%\chapter{赤道波}
%
%本章では, 浅水系において赤道に特有の波である{\bf 赤道波}を扱う. 
\chapter{浅水系の赤道波の定式化と無次元化}
\section{定式化}
簡単化のため, 流体の厚さ $H$ は一定であるとし, 運動の無い基本場を考え
る. ここでは, 赤道 $\beta$ 平面近似を用い, コリオリパラメータは以下のよ
うに表す:

\begin{equation}
 f \approx \beta y. 
\end{equation}
ここで, $\beta = 2\Omega / a$ ($a$ は惑星半径, $\Omega$ は惑星の自転角速
度)である. このとき浅水系の方程式系を線形化すると, 以下のようになる:  
\begin{equation}
  \frac{\partial u}{\partial t} 
- \beta y v
= -\frac{\partial\Phi}{\partial x}, \label{equator-shallow-water-eq-u}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial v}{\partial t} 
+ \beta y u
= -\frac{\partial\Phi}{\partial y}, \label{equator-shallow-water-eq-v}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \Phi}{\partial t} 
+ gH\left(
    \frac{\partial u}{\partial x}
  + \frac{\partial v}{\partial y}
   \right) = 0.                     \label{equator-shallow-water-eq-phi}
\end{equation}
ここで, $\Phi = gH$ はジオポテンシャルである. 

\section{無次元化}

次のようなスケールを導入する. 
\begin{eqnarray}
 \mbox{水平速度} &\equiv& U \equiv \sqrt{gH}, \\
 \mbox{長さ}     &\equiv& L \equiv \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}, \\
 \mbox{時間}     &\equiv& T \equiv \frac{L}{U} = \sqrt{\frac{1}{\beta\sqrt{gH}}}, \\
 \mbox{深さ}     &\equiv& H.
\end{eqnarray}
これらを用いて, 変数を無次元化する. 
\begin{eqnarray}
 (x,y) &=& L(x_{*},y_{*}), \\
 t     &=& Tt_{*}, \\
 (u,v) &=& U(u_{*},v_{*}), \\
 \Phi  &=& gH\Phi_{*}.
\end{eqnarray}
ただし, $*$ の付いた量はそれぞれの量の無次元量を表す. これらを,
(\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\ref{equator-shallow-water-eq-phi})
に代入すると
\begin{equation}
  \frac{U}{T}\frac{\partial u_{*}}{\partial t_{*}} 
- \beta L U y_{*} v_{*}
= -\frac{gH}{L}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial x_{*}}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-u}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{U}{T}\frac{\partial v_{*}}{\partial t_{*}} 
+ \beta LU y_{*} u_{*}
= -\frac{gH}{L}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial y_{*}},\label{equator-shallow-water-nondim-eq-v}
\end{equation}
\begin{equation}
  gH\frac{\partial \Phi_{*}}{\partial t_{*}} 
+ \frac{gHU}{L}\left(
    \frac{\partial u_{*}}{\partial x_{*}}
  + \frac{\partial v_{*}}{\partial y_{*}}
   \right) = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-phi}
\end{equation}
すなわち
\begin{equation}
  \frac{\partial u_{*}}{\partial t_{*}} 
- \beta L T y_{*} v_{*}
= -\frac{gHT}{LU}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial x_{*}}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-u2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial v_{*}}{\partial t_{*}} 
+ \beta L T y_{*} u_{*}
= -\frac{gHT}{LU}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial y_{*}},\label{equator-shallow-water-nondim-eq-v2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \Phi_{*}}{\partial t_{*}} 
+ \frac{TU}{L}\left(
    \frac{\partial u_{*}}{\partial x_{*}}
  + \frac{\partial v_{*}}{\partial y_{*}}
   \right) = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-phi2}
\end{equation}

ところが, 
\begin{eqnarray}
 \beta LT       &=& \beta 
                     \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}} 
		     \cdot \sqrt{\frac{1}{\beta\sqrt{gH}}} = 1, \\
 \frac{gHT}{LU} &=& gH
                     \cdot \sqrt{\frac{1}{\beta\sqrt{gH}}}
		     \cdot \sqrt{\frac{\beta}{\sqrt{gH}}}
		     \cdot \frac{1}{\sqrt{gH}} =1, \\
 \frac{TU}{L}   &=& T\cdot \frac{1}{T} = 1,
\end{eqnarray}
である. ゆえに, 
\begin{equation}
  \frac{\partial u_{*}}{\partial t_{*}} 
- y_{*} v_{*}
= -\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial x_{*}}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-u3}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial v_{*}}{\partial t_{*}} 
+ y_{*} u_{*}
= -\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial y_{*}},\label{equator-shallow-water-nondim-eq-v3}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \Phi_{*}}{\partial t_{*}} 
  +\frac{\partial u_{*}}{\partial x_{*}}
  +\frac{\partial v_{*}}{\partial y_{*}}
  = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3}
\end{equation}
となる. 以下, 簡単のため添字の $*$ は省略する. 以降では, 無次元化した方
程式系を主に扱い, 必要に応じて有次元系に戻ることにする(有次元系での式の
扱いは場合によって付録に移動する). 

\section{\protect $v$ の式の導出}

(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3}), (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})
より
\begin{equation}
  \frac{\partial\Phi}{\partial x}
+ \frac{\partial u}{\partial t} 
=  y v, 
\label{equator-shallow-water-eq-u2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \Phi}{\partial t} 
+ \frac{\partial u}{\partial x}
= 
- \frac{\partial v}{\partial y}.
\label{equator-shallow-water-eq-phi2}
\end{equation}
これを $u,\Phi$ について解くと, 
\begin{equation}
 \left(
  \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
- \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
 \right)\Phi 
=
 \left(
        y\frac{\partial}{\partial x} 
      + \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial t}
 \right)v, 
\label{equator-shallow-water-nondim-eq-p-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 \left(
        \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
      - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
 \right)u
=
 \left(
      -y\frac{\partial}{\partial t} 
      - \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x}
 \right)v.
\label{equator-shallow-water-nondim-eq-u-v}
\end{equation}

一方, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v3})に
$\displaystyle\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} -
\displaystyle\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}$ を作用させると
\begin{equation}
  \frac{\partial}{\partial t}\left(
				  \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
			        - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
				 \right) v 
+ y\left(
	\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
      - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
       \right) u
+ \frac{\partial}{\partial y}\left(
				  \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
				- \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
				 \right)\Phi
=0.
\end{equation}
上式に
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-p-v}),(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u-v})を代入して
\begin{equation}
  \frac{\partial}{\partial t}\left(
				  \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
			        - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
				 \right) v 
+ y\left(
      -y\frac{\partial}{\partial t} 
      - \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x}
       \right)v
+ \frac{\partial}{\partial y} \left(
			       y\frac{\partial}{\partial x} 
			     +  \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial t}
			      \right)v
=0, 
\end{equation}
すなわち, 
\begin{equation}
  \left(
   \frac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial t} 
 + \frac{\partial^{3}}{\partial y^{2}\partial t}
 -y^{2}\frac{\partial}{\partial t} 
 + \frac{\partial}{\partial x} 
 - \frac{\partial^{3}}{\partial t^{3}}
 \right)v
=0, 
\label{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v}
\end{equation}
を得る. 

\section{境界条件}

赤道波を扱う本章では, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜
(\ref{equator-shallow-water-eq-phi}), もしくは,
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の解のうち, 赤道($y=0$)に捕
捉された解を考える. 赤道に捕捉された解を考える根拠は,
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})において $u,\Phi$ を消去した
$v$ についての式(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v})を考えること
で得られる.
$$
  \left(
   \frac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial t} 
 + \frac{\partial^{3}}{\partial y^{2}\partial t}
 -y^{2}\frac{\partial}{\partial t} 
 + \frac{\partial}{\partial x} 
 - \frac{\partial^{3}}{\partial t^{3}}
 \right)v
=0. \eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v}}) 
$$

東西方向には, 地球や惑星の様な緯度円を一周する状況を考え, 周期境界条件
\begin{equation}
 \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}(u,v,\Phi)\Bigg|_{x} = \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}(u,v,\Phi)\Bigg|_{x+L_{x}} \qquad (n=0,1,2,\cdots,N), 
\label{boundary-condition-x}
\end{equation}
を課すことにする. 一方, 南北方向には ``赤道に捕捉されている'' 波だけを考
え, 境界条件として
\begin{equation}
 (u,v,\Phi) \rightarrow 0 \quad \mbox{as}\quad y \rightarrow \pm\infty,
 \label{boundary-condition-y}
\end{equation}
の条件を持つものとする. なぜなら, $x,t$ に依存しない様な特殊な場合を考え, 
$y$ に依存する項のみを取り出すと,
%領域 $y\gg 1$ での解の振舞いに注目することにして, $y$ に依存する項のみを
%取り出すと,
\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial t}\left(
			     \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} - y^{2}
			    \right)v
=0.
\end{equation}
したがって
\begin{equation}
 v(y) \sim A\exp\left(\frac{y^{2}}{2}\right) + B\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right),
\end{equation}
%\begin{equation}
% v \sim C(x,t)\exp\left(\frac{y^{2}}{2}\right) + D(x,t)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right),
%\end{equation}
となる(ただし, $A,B$ は任意定数). これにより
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v})には $y\rightarrow\pm\infty$ で 
発散する解が含まれているから, $y\rightarrow\pm\infty$ で $v(y)$ が発散し
ないという条件を課しておかなければならない. 今の場合は $A=0$ の場合に対
応する: 
\begin{equation}
 v(y) \sim B\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right).
\end{equation}
よって, $y\rightarrow\pm\infty$ で $v(y)\rightarrow 0$ となる. 以上のこ
とから, もっと一般的な場合でも $y\rightarrow\pm\infty$ で 
$v(y)\rightarrow 0$ となるような境界条件を課すことにする.

\chapter[赤道波の固有値問題とその解]
        {赤道波の固有値問題とその解
        \protect\footnote{有次元系での固有関数, 固有値の導出は, 
                          付録 \protect\Dchapref{eq-bunsan-dim-sec}にまと
                          めた.}}\Dchaplab{eq-bunsan-sec}

\section{固有値問題の定式化}

$u,v,\Phi$ を以下の様に水平方向に離散化する: 
\begin{equation}
	     \left(\begin{array}{c}
	             u \\
		     v \\
		     \Phi
		    \end{array} 
\right) = Re \sum_{k}\sum_{m}\left[
		    \begin{array}{c}
		     a_{k,m} \hat{u}_{k,m}(y) \\
		     a_{k,m} \hat{v}_{k,m}(y) \\
		     a_{k,m} \hat{\Phi}_{k,m}(y) 
		    \end{array}
        	    \right]\exp[i(kx-\omega_{k,m} t)]. \label{spector-ex}
\end{equation}
ただし, $a_{k,m}$ は任意の定数, $k$ は東西波数, $\omega$ は振動数, $m$ は
$\omega$ を位相速度の大きい順に並べた時のモードの番号であ
る. (\ref{spector-ex})を(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})に代入し, $\exp i(kx-\omega
t)$ の直交性を用いて各々の $k$ についての成分を取り出すと以下を得る(以降, 
添字 $k,m$ は省略):
\begin{equation}
 -i\omega \hat{u} - y \hat{v} = -ik\hat{\Phi},
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega \hat{v} + y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y},
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{\Phi} 
 +ik\hat{u} 
 +\frac{\partial\hat{v}}{\partial y}
 = 0.
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi}
\end{equation}
上式は $k$ をパラメータとする固有値 $\omega=\omega(k)$ の固有値問題とな
る. 

%\subsection{固有値, 固有関数}\label{sec-eigen}

%次に, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜
%(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})から 
%$\hat{u},\hat{\Phi}$ を消去した式を導出する. これは,
%(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v})に(\ref{spector-ex})を代入す
%る($\partial /\partial x \rightarrow ik, \partial /\partial t
%\rightarrow -i\omega$ と置き換える)ことにより得られる:

以下では, $\hat{v}$ だけの式を導出し, それを解くことにする.
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})から
$\hat{u},\hat{\Phi}$ を消去すると次式が得られる.  
\begin{equation}
 \left(
   \omega\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} 
   - k^{2} \omega 
   - k
   + \omega^{3}
   - \omega y^{2}
 \right)\hat{v} = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v}
\end{equation}
上の式は, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v})に対応する. 
 $\hat{v}$ は, 上式と, 境界条件(赤道に捕捉される条件),
$$
 v \rightarrow 0 \qquad (y\rightarrow \pm\infty),
$$
を満たす $k$ の関数として決められる.

以下では $\hat{v}=0,\hat{v}\not=0$ の両者について場合分けを行い, 固有値, 
固有関数を議論することにする. \Dsecref{sec-eigen-v=0} で詳述するように 
$\hat{v}=0$ の場合でも, $\hat{u}\not=0, \hat{\Phi}\not=0$ となるような物
理的に意味のある解が存在するからである.


\section{$\hat{v}\not=0$ の場合}\Dseclab{sec-eigen-vnot=0}
%\subsubsection{\underline{\protect\Dsecref{sec-eigen}.1 $\hat{v}\not=0$ の場合}}

この節では $\hat{v}\not=0$ についての分散関係を導出し, その後に固有関数
の構造を求める. 

(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})の両辺を $\omega$ で割る
と, 次式を得る. 
\begin{equation}
 \left(
   \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} 
   - k^{2} 
   - \frac{k}{\omega}
   + \omega^{2}
   - y^{2}
 \right)\hat{v} = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v'}
\end{equation}
両辺を $\omega$ で割ることができたのは, $\hat{v}\not=0$ の場合,
$\omega\not=0$ だからである. それは以下の理由による. $\omega = 0$ の場合,
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})より,
\begin{equation}
 k\hat{v} = 0
\end{equation}
となるから, $\hat{v}\not=0$ より $k=0$ を得る. このとき, $\hat{v}$ の固
有関数形を(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})より求めるこ
とが出来ない. そこで, 元の方程式系
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})に戻って, $\omega=k=0$ 
とすると, $\hat{v}=0$ を得る. これは $\hat{v}\not=0$ とした始めの仮定に不
適であるから, したがって, $\omega\not=0$ が得られる.

(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v'})式は, 以下の微分方程式 
\begin{equation}
 \frac{d^{2}u}{d\xi^{2}} + \left( \lambda - \xi^{2} \right)u = 0,
 \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2}
\end{equation}
%\begin{equation}
% \left(
%  \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + 2n + 1 - y^{2}
% \right)\hat{v} = 0,\label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2}
%\end{equation}
(一次元調和振動子に対するシュレーディンガー方程式\footnotemark[1],
もしくは, 放物柱関数を与える微分方程式)と同じ形をしている. したがって,
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v'})と比較して以下の分散関係式
\begin{equation}
   \omega^{3}
   - k^{2} \omega 
   - k
   = (2n+1)\omega, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3}
\end{equation}
を得る. また, 固有関数 $\hat{v}$ は
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2})よりエルミート多項式
$H_{n}(y)$:
\begin{equation}
 H_{n}(y) = (-1)^{n}e^{y^{2}}\frac{d^{n}}{dy^{n}}e^{-y^{2}} \qquad (n\ge0),\label{hermet-eq}
\end{equation}
$$
 H_{0}(y) = 1, \quad H_{1}(y) = 2y, \quad H_{2}(y) = 4y^{2}-2, \quad H_{3}(y) = 8y^{3}-12y \quad \cdots %\\[2ex]
% D_{n}(y)~~(\mbox{放物柱関数})~ &=& H_{n}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right)  \qquad (n\ge0),
$$
を用いて以下のように表される: 
\begin{equation}
 \hat{v}_{n}(y) = A_{n}D_{n}(y) \qquad (n\ge0),\label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2}
\end{equation}
\begin{equation}
   D_{n}(y) = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right) 
 \qquad (n\ge0).
\end{equation}
ただし, $A_{n}$ は任意の定数であり, 以降簡単化のため $A_{n}=1$ とする
\footnotemark[2].
また, この $\hat{v}_{n}(y)$ を使って求められる
 $\hat{u}(y),\hat{\Phi}(y)$ 
を以降 $\hat{u}_{n}(y),\hat{\Phi}_{n}(y)$ と表すことにする. 

\footnotetext[1]{質量$m$ の質点の $x$ 方向の速度 $u$, 全エネルギー $E$,
質点の振動数 $\omega$とすると, 次の関係が成り立つ(シュレーディンガー方程式): 
$$
 \frac{d^{2}u}{dx^{2}} - \frac{m^{2}\omega^{2}}{\hbar^{2}}x^{2}u =
 -\frac{2mE}{\hbar^{2}}u, \quad \rightarrow \quad \frac{d^{2}u}{dx^{2}} + \left(\frac{2mE}{\hbar^{2}} - \frac{m^{2}\omega^{2}}{\hbar^{2}}x^{2}\right)u = 0.
$$
ここで, $\xi = \alpha x, \alpha = \sqrt{m\omega/\hbar}, \lambda =
2E/\hbar\omega$ と変数変換を行うと次式を得る: 
$$
 \frac{d^{2}u}{d\xi^{2}} + \left( \lambda - \xi^{2} \right)u = 0.
$$
ただし, $\hbar = h/2\pi$, $h$ はプランク定数である. このとき, {\bf 固有値}
$\lambda$, {\bf 固有関数} $u$ はエルミート({\it Hermite})多項式 $H_{n}$ 
を用いて次のように与えられる:
$$
 \lambda = 2n + 1, \qquad u_{n}(\xi) = A_{n}e^{-\xi^{2}/2}H_{n}(\xi),
 \qquad H_{n}(\xi) =
 (-1)^{n}e^{\xi^{2}}\frac{d^{n}e^{-\xi^{2}}}{d\xi^{n}} 
 \qquad (n\ge0).
$$
ここで $A_{n}$ は $\int_{-\infty}^{\infty}|u_{n}(\xi)|^{2}d\xi = 1$ とな
るように選ばれる規格化定数である(例えば, 原島 鮮著, 初等量子力学 p54〜
p69 等, 参照). また
エルミート多項式によって定義される次の関数を放物柱関数という:
$$
D_{n}(\xi) = e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}H_{n}(\xi) =
(-1)^{n}e^{\frac{\xi^{2}}{2}}\frac{d^{n}}{d\xi^{n}}e^{-\xi^{2}} \qquad (n\ge0).
$$
一方, エルミート多項式には次の関係(エルミート方程式)
$$
 \frac{d^{2}}{d\xi^{2}}H_{n} - 2\xi\frac{d}{d\xi}H_{n} + 2nH_{n} = 0,
$$
があり, $n$ 次 $(n\ge 0)$ の放物柱関数 $D_{n}$ の満たすべき式は上の関係
式に $D_{n}$ の表現を代入して
$$
 \frac{d^{2}}{d\xi^{2}}D_{n} + (2n + 1 - \xi^{2})D_{n} = 0. 
$$ 
したがって, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2})の形式の微
分方程式は, 固有値 $2n+1$, 固有関数 $D_{n}$ を取り得ることが分かる. 
} 

\footnotetext[2]{本来 $A_{n}$ は, 固有関数
 $\hat{u}_{n},\hat{v}_{n},\hat{\Phi}_{n}$ が以下の規格化条件
$$
 \int_{-\infty}^{\infty}\!\!\int_{-\infty}^{\infty}dxdy(u_{\omega'}^{*}u_{\omega}+v_{\omega'}^{*}v_{\omega}+\Phi_{\omega'}^{*}\Phi_{\omega})
 = \delta_{\omega\omega'},
$$
を満たすように決める. ここでは簡単化のため $A_{n}=1$ とした.} 

以下では, まず(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3})式を解き, 
分散関係式を導出する. 次に $\hat{v}_{n}$ の固有関数
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2})を用いて, 元の方程式系
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})から $n$ の値に応じた固
有関数 $\hat{u}_{n},\hat{\Phi}_{n}$ を導出する. さらにこれらの解が物理
的に意味のある解であるかどうかをチェックすることにする.

\subsection{$n=0$ の場合}

(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3})より, 
\begin{equation}
   \omega^{3} - k^{2} \omega - k 
 = \omega, \quad \rightarrow \quad 
  (\omega+k)(\omega^{2} - k\omega - 1) =0.
 \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3_n=0}
\end{equation}

ゆえに, $n=0$ の場合に得られる $\omega$ は 
\begin{equation}
 \omega = -k \quad\mbox{もしくは}\quad \omega = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2,  
  \label{eigen-value-n=0}
\end{equation}
である. 一方, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2})より固有関
数 $\hat{v}_0$ は次の様になる:
\begin{eqnarray}
  \hat{v}_{0}(y) &=& H_{0}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right) \nonumber \\ 
             &=& \exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right). \label{vhat_n=0}
\end{eqnarray}
以下では, (\ref{eigen-value-n=0})の $\omega$ により場合分けを行い, 固有関数
(\ref{vhat_n=0})を用いて $\hat{u}_{0}, \hat{\Phi}_{0}$ を求める.  

    \begin{description}
     \item[\underline{a) $\omega = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2$ の場合}] ~\\

		(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u}),
		(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})より,
		\begin{equation}
		 (\omega^{2}-k^{2})\hat{u}_{0} 
		  = i\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}, 
		  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u2}
		\end{equation}
		\begin{equation}
		 (\omega^{2}-k^{2})\hat{\Phi}_{0} 
		  = i\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}.
		  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi2}
		\end{equation}
		であるから, $\omega\not=\pm k$ より, 
		\begin{equation}
		 \hat{u}_{0} 
		  = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}
		    \left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}, 
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u3}
		\end{equation}
		\begin{equation}
		 \hat{\Phi}_{0} 
		  = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}
		    \left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}.
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi3}
		\end{equation}
		ゆえに, (\ref{vhat_n=0})を代入して 
		$\omega = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2$ の場合の固有関数をま
		とめると次の様になる: 
		\begin{eqnarray}
		 \hat{u}_{0} 
		  &=& \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}
		    \left(\omega y + ky\right)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right)
                  = \frac{i}{\omega-k}y D_{0},
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u4}\\
		 \hat{v}_{0} 
		  &=& D_{0},
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v4}\\
		 \hat{\Phi}_{0} 
		  &=& \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}
		    \left(ky + \omega y\right)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right)
		  = \frac{i}{\omega-k}y D_{0}.
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi4}
		\end{eqnarray}
		\Dchapref{sec-struct}で詳述するが, これらの波は東進, 西進
		する混合ロスビー重力波である.

     \item[\underline{b) $\omega = -k ~(\not=0)$ の場合}] ~\\

		(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜
		(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})
		で $\omega = -k$ とし, (\ref{vhat_n=0})
		式を代入すると次式を得る:  
\begin{equation}
 ik\hat{u}_{0} - y e^{-\frac{1}{2}y^{2}} = -ik\hat{\Phi}_{0},
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-u2}
\end{equation}
\begin{equation}
 ik e^{-\frac{1}{2}y^{2}}+y\hat{u}_{0}= -\frac{\partial\hat{\Phi}_{0}}{\partial y},
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-v2}
\end{equation}
\begin{equation}
 ik\hat{\Phi}_{0} 
 +ik\hat{u}_{0} 
 -y e^{-\frac{1}{2}y^{2}}
 = 0.
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-phi2}
\end{equation}
	    ここで, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-u2})と
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-phi2})は同じ式と
	    なるから, 次の関係を得る(∵ $k\not=0$): 
\begin{equation}
 \hat{\Phi}_{0} = -\hat{u}_{0} + \frac{1}{ik}y e^{-\frac{1}{2}y^{2}}.
\end{equation}
	    これより(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-v2})から
	    次式を得る: 
\begin{equation}
  \frac{\partial\hat{u}_{0}}{\partial y}
- y\hat{u}_{0}
=
 \frac{1}{ik}(1-k^{2}-y^{2})e^{-\frac{1}{2}y^{2}}. 
 \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v3}
\end{equation}
	    左辺 $= 0$ として得られる同次線形微分方程式の解
	    ($e^{\frac{1}{2}y^{2}}$)を用いて,
	    $\hat{u}_{0}=C(y)e^{\frac{1}{2}y^{2}}$ と表されるから, 
$$
  \frac{\partial\hat{u}_{0}}{\partial y} 
= \frac{\partial C(y)}{\partial y}e^{\frac{1}{2}y^{2}}
+ y C(y)e^{\frac{1}{2}y^{2}}, 
$$
	    より, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v3})に代入
	    して次式を得る: 
\begin{eqnarray}
    \frac{\partial C(y)}{\partial y}
&=& \frac{1}{ik}(1-k^{2}-y^{2})e^{-y^{2}} \nonumber \\
    C(y)
&=& \int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}(1-k^{2}-y'^{2})e^{-y'^{2}}dy'.
\end{eqnarray}
	    ゆえに, 
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v3})の解は以下の
	    ようになる: 
\begin{eqnarray}
\hat{u}_{0} &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}(1-k^{2}-y'^{2})e^{-y'^{2}} dy'
\nonumber \\
        &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}\left\{\left(\frac{1}{2}-k^{2}\right)e^{-y'^{2}} + \left(\frac{1}{2} - y'^{2}\right)e^{-y'^{2}}  \right\} dy' \nonumber \\
        &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}\left\{\left(\frac{1}{2}-k^{2}\right)e^{-y'^{2}}\right\} dy' + e^{\frac{1}{2}y^{2}}\left[\frac{1}{2ik}y'e^{-y'^{2}}\right]_{\infty}^{y}  \nonumber \\
        &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}\left\{\left(\frac{1}{2}-k^{2}\right)e^{-y'^{2}}\right\} dy' + \frac{1}{2ik}ye^{-\frac{1}{2}y^{2}}.
\end{eqnarray}
	    上の変形では, 積分定数を $y=\infty$ にて $\hat{u}_{0}=0$ となる
	    ように与えたが, 右辺第1項は $y\rightarrow -\infty$ で発散す
	    ることが分かる. したがって, $\omega = -k \not= 0$ の場合, 境
	    界条件を満たす解は存在しない($n=0$ の時には $\omega = -k
	    \not=0$ は固有値では無いことになり, 自由度が 1 足らなくなっ
	    た(固有値は3つあるから1つ減った)).
	    \end{description}

\subsection{$n\ge 1$ の場合}

	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3})より, 
	    \begin{equation}
	     \omega_{i}^{3}
	      - k^{2} \omega_{i} 
	      - k
	      = (2n+1)\omega_{i}. \qquad i = 1,2,3 
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v4}
	    \end{equation}
	    この式を解くと, 固有値 $\omega_{i}$ は次のようになる(付録\Dchapref{eq-bunsan-nge1}参照): 
\begin{eqnarray}
 \omega_{1} &=& \sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}
                  \left\{
		   -\cos\displaystyle
		     \left(
		      \frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		     \right) 
		  \right. \nonumber \\
	    & &  \left. 
		    \quad 
		   +\sqrt{3}\sin\displaystyle
		     \left(
		      \frac{1}{3}\tan^{-1}\frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		     \right)
		  \right\}, \label{eq-bunsan-theory-result-1} \\
	    &\simeq& -\displaystyle\frac{k}{k^{2}+2n+1} \label{eq-bunsan-theory-result-1'} \\
 \omega_{2} &=& \sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}
                  \left\{
		   -\cos\displaystyle
		     \left(
		      \frac{1}{3}\tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		     \right) 
		  \right. \nonumber \\
            & & \left. 
		   \quad 
		  -\sqrt{3}\sin\displaystyle
		    \left(
		     \frac{1}{3}\tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		    \right)
		 \right\}, \label{eq-bunsan-theory-result-2} \\
	    &\simeq& -\sqrt{k^{2}+2n+1} \label{eq-bunsan-theory-result-2'} \\
 \omega_{3} &=& 2\sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}\cos\displaystyle
                   \left(
		    \frac{1}{3}\tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		   \right). \label{eq-bunsan-theory-result-3} \\
            &\simeq&  \sqrt{k^{2}+2n+1} \label{eq-bunsan-theory-result-3'}
\end{eqnarray}
	    \Dchapref{sec-struct}で詳述する様に, $\omega_{1}$ はロスビー
	    波のモード, $\omega_{2}, \omega_{3}$ は慣性重力波のモードを
	    表している.

	    次に固有関数 $\hat{u}, ~\hat{\Phi}$ を求める.
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2})より固有関数
	    $\hat{v}_{n}$ は次の様になる: 
	    \begin{equation}
	     \hat{v}_{n}(y) 
	    = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right). \label{vhat_n=n}
	    \end{equation}
	    以下では, 固有関数(\ref{vhat_n=n})を用いて $\hat{u}_{n},
	    \hat{\Phi}_{n}$ を求める.
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u}), 
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})より,
	    \begin{eqnarray}
	     (\omega^{2}-k^{2})\hat{u}_{n} 
	      &=& i\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{n}, 
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u5} \\
	     (\omega^{2}-k^{2})\hat{\Phi}_{n} 
	      &=& i\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{n}.
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi5}
	    \end{eqnarray}
	    これで $\hat{v}_{n}$ の微分を実行すれば $\hat{u}_{n},
	    \hat{\Phi}_{n}$ は求まるが, ここではやらない. $\hat{v}_{n}$
	    の微分を実行する代わりに, エルミート多項式についての漸化式を
	    用いることにする. そこで, 以下ではさらに変形を続ける. 
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u5}),
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi5})の辺々の加
	    減を行うと,
	    \begin{eqnarray}
	     (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} + \hat{u}_{n}) 
	      &=& - i(k+\omega)\left(
			      \frac{\partial}{\partial y} - y
			     \right)\hat{v}_{n}, 
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u6} \\
	     (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} - \hat{u}_{n}) 
	      &=&   i(k-\omega)\left(
			      \frac{\partial}{\partial y} + y
			     \right)\hat{v}_{n}.
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi6}
	    \end{eqnarray}
	    ここで $n\ge 1$ の場合, エルミート多項式, 放物柱関数はそれ
	    ぞれ以下の関係
	    \begin{equation}
	     H_{n+1}(y) - 2yH_{n}(y) + 2nH_{n-1} = 0 \quad (n\ge 1),
	      \Deqlab{hermite-relation-1} 
	    \end{equation}
	    \begin{equation}
	     D_{n+1}(y) - 2yD_{n}(y) + 2nD_{n-1} = 0 \quad (n\ge 1), 
	      \Deqlab{hermite-relation-2} 
	    \end{equation}
	    を満たすから, 放物柱関数についての漸化式
	    \begin{eqnarray}
	     \left(\frac{\partial}{\partial y} - y\right)D_{n} 
	      &=& \frac{\partial H_{n}}{\partial y}\exp
	                \left(
			 -\frac{y^{2}}{2}
		        \right) 
		  + D_{n}(-y) - yD_{n} \nonumber \\
	      &=& (2yH_{n} - H_{n+1})\exp
	                \left(
			 -\frac{y^{2}}{2}
		        \right) 
		  - 2yD_{n}            \nonumber \\
	      &=& -D_{n+1} \qquad (n\ge0),\\
	          \left(\frac{\partial}{\partial y} + y\right)D_{n} 
	      &=& \frac{\partial H_{n}}{\partial y}\exp
	                \left(
			 -\frac{y^{2}}{2}
		        \right) 
		  + D_{n}(-y) + yD_{n} \nonumber \\
	      &=& (2yH_{n} - H_{n+1})\exp
	                \left(
			 -\frac{y^{2}}{2}
		        \right) \nonumber \\
	      &=& 2yD_{n}(y) - D_{n+1}(y) \qquad (n\ge 0) \nonumber \\
	      &=& 2nD_{n-1}(y) \qquad (n\ge 1),
	    \end{eqnarray}
	    を使うと, 
	    \begin{eqnarray}
	     (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} + \hat{u}_{n}) 
	      &=& i(k+\omega)D_{n+1}, 
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u7} \\
	     (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} - \hat{u}_{n}) 
	      &=& i(k-\omega)2nD_{n-1}.
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi7}
	    \end{eqnarray}
	    ただし, $n=1,2,3,\cdots.$ である. ここで, $D_{n}\not\equiv0
            \quad (n\ge 0)$ 
	    であるから\footnote{$D_{n}=0$ となるのは, $n$ が奇数の場合に 
	    $y=0$ となる点(線)上のみである. なぜなら, $H_{n}$ は一般に
	    \begin{eqnarray*}
	     H_{n}(y) &=& (2y)^{n}  - \frac{n(n-1)}{1!}(2y)^{n-2}           
                          + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}(2y)^{n-4} + \cdots \\
	     & &\quad\quad\quad\quad\quad\quad 
             +\left\{
	       \begin{array}{l}
		(-1)^{n/2}\displaystyle\frac{n!}{
		 \left(
		  \displaystyle\frac{1}{2}n
		 \right)!
		                                 } \quad \mbox($n$ ~偶数), \\ 
		(-1)^{(n-1)/2}\displaystyle\frac{n!}{
		 \left(
		  \displaystyle\frac{1}{2}(n-1)
		 \right)!}2y \quad \mbox($n$ ~奇数), \\
	       \end{array}
              \right.
	    \end{eqnarray*}
	    と表され, $n$ が奇数の場合には $H_{n}(y)$ の各項には必ず $y$ 
	    の因子が含まれるためである. よって全領域で $D_{n}=0$ となる
	    ことはない($D_{n}\not\equiv0$). },
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u7})より
	    $\omega\not=k$,
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi7})より
	    $\omega\not=-k$ を得る. ゆえに,
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u7}),
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi7})の両辺を 
	    $(\omega^{2}-k^{2})$ で割ることが出来て, $n\ge 1$ の場合の固
	    有関数は次の様になる: 
	    \begin{eqnarray}
	     \hat{u}_{n} 
	      &=& \frac{i}{2}
	            \left(
		     \frac{1}{\omega-k}D_{n+1}+\frac{1}{\omega+k}2nD_{n-1}
		    \right), 
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u8} \\
	     \hat{v}_{n}
	      &=& D_{n}, 
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v8} \\
	     \hat{\Phi}_{n}
	      &=& \frac{i}{2}
	            \left(
		     \frac{1}{\omega-k}D_{n+1}-\frac{1}{\omega+k}2nD_{n-1}
		    \right).
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi8}
	    \end{eqnarray}
	    \Dchapref{sec-struct}で詳述するが, これらの波は東進, 西進
	    する慣性重力波とロスビー波である.

\section{$\hat{v}=0$ の場合}\Dseclab{sec-eigen-v=0}
%\subsubsection{\underline{\protect\Dsecref{sec-eigen}.2 $\hat{v}=0$ の場合}}

$\hat{v}=0$ は, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})の自明解
である. $\hat{u},\hat{\Phi}$ の固有関数を考えるには,
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})の方程式系に戻って考察す
る必要がある. (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})に $\hat{v}=0$ を代入し
て次式を得る: 
\begin{equation}
 -i\omega \hat{u} = -ik\hat{\Phi}, 
  \label{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u}
\end{equation}
\begin{equation}
 y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y},
  \label{equator-kelvin-nondim-eq-mode-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{\Phi} + \left(
		       ik\hat{u}
		      \right)
 = 0.
  \label{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi}
\end{equation}
(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})と
(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})から 
\begin{equation}
 (\omega^{2}-k^{2})\hat{u} = 0,
\end{equation}
\begin{equation}
 (\omega^{2}-k^{2})\hat{\Phi} = 0.
\end{equation}
したがって, 非自明解を持つ条件として以下の関係を得る: 
\begin{equation}
 \omega = \pm k.
\end{equation}
以下では, 得られた条件 $\omega=\pm k$ と $\hat{v}=0$ を用いて, 方程式
系(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})〜 
 (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})から固有関数 
 $\hat{u},\hat{\Phi}$ を導出することにする.

\subsection{$\omega = -k (\not=0)$ の場合}

	    この場合, (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})と
	    (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})は同じ式となるから, 
\begin{equation}
 ik(\hat{u} + \hat{\Phi}) = 0,
\end{equation}
	    ゆえに, 
\begin{equation}
 \hat{\Phi} = -\hat{u}.
\end{equation}
	    これを(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-v})に代入して
\begin{equation}
 \left(\frac{\partial}{\partial y} - y\right)\hat{u} = 0. \label{solution-w=k}
\end{equation}
	    ゆえに, (\ref{solution-w=k})の一般解は
\begin{equation}
 \hat{u} = Ae^{\frac{1}{2}y^{2}},
\end{equation}
%\begin{equation}
% \hat{v} = 0,
%\end{equation}
%\begin{equation}
% \hat{\Phi} = -e^{\frac{1}{2}y^{2}}.
%\end{equation}
	    ($A$ は任意定数)となる. 境界条件(\ref{boundary-condition-y})
	    を満たすような $A(\not=0)$ は存在しないから, よって
	    $\omega=-k$ の場合には解は存在しない. 

\subsection{$\omega = k$ の場合}

	    この場合も(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})と
	    (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})は同じ式となるから, 
$$
 ik(\hat{u} - \hat{\Phi}) = 0,
$$
	    すなわち
\begin{equation}
 \hat{u} = \hat{\Phi}.
\end{equation}
	    これを(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-v})に代入して
\begin{equation}
 \left(\frac{\partial}{\partial y} + y\right)\hat{u} = 0.
\end{equation}
	    ゆえに, 
\begin{eqnarray}
 \hat{u}    &=& e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \label{kelvin-eq-nondim-u} \\
 \hat{v}    &=& 0, \label{kelvin-eq-nondim-v} \\
 \hat{\Phi} &=& e^{-\frac{1}{2}y^{2}}. \label{kelvin-eq-nondim-phi}
\end{eqnarray}
	    となり, これらは境界条件(\ref{boundary-condition-y})を満たす
	    解である. これが $\hat{v}\not=0$ かつ $n=0$ の場合に欠けてい
	    た解である. \Dchapref{sec-struct}で詳述するが, この波はケルビ
	    ン波である.

\section{固有値, 固有関数のまとめ}\Dseclab{eigen-solution-summary}

\Dsecref{sec-eigen-vnot=0} の結果より $\hat{v}\not=0$ の場合には, $n=0$ 
のとき解は2つ, $n\ge 1$ のときには解は3つ得られた. $n=0$ の場合の解の個
数が1つ少なくなっているが, \Dsecref{sec-eigen-v=0} の結果より $\hat{v}=0$ 
とした場合に解が1つ得られたので, 解の数は3つそろった. 以上,
\Dsecref{sec-eigen-vnot=0}, \Dsecref{sec-eigen-v=0}の結果(固有値, 固有関
数)をまとめると以下の様になる:

%自由度(固有値 $\omega$ の数)は 3つ確保できた. これまでは $n\ge 0$ と考え
%てきたが, \Dsecref{sec-eigen}.2 節で得られた固有値 $\omega=k$ は,
%(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3})において $n=-1$ とすれ
%ば形式的に得られる. よって $D_{-1}=D_{-2}=0$ することで,
%\Dsecref{sec-eigen}.1 節, \Dsecref{sec-eigen}.2 節の結果は, 統一的に表される. つ
%まり, $n=0, k=-\omega$ の代わりに得られた固有関数
%(\ref{kelvin-eq-nondim-u})〜 (\ref{kelvin-eq-nondim-phi})は, $n=-1$ とし
%た場合に対応する.  以上, $x,t$ の依存性も含めて \Dsecref{sec-eigen}.1 節,
%\Dsecref{sec-eigen}.2 節の結果(固有値, 固有関数\footnote{有次元系での 
%$u(x,y,t),v(x,y,t),\phi(x,y,t)$ の形式は次の様になる:
%\begin{eqnarray*}
% u(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}}
%            \left(
%              \omega y H_{n}(y) \exp
%	      \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	      \right) \right. \nonumber\\
%          && \left.
%        ~- k \left[
%	    \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp
%	     \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	     \right)
%	      - \frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp
%	     \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	     \right)
%	    \right]            
%	    \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\
% v(x,y,t) &=& H_{n}(y) \exp
%            \left(
%	    -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	    \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\
% \phi(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}}
%            \left(
%              k y H_{n}(y) \exp
%	      \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	      \right) \right. \nonumber\\
%          && \left.
%        ~- \omega \left[
%	          \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp
%		  \left(
%		  -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%		  \right)
%		  -\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp
%		  \left(
%		  -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%		  \right)
%		 \right]            
%	    \right) e^{i(kx-\omega t)}
%\end{eqnarray*}
%})をまとめると以下の様になる:

\subsection{\protect$\hat{v}\not=0$ の解}\Dseclab{v-not=0-eigen-solution}

$n=0$ の場合の分散関係と固有関数は以下のとおりである.
\begin{eqnarray}
\Deqlab{solution_vnot=0_n=0_omega}
  \omega_{i} & = & \frac{k\pm\sqrt{k^{2}+4}}{2} \qquad (i=1,2), \\
\Deqlab{solution_vnot=0_n=0_u}
  \hat{u}(y) & = & \frac{i}{\omega_{i}-k}y H_{0}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\
\Deqlab{solution_vnot=0_n=0_v}
  \hat{v}(y) & = & H_{0}e^{-\frac{1}{2}y^{2}},  \\
\Deqlab{solution_vnot=0_n=0_Phi}
  \hat{\Phi}(y) & = & \frac{i}{\omega_{i}-k}
                      y H_{0}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}.
\end{eqnarray}
$n \ge 1$ の場合の分散関係と固有関数は以下のとおりである.

~~
\vspace{-7mm}
\begin{eqnarray}
\Deqlab{solution_vnot=0_n=1_omega1}
 \omega_{1} & =   & \sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}
                    \left\{
		     - \cos\displaystyle
		       \left(
		          \frac{1}{3}\tan^{-1}
                          \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		       \right) 
		     \right. \nonumber \\ 
            &      & \left. \qquad\qquad\qquad\qquad 
                     + \sqrt{3}\sin\displaystyle
		      \left(
		          \frac{1}{3}\tan^{-1}
                          \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		      \right)
		      \right\} \\
\Deqlab{solution_vnot=0_n=1_omega1'}
            & \simeq & -\displaystyle\frac{k}{k^{2}+2n+1},\\
\Deqlab{solution_vnot=0_n=1_omega2}
 \omega_{2} & =      & \sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}
                  \left\{
		   -\cos\displaystyle
		     \left(
		      \frac{1}{3}\tan^{-1}
                        \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		     \right) 
		  \right. \nonumber \\
            &      & \left. \qquad\qquad\qquad\qquad 
                   -\sqrt{3}\sin\displaystyle
		    \left(
		     \frac{1}{3}\tan^{-1}
                         \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		    \right)
		 \right\} \\
\Deqlab{solution_vnot=0_n=1_omega2'}
	    & \simeq & -\sqrt{k^{2}+2n+1},  \\
\Deqlab{solution_vnot=0_n=1_omega3}
 \omega_{3} & =      & 2\sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}
                         \cos\displaystyle
                        \left(
		             \frac{1}{3}\tan^{-1}
                             \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}
                                  {k}
                        \right) \\
\Deqlab{solution_vnot=0_n=1_omega3'}
	     & \simeq &  \sqrt{k^{2}+2n+1}, \\
\Deqlab{solution_vnot=0_n=1_u}
  \hat{u}(y) &   = & \displaystyle\frac{i}{2}
	            \left(
		        \displaystyle
                        \frac{1}{\omega_{i}-k} H_{n+1}
                      + \displaystyle\frac{1}{\omega_{i}+k}
                        2n H_{n-1}
		    \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \qquad (i=1,2,3), \\
\Deqlab{solution_vnot=0_n=1_v}
  \hat{v}(y)  &   = & H_{n}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\
  \hat{\Phi}(y) & = & \displaystyle\frac{i}{2}
	            \left(
		     \displaystyle
                     \frac{1}{\omega_{i}-k}
                     H_{n+1}-\displaystyle\frac{1}{\omega_{i}+k}2n H_{n-1}
		    \right)e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \qquad (i=1,2,3).
 \Deqlab{solution_vnot=0_n=1_Phi}
\end{eqnarray}

但し, $\omega_{1}$ の $k=0$ の固有関数は, 次節の $\hat{v}=0$ の固有関数 
\Deqref{solution_v=0_n=-1_u}〜\Deqref{solution_v=0_n=-1_phi} となる. な
ぜなら, \Deqref{solution_vnot=0_n=1_omega1'}で $k=0$ とすると $\omega=0$ 
となり, $k=\omega$ となるので \Deqref{solution_vnot=0_n=1_u}〜
\Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}の固有関数を用いることが出来ないからであ
る. この様に $k=\omega=0$ の解は縮退しており, \Dchapref{rossby-denpa}や
\Dchapref{kelvin-denpa}で後述するように, ロスビー波やケルビン波の $k=0$ 
の解に対応する.

\subsection{\protect$\hat{v}=0$ の解}\Dseclab{v=0-eigen-solution}, 

$v=0$ の場合の解は以下の通りである.
\begin{eqnarray}
\Deqlab{solution_v=0_omega}
  \omega        & = & k, \\
\Deqlab{solution_v=0_n=-1_u}
  \hat{u}(y)    & = & e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\
\Deqlab{solution_v=0_n=-1_v}
  \hat{v}(y)    & = & 0, \\
\Deqlab{solution_v=0_n=-1_phi}
  \hat{\Phi}(y) & = & e^{-\frac{1}{2}y^{2}}.
\end{eqnarray}
%\begin{equation}
% u(x,y,t)    = \frac{i}{2}\left(D_{n+1}+\frac{\omega_{i}-k}{\omega_{i}+k}2nD_{n-1}\right)e^{i(kx-\omega_{i} t)}, 
%  \label{eq-wave-struct-nondim2-eq1}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% v(x,y,t)    = (\omega_{i}-k)D_{n}(y)e^{i(kx-\omega_{i} t)}, 
%  \label{eq-wave-struct-nondim2-eq2}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% \Phi(x,y,t) = \frac{i}{2}\left(D_{n+1}-\frac{\omega_{i}-k}{\omega_{i}+k}2nD_{n-1}\right)e^{i(kx-\omega_{i} t)}.
%  \label{eq-wave-struct-nondim2-eq3}
%\end{equation}
ちなみに $\hat{v}=0$ の固有値 $\omega = k$ は, $n\ge 1$ の場合の固有値方程
式において$n=-1$ とすれば得られる. 一方, $\hat{v}=0$ の場合の固有関数は,
$n\ge 1$ の場合の固有関数を表す式において $n=-1$ を代入し
$H_{-1}=H_{-2}=0$ と定義すれば, $(i/2)H_{0}/(\omega_{i}-k)\sim 1$ と考え
ることで $\hat{v}=0$ の場合と同様の式が得られる. よって, $\hat{v}=0$ の
解を形式的に $n=-1$ の場合と定義することにする.

最後に, 各物理量の位相関係に関して注意しておく.
まず, $\hat{u}$ と $\hat{\Phi}$ は $n$ の値によらず同位相の関係にある.
このことは, $n=0$ の場合は \Deqref{solution_vnot=0_n=0_u} と
\Deqref{solution_vnot=0_n=0_Phi}より, 
$n=1$ の場合は \Deqref{solution_vnot=0_n=1_u}と
\Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}より明らかである.
また, $n=-1$ でない場合には,
$\hat{v}$ と $\hat{u}, \hat{\Phi}$ は $\pi/2$ だけ位相が異なっていること
が分かる\footnote{ケルビン波に対応する $n=-1$ の場合には, $\hat{v}$ は常
に 0 であるから, $\hat{v}$ と $\hat{u}, \hat{\Phi}$ の間の位相関係を考え
ること自体意味が無い.}. 

%$n$の範囲と固有値 $\omega_{i}$($i=1,2,3$) を与える分散関係は以下の通りである: 
%
%\begin{equation}
% \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge -1) \label{equatorial-wave-nondim-bunsan}
%\end{equation}
%
%\medskip
%ただし, 
%
%\begin{equation}
%\left\{
% \begin{array}{l}
%  n=  -1 ~~\mbox{:}~~\omega_{i} = k, ~(i=1) \\[2ex]
%  n=   0 ~~\mbox{:}~~\omega_{i} = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2, ~(i=2,3) \\[2ex]
%  n\ge 1 ~~\mbox{:}~~ \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1).  ~(i = 1,2,3)
% \end{array}
%\right.  \label{equatorial-wave-nondim-bunsan}
%\end{equation}

\section{位相速度のまとめ}\Dseclab{phase-summary}

本節では, \Dsecref{eigen-solution-summary}で求めた固有値から求めた位相速
度 $c$ をまとめておく. 

\subsection{\protect$\hat{v}\not=0$ の解}\Dseclab{v-not=0-phase}

$n=0$ の場合の位相速度は以下のとおりである.
\begin{eqnarray}
\Deqlab{phase-solution_vnot=0_n=0_omega}
  c_{i} & = & \frac{1\pm\sqrt{1+4/k}}{2} \qquad (i=1,2)
\end{eqnarray}
$n \ge 1$ の場合の位相速度は以下のとおりである.
\begin{eqnarray}
\Deqlab{phase-solution_vnot=0_n=1_omega1}
 c_{1} & =   & \displaystyle\frac{1}{k}
                    \sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}
                    \left\{
		     - \cos\displaystyle
		       \left(
		          \frac{1}{3}\tan^{-1}
                          \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		       \right) 
		     \right. \nonumber \\ 
            &      & \left. \qquad\qquad\qquad\qquad 
                     + \sqrt{3}\sin\displaystyle
		      \left(
		          \frac{1}{3}\tan^{-1}
                          \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		      \right)
		      \right\} \\
\Deqlab{phase-solution_vnot=0_n=1_omega1'}
            & \simeq & -\displaystyle\frac{1}{k^{2}+2n+1},\\
\Deqlab{phase-solution_vnot=0_n=1_omega2}
 c_{2} & =      & \displaystyle\frac{1}{k}
                    \sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}
                  \left\{
		   -\cos\displaystyle
		     \left(
		      \frac{1}{3}\tan^{-1}
                        \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		     \right) 
		  \right. \nonumber \\
            &      & \left. \qquad\qquad\qquad\qquad 
                   -\sqrt{3}\sin\displaystyle
		    \left(
		     \frac{1}{3}\tan^{-1}
                         \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		    \right)
		 \right\} \\
\Deqlab{phase-solution_vnot=0_n=1_omega2'}
	    & \simeq & -\displaystyle\frac{1}{k}
                    \sqrt{k^{2}+2n+1},  \\
\Deqlab{phase-solution_vnot=0_n=1_omega3}
 c_{3} & =      & \displaystyle\frac{2}{k}
                       \sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}
                         \cos\displaystyle
                        \left(
		             \frac{1}{3}\tan^{-1}
                             \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}
                                  {k}
                        \right) \\
\Deqlab{phase-solution_vnot=0_n=1_omega3'}
	     & \simeq &  \displaystyle\frac{1}{k}
                    \sqrt{k^{2}+2n+1}.
\end{eqnarray}

\subsection{\protect$\hat{v}=0$ の解}\Dseclab{v=0-eigen-solution}

$v=0$ の場合の位相速度は以下の通りである.
\begin{eqnarray}
\Deqlab{phase-solution_v=0_omega}
  c        & = & 1
\end{eqnarray}


\chapter[赤道波の分散関係式と水平構造]
        {赤道波の分散関係式と水平構造}\Dchaplab{sec-struct}

本章では前章の結果に基づいて赤道波の分類を行い,
\Dsecref{v-not=0-eigen-solution}, \Dsecref{v=0-eigen-solution} の固有関
数で与えられる水平構造から各モードの定義を行う. 有次元系での議論は, 付録 
\Dchapref{eq-bunsan-dim-sec}にまとめた.

%$$
% \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge -1) \eqno(\mbox{\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan}})
%$$

\section{赤道波の分散曲線}

\Dsecref{eigen-solution-summary} の結果より, これまでの分散関係と分散関
係式から求めた位相速度をまとめると, 図\ref{eq-bunsan-line},
\ref{eq-phase-line}の様になる. 各々のモードの名前付けについては次節参照
のこと. 
\vspace*{-30mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \hspace*{-0.0cm}\Depsf[15.4cm]{ps/eq-bunsan-mergincut.ps}
% \hspace*{-0.0cm}\Depsf[16cm]{ps/eq-bunsan-mergincut.ps}
% \hspace*{-1.0cm}\Depsf[18cm]{ps/eq-bunsan-mergincut.ps}
%  \hspace*{-2cm}\Depsf[19.5cm]{ps/eq-bunsan.ps}
 \end{center}
 \vspace{-20mm} 
 \caption{赤道波の分散曲線の理論解(\protect$-1\le n \le 3$). 
   ラベル無し実線は赤道ケルビン波
     \protect\Deqref{solution_v=0_omega},
   ラベル有り実線は西進, 東進慣性重力波の近似解 
     \protect\Deqref{solution_vnot=0_n=1_omega2'} と
     \protect\Deqref{solution_vnot=0_n=1_omega3'}, 
   点線は赤道ロスビー波の近似解
     \protect\Deqref{solution_vnot=0_n=1_omega1'}, 
   破線と一点鎖線は混合ロスビー重力波
     \protect\Deqref{solution_vnot=0_n=0_omega}
     の分散曲線を表す.
   慣性重力波とロスビー波の分散曲線の近似解と厳密解は, 実際にはよく一致する.
  }
 \label{eq-bunsan-line}
\end{figure}

\vspace*{-20mm}
%\vspace*{-10mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \hspace*{-0.0cm}\Depsf[15.4cm]{ps/eq-phase-mergincut.ps}
%  \hspace*{-0.0cm}\Depsf[16cm]{ps/eq-phase-mergincut.ps}
%  \hspace*{-1.0cm}\Depsf[18cm]{ps/eq-phase-mergincut.ps}
%  \hspace*{-2cm}\Depsf[19.5cm]{ps/eq-bunsan.ps}
 \end{center}
 \vspace{-20mm} 
\caption{赤道波の位相速度の理論解. 
         曲線と波の対応は図\protect\ref{eq-bunsan-line}と同様. 
         ラベル無し実線は
            \protect\Deqref{phase-solution_v=0_omega}, 
         ラベル有り実線は
            \protect\Deqref{phase-solution_vnot=0_n=1_omega2'} と
            \protect\Deqref{phase-solution_vnot=0_n=1_omega3'}, 
         点線は
            \protect\Deqref{phase-solution_vnot=0_n=1_omega1'}, 
         破線と一点鎖線は
            \protect\Deqref{phase-solution_vnot=0_n=0_omega}
         の位相速度を表す.}\label{eq-phase-line}
\end{figure}

%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \hspace*{-1.0cm}\Depsf[18cm]{ps/eq-theory-bunsan-mergincut.ps}
% \end{center}
% \vspace{-20mm} 
%\caption{赤道波の分散曲線の厳密解(\protect$1 \le n \le 3$).} 
% \label{eq-theory-bunsan-line}
%\end{figure}

\section{$n=-1$ の場合の水平構造}\Dseclab{n=-1}

この場合\Deqref{solution_v=0_omega}より, 分散関係式は
\begin{equation}
 \omega = k, \label{equator-kelvin-bunsan-nondim}
\end{equation}
である. この振動数を用いて固有関数\Deqref{solution_v=0_n=-1_u}〜\Deqref{solution_v=0_n=-1_phi}を図示すると次の様になる:

\vspace*{-7mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[6.3cm]{ps/nk1_kelvin-w-rc.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{赤道ケルビン波の圧力場と速度場の分布(\protect$k=1,\omega=1$).} \label{kelvin-pic}
\end{figure}
この波は赤道に壁を対応させた場合に, 壁に沿って伝播するケルビン波と同じ構
造をしており, {\bf 赤道ケルビン波}と呼ばれる. 


\section{$n=0$ の場合の水平構造}\Dseclab{sec-n=0}

この場合\Deqref{solution_vnot=0_n=0_omega}より, 分散関係式は
\begin{equation}
 \omega = \frac{k\pm\sqrt{k^{2}+4}}{2}. 
 \label{eq-mixed-rossby-gw-bunsan}
\end{equation}
したがって, この場合東進する波と西進する波が存在することがわかる. この振
動数を用いると, それぞれの波の固有関数\Deqref{solution_vnot=0_n=0_u}〜
\Deqref{solution_vnot=0_n=0_Phi} は図\ref{inertio-gw-pic-n=0},
\ref{mixed-rossby-pic}の様になる.

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \vspace*{-6mm}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-east-rc.ps}
 \end{center}
 \vspace{-7mm} 
\caption{\protect$n=0$ の混合ロスビー重力波(東進)の圧力場と速度場の分布(\protect$k=0.5, \omega=2.56$).} \label{inertio-gw-pic-n=0}
\end{figure}

\vspace*{-5mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \vspace*{-4mm}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-west-rc.ps}
 \end{center}
 \vspace{-7mm} 
\caption{\protect$n=0$ の混合ロスビー重力波(西進)の圧力場と速度場の分布(\protect$k=0.5, \omega=-1.56$).} \label{mixed-rossby-pic}
\end{figure}

東進する波の方は, 速度場の収束発散により位相伝播する構造をしており
(\Dchapref{ig-denpa}参照), {\bf 慣性重力波}と呼ばれている. 一方, 西進す
る波には\Dchapref{mixed-denpa}で詳述するように重力波的な性質とロスビー波
的な性質が存在する. このような特徴から, 西進する波の方は{\bf 混合ロスビー
重力波}と呼ばれている. 本ノートでは, 一般的な呼称に習い $n=0$ のモードは
まとめて {\bf 混合ロスビー重力波のモード}と呼ぶことにする.

\section{$n\ge 1$ の場合の水平構造}\Dseclab{nge1}

この場合\Deqref{solution_vnot=0_n=1_omega1}〜\Deqref{solution_vnot=0_n=1_omega3'}より, 分散関係式は以下の様になる: 
\begin{eqnarray}
\Deqlab{eq-rossby-bunsan-genmitu}
 \omega_{1} &=& \sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}
                  \left\{
		   -\cos\displaystyle\frac{1}{3}
		     \left(
		      \tan^{-1}\frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		     \right) 
		  \right. \nonumber \\
	    & &  \left. 
		    \quad 
		   +\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{1}{3}
		     \left(
		      \tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		     \right)
		  \right\}, \label{eq-bunsan-n>1-result-1} \\
\Deqlab{eq-rossby-bunsan}
	    &\simeq& -\displaystyle\frac{k}{k^{2}+2n+1} \label{eq-bunsan-n>1-result-1'} \\[3ex] 
\Deqlab{eq-inertio-w-gw-bunsan-genmitu}
 \omega_{2} &=& \sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}
                  \left\{
		   -\cos\displaystyle\frac{1}{3}
		     \left(
		      \tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		     \right) 
		  \right. \nonumber \\
            & & \left. 
		   \quad 
		  -\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{1}{3}
		    \left(
		     \tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		    \right)
		 \right\}, \label{eq-bunsan-n>1-result-2} \\[1ex]
\Deqlab{eq-inertio-w-gw-bunsan}
	    &\simeq& -\sqrt{k^{2}+2n+1} \label{eq-bunsan-n>1-result-1'} \\[3ex] 
\Deqlab{eq-inertio-e-gw-bunsan-genmitu}
 \omega_{3} &=& 2\sqrt{\frac{k^{2}+2n+1}{3}}\cos\displaystyle\frac{1}{3}
                   \left(
		    \tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}
		   \right). \label{eq-bunsan-n>1-result-3} \\[1ex]
\Deqlab{eq-inertio-e-gw-bunsan}
            &\simeq&  \sqrt{k^{2}+2n+1}. \label{eq-bunsan-n>1-result-3'}
\end{eqnarray}
この様に, $n\ge 1$ の場合には分散関係式は 3つ存在する. 以下ではこれま
での節と同様, これらの分散関係式を用いて波の固有関数
\Deqref{solution_vnot=0_n=1_u}〜\Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}
の図示を行い, 波の定義を行うことにする.

まずはじめに $\omega_{1}$ の振動数を用いて, 固有関数
\Deqref{solution_vnot=0_n=1_u}〜\Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}を図示す
ると図\ref{rossby-pic} の様になる. \Dchapref{rossby-denpa}で詳述するよ
うに, これはいわゆるロスビー波の伝播メカニズムにしたがって伝播する構造を
しており, {\bf 赤道ロスビー波}と呼ばれている. よって, このモードを {\bf
赤道ロスビー波のモード}と定義することにする.

次に, $\omega_{2}$ の振動数を用いて, 固有関数
\Deqref{solution_vnot=0_n=1_u}〜\Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}を図示す
ると図\ref{inertio-gw-pic} の右図の様になる. これは\Dchapref{ig-denpa}で
詳述するように, $f$ 平面のいわゆる慣性重力波と同様のメカニズムで西に伝播
する構造をしており, 赤道域での{\bf 西進慣性重力波} と呼ばれている. よっ
て, このモードを赤道域での{\bf 西進慣性重力波のモード}と定義することにす
る.

次に, $\omega_{3}$ の振動数を用いて, 固有関数
\Deqref{solution_vnot=0_n=1_u}〜\Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi} を図示
すると図\ref{inertio-gw-pic} の左図の様になる. これも $\omega_{2}$ の場
合と同様, $f$ 平面のいわゆる慣性重力波と同様のメカニズムで東に伝播する構
造をしており, 赤道域での{\bf 東進慣性重力波}と呼ばれている. よって, この
モードを赤道域での{\bf 東進慣性重力波のモード}と定義することにする.

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
% \vspace*{-6mm}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k1_ro-w-rc.ps}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k1_ro-w-rc.ps}
 \end{center}
 \vspace{-7mm} 
\caption{赤道ロスビー波の圧力場と速度場の分布(\protect$k=1$). 左図: \protect$n=1, \omega=-0.25$, 右図: \protect$n=2, \omega=-0.17$.} \label{rossby-pic}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \vspace*{3cm}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-east-rc.ps}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-west-rc.ps}
 \end{center}
 \begin{center}
 \vspace*{-3mm}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-east-rc.ps}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-west-rc.ps}
 \end{center}
 \vspace{-7mm} 
 \caption{慣性重力波の圧力場と速度場の分布(\protect$k=0.5$).  左図: 東進
         慣性重力波, 右図: 西進慣性重力波.  上段から \protect$n=1$ (左図 
         \protect$\omega=1.80$, 右図 \protect$\omega=-1.80$),
         \protect$n=2$ (左図 \protect$\omega=2.29$, 右図 
         \protect$\omega=-2.29$).}  \label{inertio-gw-pic}
\end{figure}

\section{$k=0$ のモードの水平構造に関する注釈}\Dseclab{k=0-mode}

\Dsecref{sec-n=0}, \Dsecref{nge1}で定義した慣性重力波と混合ロスビー重力
波では, $n$ が同じで $k=0$ の場合には, 東進するモードと西進するモードは 
同じモードになる. 慣性重力波や混合ロスビー重力波の分散関係式を見ると,
$k=0$ の東進するモードと西進するモードの振動数は, $n$ の値が同じ場合には
絶対値は等しいが異なる符号を取ることがわかる. このため, 図
\ref{eq-bunsan-line} の分散曲線は $n$ の値が同じでも東進するモードと西進
するモードは, 見かけ上異なるモードの様に見えてしまっていた. これらの 2つ
のモードは, 負の波数$k$ を導入し正の振動数だけで表現すると, $k=0$ で接続
(振動数が等しくなる)し, 分散曲線の図から見ても東進するモードと西進するモー
ドは同じモードであることがわかる(図\ref{eq-bunsan-line2}).

同じ $n$ の値をもつ東進するモードと西進するモードの 2つの振動数は, $k=0$ 
で等しくなることが分かったので, 次に 2つのモードの構造も等しくなることを
示す.  以下では, 図\ref{eq-bunsan-line}で見かけ上異なるモードの様に見え
てしまっていた同じ $n$ の値をもつ東進するモードと西進するモードのそれぞ
れが, $k=0$ ではその振動数に依らず同じ水平構造を持つ(つまり, 同じモード
である) ことを固有関数の式を用いて示す. ここでは, $k=0, n=1$ の慣性重力
波の場合を例として扱う.

$k=0, n=1$ の場合, \Deqref{eq-inertio-w-gw-bunsan},
\Deqref{eq-inertio-e-gw-bunsan}より $\omega=\pm\sqrt{3}$ となる. このと
き, $\hat{u},\hat{v},\hat{\Phi}$ の成分は, それぞれの実部成分 $u_{r}(y),
v_{r}(y), \Phi_{r}(y)$, 虚部成分 $u_{i}(y), v_{i}(y), \Phi_{i}(y)$ を用
いると\Deqref{solution_vnot=0_n=1_u}〜\Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}よ
り以下の様に表される:
\begin{eqnarray}
 u_{r} &=& 0, \\
 u_{i} &=& \displaystyle\frac{1}{2}
	            \left(
		     \displaystyle\frac{1}{\omega}H_{2}+\displaystyle\frac{1}{\omega}2 H_{0}
		    \right)e^{-\frac{1}{2}y^{2}},\\
 v_{r} &=& H_{1}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\
 v_{i} &=& 0,\\
 \Phi_{r} &=& 0, \\
 \Phi_{i} &=& \displaystyle\frac{1}{2}
	            \left(
		     \displaystyle\frac{1}{\omega}H_{2}-\displaystyle\frac{1}{\omega}2 H_{0}
		    \right)e^{-\frac{1}{2}y^{2}}.
\end{eqnarray}
ここで, $\omega \rightarrow -\omega$ とすると, 
\begin{eqnarray}
 u_{r} &=& 0, \\
 u_{i} &\rightarrow& -u_{i}, \label{u_i} \\
 v_{r} &=& v_{r}, \label{v_r} \\
 v_{i} &\rightarrow& 0, \\
 \Phi_{r} &=& 0, \\
 \Phi_{i} &\rightarrow& -\Phi_{i}, \label{phi_i}
\end{eqnarray}
となる. 一方, $k=0, n=1$ の場合 $u(x,y,t), v(x,y,t), \Phi(x,y,t)$ は 
$u_{r},v_{r},\Phi_{r},u_{i},v_{i},\Phi_{i}$ を用いて次のように表される:
\begin{eqnarray}
 u(x,y,t) &=& \underbrace{u_{r}(y)}_{=0}\cos(kx-\omega t)-u_{i}(y)\sin(kx-\omega t), \nonumber \\
          &=& -u_{i}(y)\sin(-\omega t), \nonumber \\
          &=& u_{i}(y)\sin(\omega t), \label{u_xyt} \\[2ex]
 v(x,y,t) &=& v_{r}(y)\cos(kx-\omega t)-\underbrace{v_{i}(y)}_{=0}\sin(kx-\omega t), \nonumber \\
          &=& v_{r}(y)\cos(-\omega t), \nonumber \\
          &=& v_{r}(y)\cos(\omega t), \label{v_xyt} \\[2ex]
\Phi(x,y,t)&=& \underbrace{\Phi_{r}(y)}_{=0}\cos(kx-\omega t)-\Phi_{i}(y)\sin(kx-\omega t), \nonumber \\
           &=& -\Phi_{i}(y)\sin(-\omega t), \nonumber \\
           &=& \Phi_{i}(y)\sin(\omega t). \label{phi_xyt} 
\end{eqnarray}	    
(\ref{u_xyt})〜(\ref{phi_xyt})において $\omega\rightarrow -\omega$ とす
ると, (\ref{u_i})〜(\ref{phi_i})より次の関係を得る:
\begin{equation}
 u(x,y,t) \rightarrow u(x,y,t), \label{omega-reverse-u}
\end{equation}
\begin{equation}
 v(x,y,t) \rightarrow v(x,y,t), \label{omega-reverse-v}
\end{equation}
\begin{equation}
\Phi(x,y,t) \rightarrow \Phi(x,y,t). \label{omega-reverse-phi}
\end{equation}
(\ref{omega-reverse-u})〜(\ref{omega-reverse-phi})の関係は $n$ の値に依
らずすべての場合について成り立つ. したがって $k=0$ のモードの水平構造は, 
振動数の絶対値が等しい場合には同じになる. 

\vspace*{-7mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \hspace*{-0.0cm}\Depsf[14cm]{ps/eq-bunsan-minus-k-mergincut.ps}
 \end{center}
 \vspace{-5mm} 
 \caption{赤道波の分散曲線の理論解(\protect$-1\le n \le 3$). 図中のラベ
 ルは図\protect\ref{eq-bunsan-line}と同様. ただし, 図
 \protect\ref{eq-bunsan-line}で負の振動数を持っていた分散曲線は
 \protect$k<0$ の波数領域に描かれている. この図から, 慣性重力波や混合ロ
 スビー重力波の東進するモード(正の
 波数と持つモード)と西進するモード(負の波数を持つモード)は,
 \protect$k=0$ で接続する(同じモードである)ことが分かる.} 
\label{eq-bunsan-line2}
\end{figure}

%\section{赤道波の水平伝播のメカニズム}\label{sec-denpa}

%本節では, 前節までの結果をもとに赤道波の水平伝播のメカニズムをまとめる. 

\chapter{慣性重力波の水平伝播のメカニズム}\Dchaplab{ig-denpa}

本章からは, 前章までの結果をもとに赤道波の水平伝播のメカニズムをまとめる. 
まずはじめに, 慣性重力波の水平伝播メカニズムをまとめ
る. \Dchapref{sec-struct}の結果より慣性重力波の振動数 $\omega$, 位相速
度 $c$ をまとめると次の様になる:\footnote{有次元系で表記すると, 慣性重力
波の振動数, 位相速度は次の様になる: $$ \qquad~~~~~~~\omega = \pm
\sqrt{k^{2}gH+\beta\sqrt{gH}(2n+1)} \qquad\qquad ~~(\mbox{for} ~n\ge 1)
$$ $$ \qquad\qquad c = \pm
\sqrt{gH+\displaystyle\frac{\beta\sqrt{gH}(2n+1)}{k^{2}}}\qquad\qquad
~~~~~~(\mbox{for} ~n\ge 1) $$ }
\begin{equation}
\omega = \pm \sqrt{k^{2}+2n+1} \qquad\qquad (\mbox{for} ~n\ge 1)
\Deqlab{eq-inertio-gw-bunsan}
\end{equation}
\begin{equation}
 c = \pm \sqrt{1+\displaystyle\frac{2n+1}{k^{2}}}\qquad\qquad (\mbox{for} ~n\ge 1) 
\Deqlab{eq-inertio-gw-phase}
\end{equation} 
\Deqref{eq-inertio-gw-phase}より, 慣性重力波は東進するものと西進するもの
が存在する. 以下では, $u,v,\Phi$ の位相伝搬のメカニズムを明らかにするた
め, 元の方程式系(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})
$$ 
\frac{\partial u}{\partial t} = y v
-\frac{\partial\Phi}{\partial x},
\eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3}}) $$ $$ \frac{\partial
v}{\partial t} = - y u -\frac{\partial\Phi}{\partial y},
\eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v3}}) $$ $$ \frac{\partial
\Phi}{\partial t} = - \left( \frac{\partial u}{\partial x} +
\frac{\partial v}{\partial y} \right),
\eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3}}) 
$$ 
に戻って, 各項の位相関係を明らかにする. 以下ではそれぞれの項をモード展開
したもの\footnote{(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項のモード展開は
\ref{mode-expansion} 章にまとめた.}を用いて考察する. 

\section{\protect $n=1, k=0$ の慣性重力波}\Dseclab{n=1_k=0_igw}

$k=0, n=1$ のモードを考える. このモードの振動数は,
\Deqref{eq-inertio-gw-bunsan}より $\pm\sqrt{3}$ とな
る. \Dsecref{k=0-mode}で述べた様に, $n$ の値が等しい $k=0$ の 2つのモー
ド(絶対値の等しい正負の振動数を持つモード)は同じモードである. 以下では, 
はじめに 1周期を通しての波の特徴をまとめ, 続いてその特徴が得られる理論的
根拠について言及する.

\subsection{$n=1, k=0$ の慣性重力波の特徴}\Dseclab{n=1_k=0_igw-explain}

本節では, 図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-vector}〜図
\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} 中に共通してみられる特徴をまとめる.
\begin{itemize}
 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布および時間発展は以下の通り: 
       \begin{itemize}
	\item 速度ベクトルは, 赤道で 0 となる赤道対称分布をする
	      (\Deqref{k=0-n=1-real-u_xyt} 式). 
	      速度ベクトルの大きさは, 南北半球でそれぞれ1つずつ同符号の
	      極値をもつ(\Deqref{n=1_k=0_amp_vector} 式). 
              速度ベクトルは北半球で時計周り, 南半球
	      で反時計周りに回転する.
              図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-vector}で見られる様に時間を固定し
	      ても速度ベクトルの方向は緯度により異なるが, これは東西風と
	      南北風の大きさの比が緯度に依り異なるためである
	      (\Deqref{k=0-n=1-real-u_xyt} 式, 図
	      \ref{n1_k0.0_ig-w-east-vector2}). しかし, 速度ベクトルの方
	      向は 1/4 周期毎に一致し, 全ての速度ベクトルは 1 周期で1周
	      する(図 \ref{n1_k0.0_ig-w-east-vector2}). また, 速度ベクト
	      ルの大きさは, 緯度 $\pm\sqrt{3}$ を除く全ての緯度で時間変
	      化する(\Deqref{n=1_k=0_amp_vector}式).
	\item ジオポテンシャルも赤道で 0 となる赤道対称分布をする. 
              ジオポテンシャルは, 南北半球でそれぞれ1つずつ同符号
	      の極値をもつ(図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-vector}〜図
	      \ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0}の $\phi$ の等値線).
              ジオポテンシャルは 1/2 周期毎に符号を変えながら時間変化す
	      る(\Deqref{k=0-n=1-real-p_xyt}式). 
       \end{itemize}
 \item 速度ベクトルの時間発展は以下の様にして決まっている. 
       \begin{itemize}
	\item 速度ベクトルの回転はコリオリ力のために起こる. コリオリ力は, 
	      速度ベクトルに対して北半球では直角右向き, 南半球では直角左
	      向きの成分をもつ(図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-vector} の緑色ベ
	      クトル).  これは, $f$ 平面の慣性振動と同じメカニズムである
	      \footnote{しかし, 上で述べたように速度ベクトルの大きさ自身
	      も時間変化するので, 流向のみが時間変化するという意味でのい
	      わゆる $f$ 平面での慣性振動とは異なる.}.
	\item 圧力傾度力は, 速度ベクトルの大きさを変化させる効果を持
	      つ. 圧力傾度力の $x$ 成分は常に0である
	      (\Deqref{n=1_k=0_p-grad}式). したがって圧力傾度力は常に南
	      北方向を向く(図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-vector}の赤色ベクト
	      ル). このため, 圧力傾度力は南北流速の大きさを変化させる働
	      きをする. 圧力傾度力が 0 となる緯度 $\pm\sqrt{3}$ より赤道
	      側では, 北(南)半球で最初の 1/2 周期は北(南)風加速となり, 
	      次の 1/2 周期は南(北)風加速となる\footnote{南北風は, 始め
	      の 1/4 周期では北(南)半球で南(北)風成分を持つので減速し, 
	      次の 1/4 周期では北(南)風成分をもつので, 南北風は加速
	      する. 残りの 1/2 周期も同様のメカニズムで南北風は減速, 加
	      速をする.}. 一方, 緯度 $\pm\sqrt{3}$ より極側では, 北(南) 
	      半球で最初の 1/2 周期は南(北)風加速となり, 次の 1/2 周期は
	      北(南)風加速となる\footnote{南北風は, 始めの 1/4 周期では
	      北(南)半球で南(北)風成分を持つので加速し, 次の 1/4 周
	      期では北(南)風成分をもつので, 南北風は減速する. 残りの 
	      1/2 周期も同様のメカニズムで南北風は加速, 減速をする.}. 
	      圧力傾度力が 0 となる緯度 $\pm\sqrt{3}$ では, 圧力傾度力に
	      よる南北風の加速・減速が起こらないので, 速度ベクトルの大き
	      さは時間変化しない(図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-vector2}).
       \end{itemize}
\item ジオポテンシャルの時間変化は, 以下の様に決まる: 
       \begin{itemize}
	\item ジオポテンシャルの分布は, 南北風の収束発散で決まってお
	      り. 東西風と同位相で1/2 周期毎に符号が反転する
	      (\Deqref{k=0-n=1-real-p_xyt} 式).
       \end{itemize}
\end{itemize}
続いて $n=1, k=0$ の慣性重力波がこれらの特徴を示す理論的根拠について, 次
節で詳細をまとめることにする.

\subsection{$n=1, k=0$ の慣性重力波の構造を決める物理量}\Dseclab{n=1_k=0_uv-dist}

本節では, 前節でまとめた特徴が得られる理論的背景について, \Dchapref{eq-bunsan-sec}の結果に基づき $n=1, k=0$ の慣性重力波の構造を支配する諸量をまとめておく. 

\Deqref{solution_vnot=0_n=1_u}, \Deqref{solution_vnot=0_n=1_v}より,
$n=1, k=0$ の時, 東西・南北風速は次の様に表される: 
\begin{eqnarray}
 (~u(x,y,t), ~v(x,y,t)~)
           &=& \left(
	       Re\left[
		  \displaystyle\frac{i}{2}
                 \left(
		        \displaystyle
                        \frac{1}{\omega} H_{2}
                      + \displaystyle\frac{2}{\omega}
                        H_{0}
		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(-\omega t)}
		 \right],
	       ~Re\left[
		  H_{1}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(-\omega t)} 
		 \right]
	       \right) \nonumber \\
%           &=& Re\left[
%		  \displaystyle\frac{i}{2}
%                 \left(
%		        \displaystyle
%                        \frac{1}{\omega} H_{2}
%                      + \displaystyle\frac{2}{\omega}
%		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}}
%		 \left\{
%		  \cos(-\omega t) + i\sin(-\omega t)
%		 \right\}
%		 \right] \nonumber\\
%           &=& -\displaystyle\frac{1}{2\omega}
%                 \left( 
%		        H_{2} + 2 
%		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin(-\omega t) \nonumber\\
%           &=&  \displaystyle\frac{1}{2\omega}
%                 \left( 
%		        H_{2} + 2 
%		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin(\omega t) \nonumber\\
           &=&  \left(
		 \displaystyle\frac{2}{\omega}y^{2}
		         e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin \omega t ,
			 ~2y e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos \omega t
	        \right) . 
\Deqlab{k=0-n=1-real-u_xyt}
\end{eqnarray}
ただし, $H_{0} = 1, H_{1} = 2y, H_{2} = 4y^{2}-2$ を用いた.
\Deqref{k=0-n=1-real-u_xyt}より, 東西風の振幅は, 赤道で 0 となり赤道対称
な分布をすることが分かる. 南北風の振幅は, 赤道で 0 となり赤道非対称な分
布をする. したがって, 速度ベクトルは赤道対称な分布をする. また, 南北風は
東西風と比べて 1/4 周期だけ位相がずれている.
%また, 南北風速は次の様に表される: 
%\begin{eqnarray}
%  v(x,y,t) &=& Re\left[
%		  H_{1}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(-\omega t)} 
%		 \right] \nonumber\\
%           &=& Re\left[
%		  H_{1}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}
%	                        \left\{
%				 \cos(-\omega t) + i\sin(-\omega t)
%				\right\}
%		 \right] \nonumber\\
%           &=& H_{1}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos(-\omega t) \nonumber\\
%           &=& H_{1}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos( \omega t) \nonumber\\
%           &=& 2y e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos( \omega t). 
%\Deqlab{k=0-n=1-real-v_xyt}
%\end{eqnarray}
%ゆえに, 南北風の振幅は, 赤道で 0 となり赤道非対称な分布しながら振動する
%ことが分かる. 以上より, 速度ベクトルは次の様に表され, 南北風は東西風と比
%べて 1/4 周期だけ位相がずれていることがわかる. 
%\begin{equation}
% (~u(x,y,t),~v(x,y,t)~) = \left(
%                         ~\frac{2}{\omega}y^{2}
%			 e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin \omega t,
%			 ~2ye^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos \omega t
%		         ~\right).
%\Deqlab{n=1_k=0_vector_seibun}
%\end{equation} 
これより, 速度ベクトルは北半球で時計周り, 南半球では反時計周りの回転をす
ることが分かる. 

次に, 速度ベクトルの大きさを計算すると以下の様になる:
\begin{eqnarray}
 u(x,y,t)^{2} + v(x,y,t)^{2} 
%           &=& \frac{1}{4\omega^{2}}(H_{2}+2)^{2}e^{-y^{2}}\sin^{2}\omega t
%              + H_{1}^{2}e^{-y^{2}}\cos^{2}\omega t  \nonumber\\
%           &=& \frac{1}{4\omega^{2}}4y^{2}H_{1}^{2}e^{-y^{2}}\sin^{2}\omega t
%              + H_{1}^{2}e^{-y^{2}}\cos^{2}\omega t  \nonumber\\
%           &=& H_{1}^{2}
%	          \left(
%		   \frac{1}{4\omega^{2}}4y^{2}\sin^{2}\omega t
%		 + \cos^{2}\omega t
%		  \right)e^{-y^{2}}\nonumber\\
           &=& 4y^{2}
	          \left(
		   \frac{y^{2}}{\omega^{2}}\sin^{2}\omega t
		 + \cos^{2}\omega t
		  \right)e^{-y^{2}}.
\Deqlab{n=1_k=0_amp_vector}
\end{eqnarray}
\Deqref{n=1_k=0_amp_vector}より, 速度ベクトルの大きさは緯度を固定し
ても時間により変化することがわかる. 速度ベクトルの大きさが時間変化しない
のは, $y=\pm\sqrt{3}$ のみである. $y=\pm\sqrt{3}$ では, 後で見るように圧
力傾度力が 0 となり, コリオリ力だけが働いている. 

次に速度ベクトルの方向の緯度分布を調べる. 東西風と南北風の大きさの比は, 
\begin{eqnarray}
\frac{\displaystyle\frac{2}{\omega}y^{2}e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin \omega t}
     {2ye^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos \omega t}
     &=& \frac{y\tan\omega t}{\omega},  
\Deqlab{n=1_k=0_uv_direction}
\end{eqnarray}
となり, 南北風の大きさに対する東西風の大きさは高緯度ほど大きくなっていて, 
高緯度のベクトルほど赤道側を向くことが分かる. 

%次に, 上で求めた $u, v$ を用いてコリオリ力を計算する. コリオリ力の成分は
%次の様になる:
%\begin{equation}
% (~yv,~-yu~) = \left(
%			 ~2y^{2}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos \omega t,
%                         ~-\frac{2}{\omega}y^{3}
%			 e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin \omega t
%			 ~\right).
%\Deqlab{n=1_k=0_colioris_seibun}
%\end{equation} 
%ここで, コリオリ力の方向と赤道とのなす角を $\theta_{2}$ とすると
%$\tan\theta_{2}$ は次の様になる: 
%\begin{eqnarray}
%\tan\theta_{2} &=& \frac{-\displaystyle\frac{2}{\omega}y^{3}
%                               e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\sin \omega t}
%                        {2y^{2}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos \omega t}
%		    \nonumber \\
%               &=& -\frac{y\tan\omega t}{\omega}
%\Deqlab{n=1_k=0_colioris_direction}
%\end{eqnarray}
%この様に, $|\tan\theta_{2}|$ の大きさは, $y$ と共に増加する. よって, コ
%リオリ力の方向は, $\tan\omega t >0$ となる最初の 1/2 周期では高緯度に
%いくにつれて極方向を向き, 逆に $\tan\omega t <0$ となる次の 1/2 周期で
%は高緯度ほど赤道方向を向いていることが分かる. 

%また次に示す様に, 速度ベクトルを構成する成分 
%$(u,v)$ の形式から, 東西風$u$ は赤道対称な分布をし, 南北風 $v$ は赤道非
%対称な分布をしていることが分かる: $$ u(x,y,t) = \frac{2}{\omega}
%y^{2}e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin\omega t, \qquad v(x,y,t) = 2 y
%e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \cos\omega t , $$ より,
%$y^{2}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}\equiv f(y), ~ye^{-\frac{1}{2}y^{2}}\equiv
%g(y)$ とおくと,
%\begin{eqnarray*}
% f(y)                &=&      y^{2}       e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \\
% f^{\prime}(y)       &=& (2y- y^{3}      )e^{-\frac{1}{2}y^{2}} 
%                      = y(2 - y^{2}      )e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \\
% f^{\prime\prime}(y) &=& (2 -5y^{2}+y^{4})e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \\
%                     &=& \left( y+\alpha \right) 
%		         \left( y-\alpha \right) 
%		         \left( y+\beta  \right) 
%		         \left( y-\beta  \right). 
%\end{eqnarray*}
%ただし, $\alpha=\sqrt{\frac{5+\sqrt{7}}{2}},
%\beta=\sqrt{\frac{5-\sqrt{7}}{2}}$ である. よって,
%$0<t< \pi/\omega$ における東西風の振幅の緯度分布は以下の表の様に
%なる($\pi/\omega<t<2\pi/\omega$ の振幅の緯度分布は, 以下
%の表中の符号を全て逆符号にすれば良い). 
%\begin{center}
%\begin{table}[H]
%$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 
% y     &\cdots   & -\alpha &\cdots & -\sqrt{2} &\cdots & -\beta & \cdots & 0 &\cdots   & \beta & \cdots   & \sqrt{2}&\cdots & \alpha & \cdots \\ \hline
%f'(y)  & + & + & + & 0 & - & - & - & 0 & + & + & + & 0 & - & - & -    \\ \hline
%f''(y) & + & 0 & - & - & - & 0 & + & + & + & 0 & - & - & - & 0 & +    \\ \hline
%f(y)   &\nearrow& &\nearrow& + (極大) &\searrow&   &\searrow& 0 (極小) &\nearrow& &\nearrow & + (極大) &\searrow& & \searrow \\ \hline
%\end{array}$
%\end{table}
%\end{center}
%ゆえに, 東西風の振幅は緯度 $\pm\sqrt{2}$ 度で極値を取り, 赤道対称(赤道では
%0)な分布しながら振動することが分かる. 一方, 
%\begin{eqnarray*}
% g(y)                &=&     y             e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \\
% g^{\prime}(y)       &=& (1   -y^{2}      )e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \\
% g^{\prime\prime}(y) &=& ( -3y      +y^{3})e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \\
%                     &=&y( -3       +y^{2})e^{-\frac{1}{2}y^{2}},  
%\end{eqnarray*}
%より, よって, $0<t< \pi/\omega$ における南北風の振幅の緯度分布は以下の表
%の様になる($\pi/\omega<t<2\pi/\omega$ の振幅の緯度分布は, 以下の表中の符
%号を全て逆符号にすれば良い).
%\begin{center}
%\begin{table}[H]
%$\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 
% y     &\cdots   & -\sqrt{3} &\cdots & -1 & \cdots & 0 &\cdots & 1& \cdots &\sqrt{3}&\cdots \\ \hline
%g'(y)  & - & - & - & 0 & + & + & + & 0 & - & - & -    \\ \hline
%g''(y) & - & 0 & + & + & + & 0 & - & - & - & 0 & +    \\ \hline
%g(y)   &\searrow& &\searrow& - (極小) &\nearrow& 0  &\nearrow & + (極大) &\searrow& & \searrow \\ \hline
%\end{array}$
%\end{table}
%\end{center}
%ゆえに, 南北風の振幅は緯度 $\pm 1$ 度で極値を取り, 赤道非対称(赤道では
%0)な分布しながら振動することが分かる. 
%
%一方, 慣性振動をする速度ベクトルに働くコリオリ力の大きさも, 赤道 $\beta$ 
%平面では緯度により変化する. しかし, 速度ベクトルの成分は,
%\Deqref{k=0-n=1-real-u_xyt},\Deqref{k=0-n=1-real-v_xyt}より, 
%\begin{equation}
% (~u(x,y,t),~v(x,y,t)~) = \left(
%                         ~\frac{2}{\omega}y^{2}
%			 e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin \omega t,
%			 ~2ye^{-\frac{1}{2}y^{2}}\cos \omega t
%		         ~\right)
%\end{equation} 
%と表されるから, どの速度ベクトルも緯度に依らず回転周期 $\omega$ で同位相
%の回転運動をする. 

%\subsection{$n=1, k=0$ の慣性重力波の圧力分布}\Dseclab{n=1_k=0_phi-dist}

次に速度ベクトルに作用する圧力分布の緯度, 時間変化を考える.
\Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}より, $n=1, k=0$ の時, ジオポテンシャル
は次の様に表される: 
\begin{eqnarray}
\Phi(x,y,t)&=& Re\left[
		  \displaystyle\frac{i}{2}
                 \left(
		        \displaystyle
                        \frac{1}{\omega} H_{2}
                      - \displaystyle\frac{2}{\omega}
                        H_{0}
		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}}e^{i(-\omega t)} 
		 \right] \nonumber\\
%           &=& Re\left[
%		  \displaystyle\frac{i}{2}
%                 \left(
%		        \displaystyle
%                        \frac{1}{\omega} H_{2}
%                      - \displaystyle\frac{2}{\omega}
%		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}}
%		 \left\{
%		  \cos(-\omega t) + i\sin(-\omega t)
%		 \right\}
%		 \right] \nonumber\\
%           &=& -\displaystyle\frac{1}{2\omega}
%                 \left( 
%		        H_{2} - 2 
%		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin(-\omega t) \nonumber\\
%           &=&  \displaystyle\frac{1}{2\omega}
%                 \left( 
%		        H_{2} - 2 
%		 \right) e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin(\omega t)  \nonumber\\
           &=&  \displaystyle\frac{2}{\omega} (y^{2}-1)
	        e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin\omega t,
\Deqlab{k=0-n=1-real-p_xyt}
\end{eqnarray}
となる. したがって, ジオポテンシャルは赤道対称な分布をしながら 
$u(x,y,t)$ と同位相で振動することがわかる. 

次に, 圧力傾度力の成分を計算する. \Deqref{k=0-n=1-real-p_xyt} より, 圧力
傾度力の $x,y$ 成分は次の様に表される:
\begin{eqnarray}
 \left(
  ~-\frac{\partial\Phi}{\partial x}, ~-\frac{\partial\Phi}{\partial y}~ 
 \right) 
&=&
 \left(
  ~0, -\frac{\partial}{\partial y}
	        \left\{
                 \displaystyle\frac{2}{\omega}(y^{2}-1)e^{-\frac{1}{2}y^{2}}
	        \right\} \sin\omega t 
 \right) \nonumber\\
&=&
 \left(
  ~0, ~-\frac{2}{\omega}
	       y \left( 3 - y^{2} \right)
	       e^{-\frac{1}{2}y^{2}} \sin\omega t~ 
 \right) . 
\Deqlab{n=1_k=0_p-grad}
\end{eqnarray}
したがって, 圧力傾度力の $y$ 成分は赤道と緯度 $\pm\sqrt{3}$ で 0 となり,
$\pm\sqrt{3}$ 度を境界として圧力傾度力は符号を変える.

\subsection{$n=1, k=0$ の慣性重力波の構造}

本節では, 始めに $1/4$ 周期ごとに速度ベクトルの時間変化を示し, 続いて運
動方程式(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})のそれぞれの項の水平分布図を
示す. 水平分布図は以下の構成のもと作成した:

{\small
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\newpage

%\subsection{速度ベクトル, コリオリ力, 圧力傾度力, 加速度ベクトルの位相関係}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5-vector.ps}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5-vector.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\end{figure}
\begin{figure}[H]
 \vspace{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5-vector.ps}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0-vector.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=1, k=0.0$ の慣性振動の速度ベクトル(黒色のベクトル), ジオポテンシャル(等値線), 圧力傾度力(赤色のベクトル), コリオリ力(緑色のベクトル), 加速度ベクトル(\protect$du/dt,dv/dt$)(青色のベクトル)のスナップショット. それぞれ \protect$t=0.5$ (上左図), \protect$t=1.5$ (上右図),\protect$t=2.5$ (下左図), \protect$t=3.0$ (下右図)である. ただし, ベクトルは経度180度の位置のもののみ示した.  また, 速度ベクトルの終点がその他のベクトルの始点になるように描いている.}
 \label{n1_k0.0_ig-w-east-vector}
\end{figure}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
\hspace*{-1.5cm}  
  \Depsf[18.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.0_low-high-lat.ps}
 \end{center}
\caption{\protect $n=1, k=0.0$ の慣性振動の速度ベクトルとその成分
 (\protect\Deqref{k=0-n=1-real-u_xyt} 式. 太線は東西風, 細線は南北風.), 
 ならびに, 圧力傾度力の $y$ 成分(\protect\Deqref{n=1_k=0_p-grad}式. 点線) 
 の一周期分の時間変化. 横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ緯度 2.4 度
 (上段), 緯度 $\protect\sqrt{3}$ 度(中段), 緯度1 度(下段)の図である. 図
 中の二本の斜線は, \protect$u$ と \protect$v$ のグラフが交差する点
 (\protect$u=v$ となる点)を結んだものであり, 高緯度ほど \protect$u=v$ と
 なる時間(速度ベクトルが 45 度または 225度を向く時間) が早いことを示
 す. このグラフから, 速度ベクトルの傾きの緯度による違いは, \protect $u$ 
 と $v$ の振幅差によることがわかる.}  \label{n1_k0.0_ig-w-east-vector2}
\end{figure}

%\subsection{北半球の速度ベクトルが北向きから東向きに変化するとき}

%			この状態でのメカニズムを考察するため, 北半球の速
%			度ベクトルが北東向きの場合のスナップショットを図
%			\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} に示す. 
%
%\begin{description}
%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} より北半球
%			の速度ベクトルが北向きから東向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial u
%			/\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大
%			きさで決まっていることがわかる. つまり, 南北風に
%			依って生じたコリオリ力が東西風を生成している. そ
%			の振幅は, 南北両半球でともに同符号(＋, 東向き加
%			速)であり大きさは同じである. したがって, 東西風
%			の時間変化は南北両半球で同符号で変化する. この大
%			きさは時間と共に{\bf 減少}し, 東西風の速度が最大
%			となる時に{\bf 0} となる. \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} より北半球
%			の速度ベクトルが北向きから東向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波の南北風の時間変化( $\partial v
%			/\partial t$ )の大きさは, 低緯度では殆んど 0 で
%			あり, 高緯度で極値をとる分布をしている. つまり, 
%			高緯度側で盛り上がった高度場により南北風の加速度
%			が発生している. この極値は南北両半球で逆符号を取
%			る. この南北風の加速度は, 低緯度では圧力傾度力,
%			($-\partial\Phi / \partial y$), 高緯度ではコリオ
%			リ力($-yu$)の大きさで決まっている. このため, 低
%			緯度で重力波的, 高緯度で慣性振動的な振る舞いをし
%			ている. $\partial v/\partial t$ の大きさは時間と
%			共に{\bf 増加}し, 南北風の速度が 0 となる時に北
%			半球(南半球)で{\bf 最小(最大)}を取る. この極値の
%			大きさは $n=0$ の場合と比べて 2倍の値となってい
%			る.\\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} より北半球
%			の速度ベクトルが北向きから東向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化(
%			$\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の
%			収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決
%			まる. また, 南北両半球の高緯度に同符号の極値, 赤
%			道域に高緯度とは逆符号の極値がある. つまり, 赤道
%			域では南北風の発散域で高度場が下がり, 高緯度側の
%			収束域で高度場が上がる構造をしている(重力波的な
%			構造をしている). この大きさは時間と共に{\bf 減少} 
%			し, 南北風の速度が 0 (東西風が最大)となる時に
%			{\bf 0} となる.
%\end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.0, t=0.5$ の東進慣性重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

%\subsection{北半球の速度ベクトルが東向きから南向きに変化するとき}

%			この状態でのメカニズムを考察するため, 北半球の速
%			度ベクトルが南東向きの場合のスナップショットを図
%			\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5} に示す. 
%
%\begin{description}
%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5} より北半球
%			の速度ベクトルが東向きから南向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial u
%			/\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大
%			きさで決まっていることがわかる. つまり, 南北風に
%			依って生じたコリオリ力が東西風を生成している. 振
%			幅は, 南北両半球でともに同符号(−)であり大きさは
%			同じである. したがって, 東西風の時間変化は南北両
%			半球で同符号で変化する. この大きさは時間と共に
%			{\bf 増加}し, 東西風の速度が 0 となる時に{\bf 最
%			小値}を取る. \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5} より北半球
%			の速度ベクトルが東向きから南向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波の南北風の時間変化( $\partial v
%			/\partial t$ )の大きさは, 低緯度では殆んど 0 で
%			あり, 高緯度で極値をとる分布をしている. つまり, 
%			高緯度側で盛り上がった高度場により南北風の加速度
%			が発生している. この極値は南北両半球で逆符号を取
%			る. この南北風の加速度は, 低緯度では圧力傾度力,
%			($-\partial\Phi / \partial y$), 高緯度ではコリオ
%			リ力($-yu$)の大きさで決まっている. このため, 低
%			緯度で重力波的, 高緯度で慣性振動的な振る舞いをし
%			ている. $\partial v/\partial t$ の大きさは時間と
%			共に{\bf 減少}し, 南北風の速度が北半球(南半球)で
%			最小(最大)となる時に両半球で{\bf 0} となる. \\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5} より北半球
%			の速度ベクトルが東向きから南向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化(
%			$\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の
%			収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決
%			まる. また, 南北両半球の高緯度に同符号の極値, 赤
%			道域に高緯度とは逆符号の極値がある. つまり, 赤道
%			域では南北風の収束域で高度場が上がり, 高緯度側の
%			発散域で高度場が下がる構造をしている(重力波的な
%			構造をしている). この大きさは時間と共に{\bf 増加} 
%			し, 南北風の速度が北半球(南半球)で最小(最大)とな
%			る時に{\bf 赤道域で最大値}, {\bf 高緯度で最小値} 
%			をとる.
%			\end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.0, t=1.5$ の東進慣性重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

%\subsection{北半球の速度ベクトルが南向きから西向きに変化するとき}

%	    \begin{description}
%	     \item[\underline{北半球の速度ベクトルが南向きから西向きのとき}] ~\\
%
%			この状態でのメカニズムを考察するため, 北半球の速
%			度ベクトルが南西向きの場合のスナップショットを図
%			\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} に示す. 
%
%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} より北半球
%			の速度ベクトルが南向きから西向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial u
%			/\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大
%			きさで決まっていることがわかる. つまり, 南北風に
%			依って生じたコリオリ力が東西風を生成している. 振
%			幅は, 南北両半球でともに同符号(−)であり大きさは
%			同じである. したがって, 東西風の時間変化は南北両
%			半球で同符号で変化する. この大きさは時間と共に
%			{\bf 減少}し, 東西風の速度が最小となる時に{\bf
%			0} となる. \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} より北半球
%			の速度ベクトルが南向きから西向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波の南北風の時間変化( $\partial v
%			/\partial t$ )の大きさは, 低緯度では殆んど 0 で
%			あり, 高緯度で極値をとる分布をしている. つまり, 
%			高緯度側で盛り上がった高度場により南北風の加速度
%			が発生している. この極値は南北両半球で逆符号を取
%			る. この南北風の加速度は, 低緯度では圧力傾度力,
%			($-\partial\Phi / \partial y$), 高緯度ではコリオ
%			リ力($-yu$)の大きさで決まっている. このため, 低
%			緯度で重力波的, 高緯度で慣性振動的な振る舞いをし
%			ている. $\partial v/\partial t$ の大きさは時間と
%			共に{\bf 増加}し, 南北風の速度が 0 となる時に北
%			半球(南半球)で{\bf 最大値(最小値)}を取る. \\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} より北半球
%			の速度ベクトルが南向きから西向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化(
%			$\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の
%			収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決
%			まる. また, 南北両半球の高緯度に同符号の極値, 赤
%			道域に高緯度とは逆符号の極値がある. つまり, 赤道
%			域では南北風の収束域で高度場が上がり, 高緯度側の
%			発散域で高度場が下がる構造をしている(重力波的な
%			構造をしている). この大きさは時間と共に{\bf 減少} 
%			し, 南北風の速度が 0 となる時に{\bf 0} となる.
%	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.0, t=2.5$ の東進慣性重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

%\subsection{北半球の速度ベクトルが西向きから北向きに変化するとき}

%	    \begin{description}
%	     \item[\underline{北半球の速度ベクトルが西向きから北向きのとき}] ~\\
%
%			この状態でのメカニズムを考察するため, 北半球の速
%			度ベクトルが北西向きの場合のスナップショットを図
%			\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} に示す. 
%
%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} より北半球
%			の速度ベクトルが西向きから北向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial u
%			/\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大
%			きさで決まっていることがわかる. つまり, 南北風に
%			依って生じたコリオリ力が東西風を生成している. 振
%			幅は, 南北両半球でともに同符号(＋)であり大きさは
%			同じである. したがって, 東西風の時間変化は南北両
%			半球で同符号で変化する. この大きさは時間と共に
%			{\bf 増加}し, 東西風の速度が 0 となる時に{\bf 最
%			大値} を取る. \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} より北半球
%			の速度ベクトルが西向きから北向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波の南北風の時間変化( $\partial v
%			/\partial t$ )の大きさは, 低緯度では殆んど 0 で
%			あり, 高緯度で極値をとる分布をしている. つまり, 
%			高緯度側で盛り上がった高度場により南北風の加速度
%			が発生している. この極値は南北両半球で逆符号を取
%			る. この南北風の加速度は, 低緯度では圧力傾度力,
%			($-\partial\Phi / \partial y$), 高緯度ではコリオ
%			リ力($-yu$)の大きさで決まっている. このため, 低
%			緯度で重力波的, 高緯度で慣性振動的な振る舞いをし
%			ている. $\partial v/\partial t$ の大きさは時間と
%			共に{\bf 減少}し, 南北風の速度が北半球(南半球)で
%			最大(最小)値を取る時に{\bf 0}となる. \\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} より北半球
%			の速度ベクトルが西向きから北向きにある $k=0$ の
%			場合の慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化(
%			$\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の
%			収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決
%			まる. また, 南北両半球の高緯度に同符号の極値, 赤
%			道域に高緯度とは逆符号の極値がある. つまり, 赤道
%			域では南北風の発散域で高度場が下がり, 高緯度側の
%			収束域で高度場が上がる構造をしている(重力波的な
%			構造をしている). この大きさは時間と共に{\bf 増加} 
%			し, 南北風の速度が北半球(南半球)で最大(最小)値を
%			取る時に{\bf 赤道域で最小値}, {\bf 高緯度で最大
%			値}を取る.
%	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.0, t=3.0$ の東進慣性重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\section{\protect $n=1, k\not=0$ の東進慣性重力波}\Dseclab{n=1_knot=0_ig-e-w}

本節では $n=1, k\not=0$ の場合の東進慣性重力波の特徴をまとめる.

$k\not=0$ の場合の運動方程式の各成分の構造を概観すると, 以下で示す様に
$k$ の値によって卓越する成分が大きく変化する. このうち, 南北風に伴うコリ
オリ力に対する東西方向の圧力傾度力の大きさは, 東西波数が増大するにつれて
大きくなり, $k=1.2$ で同程度になる. そこで以下では, $0 < k \le 1.2$ の場
合を低波数のレジーム, $k > 1.2$ の場合を高波数のレジームとして私意的に分
類し, 議論することにする.

%・低緯度(重力波的), 高緯度(慣性振動的)な話. u の式で見たときの低緯度高緯
%  度の境界と v の式で見たときのその境界は一致しない -> 厳密には低緯度高緯
%  度の区別を付けられない
%
%・コリオリ力と圧力傾度力の振幅が等しくなるところの緯度を調べる(u,vの式)
%
%・基本的に高緯度は慣性振動的. 圧力傾度力がもたらす速度ベクトルの大きさの
%  変化による収束発散で伝搬. 
%  
%・基本的に低緯度は重力波的. コリオリ力がもたらす速度ベクトルの回転により,
%  単純に収束発散だけで伝播しているのではなく, 速度ベクトルの回転がもたら
%  す位相伝搬も寄与(重力波的な構造とくらべてゆがんでいる)
%
%・u, v, phi の分布で 0 となる経度をいちいち書く必要は無い. あたりまえ. 

\subsection{\protect $0 < k \le 1.2$ (低波数)の東進慣性重力波の特徴}

低波数($k=0.6$)の場合のモードの構造を図 \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} に
示す. このモードの振動数は, \Deqref{eq-inertio-gw-bunsan}より 
$\sqrt{3.36}$ となる. これは, 先に議論した $n=1, k=0$ のモードの振動数
$\sqrt{3}$ と比べて大きな値である. 

以下では, $k=0$ のモードとの相違について, 図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term}
の低波数のケースから得られる特徴をまとめる.
	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}
			
			\begin{itemize}
			 \item はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. 速度ベクトルは, $k=0$ 
			       の場合と同様に赤道対称な分布をする
			       \footnote{ $n=1, k\not=0$ の場合,
			       \Deqref{solution_vnot=0_n=1_u} 〜
			       \Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}より,
			       \begin{eqnarray}
				u(x,y,t)    &=& -2\frac{(\omega+k)y^2 - k}{\omega^2 - k^2}e^{-(1/2)y^2}\sin(kx-\omega t), \\
				v(x,y,t)    &=& 2y e^{-(1/2)y^2}\cos(kx-\omega t), \\
				\phi(x,y,t) &=& -2\frac{(\omega+k)y^2 - \omega}{\omega^2 - k^2}e^{-(1/2)y^2}\sin(kx-\omega t). \Deqlab{n=1_knot=0_phi}
			       \end{eqnarray}
			       となる.  }. しかし, $k=0$ の場合と異なり
			       速度ベクトルが 0 となる緯度は存在しな
			       い. 東西風速, 南北風速が 0 となる緯度はそ
			       れぞれ, $\pm\sqrt{k/(\omega+k)}$ と 0 で
			       ある.
			       
			       次に速度ベクトルの時間変化の様子について 
			       $\partial u/\partial t, \partial
			       v/\partial t$ の分布を見ると, それぞれ東
			       西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長進んで
			       いることが分かる. このことから確かに速度
			       ベクトルの位相は全体として東進しているこ
			       とが分かる.

			 \item 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. ジオポテンシャルも,
			       $k=0$ の場合と同様, 赤道対称な分布をす
			       る. ジオポテンシャルが 0 となる緯度は,
			       $\pm\sqrt{\omega/(\omega+k)}$ である
			       (\Deqref{n=1_knot=0_phi}).

			       次にジオポテンシャルの時間変化の様子につ
			       いて $\partial\Phi/\partial t$ の分布を見
			       ると, ジオポテンシャルの分布と比べて 1/4 
			       波長進んでいることが分かる. このことから
			       ジオポテンシャルの位相も全体として東進し
			       ていることが分かる.
			\end{itemize}

	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展
			       の緯度による違いについて

			       速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズムは, 高緯度域と赤道域に分けて
			       考えることにする. その理由は, 速度ベクト
			       ルの時間変化が, 高緯度域ではコリオリ力, 
			       赤道域では圧力傾度力で決まっているからで
			       ある(図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term}, 図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-vector}). このため, 
			       高緯度域では慣性振動的, 赤道域では重力波
			       的な振る舞い(\Dchapref{pure-gravity-wave} 
			       参照)をしていると考えられる(この詳細は後
			       で述べる). ところが, 高緯度域と赤道域の境
			       界は明確に定義することは出来ない. なぜな
			       ら, コリオリ力と圧力傾度力の振幅が等しくな
			       る緯度は, $\partial u/\partial t$,
			       $\partial v/\partial t$ で異なるからであ
			       る(\Dchapref{n=1_knot=0_ig-w-phys-component} 
			       参照). さらに, $\Phi$ の時間変化に於いて
			       は, 全ての緯度で $\partial v/\partial y$ 
			       が卓越しており, 高緯度域と赤道域の区別を
			       することは出来ない(図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term}). しかし, 境
			       界付近を除けば, 速度ベクトルの位相伝搬は
			       高緯度ではコリオリ力, 赤道域では圧力傾度
			       力の分布で決まっているといえる. 以上の理
			       由により, 以下では ``高緯度域, 赤道域'' 
			       という枠組を用いて位相伝搬のメカニズムを
			       議論することにする.

			 \item 高緯度域の速度ベクトル, ジオポテンシャル
			       の位相伝搬のメカニズム

			       まずはじめに, 高緯度域の速度ベクトル, ジ
			       ポテンシャルの位相伝搬のメカニズムについ
			       て考察する. これまで述べてきた様に, 高緯
			       度域ではコリオリ力が圧力傾度力よりも卓越
			       している. よって見た目には, 高緯度域では
			       慣性振動的な振る舞いをしている. しかし, 
			       位相伝搬に寄与しているのは, 慣性振動から
			       のずれの部分である. 以下では, 図 
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} の高緯度域の
			       具体的な特徴を見ていくことにする.

			       大雑把に見ると高緯度側の時間変化の様子は,
			       $k=0$ の慣性振動の場合
			       (\Dsecref{n=1_k=0_igw-explain})と同じであ
			       る. 速度ベクトルについては, コリオリ力の
			       働く方向へ一周期で一周するが\footnote{図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} の速度ベクト
			       ルとジオポテンシャルの平面分布図の高緯度
			       側に於ける速度ベクトルの分布,
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-1}〜図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-4} 参照}, 
			       南北圧力傾度力によりコリオリ力だけの回転
			       よりもずれる\footnote{図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} の南北風に働
			       く高緯度側のコリオリ力と圧力傾度力の分布
			       に注目すると, コリオリ力と圧力傾度力は逆
			       符号を取っている. このため, コリオリ力に
			       よる南北風の加速(減速) は圧力傾度力によっ
			       て減速(加速)されている.  この南北風と南北
			       の圧力傾度力の位相関係は, $k=0$ の場合に
			       見られた特徴と変わらない.}.  また, ジオポ
			       テンシャルについては, 南北風の収束発散成
			       分で決まっている\footnote{図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} の 
			       $\partial\Phi/\partial t$ の図と
			       $-\partial u/\partial x, -\partial
			       v/\partial y$ の分布図 参照.}. しかしなが
			       ら, これまで述べてきた様な $k=0$ の慣性振
			       動と同じ状況では, 位相伝搬は起こらない.

			       慣性振動からのずれの部分は, 当然のことな
			       がら東西の圧力傾度力である. 東西の圧力傾
			       度力により, 東西風の大きさが東西方向に変
			       化し, 東西風の東西方向の収束発散成分が生
			       まれるため, 東西方向に位相伝搬できるので
			       ある.
%			       速度ベクトルとジオポテンシャルが東西に位
%			       相伝搬すること, 東西の圧力傾度力が存在す
%			       ること, 東西方向にも東西風の収束発散があ
%			       ること, である. この様に, 慣性振動的でな
%			       い部分, すなわち慣性振動からのずれは, 東
%			       西の圧力傾度力が寄与する部分に存在してい
%			       ると考えられる. そこで, 高緯度域での東西
%			       の圧力傾度力の働きに注目してみることにす
%			       る.
			       図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} に於いて, 
			       東西風に働く高緯度側のコリオリ力と圧力傾
			       度力の分布に注目すると, コリオリ力と圧力
			       傾度力は同符号を取り, 圧力傾度力が正の領
			       域では西風加速, 負の領域では東風加速となっ
			       ている. この特徴は, 一周期を通して見ても
			       変わらない(図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-1}〜図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-4} の赤と
			       緑の実線). このため, 東西風はコリオリ力で
			       加速(減速)を受ける分よりもいっそう加速(減
			       速)を受けていることが分かる. この結果, 東
			       風増加(経度方向に東風が増加する)領域でか
			       つ西風加速を受ける領域(経度0〜150度の高緯
			       度部分)では, 収束場となる(図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} の $\partial
			       u/\partial x$ 図)ので, ジオポテンシャルは
			       正の値を取るようになる.  同様に, 東風減少
			       (経度方向に東風が減少する) 領域でかつ東風
			       加速を受ける領域(経度150〜300 度)では, 発
			       散場となる(図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} 
			       の $\partial u/\partial x$ 図)ので, ジオ
			       ポテンシャルは負の値を取るようになる. 同
			       様に, 西風増加(経度方向に西風が増加する) 
			       領域でかつ東風加速を受ける領域(経度300〜
			       450 度)では, 発散場となる(図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} の $\partial
			       u/\partial x$ 図)ので, ジオポテンシャルは
			       負の値を取るようになる. 西風減少(経度方向
			       に西風が減少する)領域でかつ西風加速を受け
			       る領域(経度450〜600度)では, 収束場となる
			       (図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} の 
			       $\partial u/\partial x$ 図)ので, ジオポテ
			       ンシャルは正の値を取るようになる. このよ
			       うにして出来たジオポテンシャル場は, 東西
			       のコントラストにより東西に圧力傾度力をも
			       たらすので, 速度ベクトルに影響し, 高高度
			       場の前方(後方)で西風(東風) 成分, 低高度場
			       の前方(後方)で東風(西風)成分が生成される. 
			       こうして, 速度ベクトルとジオポテンシャル
			       は連動しながら東に位相伝搬しているのであ
			       る.
%			       この結果, 緯度を固定し(コリオリ力の大き
%			       さを同じにして), 南北の圧力傾度力の大きさ
%			       を同じにしても, 各々の経度帯で速度ベクト
%			       ルの方向に違いが生じるので, 速度ベクトル
%			       が東に位相伝搬することが出来るようになる
%			       のである. また, ジオポテンシャルの位相伝
%			       搬に於いても, 東西風の収束発散成分が寄与
%			       していると考えられる. なぜなら, 南北風の
%			       収束発散成分だけでは, $k=0$ の慣性振動の
%			       場合で見られた様に東西に位相伝搬すること
%			       は無いからである.  
			       南北風の収束発散成分(図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term})は, 東西風の
			       収束発散成分の効果を強める働きをしている.

%			       以上まとめると, 速度ベクトルとジオポテン
%			       シャルは, 圧力傾度力から重力波的な効果も
%			       受けていることが分かる. 圧力傾度力が速度
%			       ベクトルの大きさを変化させる効果のうち,
%			       $k=0$ のところで述べた慣性振動に寄与する
%			       部分と, ここで述べてきた重力波的位相伝搬
%			       に寄与する部分の切り分けは困難である. し
%			       かし, この重力波的位相伝搬に寄与する部分
%			       こそ, 慣性振動からのずれであるといえ
%			       る. このずれにより, 速度ベクトルとジオポ
%			       テンシャルの位相伝搬は, 純粋な慣性振動と
%			       比べてゆがんでいるのである.

			 \item 赤道域の速度ベクトル, ジオポテンシャル
			       の位相伝搬のメカニズム

			       次に, 赤道域の速度ベクトルとジオポテンシャ
			       ルの位相伝搬のメカニズムについて考察す
			       る. 上で述べてきた様に, 赤道域では圧力傾
			       度力がコリオリ力よりも卓越している. よっ
			       て見た目には, 赤道域では重力波的な振る舞
			       いをしながら, 速度ベクトルの収束発散によ
			       り東西に位相伝搬している
			       (\Dchapref{pure-gravity-wave-2D}参照). ま
			       た, 重力波からのずれの部分も存在し, 速度
			       ベクトルの回転に寄与している.  以下では, 
			       図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} の赤道域の
			       具体的な特徴を見ていくことにする.

			       大雑把に見ると赤道域の時間変化の様子は, 
			       以下で述べる様に 
			       \Dchapref{pure-gravity-wave-2D}の図
			       \ref{n1_k0.8_non-rotation-gw-east-term}
			       (東進重力波の $Y=0$ 付近) と同じである. 
			       速度ベクトルの位相伝搬については, 東西風
			       の位相伝搬には東西圧力傾度力が寄与し, 南
			       北風の位相伝搬には南北の圧力傾度力が寄与
			       している. また, ジオポテンシャルの位相伝
			       搬については, 南北風の収束発散成分が卓越
			       して寄与している. よって, 速度ベクトルの
			       東西と南北の収束発散によって, 速度ベクト
			       ルとジオポテンシャルは東西に位相伝搬する
			       構造をしている. これは, $k=0$ の場合に見
			       られなかった特徴である. しかしながら, こ
			       れまで述べてきたような重力波的な状況では, 
			       速度ベクトルの回転方向が一致しない
			       \footnote{\Dchapref{pure-gravity-wave-2D} 
			       の図\ref{non-rotation-gw-pic-n=1_k=1.0}の
			       非回転東進浅水重力波の速度ベクトルは, 時
			       間経過に伴い $-3< Y <-1.5$ では反時計周り,
			       $-1.5 < Y < 0$ では時計周り, $0 < Y <
			       1.5$ では反時計周り, $1.5 < Y < 3.0$ では
			       時計周りをする. }.  速度ベクトルの回転は, 
			       次に述べる重力波からのずれによって生じる.

			       重力波からのずれの部分は, 当然のことなが
			       ら速度ベクトルに働くコリオリ力である. 赤
			       道上を除いて速度ベクトルに働くコリオリ力
			       は, 速度ベクトルをコリオリ力の働く方向に
			       回転させる働きをする. そこで, 赤道域での
			       コリオリ力の働きに注目してみることにす
			       る. 図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} の赤道
			       域に注目すると, 東西風, 南北風に寄与する
			       コリオリ力は, それぞれ圧力傾度力と同符号, 
			       異符号であるので, 東西風, 南北風はそれぞ
			       れコリオリ力により加速, 減速される. この
			       特徴は, 一周期を通して見ても変わらない(図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-1}〜図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-4}の赤・緑
			       の実線と点線). また, ジオポテンシャルに寄
			       与する東西風の収束発散成分は, 南北風の収
			       束発散と同符号で変動している(図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term}). このため, 
			       東西風の収束発散成分は, 南北風の収束発散
			       によるジオポテンシャルの位相伝搬を補う働
			       きをしている. 
%			       これは $k=0$ の場合には見られなかった特徴
%			       である. 以上の特徴から, 速度ベクトルとジ
%			       オポテンシャルは, コリオリ力から慣性振動
%			       的な効果も受けていることが分かる. 高緯度
%			       域のところで述べた様に, 圧力傾度力の働き
%			       には, 重力波的位相伝搬に寄与する部分に加
%			       えて慣性振動的位相伝搬に寄与する部分も含
%			       まれており, その切り分けは困難ではあ
%			       る. しかし, ここで述べたコリオリ力の慣性
%			       振動的位相伝搬に寄与する部分こそ, 重力波
%			       からのずれであるといえる. このずれにより, 
%			       速度ベクトルとジオポテンシャルの位相伝搬
%			       は, 純粋な重力波的伝搬と比べてゆがんでい
%			       るのである.
			\end{itemize}

%{\tiny
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c|c||c|c|c|c|}\hline
%領域 & 緯度 & 周期 & $0\sim 1/4$ & $1/4\sim 2/4$ & $2/4\sim 3/4$ & $3/4\sim 4/4$  \\ [1ex]\hline\hline
%   & 緯度 2.0   度 &u の向き  &  →  &  →  &  ←  &  ←  \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               &$yv$ & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & $-\partial\Phi/\partial x$  & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & v の向き &  ↑  &  ↓  &  ↓  &  ↑  \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               &$-yu$& 減速 & 加速 & 減速 & 加速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%高 &               & $-\partial\Phi/\partial y$  & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ 
%緯 &               &     &(加速)&(減速)&(加速)&(減速)\\ [1ex] \cline{2-7}
%度 & 緯度 1.69  度 & u の向き &  →  &  →  &  ←  &  ←  \\ [1ex] \cline{3-7}
%側 &               &$yv$ & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & $-\partial\Phi/\partial x$  & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & v の向き &  ↑  &  ↓  &  ↓  &  ↑  \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               &$-yu$& 減速 & 加速 & 減速 & 加速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & $-\partial\Phi/\partial y$  & & & & \\
%   &               &     &(減速)&(加速)&(減速)&(加速)\\ [1ex] \cline{2-7}
%   & 緯度 1.5   度 & u の向き &  →  &  →  &  ←  &  ←  \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               &$yv$ & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & $-\partial\Phi/\partial x$  & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & v の向き &  ↑  &  ↓  &  ↓  &  ↑  \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               &$-yu$& 減速 & 加速 & 減速 & 加速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & $-\partial\Phi/\partial y$  & 減速 & 加速 & 減速 & 加速 \\
%   &               &     &(減速)&(加速)&(減速)&(加速)\\ [1ex] \cline{2-7}
%   & 緯度 0.93  度 & u の向き &  →  &  →  &  ←  &  ←  \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               &$yv$ & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & $-\partial\Phi/\partial x$  &  0   &  0   &  0   &  0    \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & v の向き &  ↑  &  ↓  &  ↓  &  ↑  \\ [1ex] \cline{3-7}
%低 &               & $-\partial\Phi/\partial y$  & 減速 & 加速 & 減速 & 加速 \\
%緯 &               &   &(減速)&(加速)&(減速)&(加速)\\ [1ex] \cline{2-7}
%度 & 緯度 0.5   度 & u の向き &   0  &   0  &   0  &   0  \\ [1ex] \cline{3-7}
%側 &               & v の向き &  ↑  &  ↓  &  ↓  &  ↑  \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               &$-yu$&   0  &   0  &   0  &   0  \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & $-\partial\Phi/\partial y$  & 減速 & 加速 & 減速 & 加速 \\
%   &               &   &(減速)&(加速)&(減速)&(加速)\\ [1ex] \hline
%   & 緯度 0.0   度 & u の向き &  ←  &  ←  &  →  &  →  \\ [1ex] \cline{3-7}
%赤道 &               & $-\partial\Phi/\partial x$  & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%   &               & v の向き &   0  &   0  &   0  &   0  \\ [1ex] \hline
%%低 & 緯度 -0.5  度 & u の向き &   0  &   0  &   0  &   0  \\ [1ex] \cline{3-7}
%%緯 &               & v の向き & 減速 & 加速 & 減速 & 加速 \\ [1ex] \cline{2-7}
%%度 & 緯度 -0.93 度 & u の向き & & & &  \\ [1ex] \cline{3-7}
%%側 &               & v の向き & 減速 & 加速 & 減速 & 加速 \\ [1ex] \cline{2-7}
%%   & 緯度 -1.5  度 & u の向き & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%%   &               & v の向き & 減速 & 加速 & 減速 & 加速 \\ [1ex] \cline{2-7}
%%高 & 緯度 -1.69 度 & u の向き & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \cline{2-7}
%%緯 &               & v の向き & & & &  \\ [1ex] \cline{2-7}
%%度 & 緯度 -2.0  度 & u の向き & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \cline{3-7}
%%側 &               & v の向き & 加速 & 減速 & 加速 & 減速 \\ [1ex] \hline
%\end{tabular}
%\vspace{5mm}
%\caption{図\protect\ref{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-1}〜図
% \protect\ref{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-4}より明らかになった各周期に於け
% る東西風・南北風の向きと, 東西・南北のコリオリ力と圧力傾度力による東西風, 
% 南北風の加速・減速のまとめ. (~~)内は, 図
% \protect\ref{n1_k0.0_ig-w-east-vector2} より明らかになった $k=0$ の場合
% の慣性重力波(慣性振動)の結果. 南半球側の結果は, 北半球側のそれぞれの緯
% 度における結果と同じである(表では省略した).}
%\label{n1_k0.6_ig-w-east-uvfp-isou}
%\end{table}
%}

%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			東西風の分布は, 図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} 
%			で見られる様に $k=0$ の場合と同様赤道対称な分布
%			をするが, 赤道域と高緯度域で逆符号を取る.  赤道
%			域と高緯度域の境界は, 東西風速が 0 となる緯度で
%			決まる. この分布に伴って, 東西風の時間変化項
%			($\partial u /\partial t$)の分布も, 赤道域と高緯
%			度域で逆符号を取る. 高緯度域の東西風の時間変化を
%			決めているのは, コリオリ力($yv$)である. このため, 
%			高緯度域の東西風速は $k=0$ の場合と同様に慣性振
%			動的な振る舞い\footnote{慣性振動``的''と断ってい
%			るのは, 圧力傾度力の効果も僅かながら存在するため
%			である. $k=0$ の場合で考察したように, 圧力傾度力
%			は速度ベクトルの大きさを変化させる働きをするから, 
%			いわゆる $f$ 平面の慣性振動とは異なり, 速度ベク
%			トルは大きさも変化させながら回転している.}をする. 
%			一方, 赤道域の東西風の時間変化を決めているのは, 
%			圧力傾度力($-\partial\Phi / \partial x$)であ
%			る. このため, 赤道域はいわゆる重力波的な構造
%			\footnote{重力波``的''と断っているのは, 赤道を除
%			く緯度ではコリオリ力の効果も存在しているためであ
%			る. このため, 速度ベクトルは時間とともに回転もし
%			ている.}になる. しかし, 東西風と $\partial u
%			/\partial t$ の東西方向の構造を赤道域と高緯度域
%			に分けて眺めると, 全体として東進していることが分
%			かる. \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			南北風の分布は, 図\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} 
%			で見られる様に $k=0$ の場合と同様赤道反対称な分
%			布をする. この分布に伴って, 南北風の時間変化項
%			($\partial v/\partial t$)の分布も, 赤道反対称な
%			分布をする. 時間変化項の分布には東西風の場合の様
%			に赤道域と高緯度域の区別は無いが, 時間変化項の分
%			布を支配するコリオリ力と圧力傾度力の分布からやは
%			り赤道域と高緯度域で異なるメカニズムをしている. 
%			赤道域と高緯度域の境界は, コリオリ力が 0 となる
%			緯度(東西風速が 0 となる緯度)である. 高緯度域の
%			南北風の時間変化を決めているのは, 東西風の場合と
%			同様コリオリ力($-yu$)である. このため, 高緯度域
%			の南北風速も $k=0$ の場合と同様に慣性振動的な振
%			る舞いをしている. 一方, 赤道域の南北風の時間変化
%			を決めているのは, 圧力傾度力($-\partial\Phi /
%			\partial y$)である. このため, 東西風の場合と同様, 
%			赤道域はいわゆる重力波的な構造をしている. しかし, 
%			南北風と $\partial v /\partial t$ の東西方向の構
%			造を眺めると, 全体として東進していることが分かる.
%			\\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			ジオポテンシャルの分布は, 図
%			\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term}で見られる様に $k=0$ 
%			の場合と同様赤道対称な分布をするが, 東西風の分布
%			と同様, 赤道域と高緯度域で逆符号を取る. 赤道域と
%			高緯度域の境界は, 東西風で定義した緯度よりも僅か
%			に高緯度側にあり, ジオポテンシャルが 0 となる緯
%			度で決める. この分布に伴って, ジオポテンシャルの
%			時間変化項($\partial\Phi /\partial t$)の分布も, 
%			赤道域と高緯度域で逆符号を取る. 高緯度域では東西
%			風の収束発散成分($-\partial u/\partial x$)の効果
%			も見られるが, ジオポテンシャルの時間変化を主とし
%			て決めているのは, 全領域で南北風の収束発散
%			($-\partial v/\partial y$)である. このことから,
%			$k=0$ の場合と同様に高緯度側ほど慣性振動的な振る
%			舞いをしていることが分かる. このうち赤道域は, ジ
%			オポテンシャルの振幅が最も大きく, 赤道域で速度場
%			の収束発散が最も卓越し重力波的な構造をしているこ
%			とを裏付けている. この点で, 速度場の伝搬メカニズ
%			ムから得られた赤道域の特徴と矛盾が無い. よって, 
%			ジオポテンシャルと $\partial\Phi /\partial t$ の
%			東西方向の構造を赤道域と高緯度域に分けて眺めると, 
%			やはり全体として東進していることが分かる.\\
%
%	     \item[● 速度ベクトルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			東西風と南北風の時間変化の様子から, 速度ベクトル
%			は全体として東進していることが分かった. 速度ベク
%			トルが東進するメカニズムは, 東西・南北風速の時間
%			変化を説明したときの様に, 赤道域と高緯度域で分け
%			て考えなければならない. 赤道域では重力波的な振る
%			舞いをしているから, 速度ベクトルは自身の収束発散
%			によって東進している. 速度の収束発散によってもた
%			らされるジオポテンシャルの増減(あるいは, 高度場
%			の変化)が新たなジオポテンシャルの構造を決め, そ
%			の分布から次の瞬間の速度ベクトルの分布が決定され
%			る. 一方, 高緯度域では慣性振動的な振る舞いをする
%			から, 速度ベクトルは自身の回転によって東に位相伝
%			播している. これは, 方向が東西非一様な速度ベクト
%			ルが, それぞれの場所で慣性振動(回転)することによっ
%			て生じる見かけ上の伝播である(速度ベクトル自身が
%			伝播するわけではない).

	    \end{description}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term/n1_k0.6_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.6$ (低波数)の東進慣性重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=1.83, c=3.06$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.} \label{n1_k0.6_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\newpage

%\subsection{速度ベクトル, コリオリ力, 圧力傾度力, 加速度ベクトルの位相関係}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.6_ig-w-east-term-t=0.8-vector.ps}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.6_ig-w-east-term-t=1.5-vector.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\end{figure}
\begin{figure}[H]
 \vspace{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.6_ig-w-east-term-t=2.2-vector.ps}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.6_ig-w-east-term-t=3.0-vector.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm}
\caption{\protect$n=1, k=0.6$ の東進慣性重力波の速度ベクトル(黒色のベク
 トル), ジオポテンシャル(等値線), 圧力傾度力(赤色のベクトル), コリオリ力
 (緑色のベクトル), 加速度ベクトル(\protect$du/dt,dv/dt$)(青色のベクトル)
 のスナップショット. それぞれ \protect$t=0.8$ (上左図), \protect$t=1.5$ (上右図),\protect$t=2.2$ (下左図), \protect$t=3.0$ (下右図)である. 速度ベクトルの終点がその他のベクトルの始点になるように描いている.}
 \label{n1_k0.6_ig-w-east-vector}
\end{figure}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
\hspace*{-1.5cm}  
  \Depsf[18.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.6_low-high-lat-1.ps}
 \end{center}
\caption{\protect $n=1, k=0.6$ の慣性重力波の経度 0 度に於ける速度ベクト
 ルとその成分(\protect\Deqref{knot=0-n=1-real-u_xyt} 式. 黒太線は東西風, 
 黒点線は南北風), ならびに, 圧力傾度力の $x$ 成分(赤実線), $y$ 成分(赤点
 線) (\protect\Deqref{knot=0-n=1-real-p_xyt}), コリオリ力の $x$ 成分(緑
 実線), $y$ 成分(緑点線) (\protect\Deqref{knot=0-n=1-coliolis-force}式),
 $\partial u/\partial t$ (青実線), $\partial v/\partial t$ (青点線) の一
 周期分の時間変化. 横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ緯度 2.0 度(上
 段), 緯度 1.69 度(中段), 緯度 0.93 度(下段)の図である.}
 \label{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-1}
\end{figure}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
\hspace*{-1.5cm}  
  \Depsf[18.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.6_low-high-lat-2.ps}
 \end{center}
\caption{\protect $n=1, k=0.6$ の慣性重力波の経度 0 度に於ける速度ベクト
 ルとその成分(\protect\Deqref{knot=0-n=1-real-u_xyt} 式. 黒太線は東西風, 
 黒点線は南北風), ならびに, 圧力傾度力の $x$ 成分(赤実線), $y$ 成分(赤点
 線) (\protect\Deqref{knot=0-n=1-real-p_xyt}), コリオリ力の $x$ 成分(緑
 実線), $y$ 成分(緑点線) (\protect\Deqref{knot=0-n=1-coliolis-force}式),
 $\partial u/\partial t$ (青実線), $\partial v/\partial t$ (青点線) の一
 周期分の時間変化. 横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ緯度 1.5 度(上
 段), 緯度 0.5 度(中段), 緯度 0.0 度(下段)の図である.}
 \label{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-2}
\end{figure}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
\hspace*{-1.5cm}  
  \Depsf[18.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.6_low-high-lat-3.ps}
 \end{center}
\caption{\protect $n=1, k=0.6$ の慣性重力波の経度 0 度に於ける速度ベクト
 ルとその成分(\protect\Deqref{knot=0-n=1-real-u_xyt} 式. 黒太線は東西風, 
 黒点線は南北風), ならびに, 圧力傾度力の $x$ 成分(赤実線), $y$ 成分(赤点
 線) (\protect\Deqref{knot=0-n=1-real-p_xyt}), コリオリ力の $x$ 成分(緑
 実線), $y$ 成分(緑点線) (\protect\Deqref{knot=0-n=1-coliolis-force}式),
 $\partial u/\partial t$ (青実線), $\partial v/\partial t$ (青点線) の一
 周期分の時間変化. 横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ緯度 0.0 度(上
 段), 緯度 -0.5 度(中段), 緯度 -1.5 度(下段)の図である.}
 \label{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-3}
\end{figure}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
\hspace*{-1.5cm}  
  \Depsf[18.5cm]{eq-arch/ps/vector/n1_k0.6_low-high-lat-4.ps}
 \end{center}
\caption{\protect $n=1, k=0.6$ の慣性重力波の経度 0 度に於ける速度ベクト
 ルとその成分(\protect\Deqref{knot=0-n=1-real-u_xyt} 式. 黒太線は東西風, 
 黒点線は南北風), ならびに, 圧力傾度力の $x$ 成分(赤実線), $y$ 成分(赤点
 線) (\protect\Deqref{knot=0-n=1-real-p_xyt}), コリオリ力の $x$ 成分(緑
 実線), $y$ 成分(緑点線) (\protect\Deqref{knot=0-n=1-coliolis-force}式),
 $\partial u/\partial t$ (青実線), $\partial v/\partial t$ (青点線) の一
 周期分の時間変化. 横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ緯度 -0.93 度
 (上段), 緯度 -1.69 度(中段), 緯度 -2.0 度(下段)の図である.}
 \label{n1_k0.6_ig-w-east-vector2-4}
\end{figure}

\subsection{\protect $k > 1.2$ (高波数)の東進慣性重力波の特徴}

高波数($k=2.0$)の場合のモードの構造を図\ref{n1_k2.0_ig-w-east-term} に
示す. このモードの振動数は, \Deqref{eq-inertio-gw-bunsan}より $\sqrt{7}$ 
となり, $k< 1.2$ の場合の振動数と比べてより大きな値を取る.

以下では, 低波数のモードとの相違について, 図\ref{n1_k2.0_ig-w-east-term}
の高波数のケースから得られる特徴をまとめる.

	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}

			速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布, 時間変化の
			特徴は, 基本的に低波数の場合と変わらない. ただし, 
			東西風速とジオポテンシャルが 0 となる緯度は,
			$k\rightarrow\infty$ で $y\rightarrow \pm
			1/\sqrt{2}$ に落ち着く
			(\Dchapref{n=1_knot=0_ig-w-phys-component}参照).
			\\

	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

% 1. 高緯度側, 低緯度側に分けられる話
% 2. 低波数の場合と同じ
% という風にする. (低波数と同じ段落分けが望ましい)
%
% 赤道域と呼ばれる領域が広がった(重力波領域が広がった)という話.

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展
			       の緯度による違いについて

			       速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズムは, 図
			       \ref{n1_k2.0_ig-w-east-term}から明らかな
			       ように, 低波数の場合と同様に高緯度域と赤
			       道域に分けられる. 高緯度域と赤道域の境界
			       はやはり明確ではないが, 低波数の場合と比
			       べて赤道域と呼ばれる領域が広くなる. この
			       ことから, 高波数ほど重力波的な特徴が顕著
			       になると考えられる(この詳細は, 以下で述べ
			       る).

			 \item 高緯度域の速度ベクトル, ジオポテンシャル
			       の位相伝搬のメカニズム

			       低波数の場合には, 高緯度域の速度ベクトル
			       の時間変化にコリオリ力が最も寄与してい
			       た. 高波数となっても, 基本的に速度ベクト
			       ルとジオポテンシャルの位相伝搬メカニズム
			       は変わらない. 高波数になると, 東西風の時
			       間変化に寄与する東西の圧力傾度力の大きさ
			       は, コリオリ力に対して相対的に大きくな
			       る. また, ジオポテンシャルの位相伝搬に寄
			       与する成分は, 高波数になるにつれて次第に
			       東西風の収束発散成分の方が効くようにな
			       る. 以上の特徴から, 高緯度域では高波数に
			       なるにつれて慣性振動的な特徴は弱くなり, 
			       重力波的な特徴が強くなる.

			 \item 赤道域の速度ベクトル, ジオポテンシャルの
			       位相伝搬のメカニズム

			       高波数となっても, 基本的に赤道域の速度ベ
			       クトルとジオポテンシャルの位相伝搬メカニ
			       ズムは低波数の場合と変わらない.  高波数に
			       なるにつれて, これまで赤道域と呼んできた
			       領域は広くなり, 速度ベクトルの位相伝搬に, 
			       圧力傾度力がいっそう寄与するようになる. 
			       また, ジオポテンシャルの位相伝搬には, 高
			       緯度域と同様に高波数になるにつれて東西風
			       の収束発散成分がいっそう寄与するようにな
			       る. 以上の特徴から, 低緯度域でも高波数に
			       なるにつれて, より重力波的なメカニズムで
			       位相伝搬するようになる.
			      
% 圧力傾度力とコリオリ力と大きさの比較から, $\omega=\sqrt{k^2 + 2n +1}$
% が大きくなる理由付はやっていない. ↑を言うためにはこれを確かめなければ
% いけない

			\end{itemize}

%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			東西風の分布は, 図\ref{n1_k2.0_ig-w-east-term}で
%			見られる様に低波数の場合と変わらない(但し, 振幅
%			は大きくなっている). 低波数の場合と異なるのは, 
%			高緯度域でも圧力傾度力の方がコリオリ力よりも東西
%			風の時間変化項に寄与していることである. このため, 
%			全領域で重力波的なメカニズムで東に位相伝搬してい
%			る.\\
%
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			南北風の分布も, 図\ref{n1_k2.0_ig-w-east-term}で
%			見られる様に低波数の場合と変わらない. 東西風の場
%			合には, 高波数になると時間変化項に寄与する成分に
%			変化が見られたが, 南北風の場合そのようなメカニズ
%			ムの顕著な変化は見られない. したがって, 南北風の
%			位相伝搬のメカニズムには大きな変化は見られない. 
%			しかし, コリオリ力に対する圧力傾度力の大きさは高
%			緯度側ほど大きくなっていて, 東西風の場合ほど顕著
%			ではないが, 高緯度側で慣性振動的な振る舞いは小さ
%			くなっている.\\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k2.0_ig-w-east-term} より高波数の場合
%			の東進慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化
%			($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 東西風の 
%			収束発散($-\partial u/\partial x$)の大きさでほと
%			んど決まっている. 南北風の収束発散成分は, この東
%			西風の収束発散成分と同じ符号を取るが, 値は小さい. 
%			よって, 東西風が収束すれば, その位置における次の
%			瞬間の圧力が高圧になる(重力波的構造). この東西風
%			の収束発散成分に対する南北風の収束発散成分の大き
%			さは, 東西波数が大きくなるにつれて次第に減少する. 
%			東西風, 南北風の収束発散成分は共に低緯度と高緯度
%			で逆符号を取るため, $\partial\Phi /\partial t$ 
%			の分布は赤道域と高緯度で逆符号を取る. しかし, 赤
%			道域と高緯度域に分けて眺めると, やはり全体として
%			東進していることが分かる.
	    \end{description}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term/n1_k2.0_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=2.0$ (高波数)の東進慣性重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=2.65, c=1.32$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.} \label{n1_k2.0_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\section{\protect $n=1, k\not=0$ の西進慣性重力波}\Dseclab{n=1_knot=0_ig-w-w}

次に, $n=1, k\not=0$ の場合の西進慣性重力波の特徴をまとめる. 

本節では, これまでと同様の方法で $0 < k \le 1.1$ の場合を低波数のレジー
ム, $k > 1.1$ の場合を高波数のレジームとして恣意的に分類し, 議論すること
にする.

\subsection{\protect $0 < k \le 1.1$ (低波数)の西進慣性重力波の特徴}

低波数($k=0.6$)の場合のモードの構造を図 \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} に
示す. このモードの振動数は, \Deqref{eq-inertio-gw-bunsan}より 
$-\sqrt{3.36}$ となる\footnote{負の波数を導入した場合には $k=0$ の場合 
$\omega=\sqrt{3}$, $k=-0.6$ の場合 $\omega=\sqrt{3.36}$ となる.}. これは, 
先に議論した $n=1, k=0$ のモードの振動数$-\sqrt{3}$ と比べて小さな値であ
る.

以下では, $k=0$ のモードとの相違について, 図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term}
の低波数のケースから得られる特徴をまとめる.
	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}
			
			\begin{itemize}
			 \item はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. 速度ベクトルは, $n=1,
			       k=0$ の慣性振動の場合や $n=1$ の東進慣性
			       重力波(以下, 東進波と略す) の場合と同様に
			       赤道対称な分布をする. 速度ベクトルが 0 と
			       なる緯度は, $n=1$ の東進波の場合と同様存
			       在しない. 西進波では, 図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term}の場合, 西風
			       領域の西側で南風領域, 東側で北風領域となっ
			       ており, 赤道を除いて東進波の場合(西風領域
			       の西側で北風領域, 東側で南風領域)と異なる
			       分布をしている. しかし, 進行方向で見ると, 
			       東進波も西進波も南北風が先行し東西風が後
			       行する(1/4 波長のずれ)ので, 見た目の分布
			       の特徴は変わらない.

			       次に速度ベクトルの時間変化の様子について 
			       $\partial u/\partial t, \partial
			       v/\partial t$ の分布を見ると, それぞれ東
			       西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長遅れて
			       いることが分かる. このことから速度ベクト
			       ルの位相は全体として西進していることが分
			       かる.

			 \item 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. ジオポテンシャルも,
			       $n=1, k=0$ の慣性振動の場合や $n=1$ の東
			       進波の場合と同様, 赤道対称な分布をす
			       る. ジオポテンシャルが 0 となる緯度は,
			       $\pm\sqrt{\omega/(\omega+k)}$ である
			       (\Deqref{n=1_knot=0_phi}). 東進波の場合と
			       異なり, 特に赤道付近でジオポテンシャルの
			       振幅が大きくなるという特徴がある. 

			       次にジオポテンシャルの時間変化の様子につ
			       いて $\partial\Phi/\partial t$ の分布を見
			       ると, ジオポテンシャルの分布と比べて 1/4 
			       波長遅れていることが分かる. このことから
			       ジオポテンシャルの位相も全体として西進し
			       ていることが分かる.
			\end{itemize}
\newpage			
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}


% 5/17 コメント. 赤道域と高緯度域という分け方は出来そうに無い. 
% 全領域でいわゆる普通の重力波のメカニズムで伝播している.
% itemize の分け方を変える.

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展
			       の緯度による違いについて

			       速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズムは, $n=1$ の東進波の場合と異
			       なり, 高緯度域, 低緯度域という切り分けで
			       議論することは出来ない. 図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} の速度ベクト
			       ルやジオポテンシャルの時間変化を一見する
			       と, 高緯度でコリオリ力が卓越しているよう
			       に見えるが, 位相伝搬に寄与しているのは速
			       度ベクトルの収束発散成分と圧力傾度力であ
			       る. したがって, 全領域で重力波的な振る舞
			       い(\Dchapref{pure-gravity-wave-2D})をして
			       いる. 以下では, この詳細を述べながら, 位
			       相伝搬のメカニズムをまとめる.

			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズム

			       上述した様に, 速度ベクトル, ジオポテンシャ
			       ルの時間変化は, 共に重力波的な振る舞いを
			       している. その特徴をまとめると次の様にな
			       る.

			       はじめにジオポテンシャルの位相伝搬のメカ
			       ニズムについて考察する. 図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term}の経度300度付
			       近の速度ベクトルの分布に注目すると, 西側
			       で西風領域, 東側で東風領域, 赤道を挟んで
			       北側で北風領域, 南側で南風領域となるため, 
			       この経度帯は速度ベクトルの収束域となって
			       いる(図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term}の 
			       $-\partial u/\partial x$, $-\partial
			       v/\partial y$ 成分参照). この収束により, 
			       経度300度付近の赤道域では,
			       $\partial\phi/\partial t$ は正の値を取る
			       ようになる(図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} 
			       の $\partial \phi/\partial t$ 成分参照). 
			       赤道を離れても, 東西風が収束域であること
			       に変わりはないが, 南北風は発散域とな
			       る. 東西風が収束域となる点は, いわゆる非
			       回転の 2次元浅水系重力波と異なる(非回転 2 
			       次元浅水重力波では, 東西風の収束発散は, 
			       赤道側と高緯度側で逆符号を取る. 図
			       \ref{n1_k0.8_non-rotation-gw-west-term}参
			       照). これは, 高緯度側でコリオリ成分の寄与
			       により, 速度ベクトルの向きが変わるためで
			       ある(図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term}の高緯
			       度側の $yv$ と $-\partial\phi/\partial
			       x$, $-yu$ と $-\partial\phi/\partial y$ 
			       参照). しかし, このモードでは, 2次元の浅
			       水重力波の低波数の場合と同様に, 東西風の
			       収束発散成分よりも南北風の収束発散成分の
			       寄与が大きいので, 赤道を離れたところでは,
			       $\partial\phi/\partial t$ は負の値を取る
			       ようになる. 他の経度帯でも同様に, ジオポ
			       テンシャルの位相伝搬は速度ベクトルの収束
			       発散で決まっている.

			       次に, 速度ベクトルの位相伝搬について考察
			       する. 図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term}の経
			       度300度付近のジオポテンシャルの分布に注目
			       すると, 赤道域では, 東側で正の値, 西側で
			       負の値を取る. このため, この領域の東西圧
			       力傾度力 $-\partial\phi/\partial x$ は, 
			       負の値を取る. したがって, この領域での東
			       西風は東風加速を受けるので, 図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term}の東西風の分
			       布と見比べると東西風の位相は西に伝播する
			       ことが分かる. 一方, 図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term}の経度300度付
			       近の高緯度側のジオポテンシャルの分布に注
			       目すると, 東側で負の値, 西側で正の値を取
			       る. このため, この領域の東西圧力傾度力 
			       $-\partial\phi/\partial x$ は, 正の値を取
			       る. したがって, この領域での東西風は圧力
			       傾度力により西風加速を受ける. これは, 非
			       回転 2次元浅水重力波の位相伝搬のメカニズ
			       ムと同様である. 西進慣性重力波の場合, 高
			       緯度側の速度ベクトルは, コリオリ力の影響
			       を受けるので, 東西風は高緯度側でも赤道域
			       と同符号の値を取る(二次元の非回転重力波で
			       本来西風(東風)であるところが, 東風(西風) 
			       になるまでコリオリ力により向きを変えられ
			       ている). よって, 東西圧力傾度力の役割は, 
			       見た目には東西風の位相伝搬を妨げているよ
			       うに見える. しかし, 高緯度域ではコリオリ
			       力の大きさも圧力傾度力の大きさより卓越し
			       ているので, $\partial u/\partial t$ の符
			       号には影響しない($\partial u/\partial t$ 
			       は東西風の位相が西進するような分布となる). 
			       つまり, 高緯度域の東西風の位相伝搬には, 
			       その場所の圧力傾度力は寄与していない. 高
			       緯度域の東西風の位相伝搬は, 赤道域の圧力
			       傾度力の分布に強く依存していて, いわゆる
			       二次元の非回転重力波の位相伝搬のメカニズ
			       ムとは異なっている. 次に, 図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} の経度150度
			       付近のジオポテンシャルの分布に注目すると, 
			       緯度 1度($-1$度)付近を挟んで北側(南側)で
			       正の値, 南側(北側)で負の値を取る. このた
			       め, この領域の南北圧力傾度力
			       $-\partial\phi/\partial y$ は, 負(正)の値
			       を取る. したがってこの領域での南北風は北
			       風加速(南風加速)を受けるので, 図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term}の南北風の分
			       布と見比べると南北風の位相は西に伝播する
			       ことが分かる. こうして, 速度ベクトルの位
			       相伝搬は, 全領域で赤道付近(緯度 $\pm 1.5$ 
			       度)の圧力傾度力により決まっている.

			       以上の様に, 西進慣性重力波には, 非回転二
			       次元の浅水重力波と異なる点があるが, 基本
			       的には全領域で重力波的なメカニズムで位相
			       伝搬していることが分かる.

%			 \item 高緯度域の速度ベクトル, ジオポテンシャル
%			       の位相伝搬のメカニズム
%			       
%			       高緯度域では, $n=1$ の東進波の場合と同様
%			       にコリオリ力が圧力傾度力よりも卓越してい
%			       るので, 見た目には慣性振動的な振舞いをし
%			       ている. 慣性振動からのずれの部分は, 西向
%			       き位相伝搬を妨げる働きをする. すなわち, 
%			       高緯度域の東西風に対するコリオリ力と東西
%			       圧力傾度力は逆符号を取り, 東西風と南北風
%			       それぞれの収束発散成分は逆符号を取る. こ
%			       れらの特徴は, 東進波と全く異なっている.
%
%			       図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} に於いて, 
%			       東西風に働く高緯度側のコリオリ力と圧力傾
%			       度力の分布に注目すると, 上述したようにコ
%			       リオリ力と圧力傾度力は逆符号を取る. この
%			       ため, コリオリ力で加速(減速)を受けた東西
%			       風は, 圧力傾度力により減速(加速)されてい
%			       る. この結果, 西風増加(経度方向に西風が増
%			       加する)領域でかつ西風加速を受ける領域(東
%			       西の圧力傾度力により東風加速を受ける領
%			       域. 経度0〜150度の高緯度部分)では, 東西風
%			       は発散する(図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} 
%			       の $\partial u/\partial x$ 図の経度0〜150 
%			       度の高緯度部分)ので, この発散分だけジオポ
%			       テンシャルは減少する. 一方, この領域では
%			       北風領域でかつ南風加速を受けるので, 南北
%			       風は収束する(図
%			       \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} の $\partial
%			       v/\partial y$ 図の経度0〜150 度の高緯度部
%			       分).  $k<1.1$ 程度の低波数の場合, 南北風
%			       の収束発散成分が東西風の収束発散成分より
%			       も上回るので, この場合, 南北風の収束がジ
%			       オポテンシャルの時間変化に寄与し, ジオポ
%			       テンシャルは正の値を取るようになる. 他の
%			       経度帯でも同様に, 南北風の収束発散成分が
%			       東西風の収束発散成分よりも卓越する. この
%			       様に, 南北風の収束発散成分がジオポテンシャ
%			       ルの位相伝搬に寄与している.
%
%			 \item 赤道域の速度ベクトル, ジオポテンシャル
%			       の位相伝搬のメカニズム
%
%			       赤道域でも, 東進波の場合と同様に圧力傾度
%			       力がコリオリ力よりも卓越している(ただし, 
%			       南北の圧力傾度力とコリオリ力は赤道上では 
%			       0 である)ので, 見た目には重力波的な振舞
%			       いをしながら位相伝搬をしている. 同様に, 
%			       重力波からのずれの成分となるコリオリ力は, 
%			       速度ベクトルの回転に寄与している. $n=1$ 
%			       の東進波との違いは, 赤道域の東西風に対す
%			       るコリオリ力と東西圧力傾度力が同符号を取
%			       るということだけである(このため, コリオリ
%			       力は圧力傾度力による東西風の加・減速の効
%			       果を補う働きをする). 東西風, 南北風, ジオ
%			       ポテンシャルの位相伝搬に寄与するのは,
%			       $n=1$ の東進波と同様にそれぞれ, 東西の圧
%			       力傾度力, 南北の圧力傾度力, 南北風の収束
%			       発散成分である. したがって, 位相伝搬のメ
%			       カニズムは, $n=1$ の東進波の場合と変わら
%			       ない.
			\end{itemize}

%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} より, 低波数の場
%			合の西進慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial
%			u /\partial t$ )の分布は, 赤道域と高緯度で同符号
%			を取る\footnote{$n=1, k=0.6$ の東進慣性重力波は
%			赤道域と高緯度域で逆符号であった.}. その大きさは, 
%			高緯度ではコリオリ力($yv$), 赤道域では圧力傾度力
%			($\partial\Phi / \partial x$)の大きさで決まって
%			いる.このため, 赤道域では, いわゆる重力波的な波
%			の構造を持つ. 一方, 高緯度域では, コリオリ力によ
%			り支配された慣性振動的な振る舞いをしている
%			\footnote{この様子は, 低波数の東進慣性重力波と同
%			様である.}. しかし, 赤道域と高緯度域に分けて眺め
%			ると, 全体として西進していることが分かる. \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} より, 低波数の場
%			合の西進慣性重力波の南北風の時間変化($\partial v
%			/\partial t$)の大きさは, コリオリ力($-yu$) がほ
%			とんど効かない赤道域では, 圧力傾度力
%			($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさで決まり, 
%			赤道から離れた領域ではコリオリ力によって支配され
%			ている. したがって, 赤道域では重力波的な波の構造
%			をとる一方, 高緯度域では慣性振動的な振る舞いをし
%			ていることがわかる. この場合もやはり, 赤道域と高
%			緯度域に分けて眺めると, 全体として東進しているこ
%			とが分かる.  \\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} より, 低波数の場
%			合の西進慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化
%			($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 赤道上に
%			最大振幅をもつ南北風の収束発散($-\partial
%			v/\partial y$)の大きさでほとんど決まっている. 東
%			西風の収束発散成分は, 赤道域ではほとんど 0 であ
%			り, 高緯度側でこの南北風の収束発散成分と逆符号を
%			とるが, 値は小さい.  よって, 南北風が収束すれば, 
%			その位置における次の瞬間の圧力が高圧になる(重力
%			波的な構造をしている). 南北風の収束発散成分は低
%			緯度と高緯度で逆符号を取るため, $\partial\Phi
%			/\partial t$ の分布は赤道域と高緯度で逆符号を取
%			る. しかし, 赤道域と高緯度域に分けて眺めると, や
%			はり全体として西進していることが分かる.
	    \end{description}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-west-term/n1_k0.6_ig-w-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.6$ (低波数)の西進慣性重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=-1.83, c=-3.06$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.} \label{n1_k0.6_ig-w-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\subsection{\protect $k > 1.1$ (高波数)の西進慣性重力波の特徴}

高波数($k=2.5$)の場合のモードの構造を図\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} に
示す. このモードの振動数は, \Deqref{eq-inertio-gw-bunsan}より 
$-\sqrt{9.25}$ となり\footnote{負の波数を導入した場合には $k=0$ の場合 
$\omega=\sqrt{3}$, $k=-2.5$ の場合 $\omega=\sqrt{9.25}$ となる.}, $k<
1.1$ の場合の振動数と比べてより小さな値を取る.

以下では, 低波数のモードとの相違について, 図\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term}
の高波数のケースから得られる特徴をまとめる.

	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}

			速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布, 時間変化の
			特徴は, 基本的に低波数の場合と変わらない(図
			\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} の $u,v,\phi$ の分
			布と $\partial u/\partial t, \partial v/\partial
			t, \partial\Phi/\partial t$ の分布から西進してい
			ることが分かる). 低波数の場合との違いは,
			$u,\Phi$ の振幅の極大・極小の位置が赤道上にくる
			こと, これに伴い $\partial u/\partial t,
			\partial\Phi/\partial t$ の振幅の極大・極小の位
			置が赤道上にくること, の2 点である. \\

	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展
			       の緯度による違いについて

			       速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズムは, 図
			       \ref{n1_k2.5_ig-w-west-term}で見られるよ
			       うに, 低波数の場合と同様に全領域で重力波
			       的なメカニズムで位相伝搬している.
			       
			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズム

			       高波数となっても, 基本的に速度ベクトルと
			       ジオポテンシャルの位相伝搬メカニズムは変
			       わらない. 東進波の場合と同様に, 西進慣性
			       重力波の場合でも, 高波数になると, 東西風
			       の時間変化に寄与する東西の圧力傾度力の大
			       きさは, コリオリ力に対して相対的に大きく
			       なる. また, 同様にジオポテンシャルの位相
			       伝搬には, 高波数になるにつれて次第に東西
			       風の収束発散成分の方が効くようになる. 以
			       上の特徴から, 高波数になるにつれてコリオ
			       リ成分は弱くなることが分かる.

%			 \item 高緯度域の速度ベクトル, ジオポテンシャル
%			       の位相伝搬のメカニズム
%
%			       高波数となっても, 基本的に速度ベクトルと
%			       ジオポテンシャルの位相伝搬メカニズムは変
%			       わらない. 東進波の場合と同様に, 西進慣性
%			       重力波の場合でも, 高波数になると, 東西風
%			       の時間変化に寄与する東西の圧力傾度力の大
%			       きさは, コリオリ力に対して相対的に大きく
%			       なる. また, 同様にジオポテンシャルの位相
%			       伝搬には, 高波数になるにつれて次第に東西
%			       風の収束発散成分の方が効くようになる. 以
%			       上の特徴から, 高緯度域では高波数になるに
%			       つれて慣性振動的な特徴は弱くなり, 重力波
%			       的な特徴が強くなる.
%
%			 \item 赤道域の速度ベクトル, ジオポテンシャルの
%			       位相伝搬のメカニズム
%
%			       高波数となっても, 基本的に赤道域の速度ベ
%			       クトルとジオポテンシャルの位相伝搬メカニ
%			       ズムは低波数の場合と変わらない. 上述した
%			       ように, 高波数になるにつれて, これまで赤
%			       道域と呼んできた領域は広くなり, 速度ベク
%			       トルの位相伝搬に, 圧力傾度力がいっそう寄
%			       与するようになる. また, ジオポテンシャル
%			       の位相伝搬には, 高緯度域と同様に高波数に
%			       なるにつれて東西風の収束発散成分がいっそ
%			       う寄与するようになる. 以上の特徴から, 赤
%			       道域でも高波数になるにつれて, より重力波
%			       的なメカニズムで位相伝搬するようになる.

			\end{itemize}

%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} より, 高波数の場
%			合の西進慣性重力波の東西風の時間変化( $\partial
%			u /\partial t$ )の分布は, 赤道域と高緯度で同符号
%			を取る. その大きさは, 圧力傾度力($\partial\Phi /
%			\partial x$)の大きさでほとんど決まっており, コリ
%			オリ力($yv$)の大きさは相対的に小さいことがわかる. 
%			慣性振動的な振る舞いをしていたが, 高波数になるに
%			つれてその傾向は弱くなっていることが分かる. 圧力
%			傾度力に対するコリオリ力の大きさは, 東西波数が増
%			大するにつれて次第に減少する. したがって, 高波数
%			になるにつれて全領域で重力波的なメカニズムに近づ
%			くことが示唆される. この場合もやはり, 赤道域と高
%			緯度域に分けて眺めると, 全体として西進しているこ
%			とが分かる.\\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} より, 高波数の場
%			合の西進慣性重力波の南北風の時間変化($\partial v
%			/\partial t$)の大きさは, コリオリ力($-yu$) がほ
%			とんど効かない赤道域では, 圧力傾度力
%			($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさで決まり, 
%			赤道から離れた領域ではコリオリ力によって支配され
%			ている. また, 圧力傾度力とコリオリ力は同符号を取
%			り, 共に南北風を強める効果をしている. したがって, 
%			低波数の場合と同様, 赤道域で重力波的, 行為度域で
%			慣性振動的な構造をとりつつも, 高波数になるにつれ
%			て全領域で重力波的なメカニズムに近づくことが示唆
%			される. この場合もやはり, 赤道域と高緯度域に分け
%			て眺めると, 全体として西進していることが分かる.
%			\\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} より高波数の場合
%			の西進慣性重力波のジオポテンシャルの時間変化
%			($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 東西風の 
%			収束発散($-\partial u/\partial x$)の大きさでほと
%			んど決まっている. 南北風の収束発散成分は, この東
%			西風の収束発散成分と同じ符号を取るが, 値は小さい. 
%			よって, 東西風が収束すれば, その位置における次の
%			瞬間の圧力が高圧になる(重力波的構造).  東西風, 
%			南北風の収束発散成分は共に低緯度と高緯度で逆符号
%			を取るため, $\partial\Phi /\partial t$ の分布は
%			赤道域と高緯度で逆符号を取る. また, 東西風の収束
%			発散成分に対する南北風の収束発散成分の大きさは, 
%			東西波数が大きくなるにつれて次第に減少する. 赤道
%			域と高緯度域に分けて眺めると, やはり全体として東
%			進していることが分かる. 
	    \end{description}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-west-term/n1_k2.5_ig-w-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=2.5$ (高波数)の西進慣性重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=-3.04, c=-1.21$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.} \label{n1_k2.5_ig-w-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\section{\protect $n=2, k=0$ の慣性重力波}\Dseclab{n=2_k=0_igw}

本節では, $n=2, k=0$ の慣性重力波(慣性振動)の特徴について述べる. $k=0,
n=2$ のモードの振動数は, \Deqref{eq-inertio-gw-bunsan}より$\pm\sqrt{5}$ 
となる. Hermite 多項式のモード番号を表す $n$ は, モードの南北構造を決定
づけるパラメータであるので $n$ の違いは南北構造に反映される. したがって,
$n=2, k=0$ のモードであっても $n=1, k=0$ のモードとの間にメカニズムの違
いは無い. $n=1$ の場合と異なるのは, 速度ベクトル, ジオポテンシャルの南北
構造だけである.

以下では, $n=1, k=0$ のモードとの相違点を通して波の特徴をまとめる
\footnote{本節で述べる特徴の物理的根拠は, 付録
\Dchapref{n=2_k=0_ig-w-phys-component}に記した.}.

\subsection{$n=2, k=0$ の慣性重力波の特徴}

本節では, 図\ref{n2_k0.0_ig-w-east-vector}〜図
\ref{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} 中に共通してみられる特徴をまとめる.
\begin{itemize}
 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布および時間発展は以下の通り: 
       \begin{itemize}
	\item 速度ベクトルは, $\pm 1/\sqrt{2}$ で 0 となる赤道反対称分布
	      をする(\Deqref{k=0-n=2-real-u_xyt} 式).  速度ベクトルの大
	      きさは, 南北半球でそれぞれ2つずつ極大値と極小値をもつ
	      (\Deqref{n=2_k=0_amp_vector} 式). この様に速度ベクトルの分
	      布が $n=1$ の場合と異なる他は, $n=1$ の場合と同様の時間発展
	      をする.
	\item ジオポテンシャルも赤道で 0 となる赤道非対称分布をする. 
              ジオポテンシャルは, 南北半球でそれぞれ2つずつ異符号
	      の極値をもつ(図\ref{n2_k0.0_ig-w-east-vector}〜図
	      \ref{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5}の $\phi$ の等値線).
              この様にジオポテンシャルの分布が $n=1$ の場合と異なる他は,
	      $n=1$ の場合と同様の時間発展をする.
       \end{itemize}
 \item 速度ベクトルの時間発展は以下の様にして決まっている. 
       \begin{itemize}
	\item 速度ベクトルの回転は $n=1, k=0$ の場合と同様コリオリ力のた
	      めに起こる. コリオリ力の働きについても $n=1$ の場合と同様
	      である. 

% 節で挟まれた領域と外は, 位相関係が逆である. メカニズムは変わらない. という
%	      趣旨にする. 

	\item 圧力傾度力の働きも $n=1$ の場合と同様, 南北流速の大きさを
	      変化させる働きをする(速度ベクトルの大きさを変化させる効果).
	      $n=2$ の場合, 圧力傾度力が 0 となる緯度は $\pm 1/\sqrt{2},
	      \pm\sqrt{5}$ であり南北両半球でそれぞれ2つずつ存在する. 緯
	      度 $\pm 1/\sqrt{2}$ より赤道側では, 南・北半球で最初の 1/2 
	      周期は北風加速となり, 次の 1/2 周期は南風加速となる
	      \footnote{南北風は, 始めの 1/4 周期では南・北半球で南向き
	      の成分を持つので減速し, 次の 1/4 周期では北向きの成分をも
	      つので, 南北風は加速する. 残りの 1/2 周期も同様のメカニズ
	      ムで南北風は減速, 加速をする.}. 緯度が $1/\sqrt{2}$ と 
	      $\sqrt{5}$ の間, もしくは$-1/\sqrt{2}$ と $-\sqrt{5}$ の間
	      では, 南・北半球で最初の 1/2 周期は南風加速となり, 次の 
	      1/2 周期は北風加速となる\footnote{南北風は, 始めの 1/4 周
	      期では南・北半球で北向きの成分を持つので減速し, 次の 1/4 
	      周期では南向きの成分をもつので, 南北風は加速する. 残りの 
	      1/2 周期も同様のメカニズムで南北風は減速, 加速をする.}. 緯
	      度が $\pm\sqrt{5}$ より極側では, 南・北半球で最初の 1/2 周
	      期は北風加速となり, 次の 1/2 周期は南風加速となる
	      \footnote{南北風は, 始めの 1/4 周期では南・北半球で北向き
	      の成分を持つので加速し, 次の 1/4 周期では南向きの成分をも
	      つので, 南北風は減速する. 残りの 1/2 周期も同様のメカニズ
	      ムで南北風は減速, 加速をする.}. 圧力傾度力が 0 となる緯度 
	      $\pm 1/\sqrt{2}, \pm\sqrt{5}$ では, 圧力傾度力による南北風
	      の加速・減速が起こらないので, 速度ベクトルの大きさは時間変
	      化しない.
%	      化しない(図\ref{n2_k0.0_ig-w-east-vector2}).
       \end{itemize}
\item ジオポテンシャルの時間変化は, 以下の様に決まる: 
       \begin{itemize}
	\item ジオポテンシャルの時間発展も, $n=1, k=0$ の場合と同様, 南
	      北風の収束発散で決まっており, 東西風と同位相で1/2 周期毎に
	      符号が反転する(\Deqref{k=0-n=2-real-p_xyt} 式).
       \end{itemize}
\end{itemize}
%続いて $n=2, k=0$ の慣性重力波がこれらの特徴を示す理論的根拠について, 次
%節で詳細をまとめることにする.

\subsection{$n=2, k=0$ の慣性重力波の構造}

本節では, 始めに $1/4$ 周期ごとに速度ベクトルの時間変化を示し, 続いて運
動方程式(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})のそれぞれの項の水平分布図を
示す. 水平分布図は $n=1, k=0$ の構成と同じである. 

\newpage

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5-vector.ps}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.0-vector.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\end{figure}
\begin{figure}[H]
 \vspace{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.9-vector.ps}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5-vector.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.0$ の慣性振動の速度ベクトル(黒色のベクトル), ジオポテ
 ンシャル(等値線), 圧力傾度力(赤色のベクトル), コリオリ力(緑色のベクトル), 
 加速度ベクトル($du/dt,dv/dt$)(青色のベクトル)のスナップショット. それぞ
 れ $t=0.5$ (上左図), $t=1.5$ (上右図), $t=2.5$ (下左図), $t=3.0$ (下右
 図)である. ただし, ベクトルは経度180度の場合のみ示した.  また, 速度ベ
 クトルの終点がその他のベクトルの始点になるように描いている.}
 \label{n2_k0.0_ig-w-east-vector}
\end{figure}

%\newpage
%
%\begin{figure}[H]
%\vspace*{-5mm}
% \begin{center}
%\hspace*{-1.5cm}  
%  \Depsf[18.5cm]{eq-arch/ps/vector/n2_k0.0_low-high-lat.ps}
% \end{center}
%\caption{\protect $n=2, k=0.0$ の慣性振動の速度ベクトルとその成分
%(\protect\Deqref{k=0-n=2-real-u_xyt} 式. 太線は東西風, 細線は南北風.), 
%ならびに, 圧力傾度力の $y$ 成分(\protect\Deqref{n=2_k=0_p-grad}. 点線)の
%時間変化である.  横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ上の段から緯度 
%3.0 度, 緯度 $\protect\sqrt{5}$ 度, 緯度1.4度, 緯度0.6度の図である. 圧力
%傾度力が 0 となるもう一つの緯度$1/\protect\sqrt{2}$ では, 速度ベクトルの
%成分も 0 であるのでこの図からは除外している. 図中の二本の斜線は,
%\protect$u$ と \protect$v$ のグラフが交差する点(\protect$u=v$ となる点)
%を結んだものであり, 高緯度ほど \protect$u=v$ となる時間(速度ベクトルが 
%45 度または 225度を向く時間) が早いことを示す. このグラフから, 速度ベク
%トルの傾きの緯度による違いは, \protect $u$ と $v$ の振幅差によることがわ
%かる.}  \label{n2_k0.0_ig-w-east-vector2}
%\end{figure}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.0, t=0.5$ の東進慣性重力波の場合の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.0-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.0, t=1.0$ の東進慣性重力波の場合の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.0}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.9-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.0, t=1.9$ の東進慣性重力波の場合の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.9}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.0, t=2.5$ の東進慣性重力波の場合の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布. 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\section{\protect $n=2, k\not=0$ の東進慣性重力波}\Dseclab{n=2_knot=0_ig-e-w}

本節では, $n=2, k\not=0$ の場合の東進慣性重力波の特徴をまとめる.

本節でも, これまでと同様の方法で $0 < k \le 1.7$ の場合を低波数のレジー
ム, $k > 1.7$ の場合を高波数のレジームとして私意的に分類し, 低波数と高波
数の場合を併せて議論することにする.

低波数($k=0.5$)の場合のモードの構造を図 \ref{n2_k0.5_ig-w-east-term} に
示し, 高波数($k=3.0$)の場合のモードの特徴を図
\ref{n2_k3.0_ig-w-east-term} に示す. これらの図から得られる特徴を以下に
まとめる.
	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. 速度ベクトルは, $n=1$ 
			       の場合と異なり, 赤道反対称な分布をする
			       \footnote{ $n=2, k\not=0$ の場合,
			       \Deqref{solution_vnot=0_n=1_u} 〜
			       \Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}より,
			       \begin{eqnarray}
				u(x,y,t)    &=& -2y\frac{2(\omega+k)y^2-\omega-5k}{\omega^2 - k^2}e^{-(1/2)y^2}\sin(kx-\omega t), \label{n=2_knot=0} \\ 
				v(x,y,t)    &=& (4y^2-2) e^{-(1/2)y^2}\cos(kx-\omega t), \\
				\phi(x,y,t) &=& -2y\frac{2(\omega+k)y^2-5\omega-k}{\omega^2 - k^2}e^{-(1/2)y^2}\sin(kx-\omega t).
			       \end{eqnarray}
			       となる.}. $n=2, k\not=0$ の場合, $n=1,
			       k\not=0$ の場合と同様, 速度ベクトルが 0 
			       となる緯度は存在しない. 南北流速が 0 とな
			       る緯度は, $\pm 1/\sqrt{2}$, 東西流速が 0 
			       となる緯度は, $k=0$ の場合と同様に赤道と
			       $\pm\sqrt{(\omega+5k)/(2(\omega+k))}$ と
			       なる緯度である. $n=1$ の場合と比較して,
			       $u,v$ が 0 となる緯度の数(節の数)は, それ
			       ぞれ$2\rightarrow 3, 1\rightarrow 2$ のよ
			       うに変化する. また, 東西風速 が 0 となる
			       これらの緯度は赤道を除いて,
			       $k\rightarrow\infty$ で$y\rightarrow \pm
			       \sqrt{5/2}$ に落ち着く.

			       次に速度ベクトルの時間変化の様子について 
			       $\partial u/\partial t, \partial
			       v/\partial t$ の分布を見ると, それぞれ東
			       西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長進んで
			       いることが分かる. このことから確かに速度
			       ベクトルの位相は全体として東進しているこ
			       とが分かる.

			 \item 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. ジオポテンシャルも,
			       $n=1$ の場合と異なり, 赤道反対称な分布を
			       する. ジオポテンシャルは赤道と 
			       $\pm\sqrt{(5\omega+k)/(2(\omega+k))}$ と
			       なる緯度で 0 となる. $n=1$ の場合と比較し
			       て, $\Phi$ が 0 となる緯度の数(節の数)は,
			       $2\rightarrow 3$ のように変化する. また,
			       $\Phi$ が 0 となるこれらの緯度は赤道を除
			       いて, $k\rightarrow\infty$ で
			       $y\rightarrow \pm 1/\sqrt{2}$ に落ち着く.

			       次にジオポテンシャルの時間変化の様子につ
			       いて $\partial\Phi/\partial t$ の分布を見
			       ると, ジオポテンシャルの分布と比べて 1/4 
			       波長進んでいることが分かる. このことから
			       ジオポテンシャルの位相も全体として東進し
			       ていることが分かる.
			\end{itemize}

	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展
			       の緯度による違いについて

			       速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズムは, $n=1$ の時と同様に高緯度
			       域と赤道域に分けて考えることが出来る. 高
			       緯度と赤道域の境界はやはり明確に決められ
			       ないが, 図 \ref{n2_k0.5_ig-w-east-term} 
			       では, 緯度 $\pm$ 1〜1.5 度付近にあると考
			       えられる. よって以下では, これまでと同様
			       に ``高緯度域, 赤道域'' という枠組を用い
			       て位相伝搬のメカニズムを議論する.

			 \item 高緯度域の速度ベクトル, ジオポテンシャル
			       の位相伝搬のメカニズム
			       
			       高緯度域の速度ベクトル, ジオポテンシャル
			       は, $n=1$ の東進波の場合と
			       同様のメカニズムで位相伝搬する. 低波数の
			       場合 $n=1$ の東進波の場合と同様, コリオリ
			       力が圧力傾度力よりも卓越しているので, 見
			       た目には慣性振動的な振舞いをしている. よっ
			       て, 位相伝搬に寄与しているのは慣性振動か
			       らのずれの部分の東西圧力傾度力である. 低
			       波数から高波数になるにつれて, コリオリ力
			       に対する東西の圧力傾度力の大きさは大きく
			       なり, 東西風速の収束発散成分は南北風速の
			       収束発散成分よりも大きくなる. したがって,
			       高緯度域では $n=1$ の場合と同様, 高波数に
			       なるにつれて, 慣性振動的な特徴は弱くなり,
			       重力波的な特徴が強くなる. 

			 \item 赤道域の速度ベクトル, ジオポテンシャル
			       の位相伝搬のメカニズム

			       赤道域の速度ベクトル, ジオポテンシャルは, 
			       $n=1$ の東進波の場合と同様
			       のメカニズムで位相伝搬する. 高波数にな
			       ると東西の圧力傾度力と東西風速の収束発散
			       成分はより大きな値を取るようになるので, 
			       $n=1$ の東進波の高波数の場合で見られたよ
			       うに, より重力波的なメカニズムで位相伝搬
			       するようになる.

			\end{itemize}

%	     \item[● 東西風の時間変化]  ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			$n=1$ の場合と異なり, $\partial u/\partial t$ の
%			分布は南北反対称な分布をとる. しかし, その大きさ
%			は, 赤道域では圧力傾度力の分布, 高緯度域ではコリ
%			オリ力の分布で決まる. このことから, 赤道域で重力
%			波的, 高緯度で慣性振動的な振る舞いをすることは変
%			わらない. 高波数になると, コリオリ力の効果が圧力
%			傾度力にくらべて相対的に小さくなるため, 高緯度で
%			の慣性振動的な構造は弱まり, 重力波的な構造となる. 
%			この場合もやはり, 赤道域と高緯度域に分けて眺める
%			と, 全体として東進していることが分かる. この特徴
%			は, $n=1$ の場合と変わらない.
%
%	     \item[● 南北風の時間変化]   ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			$n=1$ の場合と異なり, $\partial v/\partial t$ の
%			分布は南北対称な分布をとる. しかし, その大きさは, 
%			赤道域では圧力傾度力の分布, 高緯度域ではコリオリ
%			力の分布で決まる. このことから, 赤道域で重力波的, 
%			高緯度で慣性振動的な振る舞いをすることは変わらな
%			い. 高波数になると, コリオリ力の効果が圧力傾度力
%			にくらべて相対的に小さくなるため, 高緯度での慣性
%			振動的な構造は弱まり, 重力波的な構造となる.  こ
%			の場合もやはり, 赤道域と高緯度域に分けて眺めると, 
%			全体として東進していることが分かる.この特徴は,
%			$n=1$ の場合と変わらない.
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化]   ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			$n=1$ の場合と異なり, $\partial\Phi/\partial t$ 
%			の分布は南北反対称な分布をとる. 低波数の場合, 南
%			北風の収束発散成分が卓越し,
%			$\partial\Phi/\partial t$ の大きさに寄与し, 東西
%			風の収束発散成分は相対的に小さい. 高波数になると
%			この傾向は逆転し, 東西風の収束発散成分が卓越する
%			ようになる. この場合もやはり, 赤道域と高緯度域に
%			分けて眺めると, 全体として東進していることが分か
%			る. この特徴は, $n=1$ の場合と変わらない.
	    \end{description}

\newpage


\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term/n2_k0.5_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.5$ (低波数)の東進慣性重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=2.29, c=4.58$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.} \label{n2_k0.5_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-east-term/n2_k3.0_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=3.0$ (高波数)の東進慣性重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=3.74, c=1.25$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.} \label{n2_k3.0_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}


\section{\protect $n=2, k\not=0$ の西進慣性重力波}

本節では, $n=2, k\not=0$ の場合の西進慣性重力波の特徴をまとめる. 

本節でも, これまでと同様の方法で $0 < k\le 1.6$ の場合を低波数のレジーム,
$k > 1.6$ の場合を高波数のレジームとして私意的に分類し, 低波数と高波数の
場合を併せて議論することにする.

低波数($0 < k \le 1.6$)の場合のモードの構造を図 
\ref{n2_k0.5_ig-w-west-term} に示し, 高波数($k > 1.6$)の場合のモードの特
徴を図\ref{n2_k3.0_ig-w-west-term} に示す. これらの図から得られる特徴を
以下にまとめる.

	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. 速度ベクトルは, $n=1$ 
			       の場合と異なり, 赤道反対称な分布をす
			       る. 東西流速が 0 となる緯度は, 赤道だけで
			       ある\footnote{(\ref{n=2_knot=0})に於いて
			       $\omega <0$ なので, $\omega+5k>0,
			       \omega+k<0$ となり, $u=0$ となる 
			       $y(\not=0)$ が存在しない.}. 南北流速は東
			       進する場合と同様, 緯度 $\pm 1/\sqrt{2}$ 
			       で 0となる. $u,v$ が 0 となる緯度の数(節
			       の数)は, $n=2$ の東進波の場合と同様にそれ
			       ぞれ 3個, 2個である. $n=1$ の西進慣性重力
			       波の場合と異なるのは, 速度ベクトルの収束
			       発散域が赤道上に無い(図
			       \ref{n2_k0.5_ig-w-west-term},
			       \ref{n2_k3.0_ig-w-west-term}では, 緯度
			       $\pm$ 1度付近にある)ことである. しかし, 
			       南北半球で速度ベクトルが収束発散する緯度
			       帯を中心にして($n=1$ の場合の赤道として) 
			       見れば, $n=1$ の時に見られた西進波と東進
			       波の違い(東西流速と南北流速の位相の違い)
			       は, $n=2$ の場合でも見られる.

			       次に速度ベクトルの時間変化の様子について 
			       $\partial u/\partial t, \partial
			       v/\partial t$ の分布を見ると, それぞれ東
			       西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長遅れて
			       いることが分かる. このことから確かに速度
			       ベクトルの位相は全体として西進しているこ
			       とが分かる.

			 \item 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. ジオポテンシャルも
			       $n=1$ の場合と異なり, 赤道反対称な分布を
			       する. ジオポテンシャルは赤道と緯度
			       $\pm\sqrt{(5\omega+k)/2(\omega+k)}$で 0 
			       となる. $\Phi$ が 0 となる緯度の数(節
			       の数)は, $n=2$ の東進波の場合と同様である.

			       次にジオポテンシャルの時間変化の様子につ
			       いて $\partial\Phi/\partial t$ の分布を見
			       ると, ジオポテンシャルの分布と比べて 1/4 
			       波長遅れていることが分かる. このことから
			       ジオポテンシャルの位相も全体として西進し
			       ていることが分かる.
			\end{itemize}
			
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展
			       の緯度による違いについて

			       速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズムは, 図
			       \ref{n2_k0.5_ig-w-west-term},
			       \ref{n2_k3.0_ig-w-west-term} から明らかな
			       ように, $n=1$ の西進波の場合と同様に全領
			       域で重力波的である. 上述したように, $n=1$ 
			       の西進慣性重力波の場合と異なり, 速度ベク
			       トルの収束発散域が赤道上に無いが, 南北半
			       球で速度ベクトルが収束発散する緯度帯を中
			       心にして見れば, $n=1$ の場合と同様に重力
			       波的なメカニズムをしている. 以下では, こ
			       の詳細について述べることにする.

			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズム

			       $n=2$ となっても, 基本的に速度ベクトルと
			       ジオポテンシャルの位相伝搬メカニズムは変
			       わらない. $n=1$ の西進波の場合と同様に,
			       $n=2$ の西進波の場合でも, 高波数になると, 
			       東西風の時間変化に寄与する東西の圧力傾度
			       力の大きさは, コリオリ力に対して相対的に
			       大きくなる. また, 同様にジオポテンシャル
			       の位相伝搬には, 高波数になるにつれて次第
			       に東西風の収束発散成分の方が効くようにな
			       る. 以上の特徴から, 高緯度域では高波数に
			       なるにつれて慣性振動的な特徴は弱くなり, 
 			       重力波的な特徴が強くなる. 

%			 \item 高緯度域の速度ベクトル, ジオポテンシャル
%			       の位相伝搬のメカニズム
%
%			       $n=2$ となっても, 基本的に速度ベクトルと
%			       ジオポテンシャルの位相伝搬メカニズムは変
%			       わらない. $n=1$ の西進波の場合と同様に,
%			       $n=2$ の西進波の場合でも, 高波数になると, 
%			       東西風の時間変化に寄与する東西の圧力傾度
%			       力の大きさは, コリオリ力に対して相対的に
%			       大きくなる. また, 同様にジオポテンシャル
%			       の位相伝搬には, 高波数になるにつれて次第
%			       に東西風の収束発散成分の方が効くようにな
%			       る. 以上の特徴から, 高緯度域では高波数に
%			       なるにつれて慣性振動的な特徴は弱くなり, 
%			       重力波的な特徴が強くなる. 
%
%			 \item 赤道域の速度ベクトル, ジオポテンシャル
%			       の位相伝搬のメカニズム
%
%			       $n=2$ となっても, 基本的に赤道域の速度ベ
%			       クトルとジオポテンシャルの位相伝搬メカニ
%			       ズムは $n=1$ の場合と変わらない. 上述した
%			       ように, 高波数になるにつれて, これまで赤
%			       道域と呼んできた領域は広くなり, 速度ベク
%			       トルの位相伝搬に, 圧力傾度力がいっそう寄
%			       与するようになる. また, ジオポテンシャル
%			       の位相伝搬には, 高緯度域と同様に高波数に
%			       なるにつれて東西風の収束発散成分がいっそ
%			       う寄与するようになる. 以上の特徴から, 低
%			       緯度域でも高波数になるにつれて, より重力
%			       波的なメカニズムで位相伝搬するようになる.

			\end{itemize}

%	     \item[● 東西風の時間変化]  ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			$n=1$ の場合と異なり, $\partial u/\partial t$ の
%			分布は南北反対称な分布をとる. しかし, その大きさ
%			は, 赤道域では圧力傾度力の分布, 高緯度域ではコリ
%			オリ力の分布で決まる. このことから, 赤道域で重力
%			波的, 高緯度で慣性振動的な振る舞いをすることは変
%			わらない. 高波数になると, コリオリ力の効果が圧力
%			傾度力にくらべて相対的に小さくなるため, 高緯度で
%			の慣性振動的な構造は弱まり, 重力波的な構造となる. 
%			しかし, 赤道域と高緯度域に分けて眺めると, 全体と
%			して西進していることが分かる.この特徴は, $n=1$ 
%			の場合と変わらない. \\
%
%	     \item[● 南北風の時間変化]   ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			$n=1$ の場合と異なり, $\partial v/\partial t$ の
%			分布は南北対称な分布をとる. しかし, その大きさは, 
%			赤道域では圧力傾度力の分布, 高緯度域ではコリオリ
%			力の分布で決まる. このことから, 赤道域で重力波的, 
%			高緯度で慣性振動的な振る舞いをすることは変わらな
%			い. 高波数になると, コリオリ力の効果が圧力傾度力
%			にくらべて相対的に小さくなるため, 高緯度での慣性
%			振動的な構造は弱まり, 重力波的な構造となる.  し
%			かし, 赤道域と高緯度域に分けて眺めると, 全体とし
%			て西進していることが分かる.この特徴は, $n=1$ の
%			場合と変わらない.
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化]   ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			$n=1$ の場合と異なり, $\partial\Phi/\partial t$ 
%			の分布は南北反対称な分布をとる. 低波数の場合, 南
%			北風の収束発散成分が卓越し,
%			$\partial\Phi/\partial t$ の大きさに寄与し, 東西
%			風の収束発散成分は相対的に小さい. 高波数になると
%			この傾向は逆転し, 東西風の収束発散成分が卓越する
%			ようになる. しかし, 赤道域と高緯度域に分けて眺め
%			ると, 全体として西進していることが分かる.この特
%			徴は, $n=1$ の場合と変わらない.
	    \end{description}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-west-term/n2_k0.5_ig-w-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.5$ (低波数)の西進慣性重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=-2.29, c=-4.58$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.} \label{n2_k0.5_ig-w-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-not0-ig-w-west-term/n2_k3.0_ig-w-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=3.0$ (高波数)の西進慣性重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=-3.74, c=-1.25$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.} \label{n2_k3.0_ig-w-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

%\newpage
%
%\bigskip 
%始めに, 東進する慣性重力波の伝搬メカニズムを考察する. 図
%\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}より, $u,\Phi$ は同位相の関係にあり, $v$ は 
%$u,\Phi$ と比べて $\pi/2$ だけ位相がずれていることが分かる. また,
%$\partial u/\partial t, \partial v/\partial t, \partial \Phi/\partial t$ 
%の分布は, $u,v,\Phi$ の分布と比べてそれぞれ $\pi/2$ だけ位相が先行してい
%る. このことから, $u,v,\Phi$ のそれぞれの分布は時間とともに東に伝播する
%ことがわかる. 次に $\partial u/\partial t, \partial v/\partial t,
%\partial \Phi/\partial t$ の分布がどのようなメカニズムで決まっているかを
%考察する.  はじめに, $\partial \Phi/\partial t$ の分布について考える. 
%図\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}より, $\partial \Phi/\partial t$ の分布は
%同位相で変化する $\partial u/\partial x$ (東西風の東西方向の水平発散)と
%$\partial v/\partial y$ (南北風の南北方向の水平発散)の足し合わせで決まっ
%ている. 南北風の水平発散の大きさのほうがやや大きいものの. これらの大きさ
%はほぼ同程度である. この水平風の分布のうち $\partial u/\partial t$ は, 
%やはり同位相で変化する $yv$ (南北風に働くコリオリ力)と 
%$-\partial\Phi/\partial x$ (東西方向の圧力傾度力)の足し合わせで決まって
%いる. $\partial u/\partial t$ の場合, コリオリ力の大きさが圧力傾度力と比
%べてやや大きく, コリオリ力の効果が効いている. 一方, $\partial v/\partial
%t$ の分布は, 高緯度では $-yu$ (東西風に働くコリオリ力) の効果, 赤
%道を挟んだ低緯度では $-\partial\Phi/\partial y$ (南北方向の圧力傾度力)の
%効果が効いていて緯度による違いがあるものの, その和は全領域で正の値を取る
%という特徴をもつ. 以上, 伝搬メカニズムを模式図で示すと図
%\ref{eq-inertio-gw-denpa}の様になる(ただし, 図中では$\Phi\rightarrow p$ 
%とした).\\
%
%西進する慣性重力波の伝搬メカニズムも次図\ref{n1_k0.5_ig-w-west-term}の各
%項の水平分布から同様に理解できる. 図\ref{n1_k0.5_ig-w-west-term}より,
%$\partial \Phi/\partial t$ の分布は東進する慣性重力波と異なり, $\partial
%u/\partial x$ (東西風の東西方向の水平発散)と $\partial v/\partial y$ (南
%北風の南北方向の水平発散)の位相は, 赤道域で同位相, 高緯度で $\pi/2$ だけ
%ずれている. よって, $\partial \Phi/\partial t$ の分布は, 赤道域では
%$\partial v/\partial y$ (南北風の水平発散), 高緯度では $\partial
%u/\partial x$ (東西風の水平発散)の効果で決まっている. この水平風の
%分布のうち $\partial u/\partial t$ の
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-east-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=0, k=0.5$ の東進慣性重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} \label{n0_k0.5_ig-w-east-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
%\newpage
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[12cm]{ps/eq-inertio-gw.ps}
% \end{center}
%\caption{$n=0$ の東進する慣性重力波の伝播メカニズム.} \label{eq-inertio-gw-denpa}
%\end{figure}
%
%分布は, 高緯度では $yv$ (南北風に働くコリオリ力)の効果, 低緯度では
%圧力傾度力 $\partial\Phi/\partial x$ の効果で決まっている. $\partial
%v/\partial t$ の分布も同様に, 高緯度では $-yu$ (東西風に働くコリオ
%リ力)の効果, 赤道を挟んだ低緯度では $-\partial\Phi/\partial y$ (南北方向
%の圧力傾度力)の効果が効いている.
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-east-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=1, k=0.5$ の東進重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項水平分布.} 
%\label{n1_k0.5_ig-w-east-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-west-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=1, k=0.5$ の西進重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} 
%\label{n1_k0.5_ig-w-west-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-east-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=2, k=0.5$ の東進重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} 
%\label{n2_k0.5_ig-w-east-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $yv$ & $yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-west-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=2, k=0.5$ の西進重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} 
%\label{n2_k0.5_ig-w-west-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
\newpage

\chapter{赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム}\Dchaplab{rossby-denpa}

% n=2 の場合は $n=1$ の場合と同じ. ただし, 節の中と外で位相が逆転してい
% るかどうか確かめる


\Dchapref{sec-struct}の結果よりロスビー波の振動数 $\omega$, 位相速度 
$c$, 群速度 $\partial\omega/\partial k$ は次の様になる:\footnote{有次元系で表記すると, ロスビー
波の振動数, 位相速度は次の様になる: 
\begin{eqnarray*}
 \omega &=& \frac{-k\beta}{k^{2}+\frac{\beta}{\sqrt{gH}}(2n+1)}, \\  
      c &=& \frac{-\beta}{k^{2}+\frac{\beta}{\sqrt{gH}}(2n+1)}.
\end{eqnarray*}}
\begin{eqnarray}
\omega &=& \frac{-k}{k^{2}+2n+1}, \qquad (n\ge 1) \Deqlab{eq-ro-bunsan-nondim} \\
 c &=& \frac{-1}{k^{2}+2n+1}. \qquad (n\ge 1) \label{eq-rossby-phase} \\
 \frac{\partial\omega}{\partial k} &=& \frac{k^{2}-2n-1}{(k^{2}+2n+1)^{2}}. \qquad (n\ge 1) \label{eq-rossby-group-v}
\end{eqnarray}
(\ref{eq-rossby-phase})より, 位相速度は常に $c<0$ であるから赤道ロスビー
波は西進する. 本節では, 運動方程式の他に, 中緯度のロスビー波の記述でも用
いられる渦度方程式を用いて各項の分布を調べる. その中で中緯度域のロスビー
波と比較を行う.

はじめに, 赤道 $\beta$ 平面の方程式系から渦度方程式を導出する.
$\frac{\partial}{\partial x}$(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v3}), $\frac{\partial}{\partial y}$(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})より,
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial}{\partial x}\left(
			     \frac{\partial v}{\partial t}
			    \right) 
 &=& - y\frac{\partial u}{\partial x} 
   -  \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x\partial y}
   \label{ddx-equator-shallow-water-nondim-eq-v3} \\
 \frac{\partial}{\partial y}\left(
			     \frac{\partial u}{\partial t}
			    \right) 
 &=&   v 
   + y\frac{\partial v}{\partial y} 
   - \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x\partial y}
   \label{ddy-equator-shallow-water-nondim-eq-u3}
\end{eqnarray}
よって,
(\ref{ddx-equator-shallow-water-nondim-eq-v3})$-$(\ref{ddy-equator-shallow-water-nondim-eq-u3})より相対渦度 $\zeta$ の渦度方程式を得る: 
\begin{equation}
 \frac{\partial\zeta}{\partial t}
\equiv
 \frac{\partial}{\partial t}\left(
			     \frac{\partial v}{\partial x} 
			    -\frac{\partial u}{\partial y}
			    \right)
 = - v - y\left(
	     \frac{\partial u}{\partial x} 
	   + \frac{\partial v}{\partial y}
	  \right) \label{relative-vorticity-eq}
\end{equation}
これより相対渦度の時間変化は, コリオリ力の南北経度と速度場の水平発散成分
からなっていることが分かる. 以下では必要に応じて
(\ref{relative-vorticity-eq})式の各項の水平分布の図を示すことにする. な
お, (\ref{relative-vorticity-eq})式の水平モード展開の詳細は付録
\ref{uzudo-eq-mode-expansion} 章に記述した.

\section{\protect $n=1, k=0$ の赤道ロスビー波}\Dseclab{rossby-denpa-n=1}

$n=1, k=0$ の場合, \Deqref{eq-ro-bunsan-nondim}を用いると $\omega = 0$ 
となる. したがって, \Dsecref{v-not=0-eigen-solution}の $\omega = k$ の
場合になるので, 用いるべき固有関数は, ケルビン波と同じ 
\Deqref{solution_v=0_n=-1_u}〜\Deqref{solution_v=0_n=-1_phi} となる.  こ
の様に, $k=\omega=0$ の解は縮退しており, 赤道ロスビー波の構造とケルビン
波の構造は同じになる. したがって, その構造の詳細と伝搬メカニズムについて
は, \Dchapref{kelvin-denpa}でまとめて後述することにする.

\section{\protect $n=1, k\not=0$ の赤道ロスビー波}\Dseclab{rossby-denpa-n=1}

次に $n\ge 1, k\not=0$ の場合の赤道ロスビー波として, $n=1$ の場合の特徴
をまとめる. 

以下では, ロスビー波の分散曲線(図\ref{eq-bunsan-line})の傾きが変わる波数 
$k=2$ を境として, $0 < k \le 2.0$ の場合を低波数(長波, 群速度 
$\partial\omega/\partial k<0$)のレジーム, $k > 2.0$ の場合を高波数(短波, 
群速度 $\partial\omega/\partial k>0$) のレジームとして分類し議論する.

\subsection{\protect $0 < k \le 2.0$ (低波数)の赤道ロスビー波の特徴}

低波数($k=1.0$)の場合のモードの構造を図\ref{n1_k1.0_ro-w-term} 
に示す. このモードの振動数は, \Deqref{eq-ro-bunsan-nondim}より $-0.25$ 
となる. 以下では, 図\ref{n1_k1.0_ro-w-term} の低波数のケースから得られる
特徴をまとめる.

	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. 速度ベクトルは, 赤道
			       対称な分布をする. この特徴は, $n=1$ のモー
			       ド(他に慣性重力波がある)に共通して見られ
			       る\footnote{ $n=1, k\not=0$ の場合,
			       \Deqref{solution_vnot=0_n=1_u} 〜
			       \Deqref{solution_vnot=0_n=1_Phi}より, 以
			       下の様になる(再掲):
			       \begin{eqnarray*}
				u(x,y,t)    &=& -2\frac{(\omega+k)y^2 - k}{\omega^2 - k^2}e^{-(1/2)y^2}\sin(kx-\omega t), \\
				v(x,y,t)    &=& 2y e^{-(1/2)y^2}\cos(kx-\omega t), \\
				\phi(x,y,t) &=& -2\frac{(\omega+k)y^2 - \omega}{\omega^2 - k^2}e^{-(1/2)y^2}\sin(kx-\omega t).
			\end{eqnarray*}}. 東西流速は赤道で 0 とならないの
			       で速度ベクトル自身も赤道で 0 とならな
			       い. 東西風速が 0 となるのは, 緯度 
			       $\pm\sqrt{k/(\omega+k)}$ である. 南北流速
			       は, 赤道反対称な分布をする. 南北流速は赤
			       道で 0 となる. 

			       次に, 速度ベクトルの時間変化の特徴につい
			       て $\partial u/\partial t, \partial
			       v/\partial t$ の分布を見ると, それぞれ東
			       西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長遅れて
			       いることが分かる. このことから速度ベクト
			       ルの位相は全体として西進していることが分
			       かる.

			 \item 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. ジオポテンシャルも, 
			       速度ベクトルと同様, 赤道対称な分布をする.
			       ジオポテンシャルが 0 となる緯度は, 
			       $\pm\sqrt{\omega/(\omega+k)}$ である(本ペー
			       ジ脚注参照). 

			       次に, ジオポテンシャルの時間変化の特徴に
			       ついて $\partial\Phi/\partial t$ の分布を
			       見ると, ジオポテンシャルの分布と比べて
			       1/4 波長遅れていることが分かる. このこと
			       からジオポテンシャルの位相も全体として西
			       進していることが分かる. 
			\end{itemize}

	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       は, 基本的には中緯度のロスビー波と同様に 
			       $\beta$ 効果で起こっている. まずここでは,
			       中緯度のロスビー波の伝搬メカニズムを簡単
			       にまとめておく. 

			       中緯度のロスビー波は, 中緯度$\beta$ 平面
			       に於ける線形化した準地衝流渦度方程
			       式で記述される(付録 \ref{rossby-wave} 章参照).
			       波長の長い($k\rightarrow 0$ の)ロス
			       ビー長波の場合を考えると, 水平スケール
			       ($L$)が非常に大きくなるので,
			       相対渦度は, 流
			       体柱の伸縮による渦位変化や惑星渦度による
			       渦位変化と比べて相 
			       対的に無視することが出来る. こうして, 絶
			       対渦度保存則は以下の様に近似して考えるこ
			       とが出来る:
			       \begin{equation}
				\frac{\partial}{\partial t}\left(
							    \frac{f+\zeta}{h}
							   \right)
				 \simeq  
				\frac{\partial}{\partial t}\left(
							    \frac{f}{h}
							   \right) 
				= 0
				\Deqlab{pv-hozon}
			       \end{equation}
			       ただし, ここで $f=f_{0}+\beta y$, $\zeta$ 
			       は, 流体の相対渦度, $h$ は流体中の厚さを
			       示す. 例えば, 北半球の場合には, ジオポテ
			       ンシャルが正の領域の西側で $v>0$, 東側で
			       $v<0$ の地衝流が流れている状況を考える. 
			       この南北流に伴い, 惑星渦度は西側で増加し, 
			       東側で減少するので, \Deqref{pv-hozon} の
			       絶対渦度の保存により, 流体柱は西側で増加
			       し東側で減少する(上述した様に, 相対渦度は
			       ほとんど変化しない). その結果, ジオポテン
			       シャルの正の領域も西に伝播していく.

			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズム

			       上述した様に, 中緯度のロスビー波の速度ベ
			       クトル, ジオポテンシャルの位相伝搬には
			       $\beta$ 効果が効いている. ここでも, はじ
			       めに渦度方程式 
			       (\ref{relative-vorticity-eq})式を用いて, 
			       中緯度のロスビー波と対比させながら赤道域
			       のロスビー波の位相伝搬メカニズムをまとめ
			       る. 

			       図\ref{n1_k1.0_ro-w-vorticity}を見ると, 
			       相対渦度の時間変化
			       ($\partial\zeta/\partial t$)は, $-v$ とほ
			       とんどバランスしていることが分かる. この
			       ため, 相対渦度の位相伝搬に対する速度場の
			       発散成分の寄与は小さく, 南北流による惑星
			       渦度の生成($\beta$ 効果)が, 位相伝搬に大
			       きく寄与していることが分かる. つまり,
			       (\ref{relative-vorticity-eq})式に於いて, 
			       右辺第二項が無視できる状態にある:
			       \begin{equation}
				\frac{\partial\zeta}{\partial t}
				 %\equiv
				 % \frac{\partial}{\partial t}\left(
				 %          \frac{\partial v}{\partial x} 
				 %         -\frac{\partial u}{\partial y}
				 %	  		      \right)
				 \simeq - v = -\frac{\partial\phi}{\partial x}
				 % -y\left(
				 %   \frac{\partial u}{\partial x} 
				 % + \frac{\partial v}{\partial y}
				 %   \right) 
				 \label{relative-vorticity-eq2}
			       \end{equation}
			       $\beta$ 効果で位相伝搬する点は, 中緯度の
			       ロスビー波の位相伝搬のメカニズムと同様で
			       あるが, 発散成分の寄与が小さいという点は, 
			       中緯度のロスビー波と異なる(中緯度のロスビー
			       波では, $\beta$ 効果と速度の収束発散(流体
			       中の伸縮)がバランスしていた). したがって, 
			       絶対渦度保存則は, 赤道ロスビー波に適用す
			       る場合, 以下の様に近似して考えることが出
			       来る:
			       \begin{equation}
				\frac{\partial}{\partial t}\left(
							    \frac{f+\zeta}{h}
							   \right)
				 \simeq  
				\frac{\partial}{\partial t}\left(
							    f+\zeta
							   \right)
				= 0
				\Deqlab{pv-hozon2}
			       \end{equation}
			       こうして, (\ref{relative-vorticity-eq2}) 
			       より, 東西方向に圧力傾度力が存在すれば, 
			       そこで圧力傾度力と逆符号の地衝流による南
			       北流 $v$ が発生し, この南北流に伴う惑星渦
			       度の生成 $\beta v$ ($\beta$ 効果)と釣合う
			       ように相対渦度が生成される. 例えば, 相対
			       渦度が正の領域の西側で $v>0$, 東側で$v<0$ 
			       となる. これに伴い, 惑星渦度は西側で増加
			       し, 東側で減少するので,
			       \Deqref{pv-hozon2}の絶対渦度の保存により, 
			       相対渦度は西側で減少し東側で増加する(上述
			       した様に, 収束発散成分(流体柱の伸縮)は非
			       常に小さいので, 考えなくて良い). その結果, 
			       相対渦度が正の領域(相対渦度が負の領域)も
			       西に伝播していく(図
			       \ref{eq-rossby-denpa-1}参照).

			       次に, 速度ベクトルとジオポテンシャルの位
			       相伝搬を運動方程式から議論することにする. 
			       ジオポテンシャルの位相伝搬は運動方程式を
			       用いて説明できるが, 速度ベクトルの位相伝
			       搬はうまく説明できない.

			       はじめに, ジオポテンシャルの位相伝搬のメ
			       カニズムについて考察する. 図
			       \ref{n1_k1.0_ro-w-term}の経度180度付近の
			       速度ベクトルの分布を見ると, 赤道域では西
			       側で東風, 東側で西風, 南側で南風, 北側で
			       北風となるので, この経度帯の東西風は発散
			       域となり, 南北風は収束域となっていること
			       が分かる(図\ref{n1_k1.0_ro-w-term}の
			       $-\partial u/\partial x$, $-\partial
			       v/\partial y$ 成分参照). 赤道域では東西風
			       の収束発散成分の寄与が大きいので, 東西風
			       の発散により経度180度付近の赤道域では,
			       $\partial\phi/\partial t$ は負の値を取る
			       ようになる(図\ref{n1_k1.0_ro-w-term} の 
			       $\partial \phi/\partial t$ 成分参照). 赤
			       道を離れると, 東西風, 南北風の収束発散の
			       仕方, その大小はそれぞれ赤道域と逆転し, 
			       南北風の収束発散成分が卓越するようになる. 
			       このため, 赤道を離れたところでは, 南北風
			       の発散により $\partial\phi/\partial t$ は
			       負の値を取るようになる. 他の経度帯でも同
			       様に, ジオポテンシャルの位相伝搬は速度ベ
			       クトルの収束発散で決まっている. このよう
			       に, 速度ベクトルとしての収束発散成分は重
			       力波の場合と比べて非常に小さい(上述した様
			       に, 東西風の収束発散成分と南北風の収束発
			       散成分がほぼバランスしている)が, 東西風と
			       南北風に分けて考えると, ジオポテンシャル
			       の位相伝搬は, 速度ベクトルの収束発散に応
			       じて決まっているにすぎない.

			       次に, 速度ベクトルの位相伝搬について考察
			       する. 速度ベクトルの位相伝搬を運動方程式
			       から解釈しようとすると, 以下に述べるよう
			       にうまくいかない. 図
			       \ref{n1_k1.0_ro-w-term} の経度180 度付近
			       の赤道域のジオポテンシャルの分布に注目す
			       ると, 西側で正の値, 東側で負の値を取
			       る. このため, この領域の東西圧力傾度力 
			       $-\partial\phi/\partial x$ は, 正の値を取
			       る. したがって, この領域での東西風は西風
			       加速を受けるので, 図
			       \ref{n1_k1.0_ro-w-term}の東西風の分布と見
			       比べると, 赤道域の東西風の位相は確かに西
			       に伝播することが分かる. ところが, 図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term}の経度180度付
			       近の高緯度側のジオポテンシャルの分布も赤
			       道域と同じ符号を取るので, この領域の東西
			       圧力傾度力 $-\partial\phi/\partial x$ も, 
			       正の値を取る. この領域の東西風の分布と見
			       比べると, 高緯度側の速度ベクトルの位相伝
			       搬に圧力傾度力は寄与していないことが分か
			       る. 高緯度側の速度ベクトルの向きを決めて
			       いるのは, コリオリ力である. 速度ベクトル
			       の位相伝搬のメカニズムを議論するためには, 
			       渦度方程式を用いれば良い. 例えば, 図
			       \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term}の右上の速度
			       ベクトルと相対渦度の分布に注目する. 経度
			       180度付近では, 相対渦度は正の値を取るので, 
			       先程説明した様に西に伝搬する.  また, 速度
			       ベクトルの分布は, 相対渦度の西への伝播に
			       応じて決まるので, 速度ベクトルの位相も西
			       に伝播することが分かる. 一方, 赤道上では
			       コリオリ力が働かないので, 基本的にジオポ
			       テンシャルの分布による圧力傾度力の方向に
			       従って, 速度ベクトルは位相伝搬してい
			       る. これは, 上述した通りである.
			\end{itemize}

%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k1.0_ro-w-term} より, 低波数の場合の赤
%			道ロスビー波の東西風の時間変化( $\partial u
%			/\partial t$ )の大きさは, 高緯度ではコリオリ力
%			($yv$)の効果, 低緯度では圧力傾度力($\partial\Phi
%			/ \partial x$)の効果で決まっていることがわか
%			る. このため, 低緯度では重力波的, 高緯度ではロス
%			ビー波的な構造をしている. しかし, 赤道域と高緯度
%			域に分けて眺めると, 全体として西進していることが
%			分かる. コリオリ力に対する圧力傾度力の大きさは, 
%			東西波数が増大するにつれて大きくなり, $\partial
%			u /\partial t$ の大きさは東西波数が増加するにつ
%			れて小さくなる.\\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k1.0_ro-w-term} より, 低波数の場合の赤
%			道ロスビー波の時間変化($\partial v /\partial t$) 
%			の大きさは, 東西風の時間変化の大きさと同様, 高緯
%			度ではコリオリ力($-yu$)の効果, 低緯度では圧力傾
%			度力($-\partial\Phi / \partial y$)の効果で決まっ
%			ている. このため, 低緯度では重力波的, 高緯度では
%			ロスビー波的な構造をしている. しかし, 赤道域と高
%			緯度域に分けて眺めると, やはり全体として西進して
%			いることが分かる. \\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k1.0_ro-w-term} より, 低波数の場合の赤
%			道ロスビー波のジオポテンシャルの時間変化
%			($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 低緯度で
%			は東西風の収束発散成分($-\partial u/\partial
%			x$), 高緯度では南北風の収束発散($-\partial
%			v/\partial y$)成分の効果で決まっている. 南北風の
%			収束発散成分に対する東西風の収束発散成分の大きさ
%			は, 東西波数が大きくなるにつれて増加し,
%			$\partial\Phi /\partial t$ の大きさは東西波数が
%			増加するにつれて小さくなる. 赤道域と高緯度域に分
%			けて眺めると, やはり全体として西進していることが
%			分かる. \\
%
%	     \item[● 相対渦度の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k1.0_ro-w-vorticity}より, 低波数の場合
%			の赤道ロスビー波の相対渦度は, 速度場に対応して赤
%			道反対称に正負の渦度が並んだ分布になっている. 一
%			方赤道から離れた高緯度では赤道域と逆符号の渦度を
%			持つ.  これに対して, 赤道ロスビー波の相対渦度の
%			時間変化($\partial\zeta/\partial t$)は, 東西方向
%			に 1/4 波長西向きに進んだ分布となっている(西向き
%			に伝播する). この分布は, 南向きの流速に伴うコリ
%			オリ力の南北変化($df/dy=-v$)で決まっている. つま
%			り, 南北流が受けるコリオリ力の緯度変化に伴って, 
%			絶対渦度が保存するように相対渦度の時間変化項の分
%			布が決まっている. これは, いわゆるロスビー波の水
%			平伝搬のメカニズムと同じである. 一方, 速度の水平
%			発散の成分は, コリオリ力による相対渦度生成の効果
%			を弱めるように働いている.
	    \end{description}
\begin{figure}[H]
 \vspace{-10mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[9.5cm]{ps/eq-rossby-n=1.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1$ の赤道ロスビー波の伝播メカニズム.} \label{eq-rossby-denpa-1}
\end{figure}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-14mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n1-ro-w-term/n1_k1.0_ro-w-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=1.0$ (低波数)の赤道ロスビー波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=-0.25, c=-0.25, \partial\omega/\partial k = -0.125$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各列で下3枚が同じ. }
 \label{n1_k1.0_ro-w-term}
\end{figure}
{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
% \vspace*{-5mm} 
 \hspace*{-5mm}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/vorticity/n1-ro-w-term/n1_k1.0_ro-w-term-s.ps}
% \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=1, k=1.0$ (低波数)のロスビー波の相対渦度
 \protect$\zeta$ と $d\zeta/dt$, さらに $d\zeta/dt$ を構成する各々の成分
 の水平分布($t=0, \omega=-0.25, c=-0.25$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ. }
 \label{n1_k1.0_ro-w-vorticity}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c|}\hline
  $\zeta$    \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial\zeta}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline
 $-v$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-y\left(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\right)$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\subsection{\protect $k > 2.0$ (高波数)の赤道ロスビー波の特徴}

高波数($k=2.5$)の場合のモードの構造を図\ref{n1_k2.5_ro-w-term} に示す. 
このモードの振動数は, \Deqref{eq-inertio-gw-bunsan}より $-0.27$ となる.
% $k<2.0$ の場合と振動数と比べてより小さな値を取る理由は, 速度場がより地衝
%流バランスに近い状態となり, 収束発散成分の寄与が小さくなったためである. 

以下では, 低波数のモードとの相違について, 図\ref{n1_k2.5_ro-w-term}
の高波数のケースから得られる特徴をまとめる.

	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}

			速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布の特徴は, 低
			波数の場合と変わらない. 低波数のモードと異なり, 
			高波数のモードでは群速度が正となり符号が変わるが,
			図\ref{n1_k2.5_ro-w-term}からはその特徴は分から
			ない.

			
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトルの回転運動, 位相伝搬のメカニ
			       ズムは低波数の場合と同様である. 低波数の
			       場合との違いは, 速度場がより地衝流バラン
			       スに近付いていることである. このため, 速
			       度場の収束発散によって伝搬するといった重
			       力波的な特徴はよりいっそう弱くなり,
			       $\beta$ 効果により相対渦度が時間変化する
			       中緯度のロスビー波的な伝搬メカニズムにシ
			       フトしていることが分かる.

			 \item ジオポテンシャルの位相伝搬メカニズムも低
			       波数の場合と同様である. しかし, 低波数の
			       場合と比べて東西流速の収束発散成分がより
			       大きくなるので, 南北流速の収束発散成分と
			       ほぼキャンセルするようになり, 速度ベクト
			       ルの収束発散成分は 0 に近付く.
			\end{itemize}

%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k2.5_ro-w-term} より, 高波数の場合の赤
%			道ロスビー波の東西風の時間変化( $\partial u
%			/\partial t$ )の大きさは, 低波数の場合と比べて小
%			さく, コリオリ力($yv$) と圧力傾度力
%			($\partial\Phi / \partial x$)がほぼバランスして
%			いる. このバランスは特に高緯度で顕著で, 低緯度で
%			は圧力傾度力の効果がわずかにコリオリ力に勝ってい
%			る. 一方, 高緯度ではコリオリ力の方が圧力傾度力よ
%			りも僅かに勝っている. この点で, やはり低緯度では
%			重力波的, 高緯度ではロスビー波的な構造をしている. 
%			しかし, 赤道域と高緯度域に分けて眺めると, 全体と
%			して西進していることが分かる. 圧力傾度力に対する
%			コリオリ力の大きさは, 東西波数が増大するにつれて
%			小さくなり, $\partial u /\partial t$ の大きさは
%			東西波数が増加するにつれて益々小さくなる.\\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k2.5_ro-w-term} より, 高波数の場合の赤
%			道ロスビー波の時間変化($\partial v /\partial t$) 
%			の大きさは, 低波数の場合と比べて小さく, 東西風の
%			時間変化の大きさと同様, 高緯度ではコリオリ力
%			($-yu$)の効果, 低緯度では圧力傾度力
%			($-\partial\Phi / \partial y$)の効果で決まってい
%			る. このため, 低緯度では重力波的, 高緯度ではロス
%			ビー波的な構造をしている. しかし, 赤道域と高緯度
%			域に分けて眺めると, やはり全体として西進している
%			ことが分かる. \\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k2.5_ro-w-term} より, 高波数の場合の赤
%			道ロスビー波のジオポテンシャルの時間変化
%			($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 低波数の
%			場合と比べて小さく, 低緯度では南北風の収束発散
%			($-\partial v/\partial y$)成分と東西風の収束発散
%			成分($-\partial u/\partial x$)がほぼバランスして
%			いる. 東西風の収束発散成分に対する南北風の収束発
%			散成分の大きさは, 東西波数が大きくなるにつれて減
%			少する. 赤道域と高緯度域に分けて眺めると, やはり
%			全体として西進していることが分かる. \\
%
%	     \item[● 相対渦度の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n1_k2.5_ro-w-vorticity}より, 高波数の場合
%			のロスビー波の相対渦度は, 低波数の場合の分布と同
%			じであるが, 大きさは強くなっている. 一方, 相対渦
%			度の時間変化($\partial\zeta/\partial t$)は, 東西
%			方向に 1/4 波長西向きに進んだ分布となっている(西
%			向きに伝播する). この分布は, 低波数の場合と同様, 
%			南向きの流速に伴うコリオリ力の南北変化
%			($df/dy=-v$)で決まっている. つまり, 絶対渦度保存
%			則に従って, コリオリ力の変化が相対渦度の変化をも
%			たらしている. 一方, 相対渦度の生成を押える働きに
%			ある速度の水平発散の成分は, 低波数の場合よりも小
%			さくなっており, 高波数になるほどいわゆるロスビー
%			波的な構造に近づくことを示している.
	    \end{description}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-14mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n1-ro-w-term/n1_k2.5_ro-w-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=2.5$ (高波数)の赤道ロスビー波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=-0.27, c=-0.11, \partial\omega/\partial k = 0.004$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$ の各列で下3枚が同じ. }
 \label{n1_k2.5_ro-w-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
% \vspace*{-5mm} 
 \hspace*{-5mm}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/vorticity/n1-ro-w-term/n1_k2.5_ro-w-term-s.ps}
% \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=1, k=2.5$ (高波数)のロスビー波の相対渦度
 \protect$\zeta$ と $d\zeta/dt$, さらに $d\zeta/dt$ を構成する各々の成分
 の水平分布($t=0, \omega=-0.27, c=-0.11$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ. }
 \label{n1_k2.5_ro-w-vorticity}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c|}\hline
  $\zeta$    \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial\zeta}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline
 $-v$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-y\left(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\right)$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\section{\protect $n\ge 2, k\not=0$ の赤道ロスビー波}\Dseclab{rossby-denpa-n=2}

$n\ge 2, k\not=0$ の赤道ロスビー波の図を, 図\ref{n2_k1.0_ro-w-term}〜
図\ref{n2_k2.5_ro-w-vorticity}に載せる. $n$ の値が大きくなると, 南北の構造
は変化するが, 位相伝搬のメカニズムは $n=1, k\not=0$ のロスビー波と変わら
ない.

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n2-ro-w-term/n2_k1.0_ro-w-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=1.0$ (低波数)の赤道ロスビー波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=-0.17, c=-0.17$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ. }
 \label{n2_k1.0_ro-w-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
% \vspace*{-5mm} 
 \hspace*{-5mm}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/vorticity/n2-ro-w-term/n2_k1.0_ro-w-term-s.ps}
% \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=2, k=1.0$ (低波数)のロスビー波の相対渦度
 \protect$\zeta$ と $d\zeta/dt$, さらに $d\zeta/dt$ を構成する各々の成分
 の水平分布($t=0, \omega=-0.17, c=-0.17$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ. }
 \label{n2_k1.0_ro-w-vorticity}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c|}\hline
  $\zeta$    \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial\zeta}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline
 $-v$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-y\left(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\right)$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n2-ro-w-term/n2_k2.5_ro-w-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=2.5$ (高波数)の赤道ロスビー波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=-0.22, c=-0.09$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ. }
 \label{n2_k2.5_ro-w-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
% \vspace*{-5mm} 
 \hspace*{-5mm}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/vorticity/n2-ro-w-term/n2_k2.5_ro-w-term-s.ps}
% \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=2, k=2.5$ (高波数)のロスビー波の相対渦度
 \protect$\zeta$ と $d\zeta/dt$, さらに $d\zeta/dt$ を構成する各々の成分
 の水平分布($t=0, \omega=-0.22, c=-0.09$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ. }
 \label{n2_k2.5_ro-w-vorticity}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c|}\hline
  $\zeta$    \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial\zeta}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline
 $-v$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-y\left(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\right)$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

%慣性重力波の場合と同様に, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜
%(\ref{equator-shallow-water-eq-phi}) の各項の水平分布を図示すると図
%\ref{n1_k1_ro-w-term} の様になる.  $\partial \Phi/\partial t$ の分布は低
%緯度では $\partial u/\partial x$ の効果, 高緯度では $\partial v/\partial
%y$ の効果が効いており, これらの項の足し合わせで決まっている. この水平風
%の分布のうち $\partial u/\partial t$ は, 高緯度では $ yv$ (コリオリ力)の
%効果, 低緯度では $\partial\Phi/\partial x$ (圧力傾度力)が効いている. 一
%方, $\partial v/\partial t$ の分布は, 高緯度では $- yu$ (コリオリ力) の
%効果, 赤道を挟んだ低緯度では $-\partial\Phi/\partial y$ (圧力傾度力)の効
%果が効いていることがわかる. このことから $\partial u/\partial t,
%\partial v/\partial t$ 共に, 高緯度ではコリオリ力の効果で速度分布が決ま
%り, 低緯度のようなコリオリ力の効かない領域では圧力傾度力によって速度分布
%が決まっているといえる. この特徴は $n=0$ の混合ロスビー重力波の特徴と同
%じであり, 高緯度で地衝流的, 低緯度で非地衝流的な流れとなる速度場のパター
%ンと整合的である(図\ref{eq-rossby-denpa-1}). 一方, 圧力分布は, 惑星渦度
%の南北経度に応じた相対渦度の時間変化$d\zeta/dt$ の効果を考えると理解しや
%すい. 地衝流的な速度場になる高緯度において赤道向きの流れがあると, コリオ
%リ力は緯度と共に減衰するからポテンシャル渦度の保存により $d\zeta/dt > 0$ 
%とならなければならない. したがって低圧部($\zeta > 0$ の領域)の西側に 
%$d\zeta/dt > 0$ の領域が作られ, 低圧の領域は西に伝播する.  高圧部の場合
%も以上の議論を逆に辿れば良い(図\ref{eq-rossby-denpa-1}).
%
%\begin{figure}[H]
% \vspace{-5mm} 
% \begin{center}
%  \Depsf[9cm]{ps/eq-rossby-n=1.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=1$ のロスビー波の伝播メカニズム.} \label{eq-rossby-denpa-1}
%\end{figure}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15.2cm]{ps/n1_k1_ro-w-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=1, k=1$ のロスビー波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} 
%\label{n1_k1_ro-w-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15.2cm]{ps/n2_k1_ro-w-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=2, k=1$ のロスビー波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} 
%\label{n2_k1_ro-w-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%

\newpage

\chapter{混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム}\Dchaplab{mixed-denpa}

\Dsecref{sec-n=0}の結果より混合ロスビー重力波の振動数 $\omega$, 位相
速度 $c$ をまとめると次の様になる:\footnote{有次元系で表記すると, 混合ロ
スビー重力波の振動数, 位相速度は次の様になる: $$ \qquad~~~~~~~\omega =
\displaystyle\frac{1}{2}\left( k\sqrt{gH} \pm \displaystyle\sqrt{
k^{2}gH + 4\beta\sqrt{gH} } \right) \qquad(\mbox{for} ~n=0) $$ $$
\qquad\qquad c = \displaystyle\frac{1}{2}\left( \sqrt{gH} \pm
\displaystyle\sqrt{ gH + \displaystyle\frac{4\beta\sqrt{gH}}{k^{2}} }
\right) \qquad ~~~~~(\mbox{for} ~n=0) $$ } 
\begin{eqnarray}
\omega &=&
\displaystyle\frac{k\pm\sqrt{k^{2}+4}}{2} \qquad\qquad ~(\mbox{for} ~n=0) \Deqlab{eq-mixed-ro-gw-bunsan} \\
     c &=&  \displaystyle\frac{1}{2}\left(
			  1 \pm \displaystyle\sqrt{
		          1 + \displaystyle\frac{4}{k^{2}} }
			 \right)
\qquad (\mbox{for} ~n=0) \label{eq-mixed-rossby-gw-phase}
\end{eqnarray}
(\ref{eq-mixed-rossby-gw-phase})より, 混合ロスビー重力波には東進するもの
と西進するものが存在する.

\section{$n=0, k=0$ の混合ロスビー重力波}\Dseclab{n=0_k=0_mixed-ro-gw-phys-component}

本節では, $n=0, k=0$ の混合ロスビー重力波の特徴について述べる. $n=0,
k=0$ のモードの振動数は, \Deqref{eq-mixed-ro-gw-bunsan}より 
$\omega=1=\beta$ となる. $n=0$ のモードは, $n\ge 1$ のモードとは異なる構
造を持つ. なぜなら, $n$ はモードの南北構造を規定し, $n$ の違いは南北構造
に反映されるからである.

以下では, $n=1,2, k=0 $ のモードとの相違点を通して, $n=0, k=0$ のモード
の特徴をまとめる\footnote{本節で述べる特徴の物理的根拠は, 付録
\Dchapref{n=0_k=0_mixed-ro-gw-phys-component}に記した.}.

\subsection{$n=0, k=0$ の混合ロスビー重力波の特徴}

本節では, 図\ref{n0_k0.0_mixed-vector}〜図
\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5} 中に共通してみられる特徴をまとめる.
\begin{itemize}
 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布および時間発展は以下の通り: 
       \begin{itemize}
	\item 速度ベクトルは, 赤道反対称分布をする
	      (\Deqref{k=0-n=0-real-u_xyt} 式). これは, $n$ が偶数だから
	      である. 速度ベクトルの大きさは, 南北半球でそれぞれ1つずつ
	      同符号の極値をもつ(\Deqref{n=0_k=0_amp_vector} 式). この様
	      に速度ベクトルの分布が $n=1, 2$ の場合と異なる他は,
	      $n=1,2, k=0$ のモードと同様に, 速度ベクトルは慣性振動で回
	      転し, その大きさは南北圧力傾度力により延び縮みする.
	\item ジオポテンシャルも赤道で 0 となる赤道反対称分布をする. 
              ジオポテンシャルは, 南北半球でそれぞれ1つずつ異符号
	      の極値をもつ(図\ref{n0_k0.0_mixed-vector}〜図
	      \ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5}の $\phi$ の等値線).
              この様にジオポテンシャルの分布が, $n=1,2$ の場合と異なる他
	      は, $n=1,2, k=0$ のモードと同様に, 速度ベクトルの向きによ
	      り符号を変える.
       \end{itemize}
 \item 速度ベクトルの時間発展は以下の様にして決まっている. 
       \begin{itemize}
	\item 速度ベクトルの回転は, $n=1,2, k=0$ の場合と同様コリオリ力の
	      ために起こる. コリオリ力の働きについても $n=1,2$ の場合と
	      同様である.
	\item 速度ベクトルの大きさは, 南北方向の圧力傾度力で決まる.
	      その詳細は, $n=1,2, k=0$ の場合と同様である.

%	      圧力傾度力の働きも $n=1,2, k=0$ の場合と同様, 速度ベクトル
%	      の大きさを変化させる効果を持つ. $n=0$ の場合, 圧力傾度力が
%	      0 となる緯度は $\pm 1$ であり南北両半球でそれぞれ 1つずつ
%	      存在する. 緯度 $\pm 1$ より赤道側では, 南・北半球で最初の 
%	      1/2 周期は南風加速となり, 次の 1/2 周期は北風加速となる
%	      \footnote{南北風は, 始めの 1/4 周期では南・北半球で北向き
%	      の成分を持つので減速し, 次の 1/4 周期では南向きの成分をも
%	      つので, 南北風は加速する. 残りの 1/2 周期も同様のメカニズ
%	      ムで南北風は減速, 加速をする.}. 一方, 緯度 $\pm 1$ より極
%	      側では, 南・北半球で最初の 1/2 周期は北風加速となり, 次の 
%	      1/2 周期は南風加速となる\footnote {南北風は, 始めの 1/4 周
%	      期では南・北半球で北向きの成分を持つので加速し, 次の 1/4 
%	      周期では南向きの成分をもつので, 南北風は減速する. 残りの 
%	      1/2 周期も同様のメカニズムで南北風は加速, 減速をする.}. 圧
%	      力傾度力が 0 となる緯度 $\pm 1$ では, 圧力傾度力による南北
%	      風の加速・減速が起こらないので, 速度ベクトルの大きさは時間
%	      変化しない.

       \end{itemize}
\item ジオポテンシャルの時間変化は, 以下の様に決まる: 
       \begin{itemize}
	\item ジオポテンシャルの時間発展は, $n=1,2, k=0$ の場合と同様, 
	      南北風の収束発散で決まる. 詳細は $n=1,2, k=0$ の節で述べた
	      通りである. 
       \end{itemize}
\end{itemize}
%続いて $n=0, k=0$ の混合ロスビー重力波がこれらの特徴を示す理論的根拠につ
%いて, 次節で詳細をまとめることにする.

\subsection{$n=0, k=0$ の混合ロスビー重力波の構造}

本節では, 始めに $1/4$ 周期ごとに速度ベクトルの時間変化を示し, 続いて運
動方程式(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})のそれぞれの項の水平分布図を
示す. 水平分布図の構成はこれまでと同様である. 

\newpage

%\subsection{速度ベクトル, コリオリ力, 圧力傾度力, 加速度ベクトルの位相関係}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n0_k0.0_mixed-term-t=0.5-vector.ps}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n0_k0.0_mixed-term-t=2.5-vector.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\end{figure}
\begin{figure}[H]
 \vspace{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n0_k0.0_mixed-term-t=3.5-vector.ps}
  \Depsf[7.5cm]{eq-arch/ps/vector/n0_k0.0_mixed-term-t=5.5-vector.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=0, k=0.0$ の慣性振動の速度ベクトル(黒色のベクトル), ジオポテンシャル(等値線), 圧力傾度力(赤色のベクトル), コリオリ力(緑色のベクトル), 加速度ベクトル(\protect$du/dt,dv/dt$)(青色のベクトル)のスナップショット. それぞれ \protect$t=0.5$ (上左図), \protect$t=2.5$ (上右図),\protect$t=3.5$ (下左図), \protect$t=5.5$ (下右図)である. ただし, ベクトルは経度180度の位置のもののみ示した.  また, 速度ベクトルの終点がその他のベクトルの始点になるように描いている.}
 \label{n0_k0.0_mixed-vector}
\end{figure}

%\newpage
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%\hspace*{-1.5cm}  
%  \Depsf[18.5cm]{eq-arch/ps/vector/n0_k0.0_low-high-lat.ps}
% \end{center}
%\caption{\protect $n=0, k=0.0$ の慣性振動の速度ベクトルとその成分
% (\protect\Deqref{k=0-n=0-real-u_xyt} 式. 太線は東西風, 細線は南北風.), 
% ならびに, 圧力傾度力の $y$ 成分(\protect\Deqref{n=0_k=0_p-grad}式. 点線)
% の時間変化. 横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ緯度 1.5 度(上段), 緯
% 度 1.0 度(中段), 緯度 0.5 度(下段)の図である. 図中の二本の斜線は,
% \protect$u$ と \protect$v$ のグラフが交差する点(\protect$u=v$ となる点) 
% を結んだものであり, 高緯度ほど \protect$u=v$ となる時間(速度ベクトルが 
% 45 度または 225度を向く時間) が早いことを示す. このグラフから, 速度ベク
% トルの傾きの緯度による違いは, \protect $u$ と $v$ の振幅差によることが
% わかる.}  \label{n0_k0.0_mixed-vector2}
%\end{figure}

%	    \begin{description}
%	     \item[\underline{北半球の速度ベクトルが↑から→のとき}] ~\\
%
%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=0.5} より北
%			半球の速度ベクトルが↑から→にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動の東西風の時間変化( $\partial u
%			/\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大
%			きさで決まり, 南北風に依って生じたコリオリ力が東
%			西風を生成している. また, 南北半球で逆符号を取る. 
%			この大きさは時間と共に{\bf 減少}し, 東西風の速度
%			が最大となる時に{\bf 0} となる.  \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=0.5} より北
%			半球の速度ベクトルが↑から→にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動の南北風の時間変化( $\partial v
%			/\partial t$ )の大きさは, 低緯度では圧力傾度力(
%			$-\partial\Phi / \partial y$)によって決まってお
%			り, 高緯度ではコリオリ力( $-yu$ )の大きさと圧力
%			傾度力の大きさが相殺する分布となっている. つまり,
%			赤道で盛り上がった高度場により南北風の加速度が発
%			生している. $\partial v/\partial t$ の大きさは時
%			間と共に{\bf 増加}し, 南北風の速度が 0 となる時
%			に{\bf 最大値}を取る. \\ 
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=0.5} より北
%			半球の速度ベクトルが↑から→にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動のジオポテンシャルの時間変化(
%			$\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の
%			収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決
%			まる(重力波的な構造をしている). また, 南北半球で
%			逆符号を取る. この大きさは東西風の時間変化と同期
%			して時間と共に{\bf 減少}し, 南北風の速度が 0 (東
%			西風が最大)となる時に{\bf 0} となる.
%	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.0, t=0.5$ の東進混合ロスビー重力波(慣性振動)の場合の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布.
 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n0_k0.0_mixed-term-line-t=0.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

%	    \begin{description}
%	     \item[\underline{北半球の速度ベクトルが→から↓のとき}] ~\\
%
%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5} より北
%			半球の速度ベクトルが→から↓にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動の東西風の時間変化( $\partial u
%			/\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大
%			きさで決まり, 南北風に依って生じたコリオリ力が東
%			西風を生成している. また, 南北半球で逆符号を取る. 
%			この大きさは時間と共に{\bf 増加}し, 東西風の速度
%			が 0 となる時に{\bf 最大値}を取る.  \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5} より北
%			半球の速度ベクトルが→から↓にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動の南北風の時間変化( $\partial v
%			/\partial t$ )の大きさは, 低緯度では圧力傾度力(
%			$-\partial\Phi / \partial y$)によって決まってお
%			り, 高緯度ではコリオリ力( $-yu$ )の大きさと圧力
%			傾度力の大きさが相殺する分布となっている. つまり,
%			赤道で盛り上がった高度場により南北風の加速度が発
%			生している. $\partial v/\partial t$ の大きさは時
%			間と共に{\bf 減少}し, 南北風の速度が最小となる時
%			に{\bf 0}を取る. \\ 
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5} より北
%			半球の速度ベクトルが→から↓にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動のジオポテンシャルの時間変化(
%			$\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の
%			収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決
%			まる(重力波的な構造をしている). また, 南北半球で
%			逆符号を取る. この大きさは東西風の時間変化と同期
%			して時間と共に{\bf 増加}し, 南北風の速度が最小
%			(東西風が 0)となる時に{\bf 最大値}を取る.
%	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.0, t=2.5$ の東進混合ロスビー重力波(慣性振動)の場合の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布.
 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

%	    \begin{description}
%	     \item[\underline{北半球の速度ベクトルが↓から←のとき}] ~\\
%
%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5} より北
%			半球の速度ベクトルが↓から←にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動の東西風の時間変化( $\partial u
%			/\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大
%			きさで決まり, 南北風に依って生じたコリオリ力が東
%			西風を生成している. また, 南北半球で逆符号を取る. 
%			この大きさは時間と共に{\bf 減少}し, 東西風の速度
%			が最小となる時に {\bf 0} となる.  \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5} より北
%			半球の速度ベクトルが↓から←にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動の南北風の時間変化( $\partial v
%			/\partial t$ )の大きさは, 低緯度では圧力傾度力(
%			$-\partial\Phi / \partial y$)によって決まってお
%			り, 高緯度ではコリオリ力( $-yu$ )の大きさと圧力
%			傾度力の大きさが相殺する分布となっている. つまり,
%			赤道で盛り上がった高度場により南北風の加速度が発
%			生している. $\partial v/\partial t$ の大きさは時
%			間と共に{\bf 増加}し, 南北風の速度が 0 となる時
%			に{\bf 最大値}を取る. \\ 
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5} より北
%			半球の速度ベクトルが↓から←にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動のジオポテンシャルの時間変化(
%			$\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の
%			収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決
%			まる(重力波的な構造をしている). また, 南北半球で
%			逆符号を取る. この大きさは東西風の時間変化と同期
%			して時間と共に{\bf 減少}し, 南北風の速度が 0 (東
%			西風が最小)となる時に{\bf 0} となる.
%	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=3.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.0, t=3.5$ の東進混合ロスビー重力波(慣性振動)の場合の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布.
 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

%	    \begin{description}
%	     \item[\underline{北半球の速度ベクトルが←から↑のとき}] ~\\
%
%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5} より北
%			半球の速度ベクトルが←から↑にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動の東西風の時間変化( $\partial u
%			/\partial t$ )の大きさは, コリオリ力( $yv$ )の大
%			きさで決まり, 南北風に依って生じたコリオリ力が東
%			西風を生成している. また, 南北半球で逆符号を取る. 
%			この大きさは時間と共に{\bf 増加}し, 東西風の速度
%			が 0 となる時に{\bf 最大値}をとる.  \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5} より北
%			半球の速度ベクトルが←から↑にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動の南北風の時間変化( $\partial v
%			/\partial t$ )の大きさは, 低緯度では圧力傾度力(
%			$-\partial\Phi / \partial y$)によって決まってお
%			り, 高緯度ではコリオリ力( $-yu$ )の大きさと圧力
%			傾度力の大きさが相殺する分布となっている. つまり,
%			赤道で盛り上がった高度場により南北風の加速度が発
%			生している. $\partial v/\partial t$ の大きさは時
%			間と共に{\bf 減少}し, 南北風の速度が最大となる時
%			に{\bf 0} となる. \\ 
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5} より北
%			半球の速度ベクトルが←から↑にある $k=0$ の場合
%			の慣性振動のジオポテンシャルの時間変化(
%			$\partial\Phi /\partial t$ )の大きさは, 南北風の
%			収束発散( $-\partial v/\partial y$ )の大きさで決
%			まる(重力波的な構造をしている). また, 南北半球で
%			逆符号を取る. この大きさは東西風の時間変化と同期
%			して時間と共に{\bf 増加}し, 南北風の速度が最大
%			(東西風が 0)となる時に{\bf 最大値}をとる.
%	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=5.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.0, t=5.5$ の東進混合ロスビー重力波(慣性振動)の場合の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布.
 下の 3 $\times$ 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.} \label{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\section{\protect $n=0, k\not=0$ の東進混合ロスビー重力波}

本節では, $n=0, k\not=0$ の東進混合ロスビー重力波の特徴をまとめる. 

東進混合ロスビー重力波の伝搬メカニズム, 基本的な性質は, $k$ の値に依らな
い. しかし, 慣性重力波の場合と同様, 運動方程式中で卓越する項は $k$ の値
により大きく変化する. 運動方程式の $x$ 成分に於いてコリオリ力の項に対す
る圧力傾度力の項の大きさは, $k$ が増大するにつれて大きくなり, $k=0.7$ で
同程度になる. そこで以下では, 低波数レジームの $k=0.5$ のモードの構造と
高波数レジームの $k=1.4$ のモードの構造を示し議論する.

\subsection{\protect $0 < k \le 0.7$ (低波数)の東進混合ロスビー波の特徴}

低波数($k=0.5$)の場合のモードの特徴を図\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term},
\ref{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity} に示す. このモードの振動数は,
\Deqref{eq-mixed-ro-gw-bunsan}より $1.28$ となる.

以下では, 東進慣性重力波やロスビー波との相違について, 図
\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}, \ref{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity} 
から得られる特徴をまとめる.

	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. 速度ベクトルは, $n=2$ 
			       の東進慣性重力波の場合と同様, 赤道反対称
			       な分布をする\footnote{ $n=0, k\not=0$ の
			       場合, \Deqref{solution_vnot=0_n=0_u}〜
			       \Deqref{solution_vnot=0_n=0_Phi}より,
			       \begin{eqnarray}
				u(x,y,t)    &=& -\frac{y}{\omega-k}e^{-(1/2)y^2}\sin(kx-\omega t), \label{n=0_knot=0} \\ 
				v(x,y,t)    &=& e^{-(1/2)y^2}\cos(kx-\omega t), \\
				\phi(x,y,t) &=& -\frac{y}{\omega-k}e^{-(1/2)y^2}\sin(kx-\omega t).
			       \end{eqnarray}
			       となる.  }. 速度ベクトルが 0 となる緯度は
			       存在せず, 東西風速だけが, 赤道上で 0 とな
			       る. 

			       次に速度ベクトルの時間変化の様子について 
			       $\partial u/\partial t, \partial
			       v/\partial t$ の分布を見ると, それぞれ東
			       西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長進んで
			       いることが分かる. このことから確かに速度
			       ベクトルの位相は全体として東進しているこ
			       とが分かる. 

			       速度ベクトル分布, 時間変化の様子は, 東進
			       慣性重力波の $n=2$ の場合(例えば, 図
			       \ref{n2_k0.5_ig-w-east-term})の赤道付近と
			       良く似ており, 東進慣性重力波的な構造をし
			       ている.

			 \item 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の
			       様子について述べる. ジオポテンシャルも,
			       $n=2$ の東進慣性重力波の場合と同様, 赤道
			       反対称な分布をする. ジオポテンシャルは,
			       赤道上で 0 となる. 

			       次にジオポテンシャルの時間変化の様子につ
			       いて $\partial\Phi/\partial t$ の分布を見
			       ると, ジオポテンシャルの分布と比べて 1/4 
			       波長進んでいることが分かる. このことから
			       ジオポテンシャルの位相も全体として東進し
			       ていることが分かる.

			       ジオポテンシャルの分布, 時間変化の様子も, 
			       東進慣性重力波の $n=2$ の場合(例えば, 図
			       \ref{n2_k0.5_ig-w-east-term})の赤道付近と
			       良く似ており, 東進慣性重力波的な構造をし
			       ている.
			\end{itemize}

	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展
			       の大まかな特徴

			       速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズムは, $n=2$ の東進慣性重力波の
			       特徴と同様に重力波的である. このため, 高
			       緯度域, 赤道域という切り分けで議論するこ
			       とが出来る. 以下で, この位相伝搬のメカニ
			       ズムをまとめる.

%			       図\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}を見ると, 
%			       高緯度域と赤道域の切り分けは出来そうにな
%			       いが, 図
%			       \ref{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity} 
%			       を見ると, 明らかに高緯度域と赤道域で時間
%			       発展のメカニズムが異なる. 図
%			       \ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} の速度ベクト
%			       ルやジオポテンシャルの位相伝搬に寄与して
%			       いるのは, 速度ベクトルの収束発散成分と圧
%			       力傾度力である. この図からは, コリオリ力
%			       は, 速度ベクトルの方向をゆがめる働きをし
%			       ているだけのように見える. 一方, 図
%			       \ref{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity} 
%			       の相対渦度の位相伝搬に寄与しているのは, 
%			       高緯度域では速度ベクトルの収束発散成分, 
%			       赤道域では $\beta$ 効果である. これは,
%			       $n=2$ の東進慣性重力波の特徴と同じである. 
%			       したがって, 東進混合ロスビー重力波の位相
%			       伝搬は, 全体として重力波的でである.  以下
%			       では, この詳細を述べながら, 位相伝搬のメ
%			       カニズムをまとめる.

			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズム

			       上述した様に, 速度ベクトル, ジオポテンシャ
			       ルの時間変化は, 全体として重力波的な振る
			       舞いをしている. 以下では, 図
			       \ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}, 
			       \ref{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity}
			       から得られる位相伝搬のメカニズムをまとめ
			       る.

%			       以下では, 図
%			       \ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}の運動方程式
%			       の各項の振る舞いから得られる情報をはじめ
%			       に述べた後, 図
%			       \ref{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity} 
%			       の渦度方程式の各項の振る舞いから得られる
%			       情報についてまとめる. 各方程式から得られ
%			       る情報をまとめると, 東進混合ロスビー重力
%			       波は, 全体として重力波的な振る舞いをしな
%			       がら位相伝搬していることが分かる.

%			       本来, 運動方程式や渦度方程式
%			       の各項には, それぞれ, ロスビー波的な特徴
%			       や重力波的な特徴が含まれているはずである
%			       が, 図\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term},
%			       \ref{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity} 
%			       からはその特徴は良く分からない(なので, 両
%			       方の方程式を見てみることにする).

			       \begin{itemize}
				\item 運動方程式の各項の振る舞いから見た
				      位相伝搬のメカニズム 

				      ジオポテンシャルは, $n=2$ の東進慣
				      性重力波の場合と同様に速度ベクトル
				      の収束発散で位相伝搬する. そのメカ
				      ニズムの詳細は,
				      \Dsecref{n=2_knot=0_ig-e-w} で述べ
				      た通りである.

%				      図\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}の経
%				      度350度付近の速度ベクトルの分布に
%				      注目すると, 北半球西側で東風領域, 
%				      東側で西風領域, 南半球西側で西風領
%				      域, 東側で東風領域, 赤道を挟んで共
%				      に北風領域となるため, この経度帯の
%				      速度ベクトルは, 北半球で発散域, 南
%				      半球で収束域となっている(図
%				      \ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}の 
%				      $-\partial u/\partial x$,
%				      $-\partial v/\partial y$ 成分参照). 
%				      この収束発散により, 経度350度付近
%				      の $\partial\phi/\partial t$ は, 
%				      北半球では負の値, 南半球では正の値
%				      を取るようになる(図
%				      \ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} の 
%				      $\partial \phi/\partial t$ 成分参
%				      照). 他の経度帯でも同様に, ジオポ
%				      テンシャルの位相伝搬は速度ベクトル
%				      の収束発散で決まっている.

				      速度ベクトルも, $n=2$ の東進慣性重
				      力波の場合と同様に全領域で赤道付近
				      (緯度 $\pm 1.5$ 度)の圧力傾度力に
				      よる加速, 減速により位相伝搬してい
				      る. そのメカニズムの詳細は,
				      \Dsecref{n=2_knot=0_ig-e-w} で述べ
				      た通りである.

%				      図\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}の経
%				      度350度付近のジオポテンシャルの分
%				      布に注目すると, 北半球東側で正の値, 
%				      西側で負の値, 南半球東側で負の値, 
%				      西側で正の値を取る.  このため, こ
%				      の領域の東西圧力傾度力 
%				      $-\partial\phi/\partial x$ は, 北
%				      半球で負の値, 南半球で正の値を取る. 
%				      したがって, この領域での東西風は北
%				      半球で東風加速, 南半球で西風加速を
%				      受けるので, 図
%				      \ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}の東西
%				      風の分布と見比べると東西風の位相は
%				      西に伝播することが分かる. このとき, 
%				      速度ベクトルはコリオリ力の力を受け
%				      るので, 北半球で右向き, 南半球で左
%				      向きに方向を曲げられる. 一方, 図
%				      \ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}の経度
%				      550度付近のジオポテンシャルの分布
%				      に注目すると, 赤道を挟んで北側で正
%				      の値, 南側で負の値を取る. このため, 
%				      この経度帯の赤道域(高緯度域)の南北
%				      圧力傾度力 $-\partial\phi/\partial
%				      y$ は, 負(正)の値を取る. したがっ
%				      てこの経度帯の赤道域の南北風は北風
%				      加速を受けるので, 図
%				      \ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} の南
%				      北風の分布と見比べると赤道域の南北
%				      風の位相は西に伝播することが分かる. 
%				      一方, この経度帯の高緯度域では南風
%				      加速を受けるが, コリオリ力の効果の
%				      方が大きいので, 南北風の向きはやは
%				      り南向きとなる. よって, 図
%				      \ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} の南
%				      北風の分布と見比べるとやはり, 高緯
%				      度域の南北風の位相も西に伝播するこ
%				      とが分かる.  こうして, 速度ベクト
%				      ルの位相伝搬は, 全領域で赤道付近
%				      (緯度 $\pm 1.5$ 度)の圧力傾度力の
%				      符号により決まっている.

%				      速度ベクトル, ジオポテンシャルの位
%				      送伝搬を純粋な東進慣性重力波, 赤道
%				      ロスビー波の位相伝搬と比較すると, 
%				      運動方程式の各項から見た位相伝搬の
%				      メカニズムは, $n=2$ の東進慣性重力
%				      波(例えば, 図
%				      \ref{n2_k0.5_ig-w-east-term})の赤
%				      道付近の位相伝搬メカニズムと良く似
%				      ている. その違いは, 東進慣性重力波
%				      では東西運動方程式中の圧力傾度力が
%				      コリオリ力よりも卓越しているのに対
%				      して, 東進混合ロスビー重力波では, 
%				      コリオリ力が東西圧力傾度力よりも卓
%				      越していることである.
%
%				      以上の様に, 東進混合ロスビー重力波
%				      は, 運動方程式の各項の振る舞いから
%				      見ると, 全領域で重力波的なメカニズ
%				      ムで位相伝搬していることが分かる.

				\item 渦度方程式の各項の振る舞いから見た
				      位相伝搬のメカニズム

				      次に, 図
				      \ref{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity} 
				      の渦度方程式から見た位相伝搬のメカ
				      ニズムをまとめる. 図
				      \ref{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity}
				      を見ると, 相対渦度の時間変化
				      ($\partial\zeta/\partial t$)は, 赤
				      道域では $-v$, 高緯度域では
				      $-y\mbox{div}(u,v)$ で決まっている
				      ことが分かる. つまり, 先にまとめた
				      ロスビー波の場合と異なり, 高緯度域
				      で速度ベクトルの収束発散は無視する
				      ことができない. 赤道域では, 速度ベ
				      クトルの収束発散が $\beta$ 効果に
				      比べて小さいので, ポテンシャル渦度
				      として $f + \zeta$ が保存される. 
				      図
				      \ref{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity} 
				      の, 経度350度付近の赤道域に注目す
				      ると, この領域の南北流は南北半球共
				      に南向きであるので, この南北流に伴
				      う惑星渦度の減少($\beta$ 効果)と釣
				      合うように相対渦度が生成される. そ
				      の結果, 相対渦度が正の領域(相対渦
				      度が負の領域)が東に伝播していく. 
				      逆に高緯度域では, この $\beta$ 効
				      果は速度ベクトルの収束発散成分と比
				      べて小さい. したがって, 相対渦度の
				      位相伝搬には速度ベクトルの収束発散
				      の効果が効いている. 例えば, 図
				      \ref{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity} 
				      の, 経度350度付近の高緯度域に注目
				      すると, この領域の速度ベクトルは北
				      半球で発散, 南半球で収束しているこ
				      とが分かる. したがって, この速度ベ
				      クトルの収束発散により南北半球の高
				      緯度域で負の相対渦度が生成され
				      る. その結果, 相対渦度が負の領域は
				      東に伝搬していく.

				      以上述べた渦度方程式の各項から見た
				      位相伝搬のメカニズムは, $n=2$ の東
				      進慣性重力波(例えば, 図
				      \ref{n2_inertio-gw-ew-vorticity})
				      の赤道付近の位相伝搬メカニズムと良
				      く似ている. その違いは, 混合ロスビー
				      重力波の場合 $-v$ の項($\beta$ 効
				      果)が緯度により符号を変えないのに
				      対して, 東進混合ロスビー重力波では 
				      $-v$ の項が緯度により符号を変える
				      ことである.

				      以上の様に, 東進混合ロスビー重力波
				      は, 渦度方程式の各項の振る舞いから
				      見ても, 全領域で重力波的な振る舞い
				      をしていることが分かる.
			       \end{itemize}
			\end{itemize}

%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} より, 低波数の場
%			合の東進する混合ロスビー重力波の東西風の時間変化
%			( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コリオリ
%			力($yv$)の大きさでほとんど決まっている. 緯度分布
%			を調べると, 高緯度ではコリオリ力($yv$)の効果, 低
%			緯度では圧力傾度力($\partial\Phi / \partial x$) 
%			の効果がわずかに卓越している. このため, 低緯度で
%			は重力波的, 高緯度ではロスビー波的な構造をしてい
%			る. しかし, 赤道域と高緯度域に分けて眺めると, 全
%			体として東進していることが分かる.\\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			低波数の場合の東進する混合ロスビー重力波の南北風
%			の時間変化($\partial v /\partial t$)の大きさは, 
%			コリオリ力($-yu$) がほとんど効かない赤道域では, 
%			圧力傾度力($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさ
%			で決まり, 赤道から離れた領域ではコリオリ力によっ
%			て決まっている. このため, やはり低緯度では重力波
%			的, 高緯度ではロスビー波的な構造をしている. しか
%			し, 赤道域と高緯度域に分けて眺めると, 全体として
%			東進していることが分かる.\\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} より低波数の場合
%			の東進する混合ロスビー重力波のジオポテンシャルの
%			時間変化($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 
%			南北風の 収束発散($-\partial v/\partial y$)の大
%			きさでほとんど決まっている. 東西風の収束発散成分
%			は, この南北風の収束発散成分と同じ符号をとるが, 
%			値は小さい. よって, 南北風が収束すれば, その位置
%			における次の瞬間の圧力が高圧になる(重力波的な構
%			造をしている). 南北風の収束発散成分に対する東西
%			風の収束発散成分の大きさは, 東西波数が大きくなる
%			につれて増加し, $k=0.7$ で同程度になる(東西風と
%			南北風の収束発散により, 高圧, 低圧の分布が決まる).
	    \end{description}

\newpage

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n0-ig-w-east-term/n0_k0.5_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.5$ (低波数)の東進混合ロスビー重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=1.28, c=2.56$). 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ. } \label{n0_k0.5_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-10mm} 
% \hspace*{-5mm}
 \begin{center}
  \Depsf[7.0cm]{eq-arch/ps/vorticity/n0-ig-w-east-term/n0_k0.5_ig-w-east-term-s2.ps}
 \vspace{-6mm} 
 \end{center}
\caption{\protect$n=0, k=0.5$ (低波数)の東進混合ロスビー重力波の相
 対渦度\protect$\zeta$ と $d\zeta/dt$, $d\zeta/dt$ を構成する各成
 分の水平分布($t=0, \omega=1.28, c=2.56$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ. }
 \label{n0_k0.5_mixed-ro-gw-east-vorticity}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c|}\hline
  $\zeta$    \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial\zeta}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline
 $-v$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-y\left(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\right)$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\newpage

\subsection{\protect $k > 0.7$ (高波数)の東進混合ロスビー波の特徴}

高波数($k=1.4$)の場合のモードの構造を図 \ref{n0_k1.4_ig-w-east-term},
\ref{n0_k1.4_mixed-ro-gw-west-vorticity} に示す. このモードの振動数は,
\Deqref{eq-mixed-ro-gw-bunsan}より $1.92$ となる.

以下では, 低波数のモードとの相違について, 図
\ref{n0_k1.4_ig-w-east-term}, \ref{n0_k1.4_mixed-ro-gw-west-vorticity}
の高波数のケースから得られる特徴をまとめる.

	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}

			速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布, 時間変化の
			特徴(図\ref{n0_k1.4_ig-w-east-term})は, 基本的に
			低波数の場合と変わらない.\\

	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトルの回転運動, 位相伝搬のメカニ
			       ズムは基本的には低波数の場合と同様であ
			       る. 高波数になるにつれて, 東西風の時間変
			       化に寄与する東西の圧力傾度力の大きさがコ
			       リオリ力に対して相対的に大きくなる(図
			       \ref{n0_k1.4_ig-w-east-term}参照). これに
			       より, $\beta$ 効果の効く領域は狭くなり, 
			       広い領域で重力波的な位相伝搬が見られるよ
			       うになる.

			 \item ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムも
			       低波数の場合と同様である. 上述したように, 
			       高波数になるにつれて東西の圧力傾度力が増
			       す(図\ref{n0_k1.4_ig-w-east-term}参照)の
			       で, 東西風の収束発散成分は南北風の収束発
			       散成分よりも大きくなり, ジオポテンシャル
			       の位相伝搬には, 東西風の収束発散成分が効
			       くようになる.

			 \item 渦度方程式(図
			       \ref{n0_k1.4_mixed-ro-gw-west-vorticity})
			       で見ても, 位相伝搬のメカニズムは低波数の
			       場合と同じである. 
			\end{itemize}

%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k1.4_ig-w-east-term} より, 高波数の場
%			合の東進する混合ロスビー重力波の東西風の時間変化
%			($\partial u /\partial t$)の大きさは, 圧力傾度力
%			($\partial\Phi / \partial x$)の大きさでほとんど
%			決まっており, コリオリ力($yv$)の大きさは相対的に
%			小さいことがわかる. コリオリ力の効果がわすかに効
%			くようになるのは, 高緯度側である. このため, 低波
%			数の場合ほど顕著ではないが, やはり低緯度では重力
%			波的, 高緯度ではロスビー波的な構造をしている. 
%			しかし, 赤道域と高緯度域に分けて眺めると, 全体と
%			して東進していることが分かる.\\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			高波数の場合の東進する混合ロスビー重力波の南北風
%			の時間変化($\partial v /\partial t$)の大きさは, 
%			コリオリ力($-yu$) がほとんど効かない赤道域では, 
%			圧力傾度力($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさ
%			で決まり, 赤道から離れた領域ではコリオリ力によっ
%			て決まっている. このため, やはり低緯度では重力波
%			的, 高緯度ではロスビー波的な構造をしている. しか
%			し, 赤道域と高緯度域に分けて眺めると, やはり全体
%			として東進していることが分かる. 赤道から離れた領
%			域の圧力傾度力は, コリオリ力と逆センスの傾向にあ
%			り, その最大振幅の緯度がコリオリ力の振幅最大の緯
%			度よりわずかに北にあるため, 高緯度での南北風の生
%			成を抑制している.  \\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k1.4_ig-w-east-term} より高波数の場合
%			の東進する混合ロスビー重力波のジオポテンシャルの
%			時間変化($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 
%			東西風の収束発散($-\partial u/\partial x$)の大
%			きさでほとんど決まっている. 南北風の収束発散成分
%			は, この東西風の収束発散成分と同じセンスであるが, 
%			値は小さい. よって, 東西風が収束すれば, その位置
%			における次の瞬間の圧力が高圧になる(重力波的な構
%			造をしている). 東西風の収束発散成分に対する南北
%			風の収束発散成分の大きさは, 東西波数が大きくなる
%			につれて次第に減少する.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n0-ig-w-east-term/n0_k1.4_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=1.4$ (高波数)の東進混合ロスビー重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=1.92, c=1.37$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ. } \label{n0_k1.4_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-10mm} 
 \begin{center}
% \hspace*{-5mm}
  \Depsf[7.0cm]{eq-arch/ps/vorticity/n0-ig-w-east-term/n0_k1.4_ig-w-east-term-s2.ps}
 \vspace{-6mm} 
 \end{center}
\caption{\protect$n=0, k=1.4$ (高波数)の東進混合ロスビー重力波の相
 対渦度\protect$\zeta$ と $d\zeta/dt$, $d\zeta/dt$ を構成する各成
 分の水平分布($t=0, \omega=1.92, c=1.37$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ. }
 \label{n0_k1.4_mixed-ro-gw-west-vorticity}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c|}\hline
  $\zeta$    \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial\zeta}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline
 $-v$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-y\left(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\right)$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\newpage

\section{\protect $n=0, k\not=0$ の西進混合ロスビー重力波}

次に西進する混合ロスビー重力波の伝搬メカニズムを考察する. 東進混合ロスビー
重力波と同様に, 西進混合ロスビー重力波でも運動方程式の各項の考察に加えて, 
渦度方程式の各項についても考察を行う.

西進混合ロスビー重力波の伝搬メカニズム, 基本的な性質は $k$ の値に依らな
い. しかし, これまでと同様に, 運動方程式の $x$ 成分に於いてコリオリ力の
項に対する圧力傾度力の項の大きさは, $k$ が増大するにつれて大きくなり 
$k=2.5$ で同程度になる. そこで以下では, 低波数レジームの $k=0.6$ のモー
ドの構造と, 高波数レジームの $k=3.0$ のモードの構造を示し議論する.

東進混合ロスビー重力波の構造, 位相伝搬が東進慣性重力波的であったのに対し, 
西進混合ロスビー重力波の構造, 位相伝搬のメカニズムは, 基本的には赤道ロス
ビー波的である.  この特徴は, 赤道から離れる程強くなる. 図
\ref{eq-bunsan-line2} の分散曲線から想像されるように, 西進混合ロスビー重
力波は低波数から高波数へ遷移するにつれて, 赤道ロスビー波的な特徴が強くな
る.

\subsection{\protect $0 < k \le 2.5$ (低波数)の西進混合ロスビー波の特徴}

低波数($k=0.6$)の場合のモードの構造を図 
\ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term},
\ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-vorticity} に示す. このモードの振動数は,
\Deqref{eq-inertio-gw-bunsan}より $-0.46$ となる\footnote{負の波数を導入
した場合には $k=0$ の場合 $\omega=1$, $k=-0.6$ の場合 $\omega=0.46$ とな
る.}.

以下では, $k=0$ のモード, 東進混合ロスビー重力波のモードとの相違について, 
図\ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term},
\ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-vorticity} の低波数のケースから得られる
特徴をまとめる.

	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}

			 \begin{itemize}
			  \item はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の
				様子について述べる. 速度ベクトルは, $k=0$ 
				の場合と同様, 赤道反対称な分布をする. 東
				進混合ロスビー重力波の場合と同様, 速度ベ
				クトルが 0 となる緯度は存在せず, 東西風
				速だけが, 赤道上で 0 となる. 図
			       \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term}や図
			       \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-vorticity} 
				から分かるように, 速度ベクトルの分布を見
				ると, 赤道上を中心として渦を描く様な配置
				をしているのが特徴である. このため, 赤道
				域では非地衝流的(重力波的)な速度分布をし
				ている\footnote{ただし, 東西風とジオポテ
				ンシャルの位相関係を見ると, 西進慣性重力
				波(図\ref{n2_k0.5_ig-w-west-term} の 
				$n=2$ のケース)の場合には逆位相であるの
				に対して, 西進混合ロスビー重力波は同位相
				である.  ちなみに, 赤道ロスビー波(図
				\ref{n2_k1.0_ro-w-term} の $n=2$ のケー
				ス) の場合, 東西風とジオポテンシャルの位
				相関係は赤道域では同位相である.}のに対し
				て, 高緯度域では地衝流的(ロスビー波的)な
				速度分布をしている. この特徴は, $n=2$ の
				赤道ロスビー波(図
				\ref{n2_k1.0_ro-w-term})の赤道域の特徴と
				同じである(西進慣性重力波の構造とは異な
				る).

				次に速度ベクトルの時間変化の様子について 
				$\partial u/\partial t, \partial
				v/\partial t$ の分布を見ると, それぞれ東
				西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長遅れ
				ていることが分かる. このことから確かに速
				度ベクトルの位相は全体として西進している
				ことが分かる.

			  \item 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の
				様子について述べる. ジオポテンシャルも,
				$k=0$ の場合と同様, 赤道反対称な分布をす
				る. ジオポテンシャルも赤道上でのみ 0 と
				なる.

				次にジオポテンシャルの時間変化の様子につ
				いて $\partial\Phi/\partial t$ の分布を見
				ると, ジオポテンシャルの分布と比べて 1/4 
				波長遅れていることが分かる. このことから
				ジオポテンシャルの位相も全体として西進し
				ていることが分かる.

			\end{itemize}

	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展
			       の大まかな特徴

			       速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズムは, 基本的には $n=2$ の赤道ロ
			       スビー波の赤道域と同じである. そのため, 
			       東進混合ロスビー重力波の場合と異なり, 高
			       緯度域, 赤道域という切り分けで議論するこ
			       とが出来ない.
%			       図\ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term} の
%			       速度分布とジオポテンシャルの配置を見ると, 
%			       赤道域では非地衝流的な分布をしているのに
%			       対し, 高緯度域では地衝流的な分布をしてい
%			       るが, 運動方程式の各項の分布に於いて, 高
%			       緯度域と赤道域で違いは見られない. また, 
%			       図
%			       \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-vorticity} 
%			       を見ると, 東進混合ロスビー重力波と異なり
%			       全領域で速度ベクトルの収束発散成分は
%			       $\beta$ 効果よりも非常に小さい. このため, 
%			       西進混合ロスビー重力波は, 全領域で 
%			       $\beta$ 効果により位相伝搬していると考え
%			       られる. 
			       以下では, この詳細を述べながら, 位相伝搬
			       のメカニズムをまとめる.

			 \item 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬
			       のメカニズム

			       上述した様に, 速度ベクトル, ジオポテンシャ
			       ルの時間変化は, 全領域で赤道ロスビー波的
			       な振る舞いをしている. 赤道ロスビー波の場
			       合と同様に, 位相伝搬のメカニズムを見るた
			       めには渦度方程式(図
			       \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-vorticity}) 
			       を用いれば良い. 運動方程式
			       (図\ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term})を用
			       いて解釈しないのは, 赤道ロスビー波の節
			       (\Dsecref{rossby-denpa-n=1},
			       \Dsecref{rossby-denpa-n=2})で述べたのと同
			       様に速度ベクトルの位相伝搬が説明できない
			       からである. そのため, 運動方程式から見た
			       特徴は, ジオポテンシャルに限り述べておく.

%			       以下では, 図
%			       \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term}の運動
%			       方程式の各項の振る舞いから得られる情報を
%			       はじめに述べた後, 図
%			       \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-vorticity} 
%			       の渦度方程式の各項の振る舞いから得られる
%			       情報についてまとめる.
			       \begin{itemize}
				\item 渦度方程式の各項の振る舞いから見た
				      位相伝搬のメカニズム

				      次に, 図
				      \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-vorticity} 
				      の渦度方程式から見た位相伝搬のメカ
				      ニズムをまとめる. 相対渦度も, 基本
				      的には赤道ロスビー波と同様に 
				      $\beta$ 効果で位相伝搬する
				      (\Dsecref{rossby-denpa-n=1},
				      \Dsecref{rossby-denpa-n=2}). 赤道
				      ロスビー波との違いは, $-v$ の符号
				      が全領域で同符号となることである
				      ($n=2$ の赤道ロスビー波(図 
				      \ref{n2_k1.0_ro-w-vorticity})の
				      $-v$ の符号は, 赤道域と高緯度域で
				      異符号を取る).

%				      図
%				      \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-vorticity} 
%				      を見ると, 相対渦度の時間変化
%				      ($\partial\zeta/\partial t$)は, 赤
%				      道域を中心とする広い領域で $-v$
%				      ($\beta$ 効果)で決まっていることが
%				      分かる. 速度ベクトルの収束発散の効
%				      果($-y\mbox{div}(u,v)$)は $\beta$ 
%				      効果に比べて非常に小さくその寄与は
%				      高緯度域で少し見られる程度である. 
%				      したがって, 全領域でポテンシャル渦
%				      度として $f + \zeta$ が保存される. 
%				      図
%				      \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-vorticity} 
%				      の, 経度300度付近の速度ベクトルに注目す
%				      ると, この領域の南北流は南北半球共
%				      に南向きであるので, この南北流に伴
%				      う惑星渦度の減少($\beta$ 効果)と釣
%				      合うように相対渦度が生成される. そ
%				      の結果, 相対渦度が正の領域(相対渦
%				      度が負の領域)が西に伝播していく. 

				      以上の様に, 西進混合ロスビー重力波
				      は, 東進混合ロスビー重力波の場合と
				      異なり, 全領域でロスビー波的なメカ
				      ニズムで位相伝搬している.

				\item 運動方程式の各項の振る舞いの特徴

				      上述したように, ロスビー波の場合と
				      同様に運動方程式の各項からでは, 速
				      度ベクトルの位相伝搬は説明できない. 
				      ここでは, ジオポテンシャルの特徴だ
				      け見ておく.

%				      ここでは, 速度ベクトルとジオポテン
%				      シャルの位相伝搬を運動方程式から議
%				      論することにする. 速度ベクトルとジ
%				      オポテンシャルの位相伝搬は, 基本的
%				      に赤道ロスビー波的であるので, ジオ
%				      ポテンシャルの位相伝搬は運動方程式
%				      を用いて説明できるが, 速度ベクトル
%				      の位相伝搬は運動方程式から説明でき
%				      ない.
				      
				      ジオポテンシャルに関しては, $n=2$ 
				      の赤道ロスビー波の場合と同様に, 速
				      度ベクトルの収束発散で位相伝搬する
				      (\Dsecref{rossby-denpa-n=1},
				      \Dsecref{rossby-denpa-n=2}). その
				      違いは, 赤道ロスビー波が東西風と南
				      北風の収束発散はほぼバランスしてい
				      る(南北風の収束発散がわずかに卓越
				      する)のに対して, 西進混合ロスビー
				      重力波では, 東西風よりも南北風の収
				      束発散の寄与が大きいことである(東
				      西風と南北風の収束発散が逆符号であ
				      るという点は, 西進慣性重力波の高緯
				      度側の特徴と同じである).

%				      図
%				      \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term} 
%				      の経度300度付近の速度ベクトルの分
%				      布に注目すると, 北半球西側で西風領
%				      域, 東側で東風領域, 南半球西側で東
%				      風領域, 東側で西風領域, 赤道を挟ん
%				      で共に北風領域となるため, この経度
%				      帯の東西風は, 北半球で収束域, 南半
%				      球で発散域となり, 南北風は北半球で
%				      発散域, 南半球で収束域となっている
%				      (図
%				      \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term} 
%				      の $-\partial u/\partial x$,
%				      $-\partial v/\partial y$ 成分参照). 
%				      東西風の収束発散よりも南北風の収束
%				      発散成分の寄与が大きいので, 経度
%				      300度付近の $\partial\phi/\partial
%				      t$ は, 北半球では負の値, 南半球で
%				      は正の値を取るようになる(図
%				      \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term} 
%				      の $\partial \phi/\partial t$ 成分
%				      参照). 他の経度帯でも同様に, ジオ
%				      ポテンシャルの位相伝搬は速度ベクト
%				      ルの収束発散で決まっている.

%				      次に, 速度ベクトルの位相伝搬につい
%				      て考察する. 速度ベクトルの位相伝搬
%				      を運動方程式から解釈しようとすると, 
%				      赤道ロスビー波の節
%				      (\Dsecref{rossby-denpa-n=1},
%				      \Dsecref{rossby-denpa-n=2})で述べ
%				      たのと同様にうまくいかない. 

%				      図
%				      \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term} 
%				      の経度300 度付近の北半球のジオポテ
%				      ンシャルの分布に注目すると, 西側で
%				      正の値, 東側で負の値を取る. このた
%				      め, この領域の東西圧力傾度力 
%				      $-\partial\phi/\partial x$ は, 正
%				      の値を取る. したがって, この領域で
%				      の東西風は西風加速を受けるので, 図
%				      \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term} 
%				      の東西風の分布と見比べると, 圧力傾
%				      度力は東西風の位相伝搬を妨げる働き
%				      をしていることが分かる. $\partial
%				      u/\partial t $ の分布は, コリオリ
%				      力により決まっていて, 南北風がコリ
%				      オリ力により向きを変えられた状態に
%				      対応している. このため, 位相伝搬を
%				      圧力傾度力を用いて議論することはで
%				      きない. 次に, 南北風の位相伝搬につ
%				      いて考察する. 図
%				      \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term} 
%				      の経度 150 度付近のジオポテンシャ
%				      ルの分布に注目すると, 赤道を挟んで
%				      北側で正の値, 南側で負の値を取
%				      る. このため, この領域の南北圧力傾
%				      度力 $-\partial\phi/\partial y$ は, 
%				      負の値を取る. したがって, この領域
%				      での南北風は北風加速を受けるので, 
%				      図
%				      \ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term} 
%				      の南北風の分布と見比べると, 確かに
%				      南北風は西に位相伝搬することが分か
%				      る. 以上のように, 南北風の位相伝搬
%				      は運動方程式の各項から説明が出来る
%				      が, 東西風の位相伝搬は説明できない.

			       \end{itemize}
			\end{itemize}

%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term} より, 低波
%			数の場合の西進する混合ロスビー重力波の東西風の時
%			間変化( $\partial u /\partial t$ )の大きさは, コ
%			リオリ力($yv$)の大きさでほとんど決まっており, 圧
%			力傾度力($\partial\Phi / \partial x$)の大きさは
%			小さいことがわかる. 特に高緯度域では, コリオリ力
%			と圧力傾度力がバランスした地衝流的な速度分布をし
%			ている. このため, 低緯度では重力波的, 高緯度では
%			ロスビー波的な構造をしている. \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term} より, 低波
%			数の場合の西進する混合ロスビー重力波の時間変化
%			($\partial v /\partial t$)の大きさは, コリオリ力
%			($-yu$) がほとんど効かない赤道域では, 圧力傾度力
%			($-\partial\Phi / \partial y$)の大きさで決まり, 
%			赤道から離れた領域ではコリオリ力によって決まって
%			いる. このため, 東進する混合ロスビー重力波の場合
%			に見られた特徴と同様, 低緯度では重力波的, 高緯度
%			ではロスビー波的な構造をしている. 東西風の特徴と
%			同様に高緯度域ではコリオリ力と圧力傾度力がバラン
%			スした地衝流的な速度分布をしている. \\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term} より, 低波
%			数の場合の西進する混合ロスビー重力波のジオポテン
%			シャルの時間変化($\partial\Phi /\partial t$)の大
%			きさは, 赤道上に節をもつ南北風の収束発散
%			($-\partial v/\partial y$)の大きさでほとんど決まっ
%			ている. 東西風の収束発散成分は, この南北風の収束
%			発散成分と逆符号をとるが, 値は小さい. よって, 南
%			北風が収束すれば, その位置における次の瞬間の圧力
%			が高圧になる(重力波的な構造をしている). 南北風の
%			収束発散成分に対する東西風の収束発散成分の大きさ
%			は, 東西波数が大きくなるにつれて増加し, $k=2.5$ 
%			で同程度になる(東西風と南北風の収束発散により, 
%			高圧, 低圧の分布が決まる).\\
%
%	     \item[● 相対渦度の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-vorticity}より, 
%			低波数の場合の西進する混合ロスビー重力波の相対渦
%			度は, 速度場に対応して赤道上に正負の渦度が並んだ
%			分布になっている. 一方赤道から離れた高緯度では赤
%			道域と逆符号の渦度を持つ. これに対して, 混合ロス
%			ビー重力波の相対渦度の時間変化
%			($\partial\zeta/\partial t$)は, 東西方向に 1/4 
%			波長西向きに進んだ分布となっている(西向きに伝播
%			する). この分布は, 南向きの流速に伴うコリオリ力
%			の南北変化($df/dy=-v$)で決まっている. つまり, 絶
%			対渦度保存則に従って, コリオリ力の変化が相対渦度
%			の変化をもたらしている. これは, いわゆるロスビー
%			波の水平伝搬のメカニズムと同じである. 一方, 速度
%			の水平発散の成分は, コリオリ力による相対渦度生成
%			の効果を弱めるように働いている.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[11.cm]{ps/mixed-rossby-gw.ps}
%  \Depsf[10cm]{ps/eq-rossby.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{西進する混合ロスビー重力波の伝播メカニズム.} \label{eq-mixed-rossby-denpa}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n0-ig-w-west-term/n0_k0.6_ig-w-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.6$ (低波数)の西進混合ロスビー重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=-0.46, c=-1.24$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各列の下3枚が同じ. }
 \label{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
% \vspace*{-7mm} 
 \hspace*{-5mm}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/vorticity/n0-ig-w-west-term/n0_k0.6_ig-w-west-term-s.ps}
% \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=0, k=0.6$ (低波数)の西進混合ロスビー重力波の相
 対渦度\protect$\zeta$ と $d\zeta/dt$, $d\zeta/dt$ を構成する各成
 分の水平分布($t=0, \omega=-0.46, c=-1.24$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ. }
 \label{n0_k0.6_mixed-ro-gw-west-vorticity}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c|}\hline
  $\zeta$    \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial\zeta}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline
 $-v$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-y\left(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\right)$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\newpage

\subsection{\protect $k > 2.5$ (高波数)の西進混合ロスビー波の特徴}

高波数($k=3.0$)の場合のモードの特徴を図
\ref{n0_k3.0_mixed-ro-gw-west-term},
\ref{n0_k3.0_mixed-ro-gw-west-vorticity} に示す. このモードの振動数は,
\Deqref{eq-mixed-ro-gw-bunsan}より $-0.30$ となる.

以下では, 低波数のモードとの相違について, 図 
\ref{n0_k3.0_mixed-ro-gw-west-term},
\ref{n0_k3.0_mixed-ro-gw-west-vorticity}
の高波数のケースから得られる特徴をまとめる.

	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}

			速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布, 時間変化の
			特徴は, 基本的に低波数の場合と変わらない.\\

	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\begin{itemize}
			 \item 速度ベクトルの回転運動, 位相伝搬のメカニ
			       ズムは基本的には低波数の場合と同様であ
			       る. 高波数になるにつれて, 東西風の時間変
			       化に寄与する東西の圧力傾度力の大きさとコ
			       リオリ力がほぼバランスするようになる. こ
			       れにより, 東西風の振幅は小さくなり, 東西
			       方向はほぼ地衝流バランスした状態になる. 
			       また, 東西風の収束発散成分と南北風の収束
			       発散成分もほぼキャンセルするようになるの
			       で, 低波数の場合よりも広い領域で $\beta$ 
			       効果で位相伝搬するようになる. このため, 
			       高波数になるほど赤道ロスビー波な特徴が強
			       くなる.

			 \item ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムも
			       低波数の場合と同様である. 上述したように, 
			       高波数になるにつれて東西の圧力傾度力が増
			       すので, 東西風の収束発散成分は南北風の収
			       束発散成分とキャンセルするようになり, ジ
			       オポテンシャルの位相伝搬は, 全領域でポテ
			       ンシャル渦度の保存による $\beta$ 効果で決
			       まるようになる. このため, ジオポテンシャ
			       ルの位相伝搬に於いても, 高波数になるほど
			       赤道ロスビー波な特徴が強くなる.

			 \item 渦度方程式(図
			       \ref{n0_k3.0_mixed-ro-gw-west-vorticity})
			       で見ても, 位相伝搬のメカニズムは低波数の
			       場合と同じである. 高波数になるほど相対渦
			       度の位相伝搬に対する $-v$ の寄与が大きく
			       なり, やはり赤道ロスビー波的な特徴が強く
			       なる.
			\end{itemize}
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n0-ig-w-west-term/n0_k3.0_ig-w-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=3.0$ (高波数)の西進混合ロスビー重力波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=-0.30, c=-0.10$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各列の下3枚が同じ. }
 \label{n0_k3.0_mixed-ro-gw-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
% \vspace*{-5mm} 
 \hspace*{-5mm}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/vorticity/n0-ig-w-west-term/n0_k3.0_ig-w-west-term-s.ps}
% \vspace{-6mm} 
\caption{\protect$n=0, k=3.0$ (高波数)の西進混合ロスビー重力波の相
 対渦度\protect$\zeta$ と $d\zeta/dt$, $d\zeta/dt$ を構成する各成
 分の水平分布($t=0, \omega=-0.30, c=-0.10$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ.}
 \label{n0_k3.0_mixed-ro-gw-west-vorticity}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c|}\hline
  $\zeta$    \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial\zeta}{\partial t}$ \\ [1ex] \hline\hline
 $-v$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-y\left(\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}+\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}\right)$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[7.0cm]{eq-arch/ps/vorticity/n-not0-ig-w-east-term/n1_k0.6_ig-w-east-term-s2.ps}
  \Depsf[7.0cm]{eq-arch/ps/vorticity/n-not0-ig-w-east-term/n1_k2.0_ig-w-east-term-s2.ps}
 \end{center}
\caption{参考図1: \protect$n=1, k=0.6$ (低波数)(左), $n=1, k=2.0$ (高波
 数)(右)の東進慣性重力波の相対渦度\protect$\zeta$ と $d\zeta/dt$, 
 さらに $d\zeta/dt$ を構成する各々の成分の水平分布(左: $t=0, \omega=1.83, c=3.06$, 右: $t=0, \omega=2.65, c=1.32$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ. } \label{n1_inertio-gw-east-vorticity}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[7.0cm]{eq-arch/ps/vorticity/n-not0-ig-w-west-term/n1_k0.6_ig-w-west-term-s2.ps}
  \Depsf[7.0cm]{eq-arch/ps/vorticity/n-not0-ig-w-west-term/n1_k2.5_ig-w-west-term-s2.ps}
 \end{center}
\caption{参考図2: \protect$n=1, k=0.6$ (低波数)(左), $n=1, k=2.5$ (高波
 数)(右)の西進慣性重力波の相対渦度\protect$\zeta$ と $d\zeta/dt$, 
 さらに $d\zeta/dt$ を構成する各々の成分の水平分布(左: $t=0, \omega=-1.83, c=-3.06$, 右: $t=0, \omega=-3.04, c=-1.21$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ.} \label{n1_inertio-gw-west-vorticity}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[7.0cm]{eq-arch/ps/vorticity/n-not0-ig-w-east-term/n2_k0.5_ig-w-east-term-s2.ps}
  \Depsf[7.0cm]{eq-arch/ps/vorticity/n-not0-ig-w-west-term/n2_k0.5_ig-w-west-term-s2.ps}
 \end{center}
\caption{参考図3: \protect$n=2, k=0.5$ (低波数, 東進)(左), $n=2, k=0.5$ (低波数, 西進)(右)の慣性重力波の相対渦度\protect$\zeta$ と $d\zeta/dt$, 
 さらに $d\zeta/dt$ を構成する各々の成分の水平分布(左: $t=0, \omega=2.29, c=4.58$, 右: $t=0, \omega=-2.29, c=-4.58$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ.} \label{n2_inertio-gw-ew-vorticity}
\end{figure}

%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[7.0cm]{eq-arch/ps/vorticity/n0-ig-w-east-term/n0_k0.5_ig-w-east-term-s2.ps}
%  \Depsf[7.0cm]{eq-arch/ps/vorticity/n0-ig-w-east-term/n0_k1.4_ig-w-east-term-s2.ps}
% \end{center}
%\caption{参考図3: \protect$n=0, k=0.5$ (低波数)(左), $n=0, k=1.4$ (高波
% 数)(右)の東進混合ロスビー重力波の場合の相対渦度\protect$\zeta$ と 
% $d\zeta/dt$, さらに $d\zeta/dt$ を構成する各々の成分の水平分布(左:
% $\omega=1.28, c=2.56$, 右: $\omega=1.92, c=1.37$). 等値線間隔は, 下3枚が同じ.} \label{n0_mixed-ro-gw-east-vorticity}
%\end{figure}

%図\ref{n0_k0.5_ig-w-west-term}より, $\partial \Phi/\partial t$ の分布は
%東進する慣性重力波と異なり, $\partial u/\partial x$ (東西風の東西方向の
%水平発散)と $\partial v/\partial y$ (南北風の南北方向の水平発散)の位相は 
%$\pi/2$ だけずれている. このうち, $\partial \Phi/\partial t$ に効くのは 
%$\partial v/\partial y$ (南北風の水平発散)の方で, $\partial u/\partial
%x$ の項はこれとは逆センスであり, これらの項の足し合わせで決まってい
%る. この水平風の分布のうち $\partial u/\partial t$ は, $ yv$ (南北風に働
%くコリオリ力)の効果が効いている.  一方 $-\partial\Phi/\partial x$ (東西
%方向の圧力傾度力)の項は逆センスで, オーダーは一桁小さい. また, $\partial
%v/\partial t$ の分布は, 高緯度では$- yu$ (東西風に働くコリオリ力)の効果, 
%赤道を挟んだ低緯度では$-\partial\Phi/\partial y$ (南北方向の圧力傾度力)
%の効果が効いていて緯度による違いがあるものの, その和は全領域で負の値を取
%るという特徴がある.  これは東進する $n=0$ の慣性重力波の特徴と逆であ
%る. \\
%
%西進する混合ロスビー重力波の速度場は, 高緯度では地衝流的であり, 赤道付近
%では非地衡風的な流れを示している. このため, $\partial\Phi/\partial
%t~(\partial p/\partial t)$ の効果だけでなく, 惑星渦度の南北経度に応じた
%相対渦度の時間変化 $d\zeta/dt$ の効果によって, 次の瞬間の圧力分布が決まっ
%ている. このように, 混合ロスビー重力波は, ロスビー波的な性質と重力波的な
%性質の両方で位相伝播している(図\ref{eq-mixed-rossby-denpa}).
%
%\begin{figure}[H]
% \vspace{-5mm} 
% \begin{center}
%  \Depsf[9.cm]{ps/mixed-rossby-gw.ps}
%%  \Depsf[10cm]{ps/eq-rossby.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{混合ロスビー重力波の伝播メカニズム.} \label{eq-mixed-rossby-denpa}
%\end{figure}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-west-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=0, k=0.5$ の混合ロスビー重力波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} 
%\label{n0_k0.5_ig-w-west-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
%\begin{figure}[H]
% \vspace{-6mm} 
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n0_k1_ro-w-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{ロスビー波の振動数を用いて描かせた $n=0, k=1$ の場合の
% (\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜
% (\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布. 図
% \protect\ref{n0_k0.5_ig-w-west-term}と比較するためのもの.} 
%\label{n0_k1_ro-w-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}

\newpage

\chapter{赤道ケルビン波の水平伝播のメカニズム}\Dchaplab{kelvin-denpa}

\Dchapref{sec-struct}の結果よりケルビン波の振動数 $\omega$, 位相速度 
$c$ をまとめると次のようになる:\footnote{有次元系で表記すると, ケルビン
波の振動数, 位相速度は次の様になる: 
$$
 \omega = k\sqrt{gH} 
$$
$$
\qquad\qquad c = \sqrt{gH}\qquad\qquad
$$
}
\begin{eqnarray}
 \omega &=& k, \\
      c &=& 1. 
\label{eq-kelvin-phase}
\end{eqnarray}
(\ref{eq-kelvin-phase})より, ケルビン波は東進する.

慣性重力波やロスビー波, 混合ロスビー重力波の場合と違い, 低波数から高波数
になっても, 構造に変化は見られない. したがって, 低波数, 高波数といった区
別をせずに議論することにする.

%\section{\protect $0 < k \le 2.0$ (低波数)の場合}

ケルビン波のモードの特徴を図 \ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term} に示す. この図
から得られる特徴を以下にまとめる.

	    \begin{description}
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子] ~\\
			\vspace{-2mm}

			\Deqref{solution_v=0_n=-1_u}〜
			\Deqref{solution_v=0_n=-1_phi}の構造から明らかな
			ように, 速度ベクトル, ジオポテンシャルは共に,
			$k=0$ のモードと同様, 赤道対称な分布をする.  ま
			た, 南北流速は常に 0 である. 低波数から高波数に
			シフトしても速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布
			に変化は見られ無い. \\
			
	     \item[● 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム] ~\\
			\vspace{-2mm}

			$\partial u/\partial t$, $\partial\Phi/\partial
			t$ の分布と東西風, ジオポテンシャルの分布を見比
			べると, このモードは全体として東進していることが
			分かる. その伝搬メカニズムは, 以下の様にして決まっ
			ている. 100度付近の速度ベクトルの分布を見ると, 
			西側で西風領域, 東側で東風領域となるので, この経
			度帯は速度ベクトルの収束域となっている(図
			\ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term}の $-\partial
			u/\partial x$, $-\partial v/\partial y$ 成分参照). 
			この収束により, 経度100度付近の赤道域では,
			$\partial\phi/\partial t$ は正の値を取るようにな
			る(図\ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term} の $\partial
			\phi/\partial t$ 成分参照)ので, 図
			\ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term}のジオポテンシャルの
			位相は確かに東に伝播することが分かる. 他の経度帯
			でも同様に, ジオポテンシャルの位相伝搬は速度ベク
			トルの収束発散で決まっている. 次に, 経度100度付
			近のジオポテンシャルの分布を見る. すると, 西側で
			正の値, 東側で負の値を取るので, この領域の圧力傾
			度力 $-\partial\phi/\partial x$ は, 正の値を取る
			(図\ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term}の
			$-\partial\phi/\partial x$ 参照). したがって, こ
			の領域の東西風は西風加速を受けるので, 図
			\ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term}の東西風の位相も確か
			に東に伝搬することが分かる. 他の経度帯でも同様
			に速度ベクトルの位相伝搬は, 圧力傾度力により決まっ
			ている. 速度ベクトルのうち, 南北風は常に 0 で時
			間変化しない. これは, 南北方向のコリオリ力と圧力
			傾度力がバランスしているからである. このように, 
			赤道ケルビン波は, 1次元非回転系の重力波的なメカ
			ニズム(\Dchapref{pure-gravity-wave-1D})で伝搬し
			ている.

%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term} より, 低波数の場
%			合の赤道ケルビン波の東西風の時間変化( $\partial
%			u /\partial t$ )の大きさは, 赤道対称な振幅をもつ
%			圧力傾度力($\partial\Phi / \partial x$)の大きさ
%			で決まっている. このため, 赤道ケルビン波は重力波
%			的な構造を取っていることがわかる. 圧力傾度力の大
%			きさは, 東西波数が増大するにつれて大きくなり,
%			$\partial u /\partial t$ の大きさは東西波数が増
%			加するにつれて大きくなる.  \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term} より, 低波数の場
%			合の赤道ケルビン波の時間変化($\partial v
%			/\partial t$) の大きさは, 0 である. これは, 赤道
%			反対称の構造をもつコリオリ力($-yu$)の効果とそれ
%			とは逆符号をとる圧力傾度力($-\partial\Phi /
%			\partial y$)の効果が相殺しているためである. \\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term} より, 低波数の場
%			合の赤道ケルビン波のジオポテンシャルの時間変化
%			($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 赤道対称
%			な構造をもつ東西風の収束発散成分($-\partial
%			u/\partial x$)の大きさで決まっている. このため, 
%			東西風の収束発散が一番大きくなる赤道上に
%			$\partial \Phi /\partial t$ のピークが存在する. 
%			東西風の収束発散成分の大きさは, 東西波数が大きく
%			なるにつれて増加し, $\partial\Phi /\partial t$ 
%			の大きさは東西波数が増加するにつれて大きくなる.
%			\\
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-8mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-1-kelvin-w-term/n-1k1.0_kelvin-w-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=-1, k=1.0$ の赤道ケルビン波の
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
 ($t=0, \omega=1.0, c=1.0$).
 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ. }
 \label{n-1_k1.0_kelvin-w-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

%\section{\protect $k > 2.0$ (高波数)の場合}
%
%高波数($k > 2.0$)の場合のモードの特徴を図\ref{n-1_k2.5_kelvin-w-term} に
%示し, 以下に各項の特徴をまとめる.
%
%	    \begin{description}
%	     \item[● 東西風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term} より, 高波数の場
%			合の赤道ケルビン波の東西風の時間変化( $\partial
%			u /\partial t$ )の大きさは, 赤道対称な振幅をもつ
%			圧力傾度力($\partial\Phi / \partial x$)の大きさ
%			で決まっている. このため, 低波数の場合と同様重力
%			波的な構造をとっている. 圧力傾度力の大きさは, 東
%			西波数が増大するにつれて大きくなり, $\partial u
%			/\partial t$ の大きさは東西波数が増加するにつれ
%			て大きくなる.  \\
% 
%	     \item[● 南北風の時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term} より, 低波数の場
%			合の赤道ケルビン波の時間変化($\partial v
%			/\partial t$) の大きさは, 0 である. これは, 赤道
%			反対称の構造をもつコリオリ力($-yu$)の効果とそれ
%			とは逆符号をとる圧力傾度力($-\partial\Phi /
%			\partial y$)の効果が相殺しているためである. \\
%
%	     \item[● ジオポテンシャルの時間変化] ~\\
%			\vspace{-2mm}
%
%			図\ref{n-1_k1.0_kelvin-w-term} より, 低波数の場
%			合の赤道ケルビン波のジオポテンシャルの時間変化
%			($\partial\Phi /\partial t$)の大きさは, 赤道対称
%			な構造をもつ東西風の収束発散成分($-\partial
%			u/\partial x$)の大きさで決まっている. このため, 
%			東西風の収束発散が一番大きくなる赤道上に
%			$\partial \Phi /\partial t$ のピークが存在する. 
%			東西風の収束発散成分の大きさは, 東西波数が大きく
%			なるにつれて増加し, $\partial\Phi /\partial t$ 
%			の大きさは東西波数が増加するにつれて大きくなる.
%			\\
%	    \end{description}

%\begin{figure}[H]
% \vspace*{-8mm} 
% \begin{center}
%  \Depsf[15.2cm]{eq-arch/ps/n-1-kelvin-w-term/n-1k2.5_kelvin-w-term-s.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=-1, k=2.5$ (高波数)の赤道ケルビン波の
% (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})〜
% (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})の各項の水平分布
% ($t=0, \omega=2.5, c=1.0$).
% 等値線間隔は, $u,v,\Phi$の各々の列において下3枚が同じ.}
% \label{n-1_k2.5_kelvin-w-term}
%\end{figure}

%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}

%慣性重力波, ロスビー
%波の場合と同様に, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜
%(\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布を図示すると図
%\ref{nk1_kelvin-w-term}のようになる. $v=0$ であることを除いて慣性重力波, 
%ロスビー波の場合と同様, ($u,v,\Phi$), ($\partial u/\partial t, \partial
%v/\partial t, \partial\Phi/\partial/t$) の位相関係はそれぞれ, ケルビン波
%の場合でも変わらない. $\partial \Phi/\partial t$ の分布は, $\partial
%u/\partial x$ (東西風の収束発散)の効果だけで決まる(図
%\ref{eq-kelvin-denpa}). この水平風の分布のうち南北風に働くコリオリ力が存
%在しないので, $\partial u/\partial t$ は, $\partial\Phi/\partial x$ (圧
%力傾度力)だけで決まる. 一方, $\partial v/\partial t$ の分布は, $v$ が常
%に 0 のため存在しない. 図\ref{nk1_kelvin-w-term} からもわかるように, こ
%の場合 $- yu$ (コリオリ力) と $-\partial\Phi/\partial y$ (圧力傾度
%力)がバランスしている(相殺している).
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[13cm]{ps/eq-kelvin.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{ケルビン波の伝播メカニズム.} \label{eq-kelvin-denpa}
%\end{figure}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15.2cm]{ps/nk1_kelvin-w-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$k=1$ のケルビン波の場合の(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})〜(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})の各項の水平分布.} 
%\label{nk1_kelvin-w-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ と風速場 ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}

