン型の
      %
      \begin{equation}
        \Deqlab{ノイマン型境界条件球面調和函数展開}
        \DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r} =0 \quad {\rm at} \quad y=r_i,r_o
      \end{equation}
      %
      場合を考える. これを一般解
      \Deqref{拡散方程式球面調和函数展開一般解}に代入して整理すると
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{cc}
           \alpha{\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right) 
           & \alpha{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)\\
           \alpha{\cal J}'_l\left(r_o \alpha\right) 
           & \alpha{\cal N}'_l\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        =0,
      \end{equation}
      % 
      ただし $\Ddsty \alpha = \sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}$ とおいた. 
      %
      係数行列の行列式が 0 であることから, 成長率を定める分散関係に相当する
      式が得られる. 
      \begin{equation}
        \alpha^2[
               {\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right) 
          \cdot{\cal N}'_l\left(r_o \alpha\right)
        -      {\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)
          \cdot{\cal J}'_l\left(r_o \alpha\right) ]
         =0.
      \end{equation}
      %
      この分散関係から動径波数 $\alpha$ と
      成長率 $\sigma = -\nu \alpha^2$ が定められる. 

      係数 $A_1, A_2$ の組合せは, 求まった $\alpha$ を用いて
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        ={\rm const}\cdot
        \left(
        \begin{array}{c}
           -{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)\\
           {\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right) 
        \end{array}
        \right).
      \end{equation}

    \subsection{外側ディリクレ内側ノイマン型境界条件の場合}

      外側でディリクレ型, 内側がノイマン型の境界条件の場合,
      %
      \begin{equation}
        \Deqlab{外側ディリクレ内側ノイマン型境界条件球面調和函数展開}
        \tilde{\phi}_{lm} =0 \quad {\rm at} \quad y=r_o, \quad
        \DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r} =0 \quad {\rm at} \quad y=r_i,
      \end{equation}
      %
      を考える. これを一般解
      \Deqref{拡散方程式球面調和函数展開一般解}に代入して整理すると
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{cc}
            \alpha{\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right) 
           & \alpha{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)\\
             {\cal J}_l\left(r_o \alpha\right) 
           & {\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        =0,
      \end{equation}
      % 
      ただし $\Ddsty \alpha = \sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}$ とおいた. 
      %
      係数行列の行列式が 0 であることから, 成長率を定める分散関係に相当する
      式が得られる. 
      \begin{equation}
        \alpha[
               {\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right) 
          \cdot{\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)
        -      {\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)
          \cdot{\cal J}_l\left(r_o \alpha\right) ]
         =0.
      \end{equation}
      %
      この分散関係から動径波数 $\alpha$ と
      成長率 $\sigma = -\nu \alpha^2$ が定められる. 

      係数 $A_1, A_2$ の組合せは, 求まった $\alpha$ を用いて
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        ={\rm const}\cdot
        \left(
        \begin{array}{c}
           -{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)\\
           {\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right) 
        \end{array}
        \right).
      \end{equation}

    \subsection{外側ノイマン内側ディリクレ型境界条件の場合}

      外側でノイマン型, 内側がディリクレ型の境界条件の場合,
      %
      \begin{equation}
        \Deqlab{外側ディリクレ内側ノイマン型境界条件球面調和函数展開}
        \DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r} =0 \quad {\rm at} \quad y=r_o,\quad
        \tilde{\phi}_{lm} =0 \quad {\rm at} \quad y=r_i
      \end{equation}
      %
      を考える. これを一般解
      \Deqref{拡散方程式球面調和函数展開一般解}に代入して整理すると
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{cc}
            {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right) 
           & {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           \alpha{\cal J}'_l\left(r_o \alpha\right) 
           & \alpha{\cal N}'_l\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        =0,
      \end{equation}
      % 
      ただし $\Ddsty \alpha = \sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}$ とおいた. 
      %
      係数行列の行列式が 0 であることから, 成長率を定める分散関係に相当する
      式が得られる. 
      \begin{equation}
        \alpha[
               {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right) 
          \cdot{\cal N}'_l\left(r_o \alpha\right)
        -      {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)
          \cdot{\cal J}'_l\left(r_o \alpha\right) ]
         =0.
      \end{equation}
      %
      この分散関係から動径波数 $\alpha$ と
      成長率 $\sigma = -\nu \alpha^2$ が定められる. 

      係数 $A_1, A_2$ の組合せは, 求まった $\alpha$ を用いて
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        ={\rm const}\cdot
        \left(
        \begin{array}{c}
           -{\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right) 
        \end{array}
        \right).
      \end{equation}

    \subsection{領域外部の境界領域でラプラス方程式に従う場合}

      有限の熱伝導率を持つ物質で球殻内外領域が満たされている場合の
      熱拡散問題, あるいはポロイダル磁場の拡散の問題の場合には
      球殻領域の拡散方程式を次のような混合型の境界条件の下で
      解くことになる
      \footnote{
        領域外部の支配方程式は
        %
        \begin{displaymath}
          \Dlapla \phi =0, 
        \end{displaymath}
        %
        緯度経度に関して球面調和関数変換すると
        %
        \begin{displaymath}
          \Deqlab{拡散方程式球面調和函数展開}
          \frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right)
                    -\frac{l(l+1)}{r^2}\tilde{\phi}_{lm}=0
        \end{displaymath}
        %
        この方程式の独立な 2 つの解は $r^{-(l+1)}, r^l$ である. 
        それぞれ $r=0,\infty$ で発散しない解を求めると
        \begin{displaymath}
          \tilde{\phi}_{lm} = C_1 r^{-(l+1)}
              \quad \left(r \ge r_o \right),\qquad
          \tilde{\phi}_{lm} = C_2 r^l
              \quad \left(r \le r_i \right),
        \end{displaymath}
        %
        境界 $r=r_o$ で値と 1 階微分が連続であることから
        \begin{eqnarray*}
          \tilde{\phi}_{lm}|_{r=r_o} =  C_1 r^{-(l+1)r_o}, \quad
          \left.\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|_{r_o} =  -(l+1) C_1 r^{-(l+2)r_o}
        \end{eqnarray*}
        %
        これらより $C_1$ を消去すると $r=r_o$ での境界条件
        %
        \begin{displaymath}
          \left.\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|_{r_o}
              +\frac{(l+1)}{r_o}\tilde{\phi}_{lm}|_{r_o}=0,
        \end{displaymath}
        %
        が得られる. $r=r_i$ の場合も同様に計算すると, 
        %
        \begin{displaymath}
          \left.\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|_{r_o}
              -\frac{l}{r_i}\tilde{\phi}_{lm}|_{r_o}=0.
        \end{displaymath}
      }.
      %
      \begin{equation}
        \Deqlab{両端混合型境界条件球面調和展開}
         \left.\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|_{r_o}
              +\frac{(l+1)}{r_o}\tilde{\phi}_{lm}|_{r_o}=0,\quad
         \left.\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|_{r_o}
              -\frac{l}{r_i}\tilde{\phi}_{lm}|_{r_o}=0.
      \end{equation}
      %
      これを一般解
      \Deqref{拡散方程式球面調和函数展開一般解}に代入して整理すると, 
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{cc}
           {\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right)
               -l/r_i{\cal J}_l\left(r_i \alpha\right) 
           & {\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)
               -l/r_i{\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           {\cal J}'_l\left(r_o \alpha\right) 
             +(l+1)/r_o{\cal J}_l\left(r_o \alpha\right) 
           & {\cal N}'_l\left(r_o \alpha\right)
             +(l+1)/r_o{\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        =0,
      \end{equation}
      %
      ここで球ベッセル関数の性質
      \begin{eqnarray*}
        & & {\cal J}'_l(x) 
          = \frac{l}{x}{\cal J}_l(x) - {\cal J}_{l+1}(x) 
          = {\cal J}_{l-1}(x) - \frac{l+1}{x}{\cal J}_l(x), \\
        & & {\cal N}'_l(x) 
          = \frac{l}{x}{\cal N}_l(x) - {\cal N}_{l+1}(x) 
          = {\cal N}_{l-1}(x) - \frac{l+1}{x}{\cal N}_l(x)
      \end{eqnarray*}
      %
      を適用すると, 
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{cc}
             -{\cal J}_{l+1}\left(r_i \alpha\right)
           & -{\cal N}_{l+1}\left(r_i \alpha\right)\\
              {\cal J}_{l-1}\left(r_o \alpha\right) 
           &  {\cal N}_{l-1}\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        =0,
      \end{equation}
      %
      係数行列の行列式が 0 であることから, 成長率を定める分散関係に相当する
      式が得られる. 
      \begin{equation}
               {\cal J}_{l+1}\left(r_i \alpha\right) 
          \cdot{\cal N}_{l-1}\left(r_o \alpha\right)
        -      {\cal N}_{l+1}\left(r_i \alpha\right)
          \cdot{\cal J}_{l-1}\left(r_o \alpha\right) 
         =0.
      \end{equation}
      %
      この分散関係から動径波数 $\alpha$ と
      成長率 $\sigma = -\nu \alpha^2$ が定められる. 

  \section{非圧縮流体の粘性拡散解}

    半径 $r_i,r_o$ の同心球面の間の 3 次元球殻領域での
    非圧縮流体の運動を考える. 
    非圧縮速度場はトロイダル・ポロイダルポテンシャルを用いて
    次のように表すことができる. 
    %
    \begin{eqnarray}
      \Deqlab{速度分解}
      \Dvect{u} &=& \Drot(\psi \Dvect{r}) + \Drot\Drot(\phi\Dvect{r}).
    \end{eqnarray}
    %
    ストークス近似の下でこれらポテンシャルの従う方程式は
    \footnote{
      方程式の導出に関しては
      `3 次元回転球殻内での粘性流体(非圧縮ナビエーストークス方程式)の定式化'
      を参照されたい. 
    }
    % 
    \begin{eqnarray}
      \Deqlab{トロイダル運動}
          \DP{}{t} (L_2 \psi)
       &=& \nu L_2\Dlapla \psi, \\
      \Deqlab{ポロイダル運動}
         \DP{}{t} (L_2 \Dlapla \phi)
       &=& \nu L_2\Dlapla\Dlapla \phi,
    \end{eqnarray}
    ここで式中の演算子 $L_2$ は
    半径 1 の球面上の 2 次元ラプラシアンの逆符号のものであり,
    % 
    \begin{eqnarray}
       L_{2} &\equiv&  -r^{2}\Dlapla +\DP{}{r}r^{2}\DP{}{r}  \nonumber\\
             &=& -\left[
                   \frac{1}{\cos^{2}\varphi}\DP[2]{}{\lambda}
                 +
                   \frac{1}{\cos\varphi}\DP{}{\varphi}
                   \left(\cos\varphi\right)\DP{}{\varphi} \right].
    \end{eqnarray}
 
    運動学的境界条件は, 内外球面にて法線方向の
    速度成分が 0 となることである. 
    ポテンシャルで表現すれば,
    \begin{equation}
      \phi = 0, 
        \quad \mbox{at} \quad r=r_i, r_o
    \end{equation}
    %
    力学的境界条件が自由すべりの場合は
    \begin{equation}
      \Deqlab{速度ポテンシャル自由すべり条件}
      \DP[2]{\phi}{r} = \DP{}{r}\left(\frac{\psi}{r}\right) = 0,
      \quad \mbox{at} \quad r=r_i,r_o
    \end{equation}
    %
    粘着条件の場合には, 
    \begin{eqnarray*}
      \Deqlab{速度ポテンシャル無次元粘着条件}
         \DP{\phi}{r} = 0, \quad
         \psi = 0
         \quad \mbox{at} \quad r=r_i, r_o
    \end{eqnarray*}

    \subsection{球面調和関数展開}

      緯度・経度方向には球面調和関数で展開して解くことができる. 
      以下, その 1 波数成分のみ取りだして扱う. 
      時間に関しても指数型の解を仮定し, 
      %
      \begin{equation}
        \Deqlab{ポテンシャル球面調和函数展開}
        \psi(x,y,t)=\tilde{\psi}_{lm}(r)Y_{lm}(\lambda,\varphi)e^{\sigma t},
        \quad
        \phi(x,y,t)=\tilde{\phi}_{lm}(r)Y_{lm}(\lambda,\varphi)e^{\sigma t}
      \end{equation}
      %
      これを支配方程式に代入すると, 
      %
      \begin{eqnarray*}
          & &
          \sigma l(l+1)\tilde{\psi}_{lm} =
              \nu l(l+1) \left[
                \frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{\tilde{\psi}_{lm}}{r}\right)
                  -\frac{l(l+1)}{r^2}\tilde{\psi}_{lm}\right],\\
          & &
          \sigma l(l+1)
                 \left[\frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{}{r}\right)
                        -\frac{l(l+1)}{r^2}\right]\tilde{\phi}_{lm}
            =
              \nu l(l+1) 
                 \left[\frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{}{r}\right)
                        -\frac{l(l+1)}{r^2}\right]^2 \tilde{\phi}_{lm}
      \end{eqnarray*}
      %
      したがって $l\neq 0$ のモードに対して
      \begin{eqnarray}
        \Deqlab{トロイダルポテンシャル方程式球面調和函数展開}
          & &
          \sigma \tilde{\psi}_{lm} =
              \nu \left[
                \frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{\tilde{\psi}_{lm}}{r}\right)
                  -\frac{l(l+1)}{r^2}\tilde{\psi}_{lm}\right],\\
          & &
        \Deqlab{ポロイダルポテンシャル方程式球面調和函数展開}
          \sigma 
                 \left[\frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{}{r}\right)
                        -\frac{l(l+1)}{r^2}\right]\tilde{\phi}_{lm}
             = \nu 
                 \left[\frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{}{r}\right)
                        -\frac{l(l+1)}{r^2}\right]^2 \tilde{\phi}_{lm}.
      \end{eqnarray}
      
      境界条件は自由すべりの場合, 
      %
      力学的境界条件が
      \begin{equation}
        \Deqlab{速度ポテンシャル自由すべり条件}
        \tilde{\phi}_{lm} = \DD[2]{\tilde{\phi}_{lm}}{r} = 0, \quad
        \DD{}{r}\left(\frac{\tilde{\psi}_{lm}}{r}\right) = 0,
        \quad \mbox{at} \quad r=r_i,r_o
      \end{equation}
      %
      粘着条件の場合には, 
      \begin{eqnarray*}
        \Deqlab{速度ポテンシャル無次元粘着条件}
           \tilde{\phi}_{lm} = \DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r} = 0, \quad
           \tilde{\psi}_{lm} = 0
           \quad \mbox{at} \quad r=r_i, r_o
      \end{eqnarray*}

    \subsection{最大成長率の見積もり}

      境界条件が粘着条件の場合には, 最大成長率が負となることを
      支配方程式を全積分することで求められる. 
      トロイダルポテンシャルに関しては, 拡散方程式の両端ディリクレ
      境界条件の場合と同じであるから最大成長率が
      %
      \begin{equation}
        \sigma  < -\nu \frac{l(l+1)}{r_i^2}
      \end{equation}
      %
      と評価される. 

      ポロイダルポテンシャルについては, 演算子 ${\cal D}_l$ を
      %
      \begin{displaymath}
        {\cal D}_l \equiv \frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{}{r}\right)
                        -\frac{l(l+1)}{r^2}
      \end{displaymath}
      %
      と定義すると, 任意の 2 つの関数 $f(r),g(r)$ に対して
      %
      \begin{eqnarray*}
        \int_{r_i}^{r_o} f(r) {\cal D}_l g(r) r^2 dr
        &=& \int_{r_i}^{r_o} f
             \left[\frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{}{r}\right)
                        -\frac{l(l+1)}{r^2}\right]g r^2 dr\\
        &=& \int_{r_i}^{r_o} f \DD{}{r}\left(r^2\DD{g}{r}\right)
             - \int_{r_i}^{r_o} l(l+1)fg dr\\
        &=& \left[ f r^2\DD{g}{r} \right]_{r_i}^{r_o}
             - \int_{r_i}^{r_o} \DD{f}{r}\left(r^2\DD{g}{r}\right) dr
             - \int_{r_i}^{r_o} l(l+1)fg dr\\
        &=& \left[ f r^2\DD{g}{r} \right]_{r_i}^{r_o}
             - \left[ r^2\DD{f}{r} g \right]_{r_i}^{r_o}
             + \int_{r_i}^{r_o} g \DD{}{r}\left(r^2\DD{f}{r}\right)
             - \int_{r_i}^{r_o} l(l+1)fg dr\\
        &=& \left[ f r^2\DD{g}{r} \right]_{r_i}^{r_o}
             - \left[ r^2\DD{f}{r} g \right]_{r_i}^{r_o}
             + \int_{r_i}^{r_o} g(r) {\cal D}_l f(r) r^2 dr
      \end{eqnarray*}
      %
      $f=\psi^*_{lm}(r), g={\cal D}_l\psi_{lm}(r)$ と選ぶと
      境界条件\Deqref{速度ポテンシャル無次元粘着条件}を用いて
      \begin{eqnarray*}
        \int_{r_i}^{r_o} \psi^*_{lm}(r)
                 {\cal D}_l{\cal D}_l\psi_{lm}(r) r^2 dr        
        &=& \left[ \psi^*_{lm} r^2\DD{{\cal D}_l\psi_{lm}}{r} 
            \right]_{r_i}^{r_o}
             - \left[ r^2\DD{\psi^*_{lm}}{r}
                     {\cal D}_l\psi_{lm} \right]_{r_i}^{r_o}
             + \int_{r_i}^{r_o} {\cal D}_l\psi^*_{lm}{\cal D}_l\psi_{lm} r^2 dr\\
        &=& \int_{r_i}^{r_o} |{\cal D}_l\psi_{lm}|^2 r^2 dr
      \end{eqnarray*}
      
      ポロイダルポテンシャルの式
      \Deqref{ポロイダルポテンシャル方程式球面調和函数展開}に
      $\phi^*_{lm}r^2$ をかけて積分すると
      \begin{eqnarray*}
        \sigma \int_{r_i}^{r_o}
             \tilde{\phi}^*_{lm}{\cal D}_l\tilde{\phi}_{lm}r^2 dr 
        &=& \nu \int_{r_i}^{r_o}
             \tilde{\phi}^*_{lm}{\cal D}_l{\cal D}_l\tilde{\phi}_{lm}r^2 dr,\\
      \end{eqnarray*}
      %
      左辺は拡散方程式の右辺の式変形と同様に計算できて, 
      \begin{displaymath}
        \sigma \int_{r_i}^{r_o}
             \tilde{\phi}^*_{lm}{\cal D}_l\tilde{\phi}_{lm}r^2 dr 
        =-\sigma \int_{r_i}^{r_o} \left[
              r^2\left|\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|^2 
             + l(l+1) \int_{r_i}^{r_o} |\tilde{\phi}_{lm}|^2 \right]dr
      \end{displaymath}
      %
      であるから, 
      \begin{displaymath}
        -\sigma \int_{r_i}^{r_o} \left[
              r^2\left|\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|^2 
                       + l(l+1) |\tilde{\phi}_{lm}|^2 \right]dr
        = \nu\int_{r_i}^{r_o} |{\cal D}_l\psi_{lm}|^2 r^2 dr, 
      \end{displaymath}
      %
      よって
      \begin{displaymath}
        \sigma = - \nu
           \frac{\Ddsty \int_{r_i}^{r_o} |{\cal D}_l\psi_{lm}|^2 r^2 dr}
                {\Ddsty \int_{r_i}^{r_o} \left[
                        r^2\left|\DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}\right|^2 
                        + l(l+1) |\tilde{\phi}_{lm}|^2 \right]dr}.
      \end{displaymath}


    \subsection{一般解}

      拡散方程式の場合と同様に支配方程式を変形すると
      %
      \begin{eqnarray*}
        & & 
        \frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{\tilde{\psi}_{lm}}{r}\right)
          +\left[\frac{-\sigma}{\kappa} -\frac{l(l+1)}{r^2}\right]
             \tilde{\psi}_{lm},\\
        & &
        \left[
          \frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{}{r}\right)-\frac{l(l+1)}{r^2}
        \right]
        \left\{
          \frac{1}{r^2}\DD{}{r}\left(r^2\DD{\tilde{\psi}_{lm}}{r}\right)
            +\left[\frac{-\sigma}{\kappa} -\frac{l(l+1)}{r^2}\right]
        \right\}
             \tilde{\psi}_{lm},
      \end{eqnarray*}
      %
      成長率 $\sigma <0$ に対してのこれらの一般解は
      %
      \begin{eqnarray}
        \Deqlab{トロイダルポテンシャル球面調和函数展開一般解}
        & &
        \tilde{\psi}_{lm} 
               = A_1 {\cal J}_l\left(\sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}r\right) 
               + A_2 {\cal N}_l\left(\sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}r\right),\\
        & &
        \Deqlab{ポロイダルポテンシャル球面調和函数展開一般解}
        \tilde{\phi}_{lm} 
               = B_1 r^l + B_2 r^{-(l+1)}
               + B_3 {\cal J}_l\left(\sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}r\right) 
               + B_4 {\cal N}_l\left(\sqrt{\frac{-\sigma}{\kappa}}r\right).
      \end{eqnarray}


    \subsection{両端粘着条件の場合のトロイダルポテンシャル}

      この場合は拡散方程式での両端ディリクレ問題と同じである. 

    \subsection{両端自由すべり条件の場合のトロイダルポテンシャル}

      この場合の境界条件\Deqref{速度ポテンシャル自由すべり条件}を書き換えると
      %
      \begin{displaymath}
        \DD{\tilde{\psi}_{lm}}{r} - \frac{\tilde{\psi}_{lm}}{r}=0, 
        \quad {\rm at} \quad r=r_i,r_o.
      \end{displaymath}
      %
      これに\Deqref{トロイダルポテンシャル球面調和函数展開一般解}を
      代入して整理すると
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{cc}
           \alpha{\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right) 
            -{\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)/r_i
           & \alpha{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)
            -{\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)/r_i\\
           \alpha{\cal J}'_l\left(r_o \alpha\right) 
            -{\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)/r_o
           & \alpha{\cal N}'_l\left(r_o \alpha\right)
            -{\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)/r_o
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        =0,
      \end{equation}
      %
      左辺の係数行列式が 0 なる条件が固有値 $\alpha$ を定める
      分散関係となる. 
      %
      \begin{eqnarray*}
       & &  [\alpha{\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right) 
            -{\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)/r_i]
          [\alpha{\cal N}'_l\left(r_o \alpha\right)
            -{\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)/r_o]\\
       & &
         - [\alpha{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)
            -{\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)/r_i]
         [\alpha{\cal J}'_l\left(r_o \alpha\right) 
            -{\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)/r_o]
       = 0.
      \end{eqnarray*}
      %
      この分散関係から動径波数 $\alpha$ と
      成長率 $\sigma = -\nu \alpha^2$ が定められる. 

      係数 $A_1, A_2$ の組合せは, 求まった $\alpha$ を用いて
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        ={\rm const}\cdot
        \left(
        \begin{array}{c}
          -[\alpha{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)
            -{\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)/r_i]\\
           \alpha{\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right) 
            -{\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)/r_i
        \end{array}
        \right).
      \end{equation}

    \subsection{外側自由すべり内側粘着条件の場合のトロイダルポテンシャル}

      この場合の境界条件\Deqref{速度ポテンシャル自由すべり条件}を書き換えると
      %
      \begin{displaymath}
        \DD{\tilde{\psi}_{lm}}{r} - \frac{\tilde{\psi}_{lm}}{r}=0, 
        \quad {\rm at} \quad r=r_o, \quad
        \tilde{\psi}_{lm}=0, 
        \quad {\rm at} \quad r=r_i.
      \end{displaymath}
      %
      これに\Deqref{トロイダルポテンシャル球面調和函数展開一般解}を
      代入して整理すると
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{cc}
            {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)
           & {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           \alpha{\cal J}'_l\left(r_o \alpha\right) 
            -{\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)/r_o
           & \alpha{\cal N}'_l\left(r_o \alpha\right)
            -{\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)/r_o
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        =0,
      \end{equation}
      %
      左辺の係数行列式が 0 なる条件が固有値 $\alpha$ を定める
      分散関係となる. 
      %
      \begin{displaymath}
          {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)
          [\alpha{\cal N}'_l\left(r_o \alpha\right)
            -{\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)/r_o]
         - {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)
         [\alpha{\cal J}'_l\left(r_o \alpha\right) 
            -{\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)/r_o]
       = 0.
      \end{displaymath}
      %
      この分散関係から動径波数 $\alpha$ と
      成長率 $\sigma = -\nu \alpha^2$ が定められる. 

      係数 $A_1, A_2$ の組合せは, 求まった $\alpha$ を用いて
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        ={\rm const}\cdot
        \left(
        \begin{array}{c}
            -{\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
             {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)
        \end{array}
        \right).
      \end{equation}

    \subsection{外側粘着内側自由すべり条件の場合のトロイダルポテンシャル}

      この場合の境界条件\Deqref{速度ポテンシャル自由すべり条件}を書き換えると
      %
      \begin{displaymath}
        \tilde{\psi}_{lm}=0, 
        \quad {\rm at} \quad r=r_o, \quad
        \DD{\tilde{\psi}_{lm}}{r} - \frac{\tilde{\psi}_{lm}}{r}=0, 
        \quad {\rm at} \quad r=r_i.
      \end{displaymath}
      %
      これに\Deqref{トロイダルポテンシャル球面調和函数展開一般解}を
      代入して整理すると
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{cc}
           \alpha{\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right) 
            -{\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)/r_i
           & \alpha{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)
            -{\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)/r_i\\
            {\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)
           & {\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        =0,
      \end{equation}
      %
      左辺の係数行列式が 0 なる条件が固有値 $\alpha$ を定める
      分散関係となる. 
      %
      \begin{displaymath}
           [\alpha{\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right) 
            -{\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)/r_o]
           {\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)
         - [\alpha{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)
            -{\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)/r_o]
          {\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)
        = 0.
      \end{displaymath}
      %
      この分散関係から動径波数 $\alpha$ と
      成長率 $\sigma = -\nu \alpha^2$ が定められる. 

      係数 $A_1, A_2$ の組合せは, 求まった $\alpha$ を用いて
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{c}
          A_1 \\ A_2
        \end{array}
        \right)
        ={\rm const}\cdot
        \left(
        \begin{array}{c}
            -{\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)\\
             {\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right).
      \end{equation}
      
    \subsection{両端粘着条件の場合のポロイダルポテンシャル}

      この場合の境界条件は\Deqref{速度ポテンシャル自由すべり条件}より
      %
      \begin{displaymath}
        \tilde{\phi}_{lm}= \DD{\tilde{\phi}_{lm}}{r}=0, 
        \quad {\rm at} \quad r=r_o,r_i.
      \end{displaymath}
      %
      一般解\Deqref{ポロイダルポテンシャル球面調和函数展開一般解}を
      これに代入して整理すると
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{cccc}
           r_i^l & r_i^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)
             & {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           r_o^l & r_o^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)
             & {\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)\\
           lr_i^{l-1} & -(l+1)r_i^{-(l+2)} 
             & \alpha{\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right)
             & \alpha{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)\\
           lr_o^{l-1} & -(l+1)r_o^{-(l+2)} 
             & \alpha{\cal J}'_l\left(r_o \alpha\right)
             & \alpha{\cal N}'_l\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          B_1 \\ B_2 \\ B_3 \\ B_4
        \end{array}
        \right)
        =0,
      \end{equation}
      %
      %
      左辺の係数行列式が 0 なる条件が固有値 $\alpha$ を定める
      分散関係となる. 
      %
      \begin{equation}
        \left|
        \begin{array}{cccc}
           r_i^l & r_i^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)
             & {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           r_o^l & r_o^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)
             & {\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)\\
           lr_i^{l-1} & -(l+1)r_i^{-(l+2)} 
             & \alpha{\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right)
             & \alpha{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)\\
           lr_o^{l-1} & -(l+1)r_o^{-(l+2)} 
             & \alpha{\cal J}'_l\left(r_o \alpha\right)
             & \alpha{\cal N}'_l\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right| = 0.
      \end{equation}
      この分散関係から動径波数 $\alpha$ と
      成長率 $\sigma = -\nu \alpha^2$ が定められる. 

      係数 $B_1, B_2, B_3, B_4$ の組合せは, 求まった $\alpha$ を用いて
      先の連立方程式にたとえば $B_4=-1$ を代入して整理した
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{ccc}
           r_i^l & r_i^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           r_o^l & r_o^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)\\
           lr_i^{l-1} & -(l+1)r_i^{-(l+2)} 
             & \alpha{\cal J}'_l\left(r_i \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          B_1 \\ B_2 \\ B_3
        \end{array}
        \right)
        = 
        \left(
        \begin{array}{c}
          {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
          {\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)\\
          \alpha{\cal N}'_l\left(r_i \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
      \end{equation}
      %
      を解くことで定められる. 

    \subsection{両端自由すべり条件の場合のポロイダルポテンシャル}

      この場合の境界条件は\Deqref{速度ポテンシャル自由すべり条件}より
      %
      \begin{displaymath}
        \tilde{\phi}_{lm}= \DD[2]{\tilde{\phi}_{lm}}{r}=0, 
        \quad {\rm at} \quad r=r_o,r_i.
      \end{displaymath}
      %
      これに一般解\Deqref{ポロイダルポテンシャル球面調和函数展開一般解}を
      代入して整理すると
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{cccc}
           r_i^l & r_i^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)
             & {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           r_o^l & r_o^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)
             & {\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)\\
           l(l-1)r_i^{l-2} & (l+1)(l+2)r_i^{-(l+3)} 
             & \alpha^2{\cal J}''_l\left(r_i \alpha\right)
             & \alpha^2{\cal N}''_l\left(r_i \alpha\right)\\
           l(l-1)r_o^{l-2} & -(l+1)(l+2)r_o^{-(l+3)} 
             & \alpha^2{\cal J}''_l\left(r_o \alpha\right)
             & \alpha^2{\cal N}''_l\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          B_1 \\ B_2 \\ B_3 \\ B_4
        \end{array}
        \right)
        =0,
      \end{equation}
      %
      左辺の係数行列式が 0 なる条件が固有値 $\alpha$ を定める
      分散関係となる. 
      \footnote{
        球ベッセル函数の 2 階微分は球ベッセルの満たす微分方程式から
        \begin{displaymath}
          {\cal J}''= -\frac{2}{r}{\cal J}'
                      -\left[1-\frac{l(l+1)}{r^2}\right]{\cal J}, \quad
          {\cal N}''= -\frac{2}{r}{\cal N}'
                      -\left[1-\frac{l(l+1)}{r^2}\right]{\cal N}
        \end{displaymath}
        と計算される. 
      }
      %
      \begin{equation}
        \left|
        \begin{array}{cccc}
           r_i^l & r_i^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)
             & {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           r_o^l & r_o^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)
             & {\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)\\
           l(l-1)r_i^{l-2} & (l+1)(l+2)r_i^{-(l+3)} 
             & \alpha^2{\cal J}''_l\left(r_i \alpha\right)
             & \alpha^2{\cal N}''_l\left(r_i \alpha\right)\\
           l(l-1)r_o^{l-2} & -(l+1)(l+2)r_o^{-(l+3)} 
             & \alpha^2{\cal J}''_l\left(r_o \alpha\right)
             & \alpha^2{\cal N}''_l\left(r_o \alpha\right)
        \end{array}
        \right| = 0.
      \end{equation}
      この分散関係から動径波数 $\alpha$ と
      成長率 $\sigma = -\nu \alpha^2$ が定められる. 

      係数 $B_1, B_2, B_3, B_4$ の組合せは, 求まった $\alpha$ を用いて
      先の連立方程式にたとえば $B_4=-1$ を代入して整理した
      %
      \begin{equation}
        \left(
        \begin{array}{ccc}
           r_i^l & r_i^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_i \alpha\right)\\
           r_o^l & r_o^{-(l+1)}
             & {\cal J}_l\left(r_o \alpha\right)\\
           l(l-1)r_i^{l-2} & (l+1)(l+2)r_i^{-(l+3)} 
             & \alpha^2{\cal J}''_l\left(r_i \alpha\right)
        \end{array}
        \right)
        \left(
        \begin{array}{c}
          B_1 \\ B_2 \\ B_3
        \end{array}
        \right)
        = 
        \left(
        \begin{array}{c}
          {\cal N}_l\left(r_i \alpha\right)\\
          {\cal N}_l\left(r_o \alpha\right)\\
          \alpha^2{\cal N}''_l\left(r_i \alpha\right)\\
        \end{array}
        \right)
      \end{equation}
      %
      を解くことで定められる. 

      

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
