\section{理想気体の熱力学}

● 内部エネルギー
\begin{equation}
   d E 
 = \DP[]{E}{T}{V} d T + \DP[]{E}{V}{T} d V
 = C_V dT + \left\{ T \DP[]{p}{T}{v} - p \right\} dV
\end{equation}
より, 理想気体の場合
\begin{equation}
  d E = C_V dT
\end{equation}
よって
\begin{equation}
  E = C_v (T - T_0) + E(T_0)
\end{equation}

● エンタルピー
\begin{equation}
    H   = E + p V
\end{equation}
より

\begin{equation}
  H = C_p T + E(T_0) - C_v T_0
\end{equation}

● エントロピー
\begin{equation}
    d S 
  = \DP[]{S}{T}{V} dT + \DP[]{S}{V}{T} dV
  = \frac{C_v}{T} dT + \DP[]{p}{T}{V} d V
\end{equation}
より, 理想気体の場合, 
\begin{equation}
  d S = \frac{C_v}{T} dT + \frac{n R}{V} d V
\end{equation}
\begin{equation}
  S = C_v \ln \frac{T}{T_0} + n R \ln \frac{V}{V_0}
    = \ln \left( \frac{T}{T_0} \right)^{C_v} \left( \frac{V}{V_0} \right)^{n R}
\end{equation}

● 比熱の関係式
\begin{equation}
  C_p - C_V = n R
\end{equation}

● 音速
\begin{equation}
  c^2 = \gamma \frac{RT}{M_w} = \gamma \frac{p}{\rho}
\end{equation}
ただし, 
\begin{equation}
  \gamma \equiv \frac{C_p}{C_v}
\end{equation}

● 乾燥断熱減率
\begin{equation}
    \DP[]{T}{p}{S} = \DP{(T,S)}{(p,S)} 
  = \DP{(S,T)}{(p,T)} \DP{(p,T)}{(S,p)}
  = - \frac{\DP[]{S}{p}{T}}{\DP[]{S}{T}{p}}
\end{equation}
Maxwell の関係式, 比熱の定義式より
\begin{equation}
  \DP[]{S}{T}{p} = - \DP[]{V}{T}{p}
\end{equation}
\begin{equation}
  \DP[]{S}{T}{p} = \frac{C_p}{T}
\end{equation}
だから
\begin{equation}
    \DP[]{T}{p}{S}
  = \frac{T \DP[]{V}{T}{p} }{C_p}
\end{equation}

● 状態方程式

\begin{equation}
  p V = n R^* T = \frac{M}{M_w} R^* T
\end{equation}
\begin{equation}
  p = \frac{1}{M_w} \frac{M}{V} R^* T = \rho \frac{R^*}{M_w} T
\end{equation}
ちなみに, $n = M/M_w$ はモルである.

%● 混合気体の熱力学

