%ɽ��   �ϵ�ή����ư�Ρ���
%
%����   2001/01/27 ����   Hiroshi Taniguchi
%       2001/03/22 ������ Hiroshi Taniguchi
%
% ------- �ɥ�����ȥ������� ---------

\documentstyle[12pt,a4j,dennou,here,eclbkbox,morefloats]{jreport}

\setlength{\parindent}{0pt}
  
% -- �����ֹ���ѹ�(��.����.�����ֹ�) --

%\renewcommand{\theequation}{{\rm\arabic{equation}}}  
\renewcommand{\theequation}{{\rm\thesection .\arabic{equation}}}  


% -------- �إå����եå������� --------

\Dpath{/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/}
\Dauthor[ë�� ��]{ë�� ��}
\Dtitle[�ϵ�ή����ư�Ρ���]{�ϵ�ή����ư�Ρ���}

\textheight=23.5cm
\pagestyle{DAheadings}



% ---------- ���ޥ����� --------------

%�����ȥ�

        \newlength{\Mfboxsepsave}
        \newlength{\Mfboxrulesave}
    \newcommand{\Ztitle}[1]
      { \setlength{\Mfboxsepsave}{\fboxsep}
        \setlength{\fboxsep}{0.5mm}
        \setlength{\Mfboxrulesave}{\fboxrule}
        \setlength{\fboxrule}{0.3mm}
        \framebox[158.4mm][c]{ 
          \framebox[156.4mm][c]{ 
            \makebox[140mm][c]{
              \vbox to 24mm 
                { \vfill
                  \begin{center} \Large \bf #1 \end{center}
                  \vfill                                     } 
        } } }
        \vspace{10mm} 
        \setlength{\fboxsep}{\Mfboxsepsave}
        \setlength{\fboxrule}{\Mfboxrulesave}
      }

   \newcommand{\Zsection}[1]
      { \vspace{10mm}
        \underline{\Large{\bf #1}}
        \vspace{10mm}
       }

   \newcommand{\Zsubsection}[1]
      { \vspace{5mm}
        \underline{\bf #1}
        \vspace{5mm}
       }

%��ʬ����

    \newcommand{\D}[3]{ \frac{ d^{#1} #2 }{ d #3^{#1 }} }
    \newcommand{\PD}[3]{ \frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}} }
    \newcommand{\PDi}[4]
      { \left(  
          \frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}
        \right)_{#4} 
       }

% Vector, Gradient, Divergence, Curl

    \newcommand{\Vectm}[1]{\mbox{\boldmath $#1$}}
%    \newcommand{\Grad}[1]{\nabla #1}
%    \newcommand{\Div}[1]{\nabla \cdot #1}
%    \newcommand{\Rot}[1]{\nabla \times #1}

    \newcommand{\Grad}[1]{\mbox{grad} #1}
    \newcommand{\Div}[1]{\mbox{div} #1}
    \newcommand{\Rot}[1]{\mbox{rot} #1}

%    \pagestyle{myheadings}


% ------------- ʸ������ --------------

\begin{document}

\clearpage

\pagenumbering{roman}
\setcounter{page}{1}

\title{\vspace*{-3cm}\Huge\bf �ϵ�ή����ư�Ρ���}
\author{\bf ë�� ��}
\date{\bf 2001ǯ3��22��}
\maketitle

\clearpage

\tableofcontents

\clearpage
\pagenumbering{arabic}
\setcounter{page}{1}

%\chapter*{��1�� \\ \vspace{0.7cm}������(���ž��)��ɽ�̽�����}
\chapter{�����Ȥδ�������}

\section{�Ϥ����}

�����־��2����(�����, {\bf ��}�ȸƤ�)��, ���δ֤����Τΰ�ư�ʤ��˾���
���������Τ�{\bf ��} �ȸƤ�. �Ȥ������ˤ�, {\bf ������}��{\bf ����}��
¸�ߤ�ɬ�פǤ���. �����Ϥ�, �Ϥ򸵤ξ��֤��᤹Ư���򤹤�. ����, �����Ȥ�, 
�Ϥ����ξ��֤���ä���⤽�α�ư��³���褦�Ȥ���Ư���Τ��ȤǤ���. \\

�Ȥα�ư���֤�, ��Ĥ�ʬ�व���. ��Ĥ�, �����Ϥ����Τΰ������⤷������
���ˤ�ä���������Ǥ���. �����Ȥ�, {\bf ������}({\it compression
wave}), {\bf ������}({\it elastic wave}), ���뤤��, {\bf ������}({\it
pressure wave})�ȸƤФ�, ή��γ�Ҥ��Ȥ����Ť��������˿�ư����({\bf ����}). 
���ο�ư�ο��������������ˤ�, {\bf ����}({\it sound wave})�Ȥʤ�. ����, 
�⤦��Ĥα�ư���֤�, ���Ϥ������ϤȤʤ���Ǥ���. �����Ȥ�, {\bf ����
��}({\it gravity wave})�ȸƤФ��. �ä�, ���̤Τ褦�ʼ�ͳɽ�̾�ν�����
��{\bf ɽ�̽�����}({\it surface gravity waves}), ̩�٤ΰۤʤ���Ĥ�ή��
�δ�({\bf ����}: {\it interface})��¸�ߤ�������Ȥ�{\bf ����������}({\it
internal gravity waves})�ȸƤ�.  �����Ȥ�ή��γ�Ҥα�ư��, �Ȥ����Ť���
����ʿ�Ԥ���ʬ�ȿ�ľ����ʬ��ξ�Ԥ�ʻ������({\bf ����}). \\

�ܾϤǤ�, �����Ȥδ���Ū��������ޤȤ��. �ʲ��Ǥ�, �Ȥμ����ϼ�ž������
���Ϥ뤫���礭���Ȥ�, �Ȥα�ư�������μ�ž�˱ƶ�����ʤ���ΤȲ��ꤹ��. 
%�ޤ�, �����������������ˤʤ���ˤ�, �Ȥο����Ͼ�������ΤȲ��ꤹ��. 


\section{ɽ�̽�����}

����Ǥ�, ���ͤʿ��� $H$ ���ĳ���μ�ͳɽ�̤ˤ���������Ȥ��������. 

\subsection{ɽ�̽����Ȥ��꼰��}

�Ȥ���Ĺ�� $\lambda$, ��ͳɽ�̤ο����� $a$, �Ż߾��֤���α�ľ�Ѱ̤�
$\eta(x,t)$ �Ȥ�, $a/\lambda\ll 1$ (���̤η��ФϾ�����)���� $a/H\ll 1$
(�Ȥ����äƤⳤ�ο������Ѥ��ʤ�)�Ȥ���. �ޤ�, $x$ �����ˤΤ����Ť����
��򰷤�, ��ư�� $x-z$ ʿ�����2�����Ȥ���.\\
%\Dchapter*{1.2 ɽ�̽�����}
\begin{figure}[H]
\vspace{-5mm}
 \begin{center}
 \Depsf[7cm]{ps/FM-Fig.7.4.ps} 
 \end{center}
 \vspace{-5mm}
 \caption{��ư�ε���}
\end{figure}

\subsubsection{�� ®�٥ݥƥ󥷥���Ƴ��}

��ž��̵����ư�Ǥ��뤫��, �Ϥ����®�٥ݥƥ󥷥�� $\phi$ ��ʲ��Τ褦��
�������: 

\begin{equation}
 u\equiv\frac{\partial\phi}{\partial x}, 
\qquad 
 w\equiv\frac{\partial\phi}{\partial z} \label{sokudo-potential}
\end{equation}

\subsubsection{�� Ϣ³�μ�}

®�٥ݥƥ󥷥����Ϣ³�μ�

\begin{equation}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial w}{\partial z}
= 0 \label{renzoku-2d}
\end{equation}

\medskip
���������ưʲ��Υ�ץ饹������������: 

\begin{equation}
  \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} 
+ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}
= 0 \label{laplace-eq}
\end{equation}

\subsubsection{�� �������}

����Ǥϱ�ľή��̵���ΤǶ������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�. 

\begin{equation}
 w = \frac{\partial\phi}{\partial z} = 0 \qquad \mbox{at}\quad z=-H \label{boundary-1}
\end{equation}

\medskip
����, ���̤Ǥ�, ���̤��Ѱ̤�®�٤���ľή������������, �������ϰʲ��Τ�
���ˤʤ�. 

\begin{equation}
 \frac{D\eta}{Dt} = w_{\eta} \qquad \mbox{at}\quad z=\eta \label{boundary-2} 
\end{equation}

\medskip
������, $D/Dt=\partial/\partial t + u(\partial/\partial x)$, $w_{\eta}$
��, ��ͳɽ�̤Ǥ�ή�Τ�®�٤α�ľ��ʬ�Ǥ���. �����, ®�٥ݥƥ󥷥�����
���ưʲ��Τ褦�˽񤱤�. 
\begin{equation}
   \frac{\partial\eta}{\partial t}
+ u\frac{\partial\eta}{\partial x}\bigg|_{z=\eta} 
=  \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} \label{boundary-3}
\end{equation}
�����ξ������Ȥξ��, $u$ �� $\partial\eta/\partial x$ �϶��˾���������, 
$u(\partial\eta/\partial x)\ll 1$ ��(\ref{boundary-1})���¾�ι���⥪��
������ľ������ʤ�. �������äưʲ�������. 

\begin{eqnarray}
\vspace{-25mm}
    \frac{\partial\eta}{\partial t}
&=& \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} \label{boundary-4} \\
&=& \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=0}
 +\eta \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}\bigg|_{z=0}
 +\cdots
\simeq
 \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=0} \nonumber \\
 \frac{\partial\eta}{\partial t}
&=& \frac{\partial\phi}{\partial z} \qquad \mbox{at}\quad z=0 \label{boundary-5}
\end{eqnarray}
�����, ��ͳɽ�̲��ΰ��Ϥ�ʲ��Τ褦�˲��ꤹ��. 

\begin{equation}
 p = 0 \qquad \mbox{at} \quad z=\eta
\end{equation}

\medskip
�����Ǳ�ư��������, �ʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
  \frac{\partial{\Vectm u}}{\partial t}
+ ({\Vectm u}\cdot\nabla){\Vectm u}
= 
-\frac{1}{\rho}\nabla p 
+ {\Vectm g}
+ {\Vectm F}  
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial{\Vectm u}}{\partial t}
+ \nabla\left(\frac{1}{2}|{\Vectm u}|^{2}\right) 
- {\Vectm u}\times\mbox{rot}{\Vectm u}
= 
-\frac{1}{\rho}\nabla p 
+ {\Vectm g}  
+ {\Vectm F}  
\end{equation}

\medskip
��̵������®�٥ݥƥ󥷥����Ѥ��ưʲ��Τ褦�˽񤱤�(Bernoulli's equation).  

\begin{equation}
  \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
+ \frac{1}{2}(u^{2}+w^{2})
= 
- \frac{p}{\rho}
- gz  
+ F(t)
\end{equation}

\medskip
������, $(u^{2}+w^{2})$ �����������, �����ξ������Ȥξ���̵��Ǥ���.
�ޤ�, $F$ �Ϻ��դ� $\partial\phi/\partial t$ �˴ޤ�ƿ����� $\phi$ ����
������. �ޤ�, $p=0$ �Ǥ���. ������ʲ��δط�������. 

\begin{equation}
 \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
+ g\eta 
= 0 \qquad \mbox{at} \quad z=\eta
\end{equation}

\medskip
��ξ���Ʊ�ͤ�, $\partial\phi/\partial t$ �� $z=0$ �Ǥ�Ʊ�ͤ�ɾ���Ǥ�
�뤫��, �ʲ��ζ�����������: 

\begin{equation}
 \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
+ g\eta 
= 0 \qquad \mbox{at} \quad z=0 \label{boundary-6}
\end{equation}

\subsubsection{�� ɽ�̽����Ȥβ��Ƴ��}

����ޤǤ����󤹤��, �򤯤٤�������, �������ϰʲ����ͤˤʤ�: 

$$
  \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}
+ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}}
= 0 \eqno(\ref{laplace-eq})
$$
$$
 \frac{\partial\phi}{\partial z} = 0 \qquad \mbox{at}\quad z=-H  \eqno(\ref{boundary-1})
$$
$$
   \frac{\partial\eta}{\partial t}
=  \frac{\partial\phi}{\partial z} \qquad \mbox{at}\quad z=0 \eqno(\ref{boundary-5})
$$
$$
 \frac{\partial{\phi}}{\partial t}
= - g\eta  \qquad \mbox{at} \quad z=0 \eqno(\ref{boundary-6})
$$

\medskip
������, �� $\eta(x,t)$ �η���ʲ��Τ褦�˲��ꤹ��. 

\begin{equation}
 \eta = a\cos(kx-\omega t) \label{eta-solution}
\end{equation}

\medskip
������, $k, \omega$ �Ϥ��줾�������ȿ�, ��ư���Ǥ���. ���� $\eta$ ���Ѥ�
���, (\ref{boundary-5}),(\ref{boundary-6})��� $\phi$ ��, sin ���δؿ�
�ˤʤ뤳�Ȥ�ʬ����. ������, $\phi$ ��ʲ��Τ褦�˲��ꤹ�뤳�Ȥˤ���: 

\begin{equation}
 \phi = f(z)\sin(kx-\omega t) \label{laplace-eq-solution}
\end{equation}

\medskip
(\ref{laplace-eq-solution})��(\ref{laplace-eq})���������Ƽ���������: 

$$
 \frac{d^{2}f}{dz^{2}} - k^{2}f = 0
$$

\medskip
���ΰ��̲�ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 f(z) = Ae^{kz} + Be^{-kz}
\end{equation}

\medskip
�������ä�, ®�٥ݥƥ󥷥��ϼ��Τ褦��ɽ�����: 

\begin{equation}
 \phi = (Ae^{kz} + Be^{-kz})\sin(kx-\omega t) \label{sokudo-potential-2}
\end{equation}

\medskip
������(\ref{boundary-1})������ʲ��δط���������: 

\begin{equation}
 B = Ae^{-2kH} \label{A-B-kankei-1}
\end{equation}

\medskip
�ޤ�, (\ref{sokudo-potential-2})�κ��դˤ�����

$$
 \frac{\partial\phi}{\partial z}\bigg|_{z=\eta} 
= k(Ae^{k\eta}-Be^{-k\eta})\sin(kx-\omega t)
$$

\medskip
�Ǥ���. �����ǤϤ���β���(��ͳɽ�̤η��Фȿ����Ͼ�����)��� $k\eta\ll
1$ �Ǥ��뤫�� $e^{k\eta}\simeq e^{-k\eta}\simeq 1$ �Ǥ���. �������ä�
(\ref{eta-solution}),(\ref{sokudo-potential-2})��
(\ref{boundary-5})���������Ƽ��δط�������: 

\begin{equation}
 k(A-B) = a\omega \label{A-B-kankei-2}
\end{equation}

\medskip
��ä�, (\ref{A-B-kankei-1}),(\ref{A-B-kankei-2})���� $A,B$ �ϼ��Τ褦��
�ʤ�. 

\begin{equation}
 A = \frac{a\omega}{k(1-e^{-2kH})}, \qquad B = \frac{a\omega e^{-2kH}}{k(1-e^{-2kH})}
\end{equation}

\medskip
��ä�®�٥ݥƥ󥷥��ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 
\begin{eqnarray}
 \phi &=& \left(
	   \frac{a\omega         e^{ kz}}{k(1-e^{-2kH})}
	  +\frac{a\omega e^{-2kH}e^{-kz}}{k(1-e^{-2kH})}
	  \right) \sin(kx-\omega t) \nonumber \\
      &=& \frac{a\omega}{k}
          \frac{e^{kz} + e^{-2kH}e^{-kz}}{1-e^{-2kH}}
	  \sin(kx-\omega t) \nonumber \\
      &=& \frac{a\omega}{k}
          \frac{e^{k(z+H)} + e^{-k(z+H)}}{e^{kH}-e^{-kH}}
	  \sin(kx-\omega t) \nonumber \\
      &=& \frac{a\omega}{k}
          \frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t) \label{sokudo-potential-3}
\end{eqnarray}
�������ä�, ®����ʬ�ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  u &=& a\omega\displaystyle\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t)  \\[2ex]
  w &=& a\omega\displaystyle\frac{\sinh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t)  \\
 \end{array} \label{laplace-eq-solution-2}
\end{equation}

\subsection{ɽ�̽����Ȥ�ʬ���ط���}

ɽ�̽����Ȥ�ʬ���ط�����, (\ref{eta-solution})��
(\ref{sokudo-potential-3})��(\ref{boundary-6})����������������: 

\begin{equation}
 \omega = \sqrt{gk\tanh kH} \label{hyoumen-gw-bunsan}
\end{equation}

\medskip
��ä�, ����®�� $c=\omega/k$ �ϼ����ͤˤʤ�, ʬ����($c$ ���ȿ���¸��)��
���뤳�Ȥ��狼��.

\begin{equation}
 c = \sqrt{\frac{g}{k}\tanh kH} = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\frac{2\pi H}{\lambda}} \label{hyoumen-gw-phase-speed}
\end{equation}

\subsection{ɽ�̽����Ȥΰ�����ʬ}

���˰�����ʬ��ͤ���. ���� $p$ �ϰʲ������������� Bernoulli's equation
��������:
 
\begin{equation}
  \frac{\partial\phi}{\partial t}
+ \frac{p}{\rho}
+ gz
= 0  \label{bernoulli-p}
\end{equation}

\medskip
������, ���Ϥ� 0 �Ȥ���. ������, 
\begin{equation}
 p' \equiv p - \underbrace{(-\rho gz)}_{�Ż߾�Ǥΰ���} = p + \rho gz
\end{equation}
�Ǥ��뤫��, ���� $p$ ��(\ref{bernoulli-p})���������ưʲ��μ�������: 

\begin{equation}
 p' = -\rho\frac{\partial\phi}{\partial t}
\end{equation}

\medskip
��ä�, �弰��(\ref{sokudo-potential-3})�����������, $p'$ �ϰʲ��Τ褦
�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 p' = \frac{\rho a\omega^{2}}{k}\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t) \label{hyoumen-gw-p-1}
\end{equation}

\medskip
�����, (\ref{hyoumen-gw-p-1})��ʬ���ط���(\ref{hyoumen-gw-bunsan})����
������ȼ���������: 

\begin{equation}
 p' = \rho ga\frac{\cosh k(z+H)}{\cosh kH}\cos(kx-\omega t) \label{hyoumen-gw-p-2}
\end{equation}

\subsection{�����ȡ������ȶ��}\label{shallow-deep-water}

$H/\lambda\ll 1$ �Ȥ�������{\bf �����ȶ��}, $H/\lambda\gg 1$ �Ȥ�����ζ�
����{\bf �����ȶ��}�ȸƤ�. ����ǤϤ����ζ�����Ѥ���ɽ�̽����Ȥ�������ޤ�
���. 

\subsubsection{�� �����ȶ��}

$x\rightarrow\infty$ �ΤȤ� $\tanh x\rightarrow 1$ �Ǥ��뤫��, �����ȶ�
�� $H/\lambda \gg 1$ ��Ŭ�Ѥ����ɽ�̽����Ȥΰ���®��
(\ref{hyoumen-gw-phase-speed}) �ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 
\begin{eqnarray}
 c &=& \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\frac{2\pi H}{\lambda}} \nonumber\\
   &=& \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}                            \nonumber\\    
   &=& \sqrt{\frac{g}{k}}
\end{eqnarray}
������, ����ή�ξ��ɽ�̽����Ȥ�, ��Ĺ��Ĺ���Ȥۤɤ���᤯���Ť��뤳��
��ʬ����. ���� $H/\lambda \gg 1$ �ξ��, (\ref{laplace-eq-solution-2})��
��ή��γ�Ҥ�®����ʬ�ϰʲ��Τ褦�ˤʤ뤳�Ȥ��狼��:
\begin{eqnarray}
 u &=& a\omega\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t) \nonumber\\
   &=& a\omega\frac{e^{k(z+H)}+e^{-k(z+H)}}{e^{kH}-e^{-kH}}\cos(kx-\omega t)  \nonumber\\
   &=& a\omega\frac{e^{\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}+\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}}_{=0}}{e^{\frac{2\pi}{\lambda}H}-\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}H}}_{=0}}\cos(kx-\omega t) \nonumber\\
   &\simeq& a\omega e^{kz}\cos(kx-\omega t) \\ [2ex]
 w &=& a\omega\frac{\sinh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t) \nonumber\\
   &=& a\omega\frac{e^{k(z+H)}-e^{-k(z+H)}}{e^{kH}-e^{-kH}}\sin(kx-\omega t)  \nonumber\\
   &=& a\omega\frac{e^{\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}-\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}}_{=0}}{e^{\frac{2\pi}{\lambda}H}-\underbrace{e^{-\frac{2\pi}{\lambda}H}}_{=0}}\sin(kx-\omega t) \nonumber\\
   &\simeq& a\omega e^{kz}\sin(kx-\omega t)
\end{eqnarray}
������, ®�٥٥��ȥ��, $x$ ���������������Ť����Ȥξ��, ��ư��
$\omega$ �ǻ��ײ��˲�ž���뤳�Ȥ�ʬ����. ���ΤȤ�, �����Ͽ忼($z=z_{0}$)
�ȿ�ư���Ƿ�ޤ� $a\omega e^{kz_{0}}$ �ΰ����ͤ���³����. ����, ������
ʬ(\ref{hyoumen-gw-p-2})����, �����ȶ���Τ�ȤǤϰʲ��Τ褦�ˤʤ�:  
\begin{eqnarray}
 p'&=& \rho ga\frac{\cosh k(z+H)}{\cosh kH}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ 
   &=& \rho ga\frac{e^{k(z+H)-e^{-k(z+H)}}}{e^{kH}-e^{-kH}}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ 
   &=& \rho ga\frac{e^{\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)-e^{-\frac{2\pi}{\lambda}(z+H)}}}{e^{\frac{2\pi}{\lambda}H}-e^{-\frac{2\pi}{\lambda}H}}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ 
   &\simeq& \rho ga e^{kz}\cos(kx-\omega t)
\end{eqnarray}
������, �Ȥα�ư�ˤ�밵�Ϥ��Ѳ���, �����ȶ��˻ؿ��ؿ�Ū�˸��ꤷ�Ƥ���
���Ȥ��狼��. �������ä�, ���ã���뤳�Ȥ������Τ�Ĺ�Ȥ��ȤΤߤǤ���. 

\subsubsection{�� �����ȶ��}

$x\rightarrow 0$ �ΤȤ� $\tanh x\rightarrow x$ �Ǥ��뤫��, �����ȶ�
�� $H/\lambda \ll 1$ ��Ŭ�Ѥ����ɽ�̽����Ȥΰ���®��
(\ref{hyoumen-gw-phase-speed}) �ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 
\begin{eqnarray}
 c &=& \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}\tanh\frac{2\pi H}{\lambda}} \nonumber\\
   &=& \sqrt{gH}
\end{eqnarray}
������, ����ή�ξ��ɽ�̽����Ȥ�®�٤�, �����ˤΤ߰�¸����Ĺ�ˤϰ�¸��
�ʤ����Ȥ�ʬ����. ���� $H/\lambda \ll 1$ �ξ��, 

$$
 \cosh k(z+H) \simeq 1, \qquad \sinh k(z+H) \simeq k(z+H), \qquad \sinh kH \simeq kH
$$

\medskip
�Ǥ��뤫��, (\ref{laplace-eq-solution-2})���ή��γ�Ҥ�®����ʬ�ϰʲ���
�褦�ˤʤ뤳�Ȥ��狼��:
\begin{eqnarray}
 u &=& a\omega\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t) \nonumber\\
   &=& \frac{a\omega}{kH}\cos(kx-\omega t) \\ [2ex]
 w &=& a\omega\frac{\sinh k(z+H)}{\sinh kH}\sin(kx-\omega t) \nonumber\\
   &=& a\omega\left(1+\frac{z}{H}\right)\sin(kx-\omega t)
\end{eqnarray}
�������ľ®����ʬ�Ͽ�ʿ®����ʬ����Ϥ뤫�˾��������Ȥ�ʬ����. ����, 
������ʬ(\ref{hyoumen-gw-p-2})����, �����ȶ���Τ�ȤǤϰʲ��Τ褦�ˤʤ�:
\begin{eqnarray}
 p'&=& \rho ga\frac{\cosh k(z+H)}{\cosh kH}\cos(kx-\omega t)\nonumber\\ 
   &\simeq& \rho ga\cos(kx-\omega t) = \rho g \eta
\end{eqnarray}
������, $\eta$ �ˤĤ���(\ref{eta-solution})���Ѥ���. ������, ���Ϥ���
ư�Ͽ忼����Ω�Ǥ���, ���ؤΰ����Ѳ���ɽ���Ѱ̤���ư�ˤ�밵�Ϥ����ä���
����. �����, �����ȤǤϴ������ſ尵ʿ�դ�����Ω�äƤ��뤳�Ȥ�ʬ����. 

\subsection{ɽ�̽����Ȥ��ȤΥ��ͥ륮���ȥե�å���}

\subsubsection{�� ɽ�̽����Ȥ��ȤΥ��ͥ륮��}

ɽ�̽����Ȥ�, ή�Τα�ư�ˤ�뱿ư���ͥ륮���ȼ�ͳɽ�̤��Ѱ̤ˤ��ݥƥ�
����륨�ͥ륮������äƤ���. ñ�̿�ʿ���Ѥ�����α�ư���ͥ륮�� $E_{k}$ 
��, �ʲ��Τ褦���ظ��ˤ錄�äƤ���ʬ��ܤ�����, ����Ĺ�������ʿ�Ѥ���
���Ȥ�������:

\begin{equation}
 E_{k} = \frac{\rho}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{0}\frac{1}{2}(u^{2}+w^{2})dzdx
\end{equation}

\medskip
������, ��ľ��ʬ�� $z=0$ �ޤǹԤ�. �����, $z=\eta$ �ޤǷ׻�����ȹ⼡��
�ब�����Ƥ��ޤ�����Ǥ���. �弰��(\ref{laplace-eq-solution-2})��������
��Ȱʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{eqnarray}
 E_{k} &=&
         \frac{\rho}{2\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{0}a^{2}\omega^{2}
         \left[
	  \frac{\cosh^{2}k(z+H)}{\sinh^{2}kH}\cos^{2}(kx-\omega t)
	 +\frac{\sinh^{2}k(z+H)}{\sinh^{2}kH}\sin^{2}(kx-\omega t) 
	 \right]dzdx \nonumber \\
       &=&
         \frac{\rho\omega^{2}}{2\sinh^{2}kH}
         \left[
	  \frac{1}{\lambda}
	   \int_{0}^{\lambda}a^{2}\cos^{2}(kx-\omega t)dx
	   \int_{-H}^{0}\cosh^{2}k(z+H)dz 
	 \right.\nonumber \\
       & &\qquad\qquad\qquad
	 \left. 
	 +\frac{1}{\lambda}  
	   \int_{0}^{\lambda}a^{2}\sin^{2}(kx-\omega t)dx
	   \int_{-H}^{0}\sinh^{2}k(z+H)dz
	 \right]
\end{eqnarray}
������, $x$ ��ʬ�ˤĤ���, ɽ���Ѱ� $\eta$ ���Ѥ���Ȱʲ��Τ褦�ˤʤ�: 
\begin{eqnarray*}
 \frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}a^{2}\cos^{2}(kx-\omega t)dx 
  &=& \frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}a^{2}\sin^{2}(kx-\omega t)dx \\
  &=& \frac{1}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\eta^{2}dx = \overline{\eta^{2}}
\end{eqnarray*}
������, $\overline{\eta^{2}}$ ��ʿ�Ѽ����Ѱ̤Ǥ���. ������Ѥ��� $E_{k}$ 
��񤭴�����ȼ��Τ褦�ˤʤ�:
\begin{eqnarray}
 E_{k} &=&
         \frac{\rho\omega^{2}}{2\sinh^{2}kH}
         \left[
	  \overline{\eta^{2}}
	   \int_{-H}^{0}\cosh^{2}k(z+H)dz 
	 +\overline{\eta^{2}}
	   \int_{-H}^{0}\sinh^{2}k(z+H)dz
	 \right] \nonumber \\
       &=&	 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2\sinh^{2}kH}
         \left[
	   \int_{-H}^{0}\frac{e^{2k(z+H)}+e^{-2k(z+H)}+2}{4} dz 
	  +\int_{-H}^{0}\frac{e^{2k(z+H)}+e^{-2k(z+H)}-2}{4} dz 
	 \right] \nonumber \\
       &=&	 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2\sinh^{2}kH}
	 \frac{1}{4}
         \left[
	   \left[\frac{1}{2k}e^{2k(z+H)}-\frac{1}{2k}e^{-2k(z+H)}+2z\right]_{-H}^{0} \right. \nonumber \\
       & & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 
	 \left.
	  +\left[\frac{1}{2k}e^{2k(z+H)}-\frac{1}{2k}e^{-2k(z+H)}-2z\right]_{-H}^{0}
	 \right] \nonumber \\
       &=&	 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2\sinh^{2}kH}
	 \frac{1}{4}
         \left[
	   \left[\frac{1}{2k}e^{2kH}-\frac{1}{2k}e^{-2kH}-\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k}-2H\right)\right]
	 \right.  \nonumber \\     
       & & \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 
	 \left.
	  +\left[\frac{1}{2k}e^{2kH}-\frac{1}{2k}e^{-2kH}-\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k}+2H\right)\right]
	 \right] \nonumber \\
       &=& 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{8\sinh^{2}kH}\cdot\frac{2}{k}\left(\frac{e^{2kH}-e^{-2kH}}{2}\right) \nonumber\\
       &=& 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{4k\sinh^{2}kH}\sinh 2kH \nonumber\\
       &=& 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{4k\sinh^{2}kH}\cdot 2\sinh kH\cosh kH \nonumber\\
       &=& 
         \frac{\rho\omega^{2}\overline{\eta^{2}}}{2k\tanh kH} \qquad\qquad \leftarrow \mbox{���� $\omega$ ��ʬ���ط���(\ref{hyoumen-gw-bunsan})����������}\nonumber\\
       &=& 
         \frac{\rho\cdot(gk\tanh kH)\overline{\eta^{2}}}{2k\tanh kH}\nonumber\\
       &=& 
         \frac{1}{2}\rho g\overline{\eta^{2}} \label{kinetic-E}
\end{eqnarray}

����, �ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���ˤĤ��ƹͤ���. �ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮����, ��
ʿ�μ�ͳʿ�̤�����夲��Ȥ��ˤʤ����Ż��Ȥ�����������. �����, �Ȥ�
¸�ߤ�����夬�ä���Υݥƥ󥷥�륨�ͥ륮�����Ȥ�̵���Ż߾�Υݥƥ󥷥�
�륨�ͥ륮���κ���������. $y$ ������ñ��Ĺ���������ή�����ǤΥݥƥ󥷥�
�륨�ͥ륮���� $\rho gzdxdz$ �Ǥ��뤫��, ñ�̿�ʿ���Ѥ�������ȤΥݥƥ�
����륨�ͥ륮�� $E_{p}$��, �ʲ��Τ褦�ˤʤ�:
\begin{eqnarray}
 E_{p} &=& \frac{\rho g}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{\eta}zdzdx
          -\frac{\rho g}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{-H}^{0}zdzdx \nonumber \\
       &=& \frac{\rho g}{\lambda}\int_{0}^{\lambda}\int_{0}^{\eta}zdzdx \nonumber \\ 
       &=& \frac{\rho g}{2\lambda}\int_{0}^{\lambda}\eta^{2} dx \qquad \leftarrow\mbox{$\overline{\eta^{2}}$ ��������Ѥ���} \nonumber \\
       &=& \frac{1}{2}\rho g\overline{\eta^{2}} \label{potential-E}
\end{eqnarray}
\vspace{-12mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.8.ps} 
 \end{center}
 \caption{ή����Υݥƥ󥷥�륨�ͥ륮���η׻�}
\end{figure}

(\ref{kinetic-E})��(\ref{potential-E})����Ӥ����, ʿ�ѱ�ư���ͥ륮����
�ݥƥ󥷥�륨�ͥ륮�������������Ȥ�ʬ����. �����{\bf ���ͥ륮����ʬ��
�θ���}({\it principle of equipartition of energy})�ȸƤФ�, �ϵ�β�ž
�αƶ�������ʤ��������ο�ư�ˤ���������Ω��. ñ�̿�ʿ���Ѥ������ή����
�ˤ������Ȥ������ͥ륮���ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�.

\begin{equation}
 E = E_{k} + E_{p} = \rho g\overline{\eta^{2}} = \frac{1}{2}\rho g a^{2}
\end{equation}

������, $\eta$ �������Ȥξ��, $\cos^{2}x$ �ΰ���Ĺʿ�Ѥ�, $1/2$ �Ǥ���
����, $\overline{\eta^{2}} = a^{2}$ ($a$ �������Ȥο���)�Ǥ��뤳�Ȥ��Ѥ�
��. 

\subsubsection{�� ɽ�̽����Ȥ��ȤΥ��ͥ륮���ե�å���}

����, �ȿ� $k$ ����(������)�ˤ�륨�ͥ륮������ãΨ(���ͥ륮���ե�å���)
�ˤĤ��ƤޤȤ��.  $x=0$ �α�ľʿ�̤��ڤ륨�ͥ륮���ե�å�����, $x>0$ 
���ΰ��ή�Τ�$x<0$ ���ΰ��ή�Τ���ʤ��줿���Ϥˤ��Ż���������. ��Ƭ
��ñ��Ĺ�����������ʿ�Ѥ������ͥ륮���ե�å�����, �����(�ȤΤ���Ȥ�
��)�ΰ��� $p'$ ���¤� $p$, �طʾ�ΰ��Ϥ� $-\rho gz$ �Ȥ��ưʲ��Τ褦��
�ʤ�:
\begin{equation}
 F  =  \biggm\langle \int_{-H}^{0} pudz \biggm\rangle 
    = \biggm\langle\int_{-H}^{0}p'u dz \biggm\rangle 
             -\rho g<u>\int_{-H}^{0}zdz 
    = \biggm\langle \int_{-H}^{0}p'udz \biggm\rangle \label{energy-flux-1}
\end{equation}
������, $<~>$ ���Ȥμ����ˤ錄��ʿ�Ѥ򼨤�, $<u>=0$ �Ǥ��뤳�Ȥ��Ѥ���. 
�ޤ�, $p'$ ��(\ref{hyoumen-gw-p-2})��Ϳ������. �������ä�,
(\ref{energy-flux-1})��(\ref{laplace-eq-solution-2}) �� $u$ ��
(\ref{hyoumen-gw-p-2})�����������, �ʲ��Τ褦�ˤʤ�:
\begin{eqnarray}
 F &=& \biggm\langle\int_{-H}^{0}p'udz \biggm\rangle \nonumber\\
   &=& \biggm\langle\int_{-H}^{0}\left[\frac{\rho a\omega^{2}}{k}\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t)\times a\omega\frac{\cosh k(z+H)}{\sinh kH}\cos(kx-\omega t)\right] dz \biggm\rangle \nonumber\\
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{k\sinh^{2}kH}\int_{-H}^{0}\cosh^{2}k(z+H)dz \nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{k\sinh^{2}kH}\int_{-H}^{0}\frac{e^{2k(z+H)}+e^{-2k(z+H)}+2}{4}dz \nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k\sinh^{2}kH}\left[\frac{1}{2k}e^{2k(z+H)}-\frac{1}{2k}e^{-2k(z+H)}+2z\right]_{-H}^{0} \nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k\sinh^{2}kH}\left[\frac{1}{2k}e^{2kH}-\frac{1}{2k}e^{-2kH}-\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{2k}-2H\right)\right] \nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k^{2}\sinh^{2}kH}(\sinh 2kH + 2kH)\nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k^{2}\sinh^{2}kH}(2\sinh kH\cosh kH + 2kH)\nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{4k^{2}\sinh^{2}kH}\cdot 2\sinh kH\cosh kH \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\nonumber\\ 
   &=& \langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle\frac{\rho a^{2}\omega^{3}}{2k^{2}\tanh kH} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)
\end{eqnarray}
������, $\langle\cos^{2}(kx-\omega t)\rangle = 1/2$ �Ǥ���. �����, ʬ��
�ط���(\ref{hyoumen-gw-bunsan})���Ѥ����, ���륨�ͥ륮���ե�å�����
�ʲ��Τ褦�ˤʤ�. 
\begin{eqnarray}
 F &=& \frac{1}{2}\rho a^{2}\frac{1}{2k^{2}}\frac{gk\tanh kH\sqrt{gk\tanh kH}}{\tanh kH} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right) \nonumber \\
   &=& \frac{1}{2}\rho ga^{2}\frac{\sqrt{gk\tanh kH}}{2k} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right) \nonumber \\
   &=& \frac{1}{2}\rho ga^{2}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k}\tanh kH} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right) \nonumber \\
   &=& \frac{1}{2}\rho ga^{2}\left[\frac{c}{2} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\right] \label{energy-flux-2} 
\end{eqnarray}

%\Dchapter*{1.3 ��®�٤ȥ��ͥ륮���ե�å���}

\section{��®�٤ȥ��ͥ륮���ե�å���}

����Ǥ�, ����®�٤��ȿ��˰�¸����褦��ʬ�����Τ����Ȥ򰷤�. ʬ�����Τ�
���Ȥξ��, �ȤΥ��ͥ륮���ϰ���®�٤ǤϤʤ���®�٤����Ť���. �ʲ��Ǥ�, 
���η�®�٤ȥ��ͥ륮���ե�å����δط��ˤĤ��ƤޤȤ��. 

\subsection{��®��}

�Ϥ����, �������������ȿ��Τ鷺���˰ۤʤ�($k_{1},k_{2}$; �������ä�, ��
ư����鷺���˰ۤʤ�; $\omega_{1},\omega_{2}$)��Ĥ��ȤνŤ͹�碌��ͤ���.
\begin{eqnarray}
 \eta &=& a \cos(k_{1}x-\omega_{1}t) + a\cos(k_{2}x-\omega_{2}t) \nonumber\\
      &=& 2a
            \cos\left[
             \frac{1}{2}(k_{2}-k_{1})x -\frac{1}{2}(\omega_{2}-\omega_{1})t
	        \right]
            \cos\left[
             \frac{1}{2}(k_{2}+k_{1})x -\frac{1}{2}(\omega_{2}+\omega_{1})t
	        \right]
\end{eqnarray}
������, $k=(k_{1}+k_{2})/2, \omega=(\omega_{1}+\omega_{2}),
dk=k_{2}-k_{1}, d\omega = \omega_{2}-\omega_{1}$ �Ȥ����ȼ���������: 

\begin{equation}
 \eta = 2a\cos\left(
	       \frac{dk}{2}x -\frac{d\omega}{2}t
	      \right)
          \cos(kx-\omega t)
\end{equation}

������, $\cos(kx-\omega t)$ �ϰ���®�� $c=\omega/k$ �ǿʹԤ����ȤǤ���
(�ġ�����). ������, ���ο��� $2a$ �� $\cos[dk x/2 - d\omega t/2]$ �δؿ�
�ˤ�ä�, ��ä����Ѳ�����(��Ĺ $4\pi/dk$, ���� $4\pi/d\omega$)(��\ref{group-velocity}).
\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[11.5cm]{ps/FM-Fig.7.16.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm}
 \caption{��Ĥ������Ȥ������νŤ͹�碌�ˤ��Ϣ³������®�٤η���. } \label{group-velocity}
\end{figure}

���ο�����Ĵ�����Ť��Ƥ���®��(��Ĺ/����)�ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�:

\begin{equation}
 c_{g} = \frac{d\omega}{dk} \label{gunsokudo-teigi-1}
\end{equation}

\medskip
�嵭�Τ褦��, ®���Ѳ����������ȤȤ�ä����Ѳ����������Ȥ��Ѥˤ���ȷ���
�����֤����������. �����ȷ���®�� $c_{g}$ ��{\bf ��®��}�ȸƤ�. $c_{g}$
��, ʬ�������������η������б����Ƥ���(��\ref{k-omega-c-cg}). ��®�٤��
�����Τߤǰ������ˤ�, $\omega$ ���Ȥ��������� $k$ �δؿ��Ȥ��ư���. ��
�����ξ��, $\omega(k,l,m)$ ���ȿ��٥��ȥ� ${\Vectm K}=(k,l,m)$ �δؿ���
����. ���ΤȤ�, ��®�٥٥��ȥ��ľ���ɸ�ϤΥƥ󥽥�ɽ�����Ѥ���Ȱʲ���
�褦�ˤʤ�:

\begin{equation}
 c_{gi} = \frac{d\omega}{dK_{i}} \label{gunsokudo-teigi-2}
\end{equation}

\medskip
������, $K_{i}$ �� $\Vectm K$ ����ʬ��ɽ��. ��®�٥٥��ȥ��, �����, ��
�����֤ˤ����� $\omega$ �η��������������Ȥ�ʬ����. 

\subsubsection{�� $c_{g}< c$ �ξ��}

���ξ��, ��Ƭ({\it wave crest})�Ϥɤ�����({\it nodal point})�Ǥ⸽���
���ʤ��ȷ�({\it envelope})���Τ��̤�����Ƭ�����˿ʤ�. �������Ƭ��, ����
�����ˤ�ä����Ⱦü�����. 

\subsubsection{�� $c_{g}> c$ �ξ��}

���ξ��, �ġ�����Ƭ����ˤ��������Ǹ���, ����������Ǿü������ͤ˸�����. 
�����, �ȷ����Τ��̤�����Ƭ���ȷ�������Ū�˸���˿ʤ�Ǥ���褦�˸�����
����Ǥ���.
\vspace{-5mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[7cm]{ps/FM-Fig.7.17.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm}
 \caption{ʬ������ $\omega(k)$ �� $c, c_{g}$ �Ȥ��б�.} \label{k-omega-c-cg}
\end{figure}

\subsection{��«�ȷ�®��}

{\bf ��«}({\it wave packet})��, $\delta k$ �ζ����ΰ����¸�ߤ��뤹�٤�
���ȿ����Ȥ��Ťʤäƽ��褿��ΤǤ���. �ȷ���, ������«��ʣ�����ޤäƽ���
����ΤǤ���. ��«���濴�ˤ��ȿ� $k$ ���Ȥ�¸�ߤ���. ��«�ο�����,
$1/\delta k$ �Υ�������Ĺ���Ǹ��ꤹ��(��\ref{wave-packet}). \\

�ȷ��η��ν���ͤ�ʲ��Τ褦��Ϳ����: 

\begin{equation}
 \eta = a(x)\cos kx
\end{equation}

\medskip
�嵭���ȷ���, �������֤����ä���Ǥϰʲ��Τ褦���Ѳ�����: 

\begin{equation}
 \eta = a(x-c_{g}t)\cos(kx-\omega t)
\end{equation}

\medskip
������ $c_{g}=d\omega/dk$ �Ǥ���. �����, ��«�ο�������®�٤ǰ�ư���ƹ�
���ͻҤ�ɽ���Ƥ���. ���Τ��Ȥ���, $c_{g}$ ���ȤΥ��ͥ륮�������Ť���®��
���������ʤ���Фʤ�ʤ����Ȥ��狼��. �ʤ��ʤ�, �������Ȥ� $c_{g}$ �ǰ�
ư��, �ȤΥ��ͥ륮����������ۤ������Ť��뤳�Ȥ�����ʤ�����Ǥ���.\\

ɽ�̽����Ȥξ��, ʬ���ط�����

$$
 \omega = \sqrt{gk\tanh kH} \eqno(\mbox{\ref{hyoumen-gw-bunsan}})
$$

\medskip
�Ǥ��뤫��, ��®�٤ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 c_{g} = \frac{c}{2}\left[ 1+\frac{2kH}{\sinh 2kH}\right] \label{gw-gunsokudo}
\end{equation}

\medskip
������, �����ȶ��($H/\lambda \gg 1$), �����ȶ��($H/\lambda \ll 1$)�Τ�
�ȤǤϤ��줾�� $\sinh 2kH\rightarrow \infty, \sinh 2kH\rightarrow 2kH$
�Ȥʤ뤫��, ��®�٤Ϥ��줾��ʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  c_{g} &=& \displaystyle\frac{1}{2}c \qquad \mbox{(deep water)}\\ [1ex]
  c_{g} &=&                         c \qquad \mbox{(shallow water)}
 \end{array}
\end{equation}
\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[12cm]{ps/FM-Fig.7.18.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm}
 \caption{$\delta k$ �ζ����ȿ��Ӥ���«���ͻ�. } \label{wave-packet}
\end{figure}

��������ʬ���ηϤˤ����Ƥ�, �ɤ����«�⤽�η�����¸�����. �����, �嵭
�� shallow water �η�̤˸���褦��, �ɤ����Ĺ���Ȥ�Ʊ������®�٤ǿʤ�
����Ǥ���. ����, deep water �Τ褦��ʬ���Ϥˤ����Ƥ�, �ʲ��οޤ˸����
��褦��, �ơ�����Ĺ�ǰ���®�٤��ۤʤ�. �������äƷ�®�٤�ۤʤ�(Ĺ��Ĺ
���Ȥۤɷ�®�٤��礭��)�Τ�, �����Ϳ��������ϳơ�����Ĺ���Ȥ�ʬΥ(ʬ��)
���Ƥ����ͻҤ�������. 

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.19.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm}
 \caption{���̤��Ф��ꤸ�����ο��̤Υץ��ե������3�Ĥλ��֤ˤ櫓�ƽ�
 �������.}
\end{figure}

\subsection{��®�٤ȥ��ͥ륮���ե�å���}

�����ȤΥ��ͥ륮������ãΨ��, (\ref{energy-flux-2})��Ϳ������: 

$$
 F = \frac{1}{2}\rho ga^{2}\left[\frac{c}{2} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\right] = E\left[\frac{c}{2} \left(1 + \frac{2kH}{\sinh 2kH}\right)\right] \eqno(\mbox{\ref{energy-flux-2} })
$$

\medskip
������, $E=\frac{1}{2}\rho ga^{2}$ ��, ñ�̿�ʿ���Ѥ������ή�����ʿ��
���ͥ륮���Ǥ���. (\ref{gw-gunsokudo})���Ѥ����, ����������: 

\begin{equation}
 F = Ec_{g}
\end{equation}

\medskip
�����, �����Ȥ�����ʬ�Υ��ͥ륮������ãΨ��, (�ȤΥ��ͥ륮��) $\times$ (��
®��)��ɽ����뤳��, �Ĥޤ�, {\bf �ȤΥ��ͥ륮���Ϸ�®�٤����Ť���}���Ȥ�
�����Ƥ���. 

%\Dchapter*{1.4 ��������}

\section{��������}\label{hasen-riron}

\subsection{���� $H$ ������ξ��}

���� $H$ ���ɤ��Ǥ�����ή�Τξ��, {\bf $c_{g}$ ��®�٤ǰ�ư�����¬��
����ߤ���ȿ� $k$ ���Ѳ����ʤ�}. ����ǤϤ��Τ��Ȥ򼨤�����, ��Ĺ������
���Ѳ�����褦�������ͤ��뤳�Ȥˤ���. ���Τ褦������Ǥ�, Ϣ³������Ƭ
�δ֤ε�Υ��, ����, ���֤Ǥ�ä����Ѳ�����. �����Ǥ�, �ɽ�Ū�˰ʲ��Τ褦
�ʷ��Ǽ�ͳɽ�̤��Ѱ̤����ҤǤ����ΤȤ���:

\begin{equation}
 \eta = a(x,t)\cos[\theta(x,t)] 
\end{equation}

\medskip
������, $a(x,t)$ �Ϥ�ä����Ѳ����뿶��, $\theta$ �Ϥ��ξ��ΰ���Ǥ���. 
�ޤ�, �ȿ� $k$, ��ư�� $\omega$ �ξ��ΰ���Ѥ�, $\theta=kx-\omega t$ 
�Ǥ���. �������Ѳ���������ξ��, �����֤ˤ����������Ѳ�Ψ�Ȥ���, �ɽ�
�ȿ� $k(x,t)$, �ɽ꿶ư�� $\omega(x,t)$ ��������뤳�Ȥ��Ǥ���:

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
 k      &=&  \displaystyle\frac{\partial\theta}{\partial x} \\ [2ex]
 \omega &=& -\displaystyle\frac{\partial\theta}{\partial t}    
 \end{array}
\end{equation}

\medskip
��ߤ���ʬ��ܤ��ȼ���������: 

\begin{equation}
  \frac{\partial      k}{\partial t}
+ \frac{\partial \omega}{\partial x}
= 0 \label{k-omega-eq}
\end{equation}

\medskip
������, $H$ �ϰ���Ǥ��뤫��, $\omega$ �� $k$ �Τߤδؿ� $\omega =
\omega(k)$ �Ǥ���Ȳ��ꤹ��.  ���ΤȤ�,

\begin{equation}
  \frac{\partial\omega}{\partial x}
= \frac{d\omega}{dk}\frac{\partial k}{\partial x}
\end{equation}

�Ȥʤ뤫��, (\ref{k-omega-eq})���ϼ����ͤˤʤ�: 

%\Dchapter*{1.4 ��������}

\begin{equation}
 \frac{\partial k}{\partial t} + c_{g}\frac{\partial k}{\partial x} = 0 \label{k-equation}
\end{equation}

\medskip
������, $c_{g}=d\omega/dk$ �Ǥ���. (\ref{k-equation})�κ��դ�, �饰���
������ʬ��Ʊ�ͤη��򤷤Ƥ���, ®�� $c_{g}$ ��ư����¬�Ԥ��鸫���Ȥ���
$k$ ���Ѳ��γ���Ϳ���뤳�Ȥ��狼��. �����Ѳ��γ�礬 0 �Ǥ��뤳�Ȥ���, 
���Τ褦�ʴ�¬�Ԥ����Ȥ��¬�����, ���Ĥ�Ʊ����Ĺ���Ȥ���¬�����. ����
��, ��®�٤��ȿ� $k$ ����ή����®�٤Ǥ��뤳�Ȥ��狼��(��
\ref{k-omega-const-line}). ��\ref{k-omega-const-line} �ˤ�����, ��Ƭ�� 
$dx/dt=c$ �Ȥʤ����˱�äƤ���. ����, ��Ĺ�� $dx/dt=c_{g}$ �Ȥʤ����˱��
����¸(Ʊ���ͤ���)���Ƥ���. ����Ϳ����줿�ΰ������, ��
\ref{k-omega-const-line} �κǽ�������ȺǸ�������˰Ϥޤ줿�ΰ��������
�����Ƥ���. ��������, ���֤ȶ������ä����Τ�, ��Ƭ���ȷ��θ�����鸽��
�ȷ������Ǿä��ƹԤ��ͻҤ�������.

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.20.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm}
 \caption{���ͤ�ή������ȷ������Ť����ͻҤ� $x-t$ ʿ�̤�ɽ�������. ��
 ������Ƭ�ΤȤ���, ������ $k$ �� $\omega$ ���������ʤ�Ȥ������������
 ����.} \label{k-omega-const-line}
\end{figure}

\subsection{���� $H$ ���Ѳ�������}

$c_{g}$ ��®�٤�ư����¬�Ԥ��鸫���, �ɤ��Ǥ���ͤ����������ή����Ǥ�
Ʊ����Ĺ���Ȥ�����¬����ʤ�, �Ȥ�������Ǥη�̤�, ���� $H$ �����ˤ��
���Ѳ�����褦������ξ������Ω���ʤ�. ����Ǥ�, ��ư�����Ĥ���򴶤���
�褦�������Ȥ��ꤹ��. ���Τ褦�ʾ��, {\bf �ȤΥ��ͥ륮�������Ťη�ϩ
�˱�ä���¸����(Ʊ���ͤ���)�Τ�, ��Ĺ�ǤϤʤ���ư���Ǥ���}. �ʲ��Ǥ�,
���Τ��Ȥ򼨤����Ȥˤ���. \\

$H(x)$ �Ͻ�����(��Ĺ�Υ��������)�Ѳ��������ͤ���. ���ΤȤ�, ʬ����
����(\ref{hyoumen-gw-bunsan})�ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 \omega = \sqrt{gk\tanh kH(x)}
\end{equation}

\medskip
������ $\omega$ �� $k,x$ �δؿ��ˤʤ뤳�Ȥ��狼��:  

\begin{equation}
 \omega=\omega(k,x) 
\end{equation}
 
\medskip
���ξ��, ��®�٤ϰ����Ƕɽ�Ū�˵��뤳�Ȥ������. 

\begin{equation}
 c_{g}(k,x) = \frac{\partial\omega(k,x)}{\partial k}
\end{equation}

\medskip
ξ�ձ����� $\partial k/\partial t$ ��ݤ���ȼ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
  c_{g}\frac{\partial k}{\partial t} 
=      \frac{\partial\omega}{\partial k}\frac{\partial k}{\partial t}
= \frac{\partial\omega}{\partial t}
\end{equation}

\medskip
(\ref{k-omega-eq})�� $c_{g}$ ��ݤ��ƾ弰�η�̤��Ѥ���ȼ���������: 

\begin{equation}
  \frac{\partial\omega}{\partial t} 
+ c_{g}\frac{\partial\omega}{\partial x}
= 0
\end{equation}

\medskip
3�����ηϤǤϰʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
  \frac{\partial\omega}{\partial t} 
+ {\Vectm c_{g}}\cdot{\Vectm \nabla}\omega
= 0
\end{equation}

\medskip
�弰����, ���� $H$ ���Ѳ�����褦�������ή����Ǥ�, ��®�٤�ư����¬��
����ߤ��Ȥ�����¸����(Ʊ���ͤ���)ʪ���̤�, ��ư���Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ����.
\\

�ʾ�, ��Ĥξ���η�̤�ޤȤ��ȼ��Τ褦�ˤʤ�. ���� $H$ �������ή��
�ξ��, $c_{g}$ ��®�٤�ư����¬�Ԥ��鸫����¸����Τ�, $k, \omega(k),
c, c_{g}$ �Ǥ���. ���η��, $x-t$ ʿ�̤ǤϷ�®�٤�ɽ������({\it ray
path})��ľ���ˤʤ�(��\ref{k-omega-const-line}). ����, ���� $H$ ���Ѳ���
��ή�Τξ��, $c_{g}$ ��®�٤�ư����¬�Ԥ��鸫��($dx/dt=c_{g}$ �������) 
��¸����Τ�, $\omega$ �ΤߤǤ���. ���ξ�� $k,c,c_{g}$ ���Ѳ�����. ����
���, $x-t$ ʿ�̤�������ľ���ˤϤʤ�ʤ�(��\ref{k-omega-const-line-2}).
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[9cm]{ps/FM-Fig.7.21.ps} 
 \end{center}
\vspace{-5mm} \caption{����ͤ�ή������ȷ������Ť����ͻҤ� $x-t$ ʿ�̤�ɽ�������.
 $\omega$ ������Ȥʤ������Τߤ�񤤤Ƥ���.} \label{k-omega-const-line-2}
\end{figure}

%\setcounter{chapter}{2}
%\setcounter{section}{0}

%\Dtitle[��2�� ������(���ž��)�����������]{}
%\Dchapter*{2.1 ���������}

%\chapter*{��2�� \\ \vspace{0.7cm}������(���ž��)�����������}
\chapter{���ž�Ͻ����� 1 �� ���������}

\section{���������(Shallow-Water Gravity Waves)}

ɽ�̽����ȤΤ���, �����ȶ��������Τ���������ȤȸƤ�. ����Ǥ�, �����
���Ȥ���ħ�ˤĤ��ƤޤȤ�뤳�Ȥˤ���.  

\subsection{��������Ȥ�����Ū����ħ}

\begin{itemize}
 \item ��������Ȥ�, ��ͳɽ��(free surface)�����󰵽�ή��, �⤷����, 
       �󰵽̤�ή��������̩�٤���Ϣ³���������¸�ߤ����Ȥ�, ��̩����
       ������Ť���. 
 \item ��������Ȥ������Ϥ�, ��ͳɽ�̤⤷����, ���̤ˤϤ��餯����(����)
       �Ǥ���, ��ľ����������Ƥ���. ���������Ϥ�, �Ȥ����Ť������ȿ�ľ
       �Ǥ���(����)\footnote{������Ф�, ������ή�Τ�¸�ߤ��벻�Ȥ�, ��
       ���Ϥ��������Ȥ����Ť�������ʿ�ԤǤ�����ȤǤ���.}.
\end{itemize}

\subsection{��������Ȥ�����Ū�����ťᥫ�˥���}

��������Ȥ����ťᥫ�˥���ˤĤ��ƹͻ����뤿��, ��\ref{hyoumen-gw-pic} 
�Τ褦�� $x$ �������˹����ä���ϩ��ͤ���. ��\ref{hyoumen-gw-pic} �Τ褦
��, ɽ�̤⤷����, ̩����Ϣ³�̤γ���(interface)���岼�˿�ư�����, ��ʿ
�����ΰ��Ϸ����Ϥ��Ѳ����뤿���ʿ����������β�®�٤�ȯ����, ή����˼�
«���ȯ���褬�����.  ��«��, ȯ����Ϥ��줾��ⰵ��, �㰵���������
�뤫��, ����¸�ߤ���ⰵ��, �㰵���ϻ��֤�Ω�Ĥȿ����˷������줿�ⰵ��, 
�㰵���ؤȰ������Ť���(��\ref{hyoumen-gw-pic}).

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[11cm]{ps/Fig7.6.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{$x$ �������������Ť������������(ɽ�̽�����).} \label{hyoumen-gw-pic}
\end{figure}

\subsection{��������Ȥ��꼰��}

����Ǥ�, ��������Ȥ��꼰������. ��\ref{hyoumen-gw-pic-2} �Τ褦��, ̩
�٤ΰۤʤ���Ĥΰ��ͤ��󰵽�ή��\footnote{�󰵽̤β���ˤ��, ���Ȥ����
����.}��ͤ���. ������, ���ؤ�̩�� $\rho_{1}$ (���)��, ���ؤ�̩�� 
$\rho_{2}$ (���)�����礭���Ȥ�(�������ؤ������֤�ͤ���), �ſ尵����
�Ϥ�ͤ���. ���ΤȤ�, ���줾����ؤο�ʿ���Ϸ����Ϥ�, ���٤˰�¸���ʤ���
���Ȥʤ�.

$$
    \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right) 
= - \frac{\partial \rho}{\partial x}g 
= 0
$$

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[10cm]{ps/Fig7.7.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{$x$ �������������Ť������������(2�إ�ǥ�).} \label{hyoumen-gw-pic-2}
\end{figure}

��ñ�Τ���, ���ؤο�ʿ���Ϸ����Ϥ� 0 �Ȥ���. ��\ref{hyoumen-gw-pic-2} ��
������, ��A����B�˱����밵�ϤϤ��줾�켡�Τ褦�ˤʤ�:

$$
 p + \delta p_{1} = p + \rho_{1}g\delta z = p +
 \rho_{1}g\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)\delta x, 
$$
$$
 p + \delta p_{2} = p + \rho_{2}g\delta z = p +
 \rho_{2}g\left(\frac{\partial h}{\partial x}\right)\delta x. 
$$

\medskip
������ $\partial h / \partial x$ ��, ���̤η��Ф�ɽ��. $\delta
x\rightarrow 0$ �Ȥ����, ���ؤΰ��Ϸ����Ϥ�������: 

$$
  \lim_{\delta x \rightarrow 0}\left[\frac{(p + \delta p_{1}) - (p +
  \delta p_{2})}{\delta x}\right] 
=
  g\delta\rho\frac{\partial h}{\partial x}
$$

\medskip
������, $\delta\rho = \rho_{1}-\rho_{2}$ �Ǥ���. ��ư�� $x-z$ ʿ�̤˸¤�
��2����Ū�Ǥ���Ȳ��ꤹ���, ���ؤ� $x$ �����α�ư�������ϼ��Τ褦�ˤʤ�. 

\begin{equation}
    \frac{\partial u}{\partial t}
 + u\frac{\partial u}{\partial x}
 + w\frac{\partial u}{\partial z}
 = 
 -  \frac{g\delta\rho}{\rho_{1}}\frac{\partial h}{\partial x}
\label{x-eq}
\end{equation}

\medskip
����, Ϣ³�μ���, 

\begin{equation}
 \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0.
\end{equation}

\medskip
(\ref{x-eq})�ΰ��Ϸ����Ϥ� $z$ ����Ω�Ǥ��뤫��, ����� $u\not=u(z)$ ��
���ꤹ���, $u$ �� $z$ ����Ω�ʴؿ��Ǥ���. ���ΤȤ�(\ref{x-eq})���ض�
�� $z=0$ ���鳦�̤ι⤵ $z=h$ �ޤǱ�ľ��������ʬ����Ȱʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

$$
 w(h) - w(0) = -h\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)
$$

\medskip
����, $w(h)$ �ϳ��̤ι⤵�λ����Ѳ��γ�������������, 

$$
 w(h) = \frac{Dh}{Dt} = \frac{\partial h}{\partial t} + u\frac{\partial
 h}{\partial x}
$$

\medskip
�ޤ�, $w(0) = 0$ (��ü�������)�Ǥ���. �椨��, Ϣ³�μ����ľ��������ʬ
����, 

\begin{equation}
 \frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(hu) = 0. \label{renzoku-2d-h}
\end{equation}

\medskip
�����, $u,h$ ��ʲ��Τ褦����ưŸ������:

$$
 u = \overline{u} + u', \qquad h = H + h'
$$

\medskip
������, $\overline{u}$ �ϴ��ܾ������ή��ɽ������Ǥ���. �ޤ�, $H$ �ϲ�
�ؤ�ʿ�ѿ����򤢤�魯. (\ref{x-eq})��(\ref{renzoku-2d-h})����ưŸ�������, 

\begin{equation}
                              \frac{\partial u'}{\partial t}
+ \overline{u}                \frac{\partial u'}{\partial x}
+ \frac{g\delta\rho}{\rho_{1}}\frac{\partial h'}{\partial x}
= 0 \label{setudou-u-eq}
\end{equation}
\begin{equation}
              \frac{\partial h'}{\partial t}
+ \overline{u}\frac{\partial h'}{\partial x}
+ H           \frac{\partial u'}{\partial x}
= 0 \label{setudou-h-eq}
\end{equation}

\medskip
������, $H \gg |h'|$ �Ȳ��ꤷ, ��ư��2���ʾ�ι�Ͼõ��.
(\ref{setudou-u-eq})��(\ref{setudou-h-eq})���� $u'$ ��õ���, ������
����. 

\begin{equation}
  \left(
   \frac{\partial}{\partial t} + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)^{2} h'
- \frac{gH\delta\rho}{\rho_{1}}\frac{\partial^{2}h'}{\partial x^{2}}
= 0 \label{setudou-u-eq2}
\end{equation}

\medskip
�ʲ��Τ褦���ȷ��β�

$$
 h' = A\exp[ik(x-ct)] 
$$

\medskip
���ꤷ(\ref{setudou-u-eq2})�����������, ����®�� $c$ �ϰʲ��Τ褦��
�ʤ�: 

\begin{equation}
 c = \overline{u} \pm \sqrt{\frac{gh\delta\rho}{\rho_{1}}}
\end{equation}

\medskip
���ؤ��絤, ���ؤ����̤��ͤʾ��ˤ�, $\delta\rho \approx \rho_{1}$ �Ȥ�
�뤫��, ����®�٤ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

$$
 c = \overline{u} \pm \sqrt{gH}
$$

\medskip
$\sqrt{gH}$ �������Ȥ�®�٤ȸƤФ�, ή�Τθ���������Ĺ���Ϥ뤫��Ĺ����
�����Ȥξ��ˤ�������®�٤Ǥ���. 

%\setcounter{chapter}{3}
%\setcounter{section}{0}

%\Dtitle[��3�� ������(���ž��)������������]{}
%\Dchapter*{3.1 ����������}

%\chapter*{��3�� \\ \vspace{0.7cm}������(���ž��)������������}
\chapter{���ž�Ͻ����� 2 �� ����������}

\section{����������(Internal Gravity (Buoyancy) Waves)}

����Ǥ�, �絤������Ť��������(�絤������)�ˤĤ��ƹͻ�����. �Ϥ����, 
�������������ȤˤĤ��Ƥ�����ħ��ޤȤ�, �꼰����Ԥ�. ³����, �Ϸ�����
�����ȤˤĤ��ƤޤȤ�뤳�Ȥˤ���.

\subsection{�絤�����Ȥ�����Ū����ħ}

\begin{itemize}
 \item �絤�����Ȥ�, �絤���������ؤ��Ƥ�����ˤΤ�¸�ߤ�, ̩�٤���Ϣ
       ³��ή��������Ť����ȤǤ���.  
 \item �絤�����Ȥ������Ϥ�, ��ľ�������Ѱ̤���ή�Υѡ������Ư�����Ϥ�
       ����. 
 \item ��ʿ�����Ǥʤ���ľ���Ť��ǽ�Ǥ���\footnote{���ΤϾ岼�˶�������
       �ꤽ����ȿ�ͤ�����뤿��, �㳲̵�����ŤǤ���ΤϿ�ʿ���������Ť�
       ���ȤΤ�.}. ��ľ���Ť����Ȥ��ä�{\bf ������(����������)}��
       �Ƥ�. 
 \item ή�Τβ�ž�Ϲͤ��ʤ�. 
\end{itemize}

\subsection{��������������(�ѡ�����ˡ�ˤ����)}

��ñ�Τ���, $x,z$ ʿ�̤����Ť���2���������������Ȥ򰷤�. ή�Τβ�ž�Ϥ�
��. ���������ȤϽ����Ȥ���ħ�Ǥ��벣�Ȥ��������Ĥ���, �ѡ�����ο�ư��,
��\ref{naibu-gw-pic-percel} �Τ褦��, �����������Ф���ʿ�ԤǤ���. 

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[12cm]{ps/Fig7.8.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{��ľ�������Ф��� $\alpha$ �γ��٤������������Ľ����ȤΥѡ�����ο�ư���ϼ���.} \label{naibu-gw-pic-percel}
\end{figure}

��\ref{naibu-gw-pic-percel} �Ǽ����褦��, ��ľ�������Ф��� $\alpha$ �γ�
�٤����������ˤ��ä�, ��Υ $\delta s$ �����Ѱ̤����ѡ������ͤ���. ����
�Ȥ���ľ�������Ѱ�$\delta z = \delta s \cos\alpha$ �Ǥ��뤫��, ���Υѡ�
�����Ư��ñ�̼��̤���������Ϥ�, $-N^{2}\delta z$ �Ǥ���($N$ �����Ͽ�ư
��\footnote{$N^{2}=g\frac{d\ln\theta_{0}}{dz}$}). �������ä�, ��
\ref{naibu-gw-pic-percel} �Τ褦�˷��������������˱�äƿ�ư����ѡ�����
��Ư�����Ϥϰʲ��Τ褦�ˤʤ�:

$$
 -N^{2}\delta z = -N^{2}(\delta s\cos\alpha)\cos\alpha =
 -(N\cos\alpha)^{2}\delta s
$$

\medskip
��ä�, ���������˱�äƿ�ư����ѡ�����α�ư�������ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 \frac{d^{2}(\delta s)}{dt^{2}} = - (N\cos\alpha)^{2}\delta s \label{naibu-gw-eq}
\end{equation}

\medskip
�弰���

$$
 \delta s = exp[\pm i(N\cos\alpha)t]
$$

\medskip
������. ������, �ѡ�����Ͽ�ư�� $\nu = N\cos\alpha$ �ǿ�ư���뤳�Ȥ�
ʬ����. 

\subsection{�������������Ȥ��꼰��}

�������������Ȥ��꼰���ˤ����겾�ꤹ��Τϰʲ��λ���Ǥ���. 

\begin{itemize}
 \item ��ư��2����($x,z$ ʿ��)
 \item ή�Τβ�ž�Ϥʤ�
 \item �֥��ͥ������(���Ϲ���ν��Ϥ����̩�ٰ���(�椨��, �󰵽�ή��)
       �Ȥ��ư���\footnote {�����, ��ľ�������뤬�絤�Υ�������ϥ���
       ($H \approx$ 8km)��꾮�������ˤ������ʶ���Ǥ���.})
 \item ���ܾ������ʿ��ή�Τ�
 \item �ſ尵ʿ��
\end{itemize}

�嵭�β���ˤ��, �����������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
   \frac{\partial u}{\partial t}
+ u\frac{\partial u}{\partial x}
+ w\frac{\partial u}{\partial z}
+  \frac{1}{\rho}
   \frac{\partial p}{\partial x}
= 0 \label{naibu-gw-eq1}
\end{equation}
\begin{equation}
   \frac{\partial w}{\partial t}
+ u\frac{\partial w}{\partial x}
+ w\frac{\partial w}{\partial z}
+  \frac{1}{\rho}
   \frac{\partial p}{\partial z}
+ g
= 0 \label{naibu-gw-eq2}
\end{equation}
\begin{equation}
   \frac{\partial u}{\partial x}
+  \frac{\partial w}{\partial z}
= 0 \label{naibu-gw-eq3}
\end{equation}
\begin{equation}
   \frac{\partial \theta}{\partial t}
+ u\frac{\partial \theta}{\partial x}
+ w\frac{\partial \theta}{\partial z}
= 0 \label{naibu-gw-eq4}
\end{equation}

\medskip
������, ���� $\theta$ ��

\begin{equation}
 \theta = \frac{p}{RT}\left(\frac{p_{s}}{p}\right)^{\kappa} \label{oni-eq}
\end{equation}

\medskip
�Ǥ���. ����, (\ref{naibu-gw-eq1})��(\ref{naibu-gw-eq4})��ʲ��Τ褦����
��������.
\begin{eqnarray}
 \rho  &=& \rho_{0} + \rho', \qquad u = \overline{u} + u'\nonumber \\
    p  &=& \overline{p}(z) + p', \qquad w = w'\\ \label{setudou-tenkai1}
\theta &=& \overline{\theta}(z) + \theta' \nonumber 
\end{eqnarray}
������, ���ܾ������ή $\overline{u}, \rho_{0}$ �϶�������Ǥ���. �ޤ�,
�ſ尵ʿ�դ��

\begin{equation}
 \frac{d\overline{p}}{dz} = -\rho_{0}g
\end{equation}

���ܾ�β��̤�, (\ref{oni-eq})������������, 
\begin{eqnarray}
 \ln \overline{\theta} &=& \ln \left\{
				\frac{\overline{p}}{\rho_{0}R}\left(\frac{p_{s}}{\overline{p}}\right)^{\frac{R}{c_{p}}}
                               \right\} \nonumber \\
                       &=& \ln \overline{p}^{\left(1-\frac{R}{c_{p}}\right)}
			  -\ln \rho_{0} 
                          +\ln \frac{p_{s}^{\frac{R}{c_{p}}}}{R} \nonumber \\
                       &=& \frac{1}{\gamma}\ln \overline{p}
			  -\ln \rho_{0} 
                          +\mbox{const.} \label{ln-oni-eq}
\end{eqnarray} 
������, $\gamma  = c_{p}/c_{v}$ �Ǥ���. (\ref{setudou-tenkai1})��
(\ref{naibu-gw-eq1})��(\ref{oni-eq})������������������Ԥ���, 
(\ref{naibu-gw-eq2})���դλĤ���Ĥι�ϰʲ��Τ褦�˶���Ǥ���: 
\begin{eqnarray}
    \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial z} + g 
&=& \frac{1}{\rho_{0}+\rho'}\left(\frac{d\overline{p}}{dz}+\frac{\partial p'}{\partial z}\right) + g \nonumber \\
&\approx& \underbrace{\frac{1}{\rho_{0}}\frac{d\overline{p}}{dz}}_{=-g}\left(1-\frac{\rho'}{\rho_{0}}\right) 
   +\frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z} 
   +g 
=   \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z}
   +\frac{\rho'}{\rho}g \label{seisuiatu-setudou}
\end{eqnarray}
�ޤ�, (\ref{oni-eq})����ưŸ���ϰʲ��Τ褦�ˤ���������. 
\begin{eqnarray}
 \ln \left[
      \overline{\theta}\left(
			1 + \frac{\theta'}{\overline{\theta}}
                       \right)
     \right]
&=& \frac{1}{\gamma}\ln\left[
		      \overline{p}\left(
				   1 + \frac{p'}{\overline{p}}
				  \right)
                     \right]
 -\ln \left[
       \rho_{0}\left(
		1 + \frac{\rho'}{\rho_{0}}
	       \right)
      \right] 
 +\mbox{const.} \\
  \ln \overline{\theta}
 +\ln \left(
       1 + \frac{\theta'}{\overline{\theta}}
      \right)
&=& 
   \frac{1}{\gamma}\ln \overline{p}
 + \frac{1}{\gamma}\ln \left(
			1 + \frac{p'}{\overline{p}}
		       \right)
 -\ln \rho_{0}
 -\ln \left(
       1 + \frac{\rho'}{\rho_{0}}
     \right)
 +\mbox{const.} \nonumber \\
  \ln \frac{\theta'}{\overline{\theta}}
&=& 
      \frac{1}{\gamma} \ln \frac{p'}{\overline{p}}
 -\ln \frac{\rho'}{\rho_{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
������, ������ $\ln(1+\varepsilon)\approx \varepsilon$ (for $\varepsilon
\ll 1$), (\ref{ln-oni-eq})���Ѥ���. �ʾ���, 

$$
  \frac{\theta'}{\overline{\theta}}
= 
  \frac{1}{\gamma} \frac{p'}{\overline{p}}
 -\frac{\rho'}{\rho_{0}}
$$ 

\medskip
$\rho'$ �ˤĤ��Ʋ򤯤�, 

\begin{equation}
 \rho' 
\approx 
- \rho_{0}\frac{\theta'}{\overline{\theta}} 
+ \frac{p'}{c_{s}^{2}}
\end{equation}

\medskip
������, $c_{s}\equiv\overline{p}\gamma / \rho_{0}$ �ϲ��Ȥ�®�٤�2��Ǥ�
��. ���������Ȥξ��, �����Ѳ��ˤ��̩���Ѳ���, �����Ѳ��ˤ��̩���Ѳ���
��٤ƾ�����($|\rho_{0}\theta'/\overline{\theta}| \gg |p'/c_{s}^{2}|$)��
��, �Τ˰ʲ��δط���������: 

\begin{equation}
 \frac{\theta'}{\overline{\theta}} = -\frac{\rho'}{\rho_{0}} \label{oni-setudou}
\end{equation}

(\ref{seisuiatu-setudou})��(\ref{oni-setudou})���Ѥ���,
(\ref{naibu-gw-eq1})��(\ref{naibu-gw-eq4})�ϼ��Τ褦�������������: 

\begin{equation}
  \left(
                \frac{\partial}{\partial t}
  + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)u'
+ \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial x}
= 0, \label{naibu-gw-setudou-eq1}
\end{equation}
\begin{equation}
  \left(
                \frac{\partial}{\partial t}
  + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)w'
+ \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z}
- \frac{\theta'}{\overline{\theta}}g
= 0, \label{naibu-gw-setudou-eq2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial u'}{\partial x}
+ \frac{\partial w'}{\partial z}
= 0, \label{naibu-gw-setudou-eq3}
\end{equation}
\begin{equation}
  \left(
                \frac{\partial}{\partial t}
  + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)\theta'
+ w'\frac{d\overline{\theta}}{dz}
= 0. \label{naibu-gw-setudou-eq4}
\end{equation}

\medskip
$\partial$(\ref{naibu-gw-setudou-eq2})$/\partial z -$
$\partial$(\ref{naibu-gw-setudou-eq1})$/\partial x$ ���, $p'$ ��õ
��, ������������ $y$ ��ʬ������: 

\begin{equation}
  \left(
                \frac{\partial}{\partial t}
  + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)
  \left(
    \frac{\partial w'}{\partial x} 
  - \frac{\partial u'}{\partial z}
  \right)
- \frac{g}{\overline{\theta}}\frac{\partial\theta'}{\partial x}
= 0  \label{naibu-gw-setudou-uzudo1}
\end{equation}

\medskip
(\ref{naibu-gw-setudou-eq3}), (\ref{naibu-gw-setudou-eq4})���Ѥ���, 
(\ref{naibu-gw-setudou-uzudo1})�ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
  \left(
                \frac{\partial}{\partial t}
  + \overline{u}\frac{\partial}{\partial x}
  \right)^{2}
  \left(
    \frac{\partial^{2} w'}{\partial x^{2}} 
  + \frac{\partial^{2} w'}{\partial z^{2}}
  \right)
+ N^{2}\frac{\partial^{2}w'}{\partial x^{2}}
= 0  
 \label{naibu-gw-setudou-uzudo2}
\end{equation} 

\medskip
������, $N^{2}\equiv gd\ln\overline{\theta}/dz$ �����Ͽ�ư����2��(�����
����)�Ǥ���. 

\subsection{���������Ȥ�ʬ���ط�}

���������Ȥ�ʬ���ط������뤿��, (\ref{naibu-gw-setudou-uzudo2})���Ф���
�ʲ��Τ褦���ȷ��β���ꤹ��:

\begin{equation}
 w' = \mbox{Re}[\hat{w}\exp(i\phi)] = w_{r}\cos\phi - w_{i}\sin\phi \label{w-modetenkai}
\end{equation}

\medskip
������, $\hat{w}$ ��ʣ�ǿ��� $\hat{w}=w_{r}+iw_{i}$ ($w_{r}$ �ϼ���,
$w_{i}$ �ϵ���)�Ǥ���, $\phi$ �ϰ��� $\phi=kx+mz-\nu t$ ��ɽ��. ��� $x$
�����ˤϾ�˻��Ѵؿ����Ǥ��뤫��, �����ȿ� $k$ �ϼ¿�, ��ľ�ȿ� $m$ ��ʣ
�ǿ� $m=m_{r}+m_{i}$ ($m_{r}$ �� $z$ �����˻��Ѵؿ������Ѱ̤���Ȥ�����
����ɽ��, $m_{i}$ �Ϥ�����椬������Ǥ��뤫�ˤ�ä� $z$ �����ǻؿ��ؿ�
Ū�����ä��뤫���ꤹ�뤫��ɽ��.)\\

$m$ ���¿��ξ��, ���ȿ� {\boldmath $k$}$\equiv (k,m)$ �Ȥʤ�.
{\boldmath $k$}��, {\bf ���������˿�ľ������������Ƥ���},
$k=2\pi/L_{x}, m=2\pi/L_{z}$ �Ǥ���. (\ref{naibu-gw-setudou-uzudo2})��
(\ref{w-modetenkai})���������ưʲ���ʬ���ط���������: 

$$
 (\nu-\overline{u}k)^{2}(k^{2}+m^{2})-N^{2}k^{2}=0
$$

\medskip
�������ä�, 

\begin{equation}
 \hat{\nu} \equiv \nu - \overline{u}k = \pm \frac{Nk}{\sqrt{k^{2}+m^{2}}} = \pm \frac{Nk}{|\mbox{\boldmath $k$}|} \label{naibu-gw-bunsan}
\end{equation}

\medskip
������, $\hat{\nu}$ �� {\it intrinsic frequency} �ȸƤФ�, ʿ��ή������
Ū�ʿ�ư����ɽ��($\nu$ ����(��)�ξ��ˤ�, ʿ��ή���Ф�������Ū������(��
��)�Ǥ���). 

\subsection{���������Ȥι�¤�����¥ᥫ�˥���}

��\ref{naibu-gw-pic-phase} �Τ褦�� $k>0, m<0$ �ξ��, ����������, ���
�����Ƥ��뤳�Ȥ�ʬ����\footnote{���������� $\phi = kx + mz$ ��������Ǥ�
�뤫��, $k>0, m<0$ �ξ��, $x$ �����äΤȤ� $z$ �����ä���.}.
(\ref{naibu-gw-bunsan})�������������򤹤��, ��ʿ, ��ľ����®�٤Ϥ��줾
�� $c_{x}=\hat{\nu}/k, c_{z}=\hat{\nu}/m$ ��Ϳ�����뤫��, ����������
���Ĳ������ΰ������¤��б�����.

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[11cm]{ps/Fig7.9.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{���������Ȥ˱����밵��, ����, ®�پ�ΰ��������Ū�ʷ��ٹ������̿�. �٤������, ®�پ��ɽ��, ���������, ����®�٤�ɽ��. �Ƥ��դ����ΰ��, ��ư����������ΰ��ɽ��.} \label{naibu-gw-pic-phase}
\end{figure}

����, ��®�� $c_{gx}, c_{gz}$ ��, ������Ϳ������:

\begin{equation}
 c_{gx} = \frac{\partial \nu}{\partial k} = \overline{u} \pm
 \frac{Nm^{2}}{(k^{2}+m^{2})^{3/2}}, \label{naibu-gw-gunsokudo-x}
\end{equation}
\begin{equation}
 c_{gz} = \frac{\partial \nu}{\partial m} =              \pm \frac{-Nkm}{(k^{2}+m^{2})^{3/2}}. \label{naibu-gw-gunsokudo-z}
\end{equation}

\medskip
$\pm$ ������, (\ref{naibu-gw-bunsan})��Ʊ���褦�˼��. ������, �ʲ�
�Τ��Ȥ�ʬ����. 

\begin{itemize}
 \item {\bf ��®�٤α�ľ��ʬ��, ʿ��ή���Ф�������Ū�ʱ�ľ����®�٤����ȵ�������}(�������˰������¤������, ���ͥ륮���Ͼ������Ť���뤳�Ȥ��̣����).
 \item {\bf ��®�٥٥��ȥ������������ʿ��\footnote{{\boldmath $k$}�Ȥ�
       ���Ѥ� 0}}(�跲®�٤ϰ���®�٤ȿ�ľ)
\end{itemize}

�絤������������Ȥ�, �����ή���Ǥ��ѱ���ή���Ϸ����ή��ˤ�ä��嵯��
���Τ�, �ġ���ή�Υѡ�����ο�ư����ľ������km����˸¤��Ƥ����Ȥ���
��, ���ͥ륮���Ͼ���������Ť����ط��ˤޤǵڤ����뤳�Ȥ�ʬ����. \\

��\ref{naibu-gw-pic-phase} ������������α�ľ�������Ф��뷹����ʲ��Τ�
���˼���,

$$
 \cos\alpha =
 L_{z}/\sqrt{L_{x}^{2}+L_{z}^{2}}=\pm k/\sqrt{k^{2}+m^{2}}=\pm
 k/\mbox{\boldmath $k$}
$$

\medskip
(\ref{naibu-gw-bunsan})���, $\hat{\nu} = \pm N\cos\alpha$ �Ȥʤ�, (\ref{naibu-gw-eq})������줿��̤Ȱ��פ��뤳�Ȥ�ʬ
����.

\subsection{�Ϸ���������������}

��Ū����ʾ����Τ��, ®�� $\overline{u}$ ��ή�줬���Ѵؿ������Ϸ���ۤ�
�����ͤ���. ���ΤȤ��ġ���ή�Υѡ������, ʿ�վ��֤ˤ�����٤���岼
���Ѱ̤򶯤����뤿��, ���Ͽ�ư�򤹤�. ���Τ褦���Ϸ��ˤ�붯���������
�岼�˿�ư���ʤ������Ϥ������ϤȤ��ƿʹԤ����Ȥ�{\bf �Ϸ�������������}��
����. �ʲ��Ǥ�, ���Τ褦���Ϸ������������Ȥ���ħ�ˤĤ��ƤޤȤ��. 

\subsection{�Ϸ������������Ȥ��꼰��}

�Ϸ������������ȤǤ�, �Ͼ���Ϸ����Ф�������Ū����ߤȤʤ��¸�ߤ���.
���β�ϻ��֤����äƤ��Ȥΰ��꤬�Ѳ����뤳�Ȥ�̵��((\ref{w-modetenkai})
�˱����� $\nu=0$). �������ä�(\ref{naibu-gw-setudou-uzudo2})���, ������
����: 

\begin{equation}
  \left(
    \frac{\partial^{2} w'}{\partial x^{2}} 
  + \frac{\partial^{2} w'}{\partial z^{2}}
  \right)
+ \frac{N^{2}}{\overline{u}}w'
= 0  
 \label{naibu-gw-setudou-uzudo3}
\end{equation} 
 
\subsection{�Ϸ������������Ȥ�ʬ���ط���}

\medskip
(\ref{w-modetenkai})��(\ref{naibu-gw-setudou-uzudo3})���������ưʲ���ʬ
���ط���������: 

\begin{equation}
 m^{2} = \frac{N^{2}}{\overline{u}^{2}} - k^{2} \label{tikei-naibu-gw-bunsan}
\end{equation}

\subsection{�Ϸ������������Ȥα�ľ��¤�ȱ�ľ���Ų�ǽ��}

(\ref{tikei-naibu-gw-bunsan})���, $N,k,\overline{u}$ ��Ϳ�������, ��
�������������Ȥα�ľ��¤����뤳�Ȥ������. 

\begin{description}
 \item[\underline{1) $|\overline{u}<N/k|$ �ξ��($m^{2}>0$ �ξ��)}] ~\\

	    ���ξ��, $m$ �ϼ¿��Ȥʤ�. �������ä�, ��ľ����������Ť���
	    ��(��®�� $c_{gz}>0$, ����®�� $c_{z}<0$)��¸�ߤ���:
	    $$
	     w' = \hat{w}\exp[i(kx+mz)]
	    $$

	    ������(\ref{naibu-gw-bunsan})���, $k>0$ �λ�, 

	    \begin{description}
	     \item[\underline{$\overline{u}>0$ �ξ��:}] ~\\

			$\hat{\nu}<0$ �Ȥʤ�(�Ϸ������������ȤǤ�
			$\nu=0$)�Τ�, $c_{z}<0$ �Ǥ��뤿��ˤ� $m>0$ ��
			�ʤ���Фʤ�ʤ�. ���ΤȤ�,
			(\ref{naibu-gw-gunsokudo-x}),(\ref{naibu-gw-gunsokudo-z}) ������, $c_{gz}>0$ �Ȥʤ�褦��, ��¦����椬���Ф��. \\

	     \item[\underline{$\overline{u}<0$ �ξ��:}] ~\\

			$\hat{\nu}<0$ �Ȥʤ�(�Ϸ������������ȤǤ�
			$\nu=0$)�Τ�, $c_{z}<0$ �Ǥ��뤿��ˤ� $m<0$ ��
			�ʤ���Фʤ�ʤ�. ���ΤȤ�,
			(\ref{naibu-gw-gunsokudo-x}),(\ref{naibu-gw-gunsokudo-z}) ������, $c_{gz}>0$ �Ȥʤ�褦��, ��¦����椬���Ф��. 
	    \end{description}

 \item[\underline{2) $|\overline{u}>N/k|$ �ξ��($m^{2}<0$ �ξ��)}] ~\\
	    
	    ���ξ��, $m$ �ϵ����Ȥʤ� $m=im_{i}$ �Ȥʤ�.
	    (\ref{naibu-gw-setudou-uzudo3})��, ��ľ�����˸��ꤹ��(��ľ��
	    ������ª���줿)�����: 
	    $$
	     w' = \hat{w}\exp(ikx)\exp(-im_{i}z)
	    $$
\end{description}

�ʾ�η�̤���, �Ϸ������������Ȥ���ľ���Ų�ǽ($m$���¿�)�ˤʤ�Τ�, ʿ
��ή���Ф�������Ū�ʿ�ư�����礭�� $|\hat{\nu}|=|\nu(=0) -
\overline{u}k| = |\overline{u}k|$ ��, ���Ͽ�ư��($N$)���⾮��������
�¤��뤳�Ȥ�ʬ����\footnote{�㤨��, �������ؤ򤷤Ƥ���($N$ ���礭��), 
�Ϸ��λ�����������($k$ ��������), ����Ū�˴��ܾ������ή($\overline{u}$)
������������, ���Τ褦�ʾ�郎���������}. �������Ȥ��嵯�����Ͼ��
����Τ�, �ȤΥ��ͥ륮���Ͼ������͢�������\footnote{����®�٤ϲ�������
�ʤ�Τ�, ���������Ϲ��٤ȶ������˷���.}. \\

�Ǹ��, �Ͼ���Ϸ���Ϳ����줿���β�򼨤��Ƥ���. �����Ǥ�, �ʲ��Τ褦
���Ϸ��Υץ��ե������ͤ���: 
$$
 h(x) = h_{M}\cos kx
$$

\medskip
������, $h_{M}$ ���Ϸ��ο����Ǥ���. ��ü�ζ����˱�����ή��϶�����ʿ�Ԥ�
�ʤ���Фʤ�ʤ�����, �����ˤ������ľ®�٤�, ��ư�ˤ������ä��Ѳ����붭
���ι����Ѳ���Ϳ������: 

$$
 w'(x,0) = \left(\frac{Dh}{Dt}\right)_{z=0} \approx
 \overline{u}\frac{\partial h}{\partial x} = -\overline{u}kh_{M}\sin kx
$$

\medskip
���ξ���������(\ref{naibu-gw-setudou-uzudo3})�β��, �ʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
w(x,z) = \left\{
	  \begin{array}{ll}
	   -\overline{u}h_{M}ke^{-m_{i}z}\sin kx, & (\overline{u}k >N ) \\
	   -\overline{u}h_{M}k           \sin(kx+mz). & (\overline{u}k <N ) \\
	  \end{array} 
	  \right.
\end{equation}

%\Dtitle[��4�� ������(��ž��)]{}
%\Dchapter*{4.1 �Ϥ����}

%\setcounter{chapter}{4}
%\setcounter{section}{0}

%\chapter*{��4�� \\ \vspace{0.7cm}������(��ž��)}
\chapter{������(��ž��)}

\section{�Ϥ����}

��1�ϤǤ�, ɽ�̽�����, ���������ȤˤĤ��Ƶ�������. �����Ǥ�, �����β�ž
�αƶ���������, �Ȥο�ư�� $\omega$ �����ꥪ��ѥ�᡼�� $f$ ����Ϥ�
�����礭�����ˤĤ��ư��ä�. �ܾϤǤ�, $\omega$ �� $f$ ��Ʊ���٤Ǥ���, 
�����β�ž�αƶ��������褦�� ``��ä���Ȥ�������'' �ˤĤ��ư���.

\section{�������������꼰��(����������)}

�ܾϤǤ�, �ظ� $H$ ������, ���Ϸ��Τʤ�������($\lambda \gg H$)�򰷤�(��
\ref{shallow-water-pic}). ��ľ��ɸ $z$ ���줫�������ˤȤ�, ɽ���Ѱ�
$\eta$ ����Ĺ�ˤ���٤ƽ�ʬ��������ΤȤ���. 
\vspace{-3mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[7cm]{ps/FM-Fig.13.12.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{�ܾϤǤ��Ĥ����Ϥ�����} \label{shallow-water-pic}
\end{figure}

\subsection{���Ϸ�����}

\ref{shallow-deep-water}��η�̤��, ����ϤǤ��ſ尵ʿ�դ�����Ω�äƤ�
�뤫��, ��ɸ $z$ �ˤ����밵�Ϥϰʲ��Τ褦�ˤʤ�:

\begin{equation}
 p = \rho g (H+\eta-z)
\end{equation}

\medskip
�������ä�, ��ʿ�����ΰ��Ϸ����Ϥϼ��Τ褦�ˤʤ�: 

%\Dchapter*{2.2 �������������꼰��(����������)}

\begin{equation}
 \frac{\partial p}{\partial x} = \rho g \frac{\partial\eta}{\partial x},
\qquad
 \frac{\partial p}{\partial y} = \rho g \frac{\partial\eta}{\partial y}
\label{pressure-gradient-horizontal}
\end{equation}

\medskip
������ $z$ ����Ω�Ǥ���Τ�, ��ʿ��ư��ή�Το�������Ω�Ǥ���. 

\subsection{Ϣ³�μ�}

����, ����ϤǤ�Ϣ³�μ���Ƴ�Ф���. ���̤�Ϣ³�μ�

\begin{equation}
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y}
+ \frac{\partial w}{\partial z}
= 0 \label{renzoku-3d}
\end{equation}

\medskip
�ˤ�����, $\partial u/\partial x, \partial v/\partial y$ �϶��� $z$ �˴�
������Ω�Ǥ��뤫��, $w$ �� $z$ �˴ؤ��������Ǥ���(��� 0, ���̤Ǻ�����). 
(\ref{renzoku-3d})�� $z=0$ ���� $z=H+\eta$ �ޤǱ�ľ��ʬ����ȼ���������: 

\begin{equation}
  (H+\eta)\frac{\partial u}{\partial x}
+ (H+\eta)\frac{\partial v}{\partial y}
+ w(\eta) 
- w(0) 
= 0 \label{renzoku-3d-z-integral}
\end{equation}

\medskip
������ $w(\eta), w(0)$ ��, ���줾�����, ����Ǥα�ľ®�٤Ǥ���($w(0)=0$). 
����, ���̤Ǥα�ľ®�٤� $d\eta/dt$ �����������鼡��������: 

\begin{equation}
 w(\eta) =   \frac{D\eta}{Dt} 
         =   \frac{\partial\eta}{\partial t}
          + u\frac{\partial\eta}{\partial x}
          + v\frac{\partial\eta}{\partial y}
\end{equation}

\medskip
�弰���Ѥ����, (\ref{renzoku-3d-z-integral})�ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 

$$
  (H+\eta)\frac{\partial u}{\partial x}
+ (H+\eta)\frac{\partial v}{\partial y}
+         \frac{\partial\eta}{\partial t}
+        u\frac{\partial\eta}{\partial x}
+        v\frac{\partial\eta}{\partial y}
= 0, 
$$
\begin{equation}
  \frac{\partial\eta}{\partial t}
+ \frac{\partial    }{\partial x}[u(H+\eta)]
+ \frac{\partial    }{\partial y}[v(H+\eta)]
= 0. \label{renzoku-3d-z-integral-2}
\end{equation}

\medskip
���������Ȥξ��, 2����������������������٤ƽ�ʬ����������,
(\ref{renzoku-3d-z-integral-2})�ϼ��Τ褦�ˤʤ�:

\begin{equation}
  \frac{\partial\eta}{\partial t}
+ H\left(
  \frac{\partial u}{\partial x}
+ \frac{\partial v}{\partial y}
   \right)
= 0 \label{renzoku-3d-z-integral-3}
\end{equation}

\subsection{����������}

�������ä�, (\ref{pressure-gradient-horizontal})��
(\ref{renzoku-3d-z-integral-3})���Ѥ�������������������������ϰʲ��Τ�
���ˤʤ�:

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  \displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial t}
+ H\left(
    \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}
  + \displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}
   \right) &=& 0, \\ [2ex]
  \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} -fv &=& -g\displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial x}, \\ [2ex]
  \displaystyle\frac{\partial v}{\partial t} +fu &=& -g\displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial y}. 
 \end{array} \label{shallow-water-eq}
\end{equation}

%\Dchapter*{2.3 �����������ˤ��������ȡ�����ȥ쥸����}

\medskip
������, ��ư�����������������(����ή��)�Ͼ������β���Τ�Ȥ�̵�뤷��.
(\ref{shallow-water-eq})��, ή�Τ��ظ�����٤ƿ�ʿ�����ݥ뤬�Ϥ뤫����
��������ή�Τλ����������Ǥ���{\bf ����������}�ȸƤФ��. 

\section{�����������ˤ��������ȡ�����ȥ쥸����}

����Ǥ�, ��μ��ȿ��Ӥ������������γƹब�ɤΤ褦�˾õ�Ǥ��뤫��ޤ�
���. ��ž�αƶ��Ȥ���, $\beta$ ���̤�Ƴ������. ����˽���, $x,y$ ����
�줾�������, �̸����˼��. ��μ��ȿ��Ӥˤ�������������ο��񤤤�ͻ�
���뤿��, (\ref{shallow-water-eq})���Ѥ���. \\

(\ref{shallow-water-eq})�α�ư�������򤽤줾�������ʬ������, Ϣ³�μ���
�Ѥ���ȼ��Τ褦�ˤʤ�:

\begin{equation}
   \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}
- f\frac{\partial    v}{\partial t    }
= gH\frac{\partial}{\partial x}\left(
				  \frac{\partial u}{\partial x}
				+ \frac{\partial v}{\partial y}
			       \right)     \label{shallow-water-eq-u2}
\end{equation}
\begin{equation}
   \frac{\partial^{2}v}{\partial t^{2}}
+ f\frac{\partial    u}{\partial t    }
= gH\frac{\partial}{\partial x}\left(
				  \frac{\partial u}{\partial x}
				+ \frac{\partial v}{\partial y}
			       \right)     \label{shallow-water-eq-v2}
\end{equation}

\medskip
�����(\ref{shallow-water-eq-v2})�� $t$ ����ʬ������,
(\ref{shallow-water-eq-u2})���Ѥ���ȼ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
   \frac{\partial^{3} v}{\partial t^{3}}
+ f\left[
    f\frac{\partial v}{\partial t}
  +gH\frac{\partial  }{\partial x}\left(
				   \frac{\partial u}{\partial x}
				 + \frac{\partial v}{\partial y}
				  \right)
   \right]
= 
  gH\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial t}\left(
					      \frac{\partial u}{\partial x}
					    + \frac{\partial v}{\partial y}
					     \right) \label{shallow-water-eq-u-v3}
\end{equation}

\medskip
������, $u$ ��õ�뤿��(\ref{shallow-water-eq})�α�ư���������������
�뼡�α������������Ѥ���: 

\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial t}\left(
			     \frac{\partial u}{\partial y}
		            -\frac{\partial v}{\partial x} 
			    \right)
-f_{0}\left(
       \frac{\partial u}{\partial x}
     + \frac{\partial v}{\partial y}
      \right)
-\beta v
= 0  \label{shallow-uzudo-eq}
\end{equation}

\medskip
������, $f$ �ˤĤ��� $\beta$ ʿ�̶�� $f=f_{0}+\beta y$ (������,
$\beta\equiv df/dy$; �����, $\Delta f/f \ll 1$ �ξ��������Ǥ���)����
����. (\ref{shallow-uzudo-eq})�� $x$ ��ʬ������, $gH$ ��ݤ���
(\ref{shallow-water-eq-u-v3})��ä���� $v$ �Τߤα���������������: 
\begin{eqnarray}
   \frac{\partial}{\partial x}(\ref{shallow-uzudo-eq}):
&& \frac{\partial}{\partial t}\left(
			       \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}
			      -\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}      } 
			      \right)
 -f_{0}\left(
	\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} 
       +\frac{\partial^{2}v}{\partial x\partial y}  
       \right)
 -\beta\frac{\partial u}{\partial x}
 = 0 \nonumber \\
\times gH :
&& gH\frac{\partial}{\partial t}\left(
				 \frac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}
				-\frac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}      } 
			        \right)
 -f_{0}gH\left(
	  \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} 
	 +\frac{\partial^{2}v}{\partial x\partial y}  
       \right)
 -\beta gH\frac{\partial u}{\partial x}
 = 0 \nonumber \\
+(\ref{shallow-water-eq-u-v3}):
&& \frac{\partial^{3}v}{\partial t^{3}}
  +f_{0}^{2}\frac{\partial v}{\partial t}
  +f_{0}gH\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
  +f_{0}gH\frac{\partial^{2} v}{\partial x\partial y}
  +gH\frac{\partial}{\partial t}\left(
				 \frac{\partial^{2} u}{\partial x\partial y}
				-\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}      } 
			        \right) \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad
  -f_{0}gH\left(
	   \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}
	  +\frac{\partial^{2} v}{\partial x\partial y}
	  \right)
  -\beta gH\frac{\partial v}{\partial x}
  = gH\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial t}\left(
						\frac{\partial u}{\partial x}
					       +\frac{\partial v}{\partial y}
					       \right)\nonumber \\
&& \frac{\partial^{3}v}{\partial t^{3}}
  +f_{0}^{2}\frac{\partial v}{\partial t}
  -gH\frac{\partial}{\partial t}\left(
				 \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}
				+\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} 
			        \right)
  -\beta gH\frac{\partial v}{\partial x}
  = 0 \nonumber \\
&& \frac{\partial^{3}v}{\partial t^{3}}
  -gH\frac{\partial}{\partial t}\nabla^{2}_{H}v
  +f_{0}^{2}\frac{\partial v}{\partial t}
  -gH \beta \frac{\partial v}{\partial x}
  = 0 \label{shallow-water-eq-only-v3}
\end{eqnarray}
������, $\nabla^{2}_{H}=\partial^{2}/\partial
x^{2}+\partial^{2}/\partial y^{2}$ �Ͽ�ʿ��ץ饷����黻�ҤǤ���. 
������, �ʲ��Τ褦����ư���ͤ���: 

\begin{equation}
 v = \hat{v}e^{i(kx+ly-\omega t)} 
\end{equation}

\medskip
������, $k$ �������ȿ�, $l$ �������ȿ��Ǥ���. �����
(\ref{shallow-water-eq-only-v3})���������Ƽ���ʬ���ط���������: 

\begin{equation}
 \omega^{3} - c^{2}\omega K^{2} - f_{0}^{2}\omega - c^{2}\beta k = 0 
 \label{shallow-water-eq-only-v3-bunsan}
\end{equation}

\medskip
������, $K^{2} = k^{2} + l^{2}$, $c=\sqrt{gH}$ �Ǥ���.
(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan}) ���������������ΰ���Ū��ʬ���ط�
���Ǥ���. �ʲ��Ǥ�, (\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})�� $\omega$ 
���ϰϤˤ�ä�ʬ�ह��.

\subsection{$\omega \gg f$ (�����)�ξ��}

���ξ��, (\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})��3���ܤι��1���ܤι�
����٤�̵�뤹�뤳�Ȥ������. �����, 4���ܤι��2���ܤι����٤�̵���
����: 

\begin{equation}
     \frac{c^{2}\beta k}{c^{2}\omega K^{2}} 
\sim \frac{\beta}{\omega K} 
\sim 10^{-3}
\end{equation}

\medskip
������, �ʲ���ŵ��Ū���ͤ��Ѥ���: $\beta=2\times
10^{-11}$m$^{-1}$s$^{-1}$, $\omega = 3f\sim 3\times 10^{-4}$s$^{-1},
2\pi/K\sim 100$km. �����, $\omega \gg f $ �ξ��ˤ�,
(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})����1���ܤι��2���ܤι�ȤΥХ�
�󥹤ˤʤ�: 

\begin{equation}
\omega^{3} - c^{2}\omega K^{2} = \omega(\omega^{2} - c^{2}K^{2}) = 0  
\end{equation} 

\medskip
������ $\omega = \pm K\sqrt{gH}$ ������. �Ȥΰ���®�٤� $\omega
/K=\sqrt{gH}$ �Ȥʤ뤫��, �������äƹ���Ȥ��Ȥξ��ˤ�, $f$ �� $\beta$
�αƶ�(��ž�θ���)�϶���̵��Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ����. �����, $\omega$ �� $f$
����٤������礭������˥��ꥪ���Ϥθ��̤������ʤ��ʤ뤳�Ȥ��б����Ƥ�
��. 

\subsection{$\omega > f$ (������ $\omega \sim f$)�ξ��}

���ξ��, (\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})��3���ܤι��̵���
���ʤ���, $\beta$ ����(4���ܤι�)��̵��Ǥ���. �������ä�, ���ξ��ν�
���Ȥϥ��ꥪ���Ϥˤ�äƱƶ��������. ������, ��ư�Υ����ॹ������ϰ���
�Ȥ�������û���Τ�, $\beta$ ���̤ˤ�äƱƶ�������뤳�Ȥ�̵��. 

\subsection{$\omega \ll f$ (�����)�ξ��} 

���ξ��ˤ�, $\beta$ ���̤����˽��פˤʤ�. ���ΤȤ�, 
(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})�������̵��Ǥ���. �㤨��, 
1���ܤι��4���ܤι����٤�Ȱʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 \frac{\omega^{3}}{c^{2}\beta k} \ll 1
\end{equation}

%\Dchapter*{2.4 ��ž�Ϥν�����}

\medskip
���Τ�ŵ��Ū���ͤ��Ѥ����, �簵�⡼�ɤξ�� $c\sim 200$m/s, �����⡼��
�ξ�� $c\sim 2$m/s �Ȥʤ�, $\beta = 2\times 10^{-11}$m$^{-1}$s$^{-1}$,
$2\pi/k\sim 100$km, $\omega\sim 10^{-5}$s$^{-1}$ �Ǥ���. �������ͤ���
������, �簵�⡼�ɤξ��, �� $0.2\times 10^{-4}$, �����⡼�ɤξ�� 0.2 
�Ȥʤ�. �����, $\omega \ll f$ �ξ��ˤ�
(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})�������̵��Ǥ��뤳�Ȥ��狼��.
\\

(\ref{shallow-water-eq-only-v3})��, �絤, ���Τμ����ư����ۤ�������
���ϤǤ���. ����Ǥε����ˤ��, ���ꤵ�줿�����Τ�Ȥ�, ��������������
�ɤι��̵�뤷���ɤ����ˤĤ������餫�ˤ���. �ʲ�����Ǥ�, �ġ��θ��ꤵ��
�������ˤĤ���, ������ư��������ޤȤ�뤳�Ȥˤ���.

\section{��ž�Ϥν�����}

����Ǥ�, ��ư�� $\omega$ �� $\omega > f$ ���ϰϤν����ȤˤĤ��ƤޤȤ��. 
����η�̤�ꤳ���ϰϤǤ�, $\beta$ ���̤�̵�뤹�뤳�Ȥ������. ��������
��, $f=f_{0}$(const.) �Ȥ���. ������, �ʲ��Τ褦����ư����ꤹ��. 

\begin{equation}
 (u,v,\eta) = (\hat{u},\hat{v},\hat{\eta})e^{i(kx+ly-\omega t)}
\end{equation}

\medskip
������, $\hat{u},\hat{v},\hat{\eta}$ ��ʣ�ǿ����Ǥ���. �弰��
(\ref{shallow-water-eq})����������ȼ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 -i\omega\hat{u} -f\hat{v} = -ikg\hat{\eta}, \label{inertio-gw-u}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{v} +f\hat{u} = -ilg\hat{\eta}, \label{inertio-gw-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{\eta} + iH(k\hat{u}+l\hat{v}) = 0. \label{inertio-gw-eta}
\end{equation}

\medskip
(\ref{inertio-gw-u})��(\ref{inertio-gw-v})��� $\hat{u},\hat{v}$ �ˤĤ�
�Ʋ򤯤Ȱʲ�������: 

\begin{equation}
 \hat{u} = \frac{g\hat{\eta}}{\omega^{2}-f^{2}}(\omega k + ifl),
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{v} = \frac{g\hat{\eta}}{\omega^{2}-f^{2}}(\omega l - ifk).
\end{equation}

\medskip
������(\ref{inertio-gw-eta})���������Ƽ���ʬ���ط���������:  
\begin{eqnarray}
 \omega^{2} - f^{2} &=& gH(k^{2}+l^{2}) \nonumber\\
 \omega^{2}         &=& f^{2} + gHK^{2} 
\end{eqnarray}

\medskip
������, $K^{2}=\sqrt{k^{2}+l^{2}}$ �Ǥ���. ���ʬ���ط�������, �����Ȥ�
��ʿ����Ǥ��������������Ť�, $\omega > f$ �Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. ���Τ�
����, ���ꥪ���Ϥˤ�äƱƶ�������������Ȥ�{\bf �ݥ��󥫥���}({\it
Poincar\'{e} wave}), ���٥�ɥ�å���({\it Sverdrup waves}), {\bf ��
��������}({\it inertio gravity waves})���ȸƤ�. ����Ǥ�, ���δ���������
����ħ�ˤĤ��ƹ��˾ܤ����ޤȤ�뤳�Ȥˤ���. 

%\Dtitle[��5�� ������(��ž��)�ݴ���������]{}

%\setcounter{chapter}{5}
%\setcounter{section}{0}

%\chapter*{��5�� \\ \vspace{0.7cm}������(��ž��)�ݴ���������}
\chapter{����������}
%\Dchapter*{5.1 ����������}

\section{����������(Inertio-Gravity Waves)}

�� km �ʾ�ο�ʿ�����������, �����ְʾ�μ������Ľ����Ȥ�, ���ꥪ��
�Ϥαƶ��������(�����ӡ��������������ˤ�����). ���Τ褦��, ��ž�αƶ�
������������Ȥ�{\bf ����������} �Ȥ���. ����Ǥϴ��������Ȥ���ħ��ޤ�
��뤳�Ȥˤ���.

\subsection{���������Ȥ�����Ū����ħ}

\begin{itemize}
 \item ���������Ȥ�, �� km �ʾ�ο�ʿ��������ȿ����ְʾ�μ�����
       ���, ��ž�αƶ�������������ȤǤ���. 
 \item ���������Ȥ������Ϥ�, ���Ϥȥ��ꥪ���ϤǤ���. 
 \item ��ʿ�����Ǥʤ���ľ���Ť��ǽ�Ǥ���. �ä�, �Ҹ��������Υѡ������
       ��ư�����������ȤˤϽ��פǤ���\footnote{���ꥪ���Ϥ��Ѳ���������
       �Ȥʤ뤿��}.
\end{itemize}

\subsection{�ѡ�����ˡ�ˤ�봷�������Ȥβ��}

��5�Τ褦��, $y,z$ ʿ�̤ˤ����ƼФ�η�ϩ�������ѡ�����ο�ư��ͤ���. 
��ľ�Ѱ̤� $\delta z$ �Ȥ����, �ѡ�����ο�ư������ʿ�Ԥ�������ʬ��,
$-N^{2}\delta z\cos\alpha$ �Ǥ���. ����, �ѡ�����ο�ư������ʿ�Ԥʥ���
�����Ϥ���ʬ��, ������ư��ͤ����������. \\

\medskip
\begin{breakbox}
\vspace{5mm}
\small
{\bf ������ư}

\bigskip
���ܾ������ή�ΤߤǤ���Ȥ�, $u_{g}(y)$ �Ȥ���. �ѡ�������Ѱ̤ˤ�갵
�Ͼ���Ѳ�����\\
\hspace*{7mm}����ΤȲ��ꤹ���, �ѡ�����α�ư�������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

$$
 \frac{Du}{Dt} = fv = f\frac{Dy}{Dt} \eqno(\mbox{A.1})~~~~~
$$

$$
 \frac{Dv}{Dt} = -f(u-u_{g})         \eqno(\mbox{A.2})~~~~~ 
$$

\medskip
$y=y_{0}$ �ǥѡ�������Ͼ�ήʿ�դˤ����ΤȤ����, $\delta y$ �����Ѱ�
�����ѡ����������®\\
\hspace*{7mm}�٤�(A.1)����ʬ���ưʲ��Τ褦��������: 

$$
 u(y_{0}+\delta y) = u_{g}(y_{0}) + f\delta y   \eqno(\mbox{A.3})~~~~~ 
$$ 

\medskip
����, $y_{0}+\delta y$ �ˤ������Ͼ�����, $y_{0}$ �Τޤ��� $u_{g}$ ���
���顼Ÿ�����뤳�Ȥˤ�꼡��\\
\hspace*{7mm}�褦��ɽ�����Ȥ��Ǥ���.

$$
 u_{g}(y_{0}+\delta y) = u_{g}(y_{0}) + \frac{\partial u_{g}}{\partial y}\delta y   \eqno(\mbox{A.4})~~~~~ 
$$

\medskip
(A.3)��(A.4)���Ѥ���, (A.2)��ɾ������� $y_{0}+\delta y$ �ξ��ˤ�����
���������α�ư��\\
\hspace*{7mm}�����ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 

$$
 \frac{Dv}{Dt} = \frac{D^{2}\delta y}{Dt^{2}} = -f\left(f-\frac{\partial u_{g}}{\partial y}\right)\delta y  \eqno(\mbox{A.5})~~~~~
$$

\vspace{4mm}
\end{breakbox}
\vspace{5mm}

������ư�ιͻ��ˤ��, ���ܾ줬 $y$ �����˰���ξ��($u_{g}=const.$)����
�������Υ��ꥪ���Ϥ�(A.5)��� $-f^{2}\delta y$ �Ǥ���. �������ä�, �ѡ�
����ο�ư������ʿ�Ԥʥ��ꥪ���Ϥ���ʬ�� $-f^{2}\delta y\sin\alpha$ �Ȥ�
��. �ʾ���, �ѡ�����α�ư������(\ref{naibu-gw-eq})�ϼ��Τ褦�ˤʤ�:
\begin{eqnarray}
   \frac{D^{2}\delta s}{Dt^{2}} 
 &=& - f^{2}\delta y\sin\alpha 
     - N^{2}\delta z\cos\alpha \nonumber \\
 &=& - f^{2}(\delta s\sin\alpha)\sin\alpha 
     - N^{2}(\delta s\cos\alpha)\cos\alpha \nonumber \\
 &=& - (f\sin\alpha)^{2}\delta s 
     - (N\cos\alpha)^{2}\delta s \nonumber \\
 &=& - (N^{2}\cos^{2}\alpha + f^{2}\sin^{2}\alpha)\delta s
\end{eqnarray}
������, $\delta s$ �ϥѡ�������Ѱ̤Ǥ���(��5). �������ä�ʬ���ط����ϼ�
�Τ褦�ˤʤ�: 
\begin{eqnarray}
 \nu^{2} &=& N^{2}\cos^{2}\alpha + f^{2}\sin^{2}\alpha \label{inertio-gw-bunsan} \\
         &=& N^{2}\cos^{2}\alpha + f^{2}(1-\cos^{2}\alpha) \nonumber \\
         &=& (N^{2}-f^{2})\cos^{2}\alpha + f^{2} \nonumber 
\end{eqnarray}
������ $N^{2}>f^{2}$ �Ǥ��뤫��, (\ref{inertio-gw-bunsan})��괷��������
�ο�ư�� $\nu$ ��, $f \le |\nu| \le N$ �ˤ��뤳�Ȥ�ʬ����\footnote{�ѡ�
����ε��פη��Ф���ľ�����˶��դ��ˤĤ�� $\nu$ �� $N$ �˶᤯�ʤ�. ����,
�ѡ�����ε��פη��Ф���ʿ�����˶��դ��ˤĤ�� $\nu$ �� $f$ �˶᤯�ʤ�.
����٤���ή���� $\nu$ ���ϰϤ�, ���褽12ʬ��15���֤Ǥ���.}. 

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[9cm]{ps/Fig7.11.ps}
 \end{center}
\vspace{-6mm} \caption{���������Ȥˤ�����Ҹ�����ǤΥѡ�����ο�ư���ϼ���.} \label{inertio-gw-pic-percel}
\end{figure}

\subsection{���������Ȥ��꼰��}

���������Ȥ��꼰���ˤ����겾�ꤹ��Τϰʲ��λ���Ǥ���. 

\begin{itemize}
 \item ��ư��3����($x,y,z$ ʿ��)
 \item ή�Τβ�ž��ޤ�
 \item �֥��ͥ������(���Ϲ���ν��Ϥ����̩�ٰ���(�椨��, �󰵽�ή��)
       �Ȥ��ư���)
 \item ���ܾ��ή���̵��
 \item �ſ尵ʿ��
\end{itemize}

�嵭�β���ˤ��, �����������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
  \frac{\partial u'}{\partial t}
- fv'
+ \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial x}
= 0, \label{inertio-gw-eq1}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial v'}{\partial t}
+ fu'
+ \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial y}
= 0, \label{inertio-gw-eq2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z}
- \frac{\theta'}{\overline{\theta}}g
= 0, \label{inertio-gw-eq3}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial u'}{\partial x}
+ \frac{\partial v'}{\partial y}
+ \frac{\partial w'}{\partial z}
= 0, \label{inertio-gw-eq4}
\end{equation}
\begin{equation}
    \frac{\partial \theta'}{\partial t}
+ w'\frac{\partial \overline{\theta}}{\partial z}
= 0. \label{inertio-gw-eq5}
\end{equation}

\medskip
������(\ref{inertio-gw-eq3})���, 
$$
  \theta' 
= \frac{1}{\rho_{0}}
  \frac{\overline{\theta}}{g}\frac{\partial p'}{\partial z}
$$

\medskip
�Ǥ��뤫��, �����(\ref{inertio-gw-eq5})���������� $\theta'$ ��õ���
����������:

\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial t}
  \left(\frac{1}{\rho_{0}}\frac{\partial p'}{\partial z}\right)
+ N^{2}w'
= 0 \label{inertio-gw-setudou}
\end{equation}

\subsection{���������Ȥ�ʬ���ط�}

���������Ȥ�ʬ���ط������뤿��, (\ref{inertio-gw-setudou})���Ф��ưʲ���
�褦���ȷ��β���ꤹ��:

$$
   (u',v',w',p'/\rho_{0}) 
 = \mbox{Re}[(\hat{u'},\hat{v'},\hat{w'},\hat{p'})\exp i(kx+ly+mz-\nu t)]
$$

\medskip
�弰��
(\ref{inertio-gw-eq1}),(\ref{inertio-gw-eq2}),(\ref{inertio-gw-setudou})
�����������, ����������: 

\begin{equation}
 \hat{u} =  \frac{1}{\nu^{2}-f^{2}}(\nu k + ilf)\hat{p},\label{inertio-gw-uhat}
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{v} =  \frac{1}{\nu^{2}-f^{2}}(\nu l - ikf)\hat{p},\label{inertio-gw-vhat}
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{w} = -\frac{\nu m}{N^{2}}\hat{p}.\label{inertio-gw-what}
\end{equation}

\medskip
������(\ref{inertio-gw-eq4})���Ѥ����, ���������Ȥ�ʬ���ط����ϰʲ��Τ�
���ˤʤ�:

\begin{equation}
 \nu^{2} = f^{2} + \frac{N^{2}(k^{2}+l^{2})}{m^{2}} \label{inertio-gw-bunsan2}
\end{equation}

\medskip
�ſ尵ʿ�դξ����Τ�ȤǤ�, ��ư�ο�ʿ�������� $\gg$ ��ư�α�ľ��������
�Ǥ��뤫��, $(k^{2}+l^{2})/m^{2} \ll 1$ �Ǥ���. �������ä�, $m$ ���¿���
�ʤ�褦�ʱ�ľ���Ų�ǽ����ư�ξ��, (\ref{inertio-gw-bunsan2})��괷����
���Ȥο�ư�� $\nu$ �� $|f|<|\nu|\ll N$ ���ϰϤǤʤ���Фʤ�ʤ����Ȥ���
����. (\ref{inertio-gw-bunsan2})��, �ʲ��Τ褦���Ѵ���ܤ���
(\ref{inertio-gw-bunsan})��Ʊ���Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ����\footnote{�����Ѵ���,
�줬�ſ尵ʿ�դˤ�����ξ�� $(k^{2}+l^{2})/m^{2} \ll 1$ ��Ʊ���Ǥ���.}. 

$$
 \sin^{2}\alpha \rightarrow 1, \qquad \cos^{2}\alpha =\frac{k^{2}+l^{2}}{m^{2}}
$$

\subsection{���������Ȥι�¤�����¥ᥫ�˥���}

$l=0$ �ξ��, (\ref{inertio-gw-uhat})$\times if +$
(\ref{inertio-gw-vhat})$\times \nu$ ���,
$\hat{v}=-\frac{if\hat{u}}{\nu}$ ������. ������, $\hat{u}$ ���¿��ξ�
��, ���������Ȥο�ʿ��ʬ�ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 u' = \hat{u}\cos(kx+mz-\nu t), \qquad v' = \hat{u}(f/\nu)\sin(kx+mz-\nu t)
\end{equation}

\medskip
��η�̤���, ���������ȤˤĤ��ưʲ������������뤳�Ȥ��狼��(��
\ref{inertio-gw-pic-phase}����)\footnote{��
����������, ��¬�ǡ��������������Ȥȴ��������Ȥ���̤���Τ���Ω��.}: 

\begin{itemize}
 \item ®�٥٥��ȥ�ο�ʿ��ʬ��, ���֤ȶ��˹ⵤ�����۴�(��Ⱦ��Ǥϻ��׼�
       ��)�򤹤�.  
 \item �ѡ�����ε��פ�, �ȿ��٥��ȥ�˿�ľ��������ʱߤ�����.
 \item ������˥��ͥ륮�������Ť�����($c_{gz}>0$)�ξ��($m<0, \nu >0
       \rightarrow c_{z}<0$ �ξ��), ®�٥٥��ȥ�ο�ʿ��ʬ��, ���پ徺
       �ȶ��˻��׼���ǲ�ž����. 
\end{itemize}

\vspace{-8mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[9.5cm]{ps/Fig7.12.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{����������Ť��봷�������� ($m<0,\nu >0, f>0$ :��Ⱦ��)��®��,
 �����ݥƥ󥷥��, ���پ���ΰ�����ȿ��٥��ȥ� {\protect\boldmath $k$} ��ޤ��ľ���̤Ǽ��������. �������٤�����, �ȿ��٥��ȥ�˿�ľ���������̤�ɽ��. ���������, �������¤������򼨤�. �٤������, ���������Ȥ�����, ��ľ®�پ��ɽ��. �Ҹ��̤�����, �ڡ�����˸������������̸���, �ڡ�������Ф������������Ȥ���ɽ���Ƥ���. ���οޤ��®�٥٥��ȥ�Ϲ��٤ȤȤ��, ���׼���򤷤Ƥ����ͻҤ�ʬ����.} \label{inertio-gw-pic-phase}
\end{figure}

%\Dchapter*{2.6 ����ӥ���}
\chapter{����ӥ���}

\section{����ӥ���}

����Ǥ�, �ɤ�ʿ�Ԥ����Ť�������Ȥ�ͤ���. ���Τ���, �ɤ���ª���줿����
�Ȥ��ä�, {\bf ����ӥ���}�ȸƤ�. %���ξ��, �ɤ���Υ���ˤĤ�
%�Ƹ��ꤹ�밵�Ϸ����� $\partial\eta/\partial y$ ��¸�ߤ���. �������ä�
���ΤȤ�, $v=0$ �Ǥ��뤫�� $fu$ �� $-g(\partial\eta/\partial y)$ ���Ͼ�
ή�Х�󥹤������֤ˤ���($f$ �ϰ���): 

\begin{equation}
 fu = -g\frac{\partial\eta}{\partial y}
\end{equation}

\medskip
��Ƭ�β����κ�¦�Ǥϲ���ή, �ȥ�դκ�¦�ǤϾ徺ή�����뤳�Ȥ���, ���Ϸ�
���Ϥ��������Ф��Ʊ�������ή�줬¸�ߤ��뤳�Ȥˤʤ�. ���Τ��Ȥ���, �����
���ȤǤ�, ��(��)Ⱦ��ξ��, �ɤ�(��)�ˤߤ�������ή�줬¸�ߤ���. \\

�ݥ��󥫥���(����������)�ȥ���ӥ��ȤȤΰ㤤��, ������������������������
���Ǥ���: 

\begin{equation}
 \frac{\partial v}{\partial t}
+ fu
= -g\frac{\partial\eta}{\partial y}
\end{equation}

\medskip
�ݥ��󥫥��Ȥξ��, ��Ƭ����ʿ�ˤʤ����̤ΰ��Ϸ����Ϥ�¸�ߤ��ʤ��Ȥ��ˤ�,
$\partial v/\partial t$ �ϥ��ꥪ���ϤȥХ�󥹤�, γ�Ҥε��פ��ʱߵ�ƻ��
����. ����, ����ӥ��Ȥξ��ˤ�, �Ͼ�ή�Х�� $fu =
-g(\partial\eta/\partial y)$ �Τ��������ή®��¸�ߤ��ʤ�.

\subsection{����ӥ��Ȥ��꼰��}

(\ref{shallow-water-eq})���, $x$ �������ɤ˱�ä����Ť��륱��ӥ��Ȥα�
ư�������ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
\begin{array}{rcl}
 \displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial t} + H\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x} 
&=& 0, \\ [2ex]
 \displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} &=& -g\displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial x},\\ [2ex]
                            fu &=& -g\displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial y}.
\end{array} \label{shallow-kelvin-eq}
\end{equation}

\subsection{����ӥ��Ȥ�ʬ���ط�}

�����ǲ��ʲ��Τ褦�˲��ꤹ��: 

\begin{equation}
 [u,\eta] = [\hat{u}(y),\hat{\eta}(y)]e^{i(kx-\omega t)}
\end{equation}

\medskip
(\ref{shallow-kelvin-eq})����������ȼ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  -i\omega\hat{\eta} + iHk\hat{u} &=& 0, \\ [1.5ex]
  -i\omega\hat{u}                 &=& -igk\hat{\eta}, \\ [1.5ex]
  f\hat{u} = -g\displaystyle\frac{d\hat{\eta}}{dy}.
 \end{array} \label{shallow-kelvin-mode-eq}
\end{equation}

\medskip
�弰�κǽ����Ĥμ����� $\hat{u}$ ��õ��ȼ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 \hat{\eta}[\omega^{2}-gHk^{2}] = 0
\end{equation}

\medskip
��ä�, Ǥ�դ� $\eta$ �ˤĤ��Ƽ���ʬ���ط���������: 

\begin{equation}
 \omega = \pm k\sqrt{gH}
\end{equation}

\medskip
�椨��, ����®�٤���ʬ���Ȥʤ꼡���ͤˤʤ�: 

\begin{equation}
 c = \sqrt{gH}
\end{equation}

\medskip
�嵭�η�̤��, {\bf ����ӥ��Ȥ����Ť���®�٤����ž�Ϥν����Ȥΰ���®
�٤�Ʊ���ˤʤ�.} ����������(�ݥ��󥫥���)�ȥ���ӥ��Ȥ�ʬ��������ޤȤ�
��ȿ�\ref{inertio-gw-kelvin-pic-bunsan} ���ͤˤʤ�: 

\vspace{-5mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[8cm]{ps/FM-Fig.13.15.ps}
 \end{center}
 \vspace{-8mm} 
\caption{�ݥ��󥫥��Ȥȥ���ӥ��Ȥ�ʬ������} \label{inertio-gw-kelvin-pic-bunsan}
\end{figure}

\subsection{����ӥ��Ȥι�¤}

�����ι�¤($x$ ����)��Ĵ�٤뤿��, (\ref{shallow-kelvin-mode-eq})��1����
��3���ܤ����������� $\hat{u}$ ��õ��ȼ����ͤˤʤ�: 

\begin{equation}
 \frac{d\hat{\eta}}{dy} \pm \frac{f}{c}\hat{\eta} = 0
\end{equation}

\medskip
���Τ���, �ߤ���Υ���ȸ��ꤹ���ϰʲ����ͤˤʤ�: 

\begin{equation}
 \hat{\eta} = \eta_{0}e^{-fy/c}
\end{equation}

\medskip
������, $\eta_{0}$ �ϴߤˤ����뿶���Ǥ���. ������, ����ӥ��Ȥξ���
ɽ���Ѱ̤�®�پ�ϰʲ����ͤˤʤ�: 

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  \eta &=& \eta_{0}e^{-fy/c}\cos k(x-ct) \\ [2ex]
     u &=& \eta_{0}\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{g}{H}}e^{-fy/c}\cos k(x-ct)
 \end{array} \label{shallow-kelvin-mode-solution}
\end{equation}

%\Dchapter*{2.7 �����ӡ���}

������, ��ϼ����Τ�Τ������. �ޤ�, $u$ �β������Τ�,
(\ref{shallow-kelvin-mode-eq})���Ѥ�
��. (\ref{shallow-kelvin-mode-solution})���, ����ӥ��Ȥ����̤θ��ꥹ����
��ϰʲ����ͤ�Ϳ������:

\begin{equation}
 \Lambda \equiv \frac{c}{f}
\end{equation}

\medskip
�����, �����ӡ����ѷ�Ⱦ��({\it Rossby radius of deformation})�ȸƤФ��. 
$H=5$km, $f=10^{-4}$s$^{-1}$(�����)�ξ��, $c=\sqrt{gH}=220$m/s,
$\Lambda = c/f=2200$km �Ǥ���. 

\chapter{�����ӡ���}
\section{�����ӡ���}

����ޤǤ�, $f$ �����Ȥ�����ư��ͤ��Ƥ���. ��������ư�ο�ư����,
$f$ ����٤ƤϤ뤫���礭���ͤǤ��ä�. ����Ǥ�, $f$ �������Ѳ����뤳�Ȥ�
���¸�ߤ�����ư��ͤ���. ������{\bf �����ӡ���}�ȸƤФ�, �絤��ˤ���
����ư�ξ��, ���ζ��֥�������������礭��. ���줬{\bf ������}�ȸƤФ�
��ͳ��Ǥ���. ����, ���Τξ��, ������Ĺ�Ϥ鷺��100km���٤Ǥ���. �����ӡ�
�Ȥμ��ȿ���, $\omega\ll f$ �ξ����б�����. ��ư���� $f$ ����٤ƤϤ�
���˾����������, ������ʬ��ϥ��ꥪ���Ϥ䰵�Ϸ����ϤȤ���٤ƾ���������
�������. ���Τ褦���Ͼ�ή�˶ᤤ��ư�Τ��Ȥ�, {\bf ���Ͼ�ή��ư}�ȸƤ��
����. 

\subsection{���Ͼ�ή����������}

�����ӡ��Ȥ��꼰���Τ���, ����ǤϽ��Ͼ�ή������������Ƴ�Ф���. ��ñ�Τ�
��, $\beta$ ʿ�̶���� $\beta y\ll f_{0}$ �ξ��������Ǥ���Ȥ���(����
��, �絤�����嵬�ϤΥ����ӡ��Ȥξ��ˤ�Ŭ���ǤϤʤ�). �ʲ��Ǥ�, ʿ��ή
�� 0 �Ȥ��������꼰����Ԥ�, �Ǹ�˰��ͤ�ʿ��ή��Ť͹�碌�뤳�Ȥˤ�
��. �ޤ�, ®�پ��, �Ǥ��㼡�Υ������Ǥ��Ͼ�ήʿ�դˤ���Ȥ���. \\

�����Ȥξ��Υݥƥ󥷥�뱲�������������ȯ����: 

\begin{equation}
 \frac{D}{Dt}\left(\frac{f+\zeta}{h}\right) = 0 \label{shallow-potential-q-eq}
\end{equation}

\medskip
�弰��Ÿ������

\begin{equation}
 h\frac{D}{Dt}(f+\zeta) - (f+\zeta)\frac{Dh}{Dt} = 0
\end{equation}

\medskip
$h=H+\eta$ (������, $H$ �Ͼ����̵�����ܾ���ظ�, $\eta$ ��ɽ���Ѱ�)�Ȥ�
���, 

\begin{equation}
 (H+\eta)\left(
	   \frac{\partial\zeta}{\partial t}
	 +u\frac{\partial\zeta}{\partial x}
	 +v\frac{\partial\zeta}{\partial y}
	 -\beta v
	 \right)
-(f_{0}+\zeta)\left(
	   \frac{\partial\eta}{\partial t}
	 +u\frac{\partial\eta}{\partial x}
	 +v\frac{\partial\eta}{\partial y}
	  \right)
= 0 \label{shallow-potential-q-eq-perturbation}
\end{equation}

\medskip
������, $Df/Dt = v(df/dy)=\beta v$ �Ǥ���. �ޤ�, $\beta$ ʿ�̶���Ǥ�
$df/dy$ ��ޤ�������� $f$ �ΰ����Ѳ��Ϲͤ��ʤ��Τ�, $f$ ��ޤ���
$f_{0}$ �Ȥ���. �����ʾ�����ʬ�ξ��(������ʬ�ϥ����ӡ����Υ������Ǥ���
����), (\ref{shallow-potential-q-eq-perturbation})�ˤ�����2������������
��̵�뤹�뤳�Ȥ������. �������ä�, ��������ܤ��ȼ���������:

\begin{equation}
  H\frac{\partial\zeta}{\partial t} 
+ H\beta v
- f_{0}\frac{\partial\eta}{\partial t} 
= 0 \label{shallow-potential-q-eq-linearized}
\end{equation}

\medskip
�����, �����������ݥƥ󥷥�뱲���������Ǥ���. ������, ���β������
�㼡��®�پ�Ϥۤ��Ͼ�ήʿ��

\begin{equation}
 \begin{array}{rcl}
  u &\simeq& -\displaystyle\frac{g}{f}
              \displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial y} \\[2ex]
  v &\simeq&  \displaystyle\frac{g}{f}
              \displaystyle\frac{\partial\eta}{\partial x} 
 \end{array} \label{geostrophic-velo}
\end{equation}

\medskip
�ˤ��뤫��\footnote{�Ͼ�ήʿ�դˤ���®�پ�Ǥ�, ��ʿȯ���ϸ�̩�� 0 �Ǥ�
��, $\partial\eta/\partial t = 0$ �Ȥʤ뤬,
(\ref{shallow-potential-q-eq-linearized})�Ǥ� $\partial\eta\partial t=0$
�ȤϤ��ʤ�. �����, �Ͼ�ήʿ�դ���Τ��줬ή��λ���ȯŸ�򵭽Ҥ��뤫���
����, ������ʬ���Ĥ��Ƥ���ɬ�פ����뤿��Ǥ���.},
(\ref{shallow-potential-q-eq-linearized})�������Ͼ�ή����������������
���Ȥ��Ǥ���. (\ref{geostrophic-velo})���Ѥ��Ʊ���ɽ����Ԥ��ȼ���������:

\begin{equation}
 \zeta = \frac{f}{f_{0}}\left(
			 \frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}
			+\frac{\partial^{2}\eta}{\partial y^{2}} 
		        \right)
\end{equation}

\medskip
�弰��(\ref{shallow-potential-q-eq-linearized})���������Ƽ���������: 

\begin{equation}
 \frac{gH}{f_{0}}
  \frac{\partial}{\partial t}\left(
			      \frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}
		             +\frac{\partial^{2}\eta}{\partial y^{2}} 
			     \right)
+\frac{gH\beta}{f_{0}}\frac{\partial\eta}{\partial x}
-f_{0}\frac{\partial\eta}{\partial t}
= 0 
\end{equation}

\medskip
$c=\sqrt{gH}$ ���Ѥ��ƽ񤭴������, 

\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial t}\left(
			     \frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}}
			    +\frac{\partial^{2}\eta}{\partial y^{2}} 
			    -\frac{f_{0}^{2}}{c^{2}}\eta
			    \right)
+\beta\frac{\partial\eta}{\partial x}
= 0 \label{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized}
\end{equation}

\medskip
���줬, �������������Ͼ�ή�����������Ǥ���. $c/f_{0}$ �ϥ����ӡ����ѷ�Ⱦ
�¤Ǥ���. 

\subsection{�����ӡ��Ȥ�ʬ���ط���}

(\ref{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized})�β�򼡤Τ�
���˲��ꤹ��: 

\begin{equation}
 \eta = \hat{\eta}e^{i(kx+ly-\omega t)}
\end{equation}

\medskip
������, $\omega$ �������ͤȤ��ư���, $k, l$ �����ϰ������Ť���������
���ΤȤ���. ���� $\eta$ ��
(\ref{shallow-quasi-geostrophic-potential-q-eq-linearized})���������ư�
���δط���������: 

\begin{equation}
 \omega = -\frac{\beta k}{k^{2}+l^{2}+f_{0}^{2}/c^{2}} \label{rossby-wave-bunsan}
\end{equation} 

\medskip
�����, �����ӡ��Ȥ�ʬ���ط����Ǥ���. ����ʬ���ط����ȿ� $k$ �� $l$ �˴�
�������о�����, �����ӡ��Ȥα�ư����ʿ������������������ʤ����Ȥ��̣��
�Ƥ���(����� $\beta$ ���̤ˤ���ΤǤ���). (\ref{rossby-wave-bunsan})
��, ���ؤΰ���ή�ΤˤĤ��Ƶ�᤿��ΤǤ��뤬, ���ؤΤ���ή�Τξ��ˤ� 
$c=\sqrt{g'H}$ (reduced gravity model), ���뤤��, $c=NH/n\pi$ (Ϣ³����
��ǥ���� $n$ �⡼��)�Ȥ�����ɤ�(������,
$g'=g(\rho_{2}-\rho_{1})/\rho_{2}$). �簵�⡼�ɤξ��, $c$ �������礭��
�Τ� $f_{0}^{2}/c^{2}$ �� 0 �Ȥ����ɤ�. \\

$k, l$ ���ʿ���ˤȤ�, $\omega$ ���ľ���ˤȤ��,
(\ref{rossby-wave-bunsan})�� $\omega$ ��ʬ�������Ȥ����������Ȥ������
(��\ref{rossby-wave-pic-bunsan}). ʬ���ط���(\ref{rossby-wave-bunsan})��
��, 

\begin{equation}
 \left(
  k + \frac{\beta}{2\omega}
 \right)^{2}
+ l^{2}
= \left(
   \frac{\beta}{2\omega}
  \right)^{2}
- \frac{f_{0}^{2}}{c^{2}}
\end{equation}

\medskip
�Ȥʤ뤫��, $\omega$ ����Υ��󥿡��ϱߤ�����. 

\vspace{-5mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \Depsf[8.5cm]{ps/FM-Fig.13.29.ps}
 \end{center}
 \vspace{-8mm} 
\caption{�����ӡ��Ȥ�ʬ������ $\omega(k,l)$. ��οޤ� $l=0$ �Ȥ�������
 $k$ �� $\omega$ �δط��򼨤��Ƥ���. ���οޤ� $k-l$ ʿ�̤��鸫������
 $\omega$ �Υ��󥿡��򼨤��Ƥ���. 3�Ĥαߤ�, $\omega f_{0}/\beta c$ ��,
 0.2, 0.3, 0.4 �ξ��򼨤��Ƥ���. $\omega$ �Υ��󥿡��˿�ľ�������, ��
 ®�٥٥��ȥ� {\protect\boldmath $c_{g}$}�������򼨤��Ƥ���.} \label{rossby-wave-pic-bunsan}
\end{figure}

��®�٤����

\begin{equation}
 \mbox{\boldmath $c_{g}$} 
  = \mbox{\boldmath $i$}\frac{\partial\omega}{\partial k}
   +\mbox{\boldmath $j$}\frac{\partial\omega}{\partial l}
\end{equation}

\medskip
���, {\boldmath $c_{g}$}�������� $\omega$ �Υ��󥿡��˿�ľ�Ǥ��뤳�Ȥ�
ʬ����. ��\ref{rossby-wave-pic-bunsan} ��� $l=0$ �ξ��, ��ư���������
�ʤ�Τ�, $kc/f_{0}=-1$ �ξ��Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ����. ������, ��ư��������
�ˤʤ���Ǥ⤽���礭���ϥ��ꥪ���������Ϥ뤫�˾��������Ȥ�ʬ����.
\\

(\ref{rossby-wave-bunsan})���, ���������ΰ���®�٤ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�: 

\begin{equation}
 c_{x} = \frac{\omega}{k} = -\frac{\beta}{k^{2}+l^{2}+f_{0}^{2}/c^{2}}
\end{equation}

\medskip
���Τ褦�� $c_{x}$ ���������ͤ��뤳�Ȥ���, ��������ŤϤ��Ĥ�������
�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��. ����®�٤�����ˤʤ�Τ� $k^{2}+l^{2}\rightarrow 0$
�ξ��Ǥ���, ����Ͽ�\ref{rossby-wave-pic-bunsan} �θ����ն���ΰ�ˤ��
�Ƽ����줿�����礭����Ĺ�Ӥ��б����Ƥ���. �����ΰ�Ǥ�, �ȤϤۤ���ʬ��
�Ǥ���, ������Ϳ������: 

\begin{equation}
 c_{x} = -\frac{\beta c^{2}}{f_{0}^{2}}
\end{equation}

\medskip
�����ӡ��ȤϤ��Ф���, �����åȵ�ή���ͤʶ����������ʿ��ή�ȽŤ͹�碌��
���. $U$ ���������ʿ��ή��®�٤Ȥ����, ��¬�����������ΰ���®�٤ϰ�
�����ͤˤʤ�: 

\begin{equation}
 c_{x} = U -\frac{\beta}{k^{2}+l^{2}+f_{0}^{2}/c^{2}}
\end{equation}

\medskip
�����, ��ߥ����ӡ���($c_{x}=0$)��, ������δ���ή��ή®���������ΰ���
®�٤��껦�����Ȥ��˷��������. \\

�Ǹ��, (\ref{rossby-wave-bunsan})������ϰ��̤�ʬ���ط���
(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan}): 

\begin{equation}
 \omega^{3} - c^{2}\omega (k^{2}+l^{2}) - f_{0}^{2}\omega - c^{2}\beta k = 0 
\label{shallow-water-eq-only-v3-bunsan2}
\end{equation}

\medskip
����Ƴ�Ф��뤳�Ȥ��ߤ�. ������, $\omega \ll f$ �ξ��, ������軰��
����٤�̵��Ǥ��뤫��, �������ä�
(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan2})���,
(\ref{rossby-wave-bunsan})������. 

%\Dchapter*{2.8 ��ƻ��}

\chapter{��ƻ��}

����Ǥ�, ����Ϥˤ�������ƻ����ͭ���ȤǤ���{\bf ��ƻ��}�򰷤�. 

\section{����Ϥ���ƻ�Ȥ��꼰����̵������}

\subsection{�꼰��}

��ñ���Τ���, ή�Τθ��� $H$ �ϰ���Ǥ���Ȥ�, ��ư��̵�����ܾ��ͤ�
��. �����Ǥ�, ��ƻ $\beta$ ʿ�̶�����Ѥ�, ���ꥪ��ѥ�᡼���ϰʲ��Τ�
����ɽ��:

\begin{equation}
 f \approx \beta y. 
\end{equation}

\medskip
������, $\beta = 2\Omega / a$ ($a$ ������Ⱦ��, $\Omega$ �������μ�ž��®
��)�Ǥ���. ���ΤȤ�����������(\ref{shallow-water-eq})�������������, ��
���Τ褦�ˤʤ�:  

\begin{equation}
  \frac{\partial u}{\partial t} 
- \beta y v
= -\frac{\partial\Phi}{\partial x}, \label{equator-shallow-water-eq-u}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial v}{\partial t} 
+ \beta y u
= -\frac{\partial\Phi}{\partial y},\label{equator-shallow-water-eq-v}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \Phi}{\partial t} 
+ gH\left(
    \frac{\partial u}{\partial x}
  + \frac{\partial v}{\partial y}
   \right) = 0. \label{equator-shallow-water-eq-phi}
\end{equation}

\medskip
������, $\Phi = gH$ �ϥ����ݥƥ󥷥��Ǥ���. 

\subsection{̵������}

���Τ褦�ʥ��������Ƴ������. 
\begin{eqnarray}
 \mbox{��ʿ®��} &\equiv& U \equiv \sqrt{gH} \\
 \mbox{Ĺ��}     &\equiv& L \equiv \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}} \\
 \mbox{����}     &\equiv& T \equiv \frac{L}{U} = \sqrt{\frac{1}{\beta\sqrt{gH}}} \\
 \mbox{����}     &\equiv& H
\end{eqnarray}
�������Ѥ���, �ѿ���̵����������. 
\begin{eqnarray}
 (x,y) &=& L(x_{*},y_{*}), \\
 t     &=& Tt_{*}, \\
 (u,v) &=& U(u_{*},v_{*}), \\
 \Phi  &=& gH\Phi_{*}.
\end{eqnarray}
������, $*$ ���դ����̤Ϥ��줾����̤�̵�����̤�ɽ��. ������,
(\ref{equator-shallow-water-eq-u})��(\ref{equator-shallow-water-eq-phi})
�����������

\begin{equation}
  \frac{U}{T}\frac{\partial u_{*}}{\partial t_{*}} 
- \beta L U y_{*} v_{*}
= -\frac{gH}{L}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial x_{*}}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-u}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{U}{T}\frac{\partial v_{*}}{\partial t_{*}} 
+ \beta LU y_{*} u_{*}
= -\frac{gH}{L}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial y_{*}},\label{equator-shallow-water-nondim-eq-v}
\end{equation}
\begin{equation}
  gH\frac{\partial \Phi_{*}}{\partial t_{*}} 
+ \frac{gHU}{L}\left(
    \frac{\partial u_{*}}{\partial x_{*}}
  + \frac{\partial v_{*}}{\partial y_{*}}
   \right) = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-phi}
\end{equation}

\medskip
���ʤ��

\begin{equation}
  \frac{\partial u_{*}}{\partial t_{*}} 
- \beta L T y_{*} v_{*}
= -\frac{gHT}{LU}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial x_{*}}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-u2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial v_{*}}{\partial t_{*}} 
+ \beta L T y_{*} u_{*}
= -\frac{gHT}{LU}\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial y_{*}},\label{equator-shallow-water-nondim-eq-v2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \Phi_{*}}{\partial t_{*}} 
+ \frac{TU}{L}\left(
    \frac{\partial u_{*}}{\partial x_{*}}
  + \frac{\partial v_{*}}{\partial y_{*}}
   \right) = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-phi2}
\end{equation}

\medskip
�Ȥ�����, 
\begin{eqnarray}
 \beta LT       &=& \beta 
                     \cdot \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}} 
		     \cdot \sqrt{\frac{1}{\beta\sqrt{gH}}} \nonumber \\
                &=& 1 \\
 \frac{gHT}{LU} &=& gH
                     \cdot \sqrt{\frac{1}{\beta\sqrt{gH}}}
		     \cdot \sqrt{\frac{\beta}{\sqrt{gH}}}
		     \cdot \frac{1}{\sqrt{gH}}  \nonumber \\
                &=& 1 \\
 \frac{TU}{L}   &=& T\cdot \frac{1}{T} \nonumber \\
                &=& 1 
\end{eqnarray}
�Ǥ���. �椨��, 

\begin{equation}
  \frac{\partial u_{*}}{\partial t_{*}} 
- y_{*} v_{*}
= -\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial x_{*}}, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-u3}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial v_{*}}{\partial t_{*}} 
+ y_{*} u_{*}
= -\frac{\partial\Phi_{*}}{\partial y_{*}},\label{equator-shallow-water-nondim-eq-v3}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \Phi_{*}}{\partial t_{*}} 
  +\frac{\partial u_{*}}{\partial x_{*}}
  +\frac{\partial v_{*}}{\partial y_{*}}
  = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3}
\end{equation}

\medskip
�Ȥʤ�. �ʲ�, ��ñ�Τ���ź���� $*$ �Ͼ�ά����. �ʹߤǤ�, ̵������������
�����Ϥ��˰���, ɬ�פ˱�����ͭ�����Ϥ���뤳�Ȥˤ���(ͭ�����ϤǤμ���
�����Ͼ��ˤ�ä���Ͽ�˰�ư����). 

\section{\protect $v$ �μ��ȶ������}
%\section{��ƻ�Ȥθ�ͭ�ؿ��ȸ�ͭ��������}\label{eq-bunsan-sec}
%\section{��ƻ�Ȥ�ʬ���ط���}\label{eq-bunsan-sec}

\subsection{\protect $v$ �μ���Ƴ��}

(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3}), (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})
���

\begin{equation}
  \frac{\partial\Phi}{\partial x}
+ \frac{\partial u}{\partial t} 
=  y v, 
\label{equator-shallow-water-eq-u2}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \Phi}{\partial t} 
+ \frac{\partial u}{\partial x}
= 
- \frac{\partial v}{\partial y}.
\label{equator-shallow-water-eq-phi2}
\end{equation}

\medskip
����� $u,\Phi$ �ˤĤ��Ʋ򤯤�, 

\begin{equation}
 \left(
  \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
- \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
 \right)\Phi 
=
 \left(
        y\frac{\partial}{\partial x} 
      + \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial t}
 \right)v, 
\label{equator-shallow-water-nondim-eq-p-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 \left(
        \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
      - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
 \right)u
=
 \left(
      -y\frac{\partial}{\partial t} 
      - \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x}
 \right)v.
\label{equator-shallow-water-nondim-eq-u-v}
\end{equation}

\medskip
����, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v3})��
$\displaystyle\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} -
\displaystyle\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}$ ����Ѥ������

\begin{equation}
  \frac{\partial}{\partial t}\left(
				  \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
			        - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
				 \right) v 
+ y\left(
	\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
      - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
       \right) u
+ \frac{\partial}{\partial y}\left(
				  \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
				- \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
				 \right)\Phi
=0.
\end{equation}

\medskip
�弰��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-p-v}),(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u-v})����������

\begin{equation}
  \frac{\partial}{\partial t}\left(
				  \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} 
			        - \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}
				 \right) v 
+ y\left(
      -y\frac{\partial}{\partial t} 
      - \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x}
       \right)v
+ \frac{\partial}{\partial y} \left(
			       y\frac{\partial}{\partial x} 
			     +  \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial t}
			      \right)v
=0, 
\end{equation}

\medskip
���ʤ��, 

\begin{equation}
  \left(
   \frac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial t} 
 + \frac{\partial^{3}}{\partial y^{2}\partial t}
 -y^{2}\frac{\partial}{\partial t} 
 + \frac{\partial}{\partial x} 
 - \frac{\partial^{3}}{\partial t^{3}}
 \right)v
=0, 
\label{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v}
\end{equation}

\medskip
������. 

\subsection{�������}

��ƻ�Ȥ򰷤��ܾϤǤ�, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})��
(\ref{equator-shallow-water-eq-phi}), �⤷����,
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�β�Τ���, ��ƻ($y=0$)����
ª���줿���ͤ���. ��ƻ����ª���줿���ͤ��뺬���,
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�ˤ����� $u,\Phi$ ��õ��
$v$ �ˤĤ��Ƥμ�(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v})��ͤ��뤳��
��������.

$$
  \left(
   \frac{\partial^{3}}{\partial x^{2}\partial t} 
 + \frac{\partial^{3}}{\partial y^{2}\partial t}
 -y^{2}\frac{\partial}{\partial t} 
 + \frac{\partial}{\partial x} 
 - \frac{\partial^{3}}{\partial t^{3}}
 \right)v
=0. \eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v}}) 
$$

\medskip
���������ˤ�, �ϵ���������ͤʰ��ٱߤ������������ͤ�, �����������

\begin{equation}
 \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}(u,v,\Phi)\Bigg|_{x} = \frac{\partial^{n}}{\partial x^{n}}(u,v,\Phi)\Bigg|_{x+L_{x}} \qquad (n=0,1,2,\cdots,N) 
\label{boundary-condition-x}
\end{equation}

��ݤ����Ȥˤ���. ����, ���������ˤ� ``��ƻ����ª����Ƥ���'' �Ȥ������
��, �������Ȥ���

\begin{equation}
 (u,v,\Phi) \rightarrow 0 \quad \mbox{as}\quad y \rightarrow \pm\infty
 \label{boundary-condition-y}
\end{equation}

\medskip
�ξ�����Ĥ�ΤȤ���. �ʤ��ʤ�, $x,t$ �˰�¸���ʤ��ͤ��ü�ʾ���ͤ�, 
$y$ �˰�¸�����Τߤ���Ф���,
%�ΰ� $y\gg 1$ �Ǥβ�ο��񤤤����ܤ��뤳�Ȥˤ���, $y$ �˰�¸�����Τߤ�
%���Ф���,

\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial t}\left(
			     \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} - y^{2}
			    \right)v
=0.
\end{equation}

\medskip
�������ä�

\begin{equation}
 v(y) \sim A\exp\left(\frac{y^{2}}{2}\right) + B\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right),
\end{equation}
%\begin{equation}
% v \sim C(x,t)\exp\left(\frac{y^{2}}{2}\right) + D(x,t)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right),
%\end{equation}

\medskip
�Ȥʤ�(������, $A,B$ ��Ǥ�����). ����ˤ��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v})�ˤ� $y\rightarrow\pm\infty$ �� 
ȯ������򤬴ޤޤ�Ƥ��뤫��, $y\rightarrow\pm\infty$ �� $v(y)$ ��ȯ����
�ʤ��Ȥ�������ݤ��Ƥ����ʤ���Фʤ�ʤ�. ���ξ��� $A=0$ �ξ�����
������: 

\begin{equation}
 v(y) \sim B\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right).
\end{equation}

\medskip
��ä�, $y\rightarrow\pm\infty$ �� $v(y)\rightarrow 0$ �Ȥʤ�. �ʾ�Τ�
�Ȥ���, ��äȰ���Ū�ʾ��Ǥ� $y\rightarrow\pm\infty$ �� 
$v(y)\rightarrow 0$ �Ȥʤ�褦�ʶ�������ݤ����Ȥˤ���.

\newpage

\section{��ƻ�Ȥθ�ͭ������Ȥ��β�}\label{eq-bunsan-sec}

\subsection{��ͭ��������꼰��}

$u,v,\Phi$ ��ʲ����ͤ˿�ʿ������Υ��������: 

	    \begin{equation}
	     \left(\begin{array}{c}
	             u \\
		     v \\
		     \Phi
		    \end{array} 
\right) = \sum_{k}\sum_{m}\left[
		    \begin{array}{c}
		     a_{k,m} \hat{u}_{k,m}(y) \\
		     a_{k,m} \hat{v}_{k,m}(y) \\
		     a_{k,m} \hat{\Phi}_{k,m}(y) 
		    \end{array}
        	    \right]\exp[i(kx-\omega_{k,m} t)]. \label{spector-ex}
	    \end{equation}

\medskip
������, $a_{k,m}$ ��Ǥ�դ����, $k$ �������ȿ�, $\omega$ �Ͽ�ư��, $m$ ��
$\omega$ �����®�٤��礭������¤٤����Υ⡼�ɤ��ֹ�Ǥ�
��. (\ref{spector-ex})��(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})��������, $\exp i(kx-\omega
t)$ ��ľ�������Ѥ��Ƴơ��� $k$ �ˤĤ��Ƥ���ʬ����Ф��Ȱʲ�������(�ʹ�, 
ź�� $k,m$ �Ͼ�ά):

\begin{equation}
 -i\omega \hat{u} - y \hat{v} = -ik\hat{\Phi},
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega \hat{v} + y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y},
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{\Phi} 
 +ik\hat{u} 
 +\frac{\partial\hat{v}}{\partial y}
 = 0.
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi}
\end{equation}

\medskip
�弰�� $k$ ��ѥ�᡼���Ȥ����ͭ�� $\omega=\omega(k)$ �θ�ͭ������Ȥ�
��.

\subsection{��ͭ��, ��ͭ�ؿ�}\label{sec-eigen}

����, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})���� 
$\hat{u},\hat{\Phi}$ ��õ������Ƴ�Ф���. �����,
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v-v})��(\ref{spector-ex})��������
��($\partial /\partial x \rightarrow ik, \partial /\partial t
\rightarrow -i\omega$ ���֤�������)���Ȥˤ��������:

$$
-i\left(
   \omega\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} 
   - k^{2} \omega 
   - \omega y^{2}
   - k
   + \omega^{3}
  \right)\hat{v} = 0. 
$$

\medskip
ξ�դ� $-i$ �ǳ�ä����������

\begin{equation}
 \left(
   \omega\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} 
   - k^{2} \omega 
   - k
   + \omega^{3}
   - \omega y^{2}
 \right)\hat{v} = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v}
\end{equation}

\medskip
$\hat{v}$ ��, �弰��, �������(��ƻ����ª�������),

$$
 v \rightarrow 0 \qquad (y\rightarrow \pm\infty),
$$

\medskip
�������� $k$ �δؿ��Ȥ��Ʒ�����.
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})�� $\hat{v}=0$ �Ȥʤ뼫
���ʲ����äƤ���. �ʲ��ǾܽҤ���褦�� $\hat{v}=0$ �ξ��Ǥ�,
$\hat{u}\not=0, \hat{\Phi}\not=0$ �Ȥʤ�褦��ʪ��Ū�˰�̣�Τ����¸��
���뤫��, �ʲ��Ǥ� $\hat{v}=0,\hat{v}\not=0$ ��ξ�ԤˤĤ��ƾ��ʬ�����
��, ��ͭ��, ��ͭ�ؿ���������뤳�Ȥˤ���.

\subsubsection{\underline{\protect\ref{sec-eigen}.1 $\hat{v}\not=0$ �ξ��}}

�Ϥ����, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})�ˤ�����
$\omega=0$ �ξ���ͤ���. $\omega = 0$ �ξ��,
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})���,

\begin{equation}
 k\hat{v} = 0
\end{equation}

\medskip
�Ȥʤ뤫��, $\hat{v}\not=0$ ��� $k=0$ ������. ���ΤȤ�, $\hat{v}$ �θ�
ͭ�ؿ�����(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})�����뤳
�Ȥ�����ʤ�. ������, ������������
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})����ä�, $\omega=k=0$ 
�Ȥ����, $\hat{v}=0$ ������. ����� $\hat{v}\not=0$ �Ȥ����Ϥ�β������
Ŭ�Ǥ��뤫��, �������ä�, $\omega\not=0$ ��������. ��ä�
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})��ξ�դ�
$\omega$ �ǳ�뤳�Ȥ������, 

\begin{equation}
 \left(
   \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} 
   - k^{2} 
   - \frac{k}{\omega}
   + \omega^{2}
   - y^{2}
 \right)\hat{v} = 0. \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v'}
\end{equation}

�弰��, �ʲ�����ʬ������ 

\begin{equation}
 \frac{d^{2}u}{d\xi^{2}} + \left( \lambda - \xi^{2} \right)u = 0
 \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2}
\end{equation}
%\begin{equation}
% \left(
%  \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + 2n + 1 - y^{2}
% \right)\hat{v} = 0,\label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2}
%\end{equation}

\medskip
(�켡��Ĵ�¿�ư�Ҥ��Ф��륷��졼�ǥ��󥬡�������\footnote{����
$m$ �μ����� $x$ ������®�� $u$, �����ͥ륮�� $E$, �����ο�ư�� $\omega$
�Ȥ����, ���δط�������Ω��(����졼�ǥ��󥬡�������): 

$$
 \frac{d^{2}u}{dx^{2}} - \frac{m^{2}\omega^{2}}{\hbar^{2}}x^{2}u =
 -\frac{2mE}{\hbar^{2}}u, \quad \rightarrow \quad \frac{d^{2}u}{dx^{2}} + \left(\frac{2mE}{\hbar^{2}} - \frac{m^{2}\omega^{2}}{\hbar^{2}}x^{2}\right)u = 0.
$$

\medskip
������, $\xi = \alpha x, \alpha = \sqrt{m\omega/\hbar}, \lambda =
2E/\hbar\omega$ ���ѿ��Ѵ���Ԥ��ȼ���������: 

$$
 \frac{d^{2}u}{d\xi^{2}} + \left( \lambda - \xi^{2} \right)u = 0.
$$

\medskip
������, $\hbar = h/2\pi$, $h$ �ϥץ������Ǥ���. ���ΤȤ�, {\bf ��ͭ��}
$\lambda$, {\bf ��ͭ�ؿ�} $u$ �ϥ���ߡ���({\it Hermite})¿�༰ $H_{n}$ 
���Ѥ��Ƽ��Τ褦��Ϳ������:

$$
 \lambda = 2n + 1, \qquad u_{n}(\xi) = A_{n}e^{-\xi^{2}/2}H_{n}(\xi),
 \qquad H_{n}(\xi) =
 (-1)^{n}e^{\xi^{2}}\frac{d^{n}e^{-\xi^{2}}}{d\xi^{n}}, 
 \qquad (n\ge0).
$$

\medskip
������ $A_{n}$ �� $\int_{-\infty}^{\infty}|u_{n}(\xi)|^{2}d\xi = 1$ �Ȥ�
��褦�����Ф�뵬�ʲ�����Ǥ���(���� ����, �����̻��ϳ� p54��p69). �ޤ�
����ߡ���¿�༰�ˤ�ä��������뼡�δؿ�����ʪ��ؿ��Ȥ���:

$$
D_{n}(\xi) = e^{-\frac{\xi^{2}}{2}}H_{n}(\xi) =
(-1)^{n}e^{\frac{\xi^{2}}{2}}\frac{d^{n}}{d\xi^{n}}e^{-\xi^{2}},\qquad (n\ge0).
$$

\medskip
����, ����ߡ���¿�༰�ˤϼ��δط�(����ߡ���������)

$$
 \frac{d^{2}}{d\xi^{2}}H_{n} - 2\xi\frac{d}{d\xi}H_{n} + 2nH_{n} = 0,
$$

\medskip
������, $n$ �� $(n\ge 0)$ ����ʪ��ؿ� $D_{n}$ ���������٤����Ͼ�δط�
���� $D_{n}$ ��ɽ������������

$$
 \frac{d^{2}}{d\xi^{2}}D_{n} + (2n + 1 - \xi^{2})D_{n} = 0. 
$$ 

\medskip
�������ä�, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2})�η�������
ʬ��������, ��ͭ�� $2n+1$, ��ͭ�ؿ� $D_{n}$ �������뤳�Ȥ�ʬ����. 
}, �⤷����, ��ʪ��ؿ���Ϳ������ʬ������)��Ʊ�����򤷤Ƥ���. �������ä�,
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v'})����Ӥ��ưʲ���ʬ���ط���

\begin{equation}
   \omega^{3}
   - k^{2} \omega 
   - k
   = (2n+1)\omega, \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3}
\end{equation}

\medskip
������. �ޤ�, ��ͭ�ؿ� $\hat{v}$ ��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v2})��ꥨ��ߡ���¿�༰
$H_{n}(y)$:
\begin{eqnarray}
 H_{n}(y) &=& (-1)^{n}e^{y^{2}}\frac{d^{n}}{dy^{n}}e^{-y^{2}} \qquad (n\ge0),\label{hermet-eq} \\ 
 H_{0}(y) &=& 1, \quad H_{1}(y) = 2y, \quad H_{2}(y) = 4y^{2}-2, \quad \cdots \nonumber %\\[2ex]
% D_{n}(y)~~(\mbox{��ʪ��ؿ�})~ &=& H_{n}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right)  \qquad (n\ge0),
\end{eqnarray}
���Ѥ��ưʲ��Τ褦��ɽ�����: 

\begin{equation}
 \hat{v}_{n}(y) = A_{n}D_{n}(y), \qquad (n\ge0)\label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2}
\end{equation}
\begin{equation}
   D_{n}(y) = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right) 
 \qquad (n\ge0).
\end{equation}
\medskip
������, $A_{n}$ ��Ǥ�դ�����Ǥ���, �ʹߴ�ñ���Τ��� $A_{n}=1$ �Ȥ���
\footnote{���� $A_{n}$ ��, ��ͭ�ؿ�
 $\hat{u}_{n},\hat{v}_{n},\hat{\Phi}_{n}$ ���ʲ��ε��ʲ����

$$
 \int_{-\infty}^{\infty}\!\!\int_{-\infty}^{\infty}dxdy(u_{\omega'}^{*}u_{\omega}+v_{\omega'}^{*}v_{\omega}+\Phi_{\omega'}^{*}\Phi_{\omega})
 = \delta_{\omega\omega'}.
$$

\medskip
���������褦�˷���. �����Ǥϴ�ñ���Τ��� $A_{n}=1$ �Ȥ���.}. �ޤ�, ���� $\hat{v}_{n}(y)$ ��ȤäƵ����� $\hat{u}(y),\hat{\Phi}(y)$ ��ʹ�
 $\hat{u}_{n}(y),\hat{\Phi}_{n}(y)$ ��ɽ�����Ȥˤ���. �ʲ��Ǥ�, ����줿
 ��ͭ��(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3}), $\hat{v}_{n}$
 �θ�ͭ�ؿ�(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2})���Ѥ���, ����
 ��������(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})���� $n$ ����
 �˱�������ͭ�ؿ� $\hat{u}_{n},\hat{\Phi}_{n}$ ��Ƴ�Ф��뤳�Ȥˤ���.

\begin{description}
 \item[\underline{\bf (1) $n=0$ �ξ��}] ~\\

(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3})���, 

\begin{equation}
   \omega^{3} - k^{2} \omega - k 
 = \omega, \quad \rightarrow \quad 
  (\omega+k)(\omega^{2} - k\omega - 1) =0.
 \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3_n=0}
\end{equation}

\medskip
�椨��, $n=0$ �ξ��������� $\omega$ �� 

\begin{equation}
 \omega = -k \quad\mbox{�⤷����}\quad \omega = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2,  
  \label{eigen-value-n=0}
\end{equation}

\medskip
�Ǥ���. ����, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2})����ͭ��
�� $\hat{v}_0$ �ϼ����ͤˤʤ�:
\begin{eqnarray}
  \hat{v}_{0}(y) &=& H_{0}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right) \nonumber \\ 
             &=& \exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right). \label{vhat_n=0}
\end{eqnarray}
�ʲ��Ǥ�, (\ref{eigen-value-n=0})�� $\omega$ �ˤ����ʬ����Ԥ�, ��ͭ�ؿ�
(\ref{vhat_n=0})���Ѥ��� $\hat{u}_{0}, \hat{\Phi}_{0}$ �����.  

    \begin{description}
     \item[\underline{a) $\omega = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2$ �ξ��}] ~\\

		(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u}),
		(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})���,

		\begin{equation}
		 (\omega^{2}-k^{2})\hat{u}_{0} 
		  = i\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}, 
		  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u2}
		\end{equation}
		\begin{equation}
		 (\omega^{2}-k^{2})\hat{\Phi}_{0} 
		  = i\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}.
		  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi2}
		\end{equation}

		\medskip
		�Ǥ��뤫��, $\omega\not=\pm k$ ���, 

		\begin{equation}
		 \hat{u}_{0} 
		  = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}
		    \left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}, 
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u3}
		\end{equation}
		\begin{equation}
		 \hat{\Phi}_{0} 
		  = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}
		    \left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{0}.
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi3}
		\end{equation}

		\medskip
		�椨��, (\ref{vhat_n=0})���������� 
		$\omega = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2$ �ξ��θ�ͭ�ؿ����
		�Ȥ��ȼ����ͤˤʤ�: 
		\begin{eqnarray}
		 \hat{u}_{0} 
		  &=& \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}
		    \left(\omega y + ky\right)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right)
                  = \frac{i}{\omega-k}y D_{0},
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u4}\\
		 \hat{v}_{0} 
		  &=& D_{0},
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v4}\\
		 \hat{\Phi}_{0} 
		  &=& \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}
		    \left(ky + \omega y\right)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right)
		  = \frac{i}{\omega-k}y D_{0}.
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi4}
		\end{eqnarray}
		�� \ref{sec-struct} �ǾܽҤ��뤬, �������Ȥ����, ����
		���봷�������ӡ������ȤǤ���.\\ 		

     \item[\underline{b) $\omega = -k ~(\not=0)$ �ξ��}] ~\\

		(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})��
		(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})
		�� $\omega = -k$ �Ȥ�, (\ref{vhat_n=0})
		������������ȼ���������:  

\begin{equation}
 ik\hat{u}_{0} - y e^{-\frac{1}{2}y^{2}} = -ik\hat{\Phi}_{0},
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-u2}
\end{equation}
\begin{equation}
 ik e^{-\frac{1}{2}y^{2}}+y\hat{u}_{0}= -\frac{\partial\hat{\Phi}_{0}}{\partial y},
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-v2}
\end{equation}
\begin{equation}
 ik\hat{\Phi}_{0} 
 +ik\hat{u}_{0} 
 -y e^{-\frac{1}{2}y^{2}}
 = 0.
  \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-phi2}
\end{equation}

	    \medskip
	    ������, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-u2})��
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-phi2})��Ʊ������
	    �ʤ뤫��, ���δط�������(�� $k\not=0$): 

\begin{equation}
 \hat{\Phi}_{0} = -\hat{u}_{0} + \frac{1}{ik}y e^{-\frac{1}{2}y^{2}}.
\end{equation}

	    \medskip
	    ������(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-n=0-v2})����
	    ����������: 

\begin{equation}
  \frac{\partial\hat{u}_{0}}{\partial y}
- y\hat{u}_{0}
=
 \frac{1}{ik}(1-k^{2}-y^{2})e^{-\frac{1}{2}y^{2}}. 
 \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v3}
\end{equation}

	    \medskip
	    ���� $= 0$ �Ȥ���������Ʊ��������ʬ�������β�
	    ($e^{\frac{1}{2}y^{2}}$)���Ѥ���,
	    $\hat{u}_{0}=C(y)e^{\frac{1}{2}y^{2}}$ ��ɽ����뤫��, 

$$
  \frac{\partial\hat{u}_{0}}{\partial y} 
= \frac{\partial C(y)}{\partial y}e^{\frac{1}{2}y^{2}}
+ y C(y)e^{\frac{1}{2}y^{2}}, 
$$

	    \medskip
	    ���, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v3})������
	    ���Ƽ���������: 
\begin{eqnarray}
    \frac{\partial C(y)}{\partial y}
&=& \frac{1}{ik}(1-k^{2}-y^{2})e^{-y^{2}} \nonumber \\
    C(y)
&=& \int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}(1-k^{2}-y'^{2})e^{-y'^{2}}dy'.
\end{eqnarray}
	    �椨��, 
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v3})�β�ϰʲ���
	    �褦�ˤʤ�: 
\begin{eqnarray}
\hat{u}_{0} &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}(1-k^{2}-y'^{2})e^{-y'^{2}} dy'
\nonumber \\
        &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}\left\{\left(\frac{1}{2}-k^{2}\right)e^{-y'^{2}} + \left(\frac{1}{2} - y'^{2}\right)e^{-y'^{2}}  \right\} dy' \nonumber \\
        &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}\left\{\left(\frac{1}{2}-k^{2}\right)e^{-y'^{2}}\right\} dy' + e^{\frac{1}{2}y^{2}}\left[\frac{1}{2ik}y'e^{-y'^{2}}\right]_{\infty}^{y}  \nonumber \\
        &=& e^{\frac{1}{2}y^{2}}\int_{\infty}^{y}\frac{1}{ik}\left\{\left(\frac{1}{2}-k^{2}\right)e^{-y'^{2}}\right\} dy' + \frac{1}{2ik}ye^{-\frac{1}{2}y^{2}}.
\end{eqnarray}
	    ����ѷ��Ǥ�, ��ʬ����� $y=\infty$ �ˤ� $\hat{u}_{0}=0$ �Ȥʤ�
	    �褦��Ϳ������, ������1��� $y\rightarrow -\infty$ ��ȯ����
	    �뤳�Ȥ�ʬ����. �������ä�, $\omega = -k \not= 0$ �ξ��, ��
	    ���������������¸�ߤ��ʤ�($n=0$ �λ��ˤ� $\omega = -k
	    \not=0$ �ϸ�ͭ�ͤǤ�̵�����Ȥˤʤ�, ��ͳ�٤� 1 ­��ʤ��ʤ�
	    ��(��ͭ�ͤ�3�Ĥ��뤫��1�ĸ��ä�)).
	    \end{description}

 \item[\underline{\bf (2) $n\ge 1$ �ξ��}] ~\\

	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3})���, 
	    \begin{equation}
	     \omega_{i}^{3}
	      - k^{2} \omega_{i} 
	      - k
	      = (2n+1)\omega_{i}. \qquad i = 1,2,3 
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v4}
	    \end{equation}

	    \medskip
	    �弰���, ��ͭ�� $\omega$ ��,  3��¸�ߤ��뤳�Ȥ��Τ��Ƥ���.
	    ���� $\omega$ ��Ƴ�Ф�, \ref{sec-struct} ��ǹԤ�. ����,
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v2})����ͭ�ؿ� 
	    $\hat{v}_{n}$ �ϼ����ͤˤʤ�:

	    \begin{equation}
	     \hat{v}_{n}(y) 
	    = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{y^{2}}{2}\right) \label{vhat_n=n}
	    \end{equation}

	    \medskip
	    �ʲ��Ǥ�, ��ͭ�ؿ�(\ref{vhat_n=n})���Ѥ��� $\hat{u}_{n},
	    \hat{\Phi}_{n}$ �����. \\

	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u}),
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})���,

	    \begin{equation}
	     (\omega^{2}-k^{2})\hat{u}_{n} 
	      = i\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{n}, 
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u5}
	    \end{equation}
	    \begin{equation}
	     (\omega^{2}-k^{2})\hat{\Phi}_{n} 
	      = i\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right)\hat{v}_{n}.
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi5}
	    \end{equation}

	    \medskip
	    ����� $\hat{v}_{n}$ ����ʬ��¹Ԥ���� $\hat{u}_{n},
	    \hat{\Phi}_{n}$ �ϵ�ޤ뤬, �����ǤϤ��ʤ�. $\hat{v}_{n}$
	    ����ʬ��¹Ԥ��������, ����ߡ���¿�༰�ˤĤ��Ƥ���������
	    �Ѥ��뤳�Ȥˤ���. ������, �ʲ��ǤϤ�����ѷ���³����. 
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u5}),
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi5})���ա��β�
	    ����Ԥ���,

	    \begin{equation}
	     (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} + \hat{u}_{n}) 
	      = - i(k+\omega)\left(
			      \frac{\partial}{\partial y} - y
			     \right)\hat{v}_{n}, 
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u6}
	    \end{equation}
	    \begin{equation}
	     (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} - \hat{u}_{n}) 
	      =   i(k-\omega)\left(
			      \frac{\partial}{\partial y} + y
			     \right)\hat{v}_{n}.
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi6}
	    \end{equation}

	    \medskip
	    ������ $n\ge 1$ �ξ��, ����ߡ���¿�༰, ��ʪ��ؿ��Ϥ���
	    ����ʲ��δط�

	    \begin{equation}
	     H_{n+1}(y) - 2yH_{n}(y) + 2nH_{n-1} = 0 \quad (n\ge 1),
	    \end{equation}
	    \begin{equation}
	     D_{n+1}(y) - 2yD_{n}(y) + 2nD_{n-1} = 0 \quad (n\ge 1). 
	    \end{equation}

	    \medskip
	    ������������, ��ʪ��ؿ��ˤĤ��Ƥ�������

	    \begin{eqnarray}
	     \left(\frac{\partial}{\partial y} - y\right)D_{n} 
	      &=& \frac{\partial H_{n}}{\partial y}\exp
	                \left(
			 -\frac{y^{2}}{2}
		        \right) 
		  + D_{n}(-y) - yD_{n} \nonumber \\
	      &=& (2yH_{n} - H_{n+1})\exp
	                \left(
			 -\frac{y^{2}}{2}
		        \right) 
		  - 2yD_{n}            \nonumber \\
	      &=& -D_{n+1} \qquad (n\ge0),\\[2ex]
	          \left(\frac{\partial}{\partial y} + y\right)D_{n} 
	      &=& \frac{\partial H_{n}}{\partial y}\exp
	                \left(
			 -\frac{y^{2}}{2}
		        \right) 
		  + D_{n}(-y) + yD_{n} \nonumber \\
	      &=& (2yH_{n} - H_{n+1})\exp
	                \left(
			 -\frac{y^{2}}{2}
		        \right) \nonumber \\
	      &=& 2yD_{n}(y) - D_{n+1}(y) \qquad (n\ge 0) \nonumber \\
	      &=& 2nD_{n-1}(y) \qquad (n\ge 1),
	    \end{eqnarray}
	    ��Ȥ���, 

	    \begin{equation}
	     (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} + \hat{u}_{n}) 
	      = i(k+\omega)D_{n+1}, 
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u7}
	    \end{equation}
	    \begin{equation}
	     (\omega^{2}-k^{2})(\hat{\Phi}_{n} - \hat{u}_{n}) 
	      = i(k-\omega)2nD_{n-1}.
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi7}
	    \end{equation}

	    \medskip
	    ������, $n=1,2,3,\cdots.$ �Ǥ���. ������, $D_{n}\not\equiv0
            \quad (n\ge 0)$ 
	    �Ǥ��뤫��\footnote{$D_{n}=0$ �Ȥʤ�Τ�, $n$ ������ξ��� 
	    $y=0$ �Ȥʤ���(��)��ΤߤǤ���. �ʤ��ʤ�, $H_{n}$ �ϰ��̤�
	    \begin{eqnarray*}
	     H_{n}(y) &=& (2y)^{n}  - \frac{n(n-1)}{1!}(2y)^{n-2}           
                          + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}(2y)^{n-4} + \cdots \\
	     & &\quad\quad\quad\quad\quad\quad 
             +\left\{
	       \begin{array}{l}
		(-1)^{n/2}\displaystyle\frac{n!}{
		 \left(
		  \displaystyle\frac{1}{2}n
		 \right)!
		                                 }, \quad \mbox($n$ ~����), \\ 
		(-1)^{(n-1)/2}\displaystyle\frac{n!}{
		 \left(
		  \displaystyle\frac{1}{2}(n-1)
		 \right)!}2y, \quad \mbox($n$ ~���), \\
	       \end{array}
              \right.
	    \end{eqnarray*}
	    ��ɽ����, $n$ ������ξ��ˤ� $H_{n}(y)$ �γƹ�ˤ�ɬ�� $y$ 
	    �ΰ��Ҥ��ޤޤ�뤿��Ǥ���. ��ä����ΰ�� $D_{n}=0$ �Ȥʤ�
	    ���ȤϤʤ�($D_{n}\not\equiv0$). },
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u7})���
	    $\omega\not=k$,
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi7})���
	    $\omega\not=-k$ ������. �椨��,
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u7}),
	    (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi7})��ξ�դ� 
	    $(\omega^{2}-k^{2})$ �ǳ�뤳�Ȥ������, $n\ge 1$ �ξ��θ�
	    ͭ�ؿ��ϼ����ͤˤʤ�: 
	    \begin{eqnarray}
	     \hat{u}_{n} 
	      &=& \frac{i}{2}
	            \left(
		     \frac{1}{\omega-k}D_{n+1}+\frac{1}{\omega+k}2nD_{n-1}
		    \right), 
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u8} \\
	     \hat{v}_{n}
	      &=& D_{n}, 
	      \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v8} \\
	     \hat{\Phi}_{n}
	      &=& \frac{i}{2}
	            \left(
		     \frac{1}{\omega-k}D_{n+1}-\frac{1}{\omega+k}2nD_{n-1}
		    \right).
		    \label{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi8}
	    \end{eqnarray}
	    �� \ref{sec-struct} �ǾܽҤ��뤬, �������Ȥ����, ����
	    ���봷�������Ȥȥ����ӡ��ȤǤ���.
\end{description}

\subsubsection{\underline{\protect\ref{sec-eigen}.2 $\hat{v}=0$ �ξ��}}

$\hat{v}=0$ ��, (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v})�μ�����
�Ǥ���. $\hat{u},\hat{\Phi}$ �θ�ͭ�ؿ���ͤ���ˤ�,
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})���������Ϥ���äƹͻ���
��ɬ�פ�����. (\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-u})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-phi})�� $\hat{v}=0$ ��������
�Ƽ���������: 

\begin{equation}
 -i\omega \hat{u} = -ik\hat{\Phi} 
  \label{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u}
\end{equation}
\begin{equation}
 y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y}
  \label{equator-kelvin-nondim-eq-mode-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{\Phi} + \left(
		       ik\hat{u}
		      \right)
 = 0
  \label{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi}
\end{equation}

\medskip
(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})��
(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})���� 

\begin{equation}
 (\omega^{2}-k^{2})\hat{u} = 0,
\end{equation}
\begin{equation}
 (\omega^{2}-k^{2})\hat{\Phi} = 0.
\end{equation}

\medskip
�������ä�, ���������ľ��Ȥ��ưʲ��δط�������: 

\begin{equation}
 \omega = \pm k.
\end{equation}

\medskip
�ʲ��Ǥ�, ����줿��� $\omega=\pm k$ �� $\hat{v}=0$ ���Ѥ���, ������
��(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})�� 
 (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})�����ͭ�ؿ� 
 $\hat{u},\hat{\Phi}$ ��Ƴ�Ф��뤳�Ȥˤ���.

\begin{description}
 \item[\underline{a) $\omega = -k (\not=0)$ �ξ��}] ~\\

	    ���ξ��, (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})��
	    (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})��Ʊ�����Ȥʤ뤫��, 
\begin{equation}
 ik(\hat{u} + \hat{\Phi}) = 0,
\end{equation}

	    �椨��, 

\begin{equation}
 \hat{\Phi} = -\hat{u}
\end{equation}

	    �����(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-v})����������

\begin{equation}
 \left(\frac{\partial}{\partial y} - y\right)\hat{u} = 0. \label{solution-w=k}
\end{equation}

	    �椨��, (\ref{solution-w=k})�ΰ��̲��

\begin{equation}
 \hat{u} = Ae^{\frac{1}{2}y^{2}},
\end{equation}
%\begin{equation}
% \hat{v} = 0,
%\end{equation}
%\begin{equation}
% \hat{\Phi} = -e^{\frac{1}{2}y^{2}}.
%\end{equation}

	    \medskip
	    ($A$ ��Ǥ�����)�Ȥʤ�. �������(\ref{boundary-condition-y})
	    ���������褦�� $A(\not=0)$ ��¸�ߤ��ʤ�����, ��ä�
	    $\omega=-k$ �ξ��ˤϲ��¸�ߤ��ʤ�. 

 \item[\underline{b) $\omega = k$ �ξ��}] ~\\

	    ���ξ���(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-u})��
	    (\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-phi})��Ʊ�����Ȥʤ뤫��, 
$$
 ik(\hat{u} - \hat{\Phi}) = 0,
$$
	    ���ʤ��

\begin{equation}
 \hat{u} = \hat{\Phi}
\end{equation}

	    �����(\ref{equator-kelvin-nondim-eq-mode-v})����������

\begin{equation}
 \left(\frac{\partial}{\partial y} + y\right)\hat{u} = 0.
\end{equation}

	    �椨��, 

\begin{equation}
 \hat{u} = e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \label{kelvin-eq-nondim-u}
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{v} = 0, \label{kelvin-eq-nondim-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{\Phi} = e^{-\frac{1}{2}y^{2}}. \label{kelvin-eq-nondim-phi}
\end{equation}

	    \medskip
	    �Ȥʤ�, �����϶������(\ref{boundary-condition-y})��������
	    ��Ǥ���. ���줬 $\hat{v}\not=0$ ���� $n=0$ �ξ��˷礱�Ƥ�
	    ����Ǥ���. �� \ref{sec-struct} �ǾܽҤ��뤬, �����Ȥϥ����
	    ���ȤǤ���.
\end{description}

\subsubsection{\underline{\protect\ref{sec-eigen}.3 ��ͭ��, ��ͭ�ؿ��ΤޤȤ�}}

\ref{sec-eigen}.1 �η�̤�� $\hat{v}\not=0$ �ξ��ˤ�, $n=0$ �ΤȤ���
��2��, $n\ge 1$ �ΤȤ��ˤϲ��3������줿. $n=0$ �ξ��β�θĿ���1�ľ�
�ʤ��ʤäƤ��뤬, \ref{sec-eigen}.2 �η�̤�� $\hat{v}=0$ �Ȥ�������
��1������줿�Τ�, ��ο���3�Ĥ����ä�. �ʾ�, \ref{sec-eigen}.1 ��,
\ref{sec-eigen}.2 ��η��(��ͭ��, ��ͭ�ؿ�)��ޤȤ��Ȱʲ����ͤˤʤ�:\\

%��ͳ��(��ͭ�� $\omega$ �ο�)�� 3�ĳ��ݤǤ���. ����ޤǤ� $n\ge 0$ �ȹͤ�
%�Ƥ�����, \ref{sec-eigen}.2 �������줿��ͭ�� $\omega=k$ ��,
%(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-mode-v-v3})�ˤ����� $n=-1$ �Ȥ���
%�з���Ū��������. ��ä� $D_{-1}=D_{-2}=0$ ���뤳�Ȥ�,
%\ref{sec-eigen}.1 ��, \ref{sec-eigen}.2 ��η�̤�, ����Ū��ɽ�����. ��
%�ޤ�, $n=0, k=-\omega$ �����������줿��ͭ�ؿ�
%(\ref{kelvin-eq-nondim-u})�� (\ref{kelvin-eq-nondim-phi})��, $n=-1$ �Ȥ�
%�������б�����.  �ʾ�, $x,t$ �ΰ�¸����ޤ�� \ref{sec-eigen}.1 ��,
%\ref{sec-eigen}.2 ��η��(��ͭ��, ��ͭ�ؿ�\footnote{ͭ�����ϤǤ� 
%$u(x,y,t),v(x,y,t),\phi(x,y,t)$ �η����ϼ����ͤˤʤ�:
%\begin{eqnarray*}
% u(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}}
%            \left(
%              \omega y H_{n}(y) \exp
%	      \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	      \right) \right. \nonumber\\
%          && \left.
%        ~- k \left[
%	    \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp
%	     \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	     \right)
%	      - \frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp
%	     \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	     \right)
%	    \right]            
%	    \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\
% v(x,y,t) &=& H_{n}(y) \exp
%            \left(
%	    -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	    \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\
% \phi(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}}
%            \left(
%              k y H_{n}(y) \exp
%	      \left(
%	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%	      \right) \right. \nonumber\\
%          && \left.
%        ~- \omega \left[
%	          \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp
%		  \left(
%		  -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%		  \right)
%		  -\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp
%		  \left(
%		  -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
%		  \right)
%		 \right]            
%	    \right) e^{i(kx-\omega t)}
%\end{eqnarray*}
%})��ޤȤ��Ȱʲ����ͤˤʤ�:

$\hat{v}\not=0$ �β�: \\
\begin{equation}
~~~~~~~~n=0~~~\left\{
 \begin{array}{l}
  \omega_{i}    = \displaystyle\frac{k\pm\sqrt{k^{2}+4}}{2}, \qquad (i=1,2) \\[2ex]
  \hat{u}(y)    = \displaystyle\frac{i}{\omega_{i}-k}y H_{0}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\[3ex]
  \hat{v}(y)    = H_{0}e^{-\frac{1}{2}y^{2}},  \\[2ex]
  \hat{\Phi}(y) = \displaystyle\frac{i}{\omega_{i}-k}y H_{0}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
 \end{array}
\right.  \label{solution_vnot=0_n=0}
\end{equation}

\medskip
\begin{equation}
~~~n\ge 1~~~\left\{
 \begin{array}{l}
  \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad (i = 1,2,3)\\[2ex]
  \hat{u}(y)    = \displaystyle\frac{i}{2}
	            \left(
		     \displaystyle\frac{1}{\omega_{i}-k}H_{n+1}+\displaystyle\frac{1}{\omega_{i}+k}2n H_{n-1}
		    \right)e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\[3ex]
  \hat{v}(y)    = H_{n}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\[2ex]
  \hat{\Phi}(y) = \displaystyle\frac{i}{2}
	            \left(
		     \displaystyle\frac{1}{\omega_{i}-k}H_{n+1}-\displaystyle\frac{1}{\omega_{i}+k}2n H_{n-1}
		    \right)e^{-\frac{1}{2}y^{2}}.
 \end{array}
\right.  \label{solution_vnot=0_n=1}
\end{equation}

\medskip
$\hat{v}=0$ �β�: \\
\begin{equation}
~~~~~~~~~~~~~~~~\left\{
 \begin{array}{l}
  \omega        = k, \\[2ex]
  \hat{u}(y)    = e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\[2ex]
  \hat{v}(y)    = 0, \\[2ex]
  \hat{\Phi}(y) = e^{-\frac{1}{2}y^{2}}.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
 \end{array}
\right.  \label{solution_v=0}
\end{equation}


%\begin{equation}
% u(x,y,t)    = \frac{i}{2}\left(D_{n+1}+\frac{\omega_{i}-k}{\omega_{i}+k}2nD_{n-1}\right)e^{i(kx-\omega_{i} t)}, 
%  \label{eq-wave-struct-nondim2-eq1}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% v(x,y,t)    = (\omega_{i}-k)D_{n}(y)e^{i(kx-\omega_{i} t)}, 
%  \label{eq-wave-struct-nondim2-eq2}
%\end{equation}
%\begin{equation}
% \Phi(x,y,t) = \frac{i}{2}\left(D_{n+1}-\frac{\omega_{i}-k}{\omega_{i}+k}2nD_{n-1}\right)e^{i(kx-\omega_{i} t)}.
%  \label{eq-wave-struct-nondim2-eq3}
%\end{equation}

\bigskip
������ $\hat{v}=0$ �θ�ͭ�� $\omega = k$ ��, $n\ge 1$ �ξ��θ�ͭ������
���ˤ�����$n=-1$ �Ȥ����������. ����, $\hat{v}=0$ �ξ��θ�ͭ�ؿ���,
$n\ge 1$ �ξ��θ�ͭ�ؿ���ɽ�����ˤ����� $n=-1$ ��������
$H_{-1}=H_{-2}=0$ ����������, $(i/2)H_{0}/(\omega_{i}-k)\sim 1$ �ȹͤ�
�뤳�Ȥ� $\hat{v}=0$ �ξ���Ʊ�ͤμ���������. ��ä�, $\hat{v}=0$ ��
������Ū�� $n=-1$ �ξ���������뤳�Ȥˤ���.\\

(\ref{solution_vnot=0_n=0}), (\ref{solution_vnot=0_n=1})���,
$\hat{u}$ �� $\hat{\Phi}$ ��Ʊ����δط��ˤ���. �ޤ�, $n=-1$ �Ǥʤ����ˤ�,
$\hat{v}$ �� $\hat{u}, \hat{\Phi}$ �� $\pi/2$ �������꤬�ۤʤäƤ��뤳��
��ʬ����\footnote{����ӥ��Ȥ��б����� $n=-1$ �ξ��ˤ�, $\hat{v}$ �Ͼ�
�� 0 �Ǥ��뤫��, $\hat{v}$ �� $\hat{u}, \hat{\Phi}$ �δ֤ΰ���ط���ͤ�
�뤳�ȼ��ΰ�̣��̵��.}. 

%$n$���ϰϤȸ�ͭ�� $\omega_{i}$($i=1,2,3$) ��Ϳ����ʬ���ط��ϰʲ����̤�Ǥ���: 
%
%\begin{equation}
% \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge -1) \label{equatorial-wave-nondim-bunsan}
%\end{equation}
%
%\medskip
%������, 
%
%\begin{equation}
%\left\{
% \begin{array}{l}
%  n=  -1 ~~\mbox{:}~~\omega_{i} = k, ~(i=1) \\[2ex]
%  n=   0 ~~\mbox{:}~~\omega_{i} = (k\pm\sqrt{k^{2}+4})/2, ~(i=2,3) \\[2ex]
%  n\ge 1 ~~\mbox{:}~~ \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1).  ~(i = 1,2,3)
% \end{array}
%\right.  \label{equatorial-wave-nondim-bunsan}
%\end{equation}

\newpage

\section{��ƻ�Ȥ�ʬ���ط����ȿ�ʿ��¤}\label{sec-struct}

����Ǥ�����η�̤˴�Ť�����ƻ�Ȥ�ʬ���Ԥ�, ��ͭ�ؿ�
(\ref{solution_v=0})��(\ref{solution_vnot=0_n=1})��
Ϳ�������ʿ��¤����ƥ⡼�ɤ������Ԥ�.

%$$
% \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge -1) \eqno(\mbox{\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan}})
%$$

\subsection{$n=-1$ �ξ��}

���ξ��(\ref{solution_v=0})���, ʬ���ط�����

\begin{equation}
 \omega = k \label{equator-kelvin-bunsan-nondim}
\end{equation}

\medskip
�Ǥ���. ���ο�ư�����Ѥ��Ƹ�ͭ�ؿ�(\ref{solution_v=0})��޼�����ȼ�����
�ˤʤ�:

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[6.3cm]{ps/nk1_kelvin-w-rc.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{��ƻ����ӥ��Ȥΰ��Ͼ��®�پ��ʬ��($k=1,\omega=1$).} \label{kelvin-pic}
\end{figure}

\medskip
�����Ȥ���ƻ���ɤ��б�����������, �ɤ˱�ä����Ť��륱��ӥ��Ȥ�Ʊ����
¤�򤷤Ƥ���, {\bf ��ƻ����ӥ���}�ȸƤФ��. 


\subsection{$n=0$ �ξ��}\label{sec-n=0}

���ξ��(\ref{solution_vnot=0_n=0})���, ʬ���ط�����

\begin{equation}
 \omega = \frac{k\pm\sqrt{k^{2}+4}}{2}. 
 \label{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0}
\end{equation}

\medskip
�������ä�, ���ξ����ʤ����Ȥ����ʤ����Ȥ�¸�ߤ��뤳�Ȥ��狼��. ���ο�
ư�����Ѥ����, ���줾����Ȥθ�ͭ�ؿ�(\ref{solution_vnot=0_n=0})�Ͽ�
\ref{inertio-gw-pic-n=0}, \ref{mixed-rossby-pic}���ͤˤʤ�.

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \vspace*{-4mm}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-east-rc.ps}
 \end{center}
 \vspace{-7mm} 
\caption{$n=0$ ����ʤ����Ȥΰ��Ͼ��®�پ��ʬ��
 ($k=0.5, \omega=2.56$).} \label{inertio-gw-pic-n=0}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \vspace*{-4mm}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-west-rc.ps}
 \end{center}
 \vspace{-7mm} 
\caption{$n=0$ �����ʤ����Ȥΰ��Ͼ��®�پ��ʬ��
 ($k=0.5, \omega=-1.56$).} \label{mixed-rossby-pic}
\end{figure}

��ʤ����Ȥ�����, ®�پ�μ�«ȯ���ˤ��������Ť��빽¤�򤷤Ƥ���
(\ref{sec-denpa}�Ỳ��), {\bf ����������}�ȸƤФ�Ƥ���. ����, ���ʤ���
%�Ȥ�®�پ��, ��ʤ����Ȥ�Ʊ��, ®�پ�μ�«ȯ���ˤ��������¤��빽¤��
%���Ƥ������, ����٤Ǥ��Ͼ�ήŪ�Ǥ���, ��ƻ�ն�Ǥ����Ϲ���Ū��ή���
%��. ���Τ���, ®�پ�μ�«ȯ�������Ǥʤ�, ����٤Ǥ��ä��������٤����̷�
%�٤˱��������б��٤��Ѳ��ˤ�ä�, ����ʬ�ۤ���ޤäƤ���. ���Τ褦��, ��
%�ʤ���
�Ȥˤ� \ref{sec-denpa} ��ǾܽҤ���褦�˽�����Ū�������ȥ����ӡ���Ū��
������¸�ߤ���. ���Τ褦����ħ����, ���ʤ����Ȥ�����{\bf ��������ӡ���
����}�ȸƤФ�Ƥ���. �������ä�, $n=0$ �Υ⡼�ɤϤޤȤ�� {\bf �������
�ӡ������ȤΥ⡼��}�ȸƤФ�Ƥ���.

\subsection{$n\ge 1$ �ξ��}

���ξ��(\ref{solution_vnot=0_n=1})���, ʬ���ط����ϰʲ����ͤˤʤ�: 

\begin{equation}
 \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge -1) \label{equatorial-wave-nondim-bunsan}
\end{equation}


\medskip
(\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})��, �ѿ� $n$ ��ޤ������Ū�� 3��
�������Ǥ��긷̩��Ȥ��Ƹ�ͭ�� $\omega$ �� 3��¸�ߤ��뤬, �ʲ��Ǥ�
$\omega$ ���羮�ˤ�äƤ���� 3�Ĥθ�ͭ�ͤ���Ū�˼��Ф���ˡ�򼨤�
\footnote{��̩���, \ref{eigen-value-genmitsu-solution}���Ƴ�Ф���}. 

\subsubsection{�� �礭�� \protect $\omega$ (����Ȥ���ư)����Ф����}

��ʬ�礭�� $\omega$ �����, (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})�ˤ�
����, �����軰�ब̵��Ǥ���. �������äưʲ���ʬ���ط���������:

$$
 \omega^{2} \simeq k^{2} + 2n+1, 
$$
\begin{equation}
 \omega \simeq \pm \sqrt{k^{2}+2n+1}. \label{eq-inertio-gw-bunsan-nondim}
\end{equation}

\medskip
�����, $f$ ʿ�̤ˤ�Ƴ�Ф���(\ref{inertio-gw-bunsan2})��Ʊ�ͤη��򤷤Ƥ�
��, ��ƻ��Ǥδ��������Ȥο�ư���Ǥ���. ���ο�ư�����Ѥ����, ��ͭ�ؿ�
(\ref{solution_vnot=0_n=1})�Ͽ�\ref{inertio-gw-pic}(����: ���, ����: ��
��)���ͤˤʤ�.

\subsubsection{�� ������ \protect $\omega$ (����Ȥ���ư)����Ф����}

���ξ���, �����Ȥο�ư�����⾮������ư�����������Ȥ���ư���б�����
\footnote{̵�������κݤ˽����Ȥμ����� 1 �Ȥ��Ƥ��뤳�Ȥ�����.}. ��ʬ��
���� $\omega$ �����, (\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})�ˤ�����, 
�������ब̵��Ǥ���. �������äưʲ���ʬ���ط���������:

\begin{equation}
 \omega = \frac{-k}{k^{2}+2n+1}. \label{eq-rossby-bunsan-nondim}
\end{equation}

\medskip
�����, $f$ ʿ�̤ˤ�Ƴ�Ф���(\ref{rossby-wave-bunsan})��Ʊ�ͤη��򤷤Ƥ�
��, ��ƻ��ǤΥ����ӡ���({\bf ��ƻ�����ӡ���})�ο�ư���Ǥ���. ���ο�ư��
���Ѥ����, ��ͭ�ؿ�(\ref{solution_vnot=0_n=1})�Ͽ�\ref{rossby-pic} ����
�ˤʤ�.

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
% \vspace*{-6mm}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k1_ro-w-rc.ps}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k1_ro-w-rc.ps}
 \end{center}
 \vspace{-7mm} 
\caption{��ƻ�����ӡ��Ȥΰ��Ͼ��®�پ��ʬ��($k=1$). ����: $n=1, \omega=-0.25$, ����: $n=2, \omega=-0.17$.} \label{rossby-pic}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
 \vspace*{3cm}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-east-rc.ps}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-west-rc.ps}
 \end{center}
 \begin{center}
 \vspace*{-3mm}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-east-rc.ps}
  \Depsf[6.3cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-west-rc.ps}
 \end{center}
 \vspace{-7mm} 
\caption{���Ͼ��®�پ��ʬ��($k=0.5$). ����: ��ʴ���������, ����:
 ���ʴ���������. ���ʤ��� $n=1$ (���� $\omega=1.80$, ����
 $\omega=-1.80$), $n=2$ (���� $\omega=2.29$, ���� $\omega=-2.29$).} \label{inertio-gw-pic}
\end{figure}

%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%                 \Depsf[10cm]{ps/n0_k1_ro-w-rc.ps}
% \end{center}
% \begin{center}
%                 \Depsf[10cm]{ps/n1_k1_ro-w-rc.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{��ƻ�����ӡ��Ȥΰ��Ͼ��®�پ��ʬ��($k=1$). ���ʤ��� $n=0, 1$ �Υ⡼��.} \label{rossby-pic}
%\end{figure}
%
%\vspace{-5mm}
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
% \hspace*{-0.5cm}\Depsf[8.5cm]{ps/n2_k1_ro-w-rc.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{��ƻ�����ӡ��Ȥΰ��Ͼ��®�پ��ʬ��($k=1$). $n=2$ �Υ⡼��.} \label{rossby-pic2}
%\end{figure}

�ʾ�, ����ޤǤ�ʬ���ط�, ����®�٤�ޤȤ���, ��\ref{eq-bunsan-line}, \ref{eq-phase-line}���ͤˤʤ�. 

\vspace*{-30mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \hspace*{-1.0cm}\Depsf[18cm]{ps/eq-bunsan-mergincut.ps}
%  \hspace*{-2cm}\Depsf[19.5cm]{ps/eq-bunsan.ps}
 \end{center}
 \vspace{-20mm} 
\caption{��ƻ�Ȥ�ʬ��������������(\protect$-1\le n \le 3$). ��٥�̵����
 ������ƻ����ӥ���(\protect\ref{equator-kelvin-bunsan-nondim})��, ���
 ��ͭ����������, ���ʴ���������
 (\protect\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim})��, ��������ʴ���������
 (\protect\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0})��, ��������ƻ�����ӡ���
 (\protect\ref{eq-rossby-bunsan-nondim})��, ���������Ϻ�������ӡ�������
 (\protect\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0})����ʬ��������ɽ��. �ä� 
 $n=0$ �ζ�����, �ޤȤ�ƺ�������ӡ������ȤΥ⡼�ɤȸƤФ�Ƥ���.}
 \label{eq-bunsan-line}
\end{figure}
\vspace*{-10mm}
\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \hspace*{-1.0cm}\Depsf[18cm]{ps/eq-phase-mergincut.ps}
%  \hspace*{-2cm}\Depsf[19.5cm]{ps/eq-bunsan.ps}
 \end{center}
 \vspace{-20mm} 
\caption{��ƻ�Ȥΰ���®�٤�������. �������Ȥ��б��Ͽ�\protect\ref{eq-bunsan-line}��Ʊ��. ��٥�̵��������(\protect\ref{eq-kelvin-phase})��, ��٥�ͭ�����
 ��(\protect\ref{eq-inertio-gw-phase})���� $n\not=0$ �ξ��, ������
 (\protect\ref{eq-inertio-gw-phase})���� $n=0$ �ξ��, ������
 (\protect\ref{eq-rossby-phase})��, ����������
 (\protect\ref{eq-mixed-rossby-gw-phase})���ΰ���®�٤�ɽ��. }\label{eq-phase-line}
\end{figure}

\subsection{\protect$n\ge 1$ �ξ���ʬ���ط����θ�̩��(��Ͽ)\protect\footnote{���η�̤�����ޤǤζ����Ȥ��������Ϥޤ��Ȥ�Ƥ��ʤ�. ���ϤȤꤢ�������ξ��֤ǥΡ��ȤˤȤɤ�Ƥ�
 ��(2001/06/08).}}\label{eigen-value-genmitsu-solution}

����Ǥ�3���������β�ˡ�ݥ�����Ρ����륿�ꥢ�β�ˡ���Ѥ���,
(\ref{equatorial-wave-nondim-bunsan})�θ�̩���Ƴ�Ф���. 

$$
 \omega_{i}^{3} - \omega_{i}k^{2} - k = \omega_{i}(2n+1), \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge 1)
$$

\medskip
���, 

$$
 \omega_{i}^{3} - (k^{2}+2n+1)\omega_{i} - k = 0. \qquad i = 1,2,3 ~~(n\ge 1) \eqno(\mbox{A.1})
$$

\medskip
������ $\omega = \alpha + \beta$ �Ȥ�����, $\omega^{3}$ �η׻���̤���
����������: 

$$
 \omega^{3}-3\alpha\beta\omega - (\alpha^{3}+\beta^{3}) = 0 \eqno(\mbox{A.2})
$$

\medskip
(A.1)��(A.2)����Ӥ���

$$
 3\alpha\beta = k^{2} + 2n + 1 \quad \rightarrow \quad
  \alpha^{3}\beta^{3} = \frac{\left(k^{2} + 2n + 1\right)^{3}}{27},
$$
$$
 \alpha^{3}+\beta^{3} = k.
$$

\medskip
������ $\alpha^{3}, \beta^{3}$ �ϼ���2���������β�Ǥ���: 

\begin{equation}
 A^{2} - kA + \frac{\left(k^{2} + 2n + 1\right)^{3}}{27} = 0
\end{equation}


\medskip
�椨��,
\begin{eqnarray}
 A &=& \frac{k \pm \sqrt{k^{2}-\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}}}{2}. \nonumber
\end{eqnarray}
������, ���� $\sqrt{~~~}$ �����,

\begin{equation}
 k^{2}-\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3} 
  = -\frac{4}{27}k^{6}
      -\frac{12}{27}k^{4}(2n+1)
      -\frac{4}{27}k^{2}
                        \underbrace{
                        \left\{
			 (2n)^{2} + 4n -\frac{5}{4}
                        \right\}
			}_{n\ge 1 �ξ��ɬ��������}
      -\frac{12}{27}(2n+1)^{3} 
  < 0
\end{equation}

\medskip
�Ȥʤ�, $n\ge 1$ �ξ��ˤ�ɬ����Ȥʤ�. ��ä�, 

\begin{eqnarray}
 A &=& \frac{k \pm i\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{2}, \nonumber \\
   &=& ae^{\pm i\theta}. \qquad \mbox{($a$:�¿�)�Ȥ���.} \label{equation-of-A}
\end{eqnarray}

\medskip
��ä�, 
$$
 \alpha^{3} = ae^{i\theta},
$$
$$
 \beta^{3}  = ae^{-i\theta}.
$$

������, ���̤�

$$
 x^{3}-\gamma = (x-\gamma^{1/3})(x^{2}+\gamma^{1/3}x+\gamma^{2/3})=0,
\qquad \mbox{���} \qquad
 x = \gamma^{1/3}, \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\gamma^{1/3}
$$

\medskip
�Ǥ��뤫��, 
\begin{eqnarray}
 \alpha &=& a^{\frac{1}{3}}e^{\frac{1}{3}i\theta}, \quad \displaystyle\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{\frac{1}{3}i\theta} \nonumber \\
        &=& \left\{
	     \begin{array}{l}
	       a^{\frac{1}{3}}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} + i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex]
	       a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} + i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex]
	       a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} + i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}).
	     \end{array}
\right. \nonumber \\   
        &=& \left\{
	     \begin{array}{l}
	       a^{\frac{1}{3}}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} + i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex]
	       \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}\left\{
			       -\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       -\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       +i\left(
			          -\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
				  +\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				 \right)
                               \right\}, \\[2ex]
	       \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}\left\{
			       -\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       +\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       +i\left(
			          -\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
				  -\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				 \right)
                               \right\}.
	     \end{array}
\right.
 \end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
 \beta &=& a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta}, \quad \displaystyle\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta} \nonumber \\
        &=& \left\{
	     \begin{array}{l}
	       a^{\frac{1}{3}}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} - i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex]
	       a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} - i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex]
	       a^{\frac{1}{3}}\displaystyle\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} - i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}).
	     \end{array}
\right. \nonumber \\   
        &=& \left\{
	     \begin{array}{l}
	       a^{\frac{1}{3}}(\cos \displaystyle\frac{\theta}{3} - i\sin \displaystyle\frac{\theta}{3}), \\[2ex]
	       \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}\left\{
			       -\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       +\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       +i\left(
			           \sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
				  +\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				 \right)
                               \right\}, \\[2ex]
	       \displaystyle\frac{a^{\frac{1}{3}}}{2}\left\{
			       -\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       -\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       +i\left(
			           \sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
				  -\sqrt{3}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				 \right)
                               \right\}.
	     \end{array}
\right.
 \end{eqnarray}
�Ȥʤ�. $\omega = \alpha + \beta$ �Ǥ��뤫��, $\alpha + \beta$ ���¿���
�ʤ��ȹ礻\footnote{��ͭ�⡼��(��Ω��)�����Τ�����, ��ͭ�ͤε����� 0
�Ǥ���.} ~$(\alpha + \beta)_{1} = \omega_{1}$, $(\alpha + \beta)_{2} =
\omega_{2}$, $(\alpha + \beta)_{3} = \omega_{3}$ �����ȸ�̩������
���:  
\begin{eqnarray}
 \omega_{1} &=& (\alpha + \beta)_{1} 
             =   a^{\frac{1}{3}}e^{ \frac{1}{3}i\theta}
	       + a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta} 
	       \nonumber\\
            &=& 2a^{\frac{1}{3}}\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}, \label{riron-omega1}\\
 \omega_{2} &=& (\alpha + \beta)_{2} 
             =   \displaystyle\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{ \frac{1}{3}i\theta}
	       + \displaystyle\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta}
	       \nonumber\\
            &=& a^{\frac{1}{3}}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				-\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right), \label{riron-omega2}\\
 \omega_{3} &=& (\alpha + \beta)_{3} 
             =   \displaystyle\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{ \frac{1}{3}i\theta}
	       + \displaystyle\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}}e^{-\frac{1}{3}i\theta}
	       \nonumber\\
            &=& a^{\frac{1}{3}}\left(
				-\cos\displaystyle\frac{\theta}{3}
				+\sqrt{3}\sin\displaystyle\frac{\theta}{3}
			       \right),\label{riron-omega3}
\end{eqnarray}
������, $a,\theta$ ��(\ref{equation-of-A})��꼡����������: 

\begin{equation}
 a\cos\theta = \frac{k}{2},
\end{equation}
\begin{equation}
 a\sin\theta = \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{2}.
\end{equation}

\medskip
��ä�, 

\begin{equation}
 a^{2} = \left(
	  \frac{k}{2}
	 \right)^{2} 
       + \frac{1}{4}\left(
		     \frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3} - k^{2}
		    \right)
       = \frac{1}{27}(k^{2}+2n+1)^{3},
\end{equation}
\begin{equation}
 \tan\theta = \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k}.
\end{equation}

\medskip
�椨��, 

\begin{equation}
 a^{\frac{1}{3}}  = \sqrt{\frac{1}{3}(k^{2}+2n+1)},
\end{equation}
\begin{equation}
 \frac{\theta}{3} = \frac{1}{3}\left(
				\tan^{-1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3}-k^{2}}}{k} + l\pi
			       \right)
\end{equation}

\medskip
(������, $l$ ��Ǥ�դ����). ���� $a^{\frac{1}{3}}$ �� $\frac{\theta}{3}$
��(\ref{riron-omega1})��(\ref{riron-omega3})������������ɤ�. 

\newpage

\section{��ƻ�Ȥο�ʿ���ŤΥᥫ�˥���}\label{sec-denpa}

����Ǥ�, ����ޤǤη�̤��Ȥ���ƻ�Ȥο�ʿ���ŤΥᥫ�˥����ޤȤ��. 

\subsection{���������Ȥο�ʿ���ŤΥᥫ�˥���}

\ref{eq-bunsan-sec} ��η�̤�괷�������Ȥο�ư�� $\omega$, ����®�� 
$c$ ��ޤȤ��ȼ����ͤˤʤ�:\footnote{ͭ�����Ϥ�ɽ�������, ��������
�Ȥο�ư��, ����®�٤ϼ����ͤˤʤ�: 
$$ \qquad~~~~~~~\omega =\left\{
\begin{array}{l}
 \displaystyle\frac{1}{2}\left(
			  k\sqrt{gH} + \displaystyle\sqrt{
		          k^{2}gH   + 4\beta\sqrt{gH} }
			 \right)
\qquad(\mbox{for} ~n=0) \\[2ex]
 \pm \sqrt{k^{2}gH+\beta\sqrt{gH}(2n+1)} \qquad\qquad ~~(\mbox{for}
 ~n\not=0) 
\end{array}
\right.
$$
$$
\qquad\qquad c = \left\{
\begin{array}{l}
 \displaystyle\frac{1}{2}\left(
			  \sqrt{gH} + \displaystyle\sqrt{
		          gH   + \displaystyle\frac{4\beta\sqrt{gH}}{k^{2}} }
			 \right)
\qquad ~~~~~(\mbox{for} ~n=0) \\[3ex]
 \pm \sqrt{gH+\displaystyle\frac{\beta\sqrt{gH}(2n+1)}{k^{2}}}\qquad\qquad ~~~~~~(\mbox{for} ~n\not=0)
\end{array}
\right.
$$
} 

$$ \qquad\qquad\qquad~~~~~~~~~~~~\omega =\left\{
\begin{array}{l}
 \displaystyle\frac{k+\sqrt{k^{2}+4}}{2}\qquad\qquad\qquad~~(\mbox{for} ~n=0)\qquad\qquad\qquad~~(\mbox{\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0}}) \\[2ex]
 \pm \sqrt{k^{2}+2n+1} \qquad\qquad ~~~~~(\mbox{for}
 ~n\ge 1) \qquad\qquad\qquad~~(\mbox{\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim}})
\end{array}
\right.
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad c = \left\{
\begin{array}{l}
 \displaystyle\frac{1}{2}\left(
			  1 + \displaystyle\sqrt{
		          1 + \displaystyle\frac{4}{k^{2}} }
			 \right)
\qquad ~~~~~~~(\mbox{for} ~n=0) \\[3ex]
 \pm \sqrt{1+\displaystyle\frac{2n+1}{k^{2}}}\qquad\qquad ~~~~~~(\mbox{for} ~n\ge 1)
\end{array}
\right. \label{eq-inertio-gw-phase}
\end{equation} 

\medskip
(\ref{eq-inertio-gw-phase})���, ���������Ȥ���ʤ����Τ����ʤ�����
��¸�ߤ���($n=0$ �Ǥ���ʤ����ΤΤ�\footnote{$n=0$ �Υ⡼�ɤϰ��̤˺�
������ӡ������ȤΥ⡼�ɤ�ʬ�व��Ƥ��뤬, �����Ǥ�, $\omega >0$ ������
��ʴ��������ȤΥ⡼��, $\omega <0$ �����򺮹�����ӡ������ȤΥ⡼�ɤ�ʬ
�ष�ƥᥫ�˥���ε��Ҥ�Ԥ�.}). 
�ʲ��Ǥ�, $u,v,\Phi$ �ΰ������¤Υᥫ�˥�������餫�ˤ��뤿��, ��������
����(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})

$$ 
\frac{\partial u}{\partial t} = y v
-\frac{\partial\Phi}{\partial x},
\eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3}}) $$ $$ \frac{\partial
v}{\partial t} = - y u -\frac{\partial\Phi}{\partial y},
\eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-v3}}) $$ $$ \frac{\partial
\Phi}{\partial t} = - \left( \frac{\partial u}{\partial x} +
\frac{\partial v}{\partial y} \right),
\eqno(\mbox{\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3}}) 
$$ 

\medskip 
����ä�, �ƹ�ΰ���ط������餫�ˤ���. �ʲ��ǤϤ��줾��ι��⡼��Ÿ��
�������\footnote{(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�Υ⡼��Ÿ����
\ref{mode-expansion} ��ˤޤȤ᤿.}���Ѥ��ƹͻ�����. 

\subsubsection{�� \protect $n=0$ ����ʴ���������}

�Ϥ���� $n=0$ �ξ��δ��������Ȥ�(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�Τ��줾��ι�ο�ʿʬ�ۤ��
���˼���. �ޤϰʲ��ι����Τ�Ⱥ�������:

\medskip
{\tiny
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{description}
 \item[\underline{(1) \protect $k=0$ �ξ��}] ~\\

	    $k=0$ �ξ���, (\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0})���
	    $\omega=1=\beta$ �Ȥʤ뤫��, ���Υ⡼�ɤϴ�����ư�Ǥ���. ��
	    �δ�����ư����ħ��Ȥ館�뤿��, �ʲ��Ǥϲ�ž����®�٥٥��ȥ�
	    �θ����ˤ�äƾ��ʬ����Ԥ�, ������ħ��ޤȤ��. 

	    \begin{description}
	     \item[\underline{��Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颪�ΤȤ�}] ~\\

	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=0.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颪�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư���������λ����Ѳ�( $\partial u
			/\partial t$ )���礭����, ���ꥪ����( $yv$ )����
			�����Ƿ�ޤ�, �������˰ͤä����������ꥪ���Ϥ���
			�������������Ƥ���. �ޤ�, ����Ⱦ��ǵ�������. 
			�����礭���ϻ��֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®��
			������Ȥʤ����{\bf 0} �Ȥʤ�.  \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=0.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颪�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư���������λ����Ѳ�( $\partial v
			/\partial t$ )���礭����, ����٤Ǥϰ��Ϸ�����(
			$-\partial\Phi / \partial y$)�ˤ�äƷ�ޤäƤ�
			��, ����٤Ǥϥ��ꥪ����( $-yu$ )���礭���Ȱ���
			�����Ϥ��礭�����껦����ʬ�ۤȤʤäƤ���. �Ĥޤ�,
			��ƻ������夬�ä����پ�ˤ���������β�®�٤�ȯ
			�����Ƥ���. $\partial v/\partial t$ ���礭���ϻ�
			�֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®�٤� 0 �Ȥʤ��
			��{\bf ������}����. \\ 

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=0.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颪�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư�Υ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�(
			$\partial\Phi /\partial t$ )���礭����, ��������
			��«ȯ��( $-\partial v/\partial y$ )���礭���Ƿ�
			�ޤ�(������Ū�ʹ�¤�򤷤Ƥ���). �ޤ�, ����Ⱦ���
			��������. �����礭�����������λ����Ѳ���Ʊ��
			���ƻ��֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®�٤� 0 (��
			����������)�Ȥʤ����{\bf 0} �Ȥʤ�.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.0, t=0.5$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=0.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

	    \begin{description}
	     \item[\underline{��Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颭�ΤȤ�}] ~\\

	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颭�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư���������λ����Ѳ�( $\partial u
			/\partial t$ )���礭����, ���ꥪ����( $yv$ )����
			�����Ƿ�ޤ�, �������˰ͤä����������ꥪ���Ϥ���
			�������������Ƥ���. �ޤ�, ����Ⱦ��ǵ�������. 
			�����礭���ϻ��֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®��
			�� 0 �Ȥʤ����{\bf ������}����.  \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颭�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư���������λ����Ѳ�( $\partial v
			/\partial t$ )���礭����, ����٤Ǥϰ��Ϸ�����(
			$-\partial\Phi / \partial y$)�ˤ�äƷ�ޤäƤ�
			��, ����٤Ǥϥ��ꥪ����( $-yu$ )���礭���Ȱ���
			�����Ϥ��礭�����껦����ʬ�ۤȤʤäƤ���. �Ĥޤ�,
			��ƻ������夬�ä����پ�ˤ���������β�®�٤�ȯ
			�����Ƥ���. $\partial v/\partial t$ ���礭���ϻ�
			�֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®�٤��Ǿ��Ȥʤ��
			��{\bf 0}����. \\ 

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颭�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư�Υ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�(
			$\partial\Phi /\partial t$ )���礭����, ��������
			��«ȯ��( $-\partial v/\partial y$ )���礭���Ƿ�
			�ޤ�(������Ū�ʹ�¤�򤷤Ƥ���). �ޤ�, ����Ⱦ���
			��������. �����礭�����������λ����Ѳ���Ʊ��
			���ƻ��֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®�٤��Ǿ�
			(�������� 0)�Ȥʤ����{\bf ������}����.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.0, t=2.5$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=2.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

	    \begin{description}
	     \item[\underline{��Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颫�ΤȤ�}] ~\\

	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颫�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư���������λ����Ѳ�( $\partial u
			/\partial t$ )���礭����, ���ꥪ����( $yv$ )����
			�����Ƿ�ޤ�, �������˰ͤä����������ꥪ���Ϥ���
			�������������Ƥ���. �ޤ�, ����Ⱦ��ǵ�������. 
			�����礭���ϻ��֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®��
			���Ǿ��Ȥʤ���� {\bf 0} �Ȥʤ�.  \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颫�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư���������λ����Ѳ�( $\partial v
			/\partial t$ )���礭����, ����٤Ǥϰ��Ϸ�����(
			$-\partial\Phi / \partial y$)�ˤ�äƷ�ޤäƤ�
			��, ����٤Ǥϥ��ꥪ����( $-yu$ )���礭���Ȱ���
			�����Ϥ��礭�����껦����ʬ�ۤȤʤäƤ���. �Ĥޤ�,
			��ƻ������夬�ä����پ�ˤ���������β�®�٤�ȯ
			�����Ƥ���. $\partial v/\partial t$ ���礭���ϻ�
			�֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®�٤� 0 �Ȥʤ��
			��{\bf ������}����. \\ 

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颫�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư�Υ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�(
			$\partial\Phi /\partial t$ )���礭����, ��������
			��«ȯ��( $-\partial v/\partial y$ )���礭���Ƿ�
			�ޤ�(������Ū�ʹ�¤�򤷤Ƥ���). �ޤ�, ����Ⱦ���
			��������. �����礭�����������λ����Ѳ���Ʊ��
			���ƻ��֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®�٤� 0 (��
			�������Ǿ�)�Ȥʤ����{\bf 0} �Ȥʤ�.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=3.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.0, t=3.5$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=3.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

	    \begin{description}
	     \item[\underline{��Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颬�ΤȤ�}] ~\\

	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颬�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư���������λ����Ѳ�( $\partial u
			/\partial t$ )���礭����, ���ꥪ����( $yv$ )����
			�����Ƿ�ޤ�, �������˰ͤä����������ꥪ���Ϥ���
			�������������Ƥ���. �ޤ�, ����Ⱦ��ǵ�������. 
			�����礭���ϻ��֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®��
			�� 0 �Ȥʤ����{\bf ������}��Ȥ�.  \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颬�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư���������λ����Ѳ�( $\partial v
			/\partial t$ )���礭����, ����٤Ǥϰ��Ϸ�����(
			$-\partial\Phi / \partial y$)�ˤ�äƷ�ޤäƤ�
			��, ����٤Ǥϥ��ꥪ����( $-yu$ )���礭���Ȱ���
			�����Ϥ��礭�����껦����ʬ�ۤȤʤäƤ���. �Ĥޤ�,
			��ƻ������夬�ä����پ�ˤ���������β�®�٤�ȯ
			�����Ƥ���. $\partial v/\partial t$ ���礭���ϻ�
			�֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®�٤�����Ȥʤ��
			��{\bf 0} �Ȥʤ�. \\ 

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5} �����
			Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颬�ˤ��� $k=0$ �ξ��
			�δ�����ư�Υ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�(
			$\partial\Phi /\partial t$ )���礭����, ��������
			��«ȯ��( $-\partial v/\partial y$ )���礭���Ƿ�
			�ޤ�(������Ū�ʹ�¤�򤷤Ƥ���). �ޤ�, ����Ⱦ���
			��������. �����礭�����������λ����Ѳ���Ʊ��
			���ƻ��֤ȶ���{\bf ����}��, ��������®�٤�����
			(�������� 0)�Ȥʤ����{\bf ������}��Ȥ�.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term-t-roop-line/n0_k0.0_ig-w-east-term-t=5.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.0, t=5.5$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n0_k0.0_ig-w-east-term-line-t=5.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

 \item[\underline{(2) \protect $0 < k \le 0.7$ (���ȿ�)�ξ��}] ~\\

	    ���ȿ�($0 < k \le 0.7$)�ξ��Υ⡼�ɤ���ħ���
	    \ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} �˼���, �ʲ��˳ƹ����ħ��ޤ�
	    ���. 

	    \begin{description}
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} ���, ���ȿ��ξ�
			�����ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial
			u /\partial t$ )���礭����, ���ꥪ����($yv$)��
			�礭���ǤۤȤ�ɷ�ޤäƤ���, ���Ϸ�����
			($\partial\Phi / \partial x$)���礭���Ͼ���������
			���狼��. �������ä�, ���ꥪ����( $yv$ )�ˤ����
			�����줿��������, �鷺���ʰ��Ϸ����Ϥˤ���®��
			��Ƥ���. ���ꥪ���Ϥ��Ф��밵�Ϸ����Ϥ��礭����,
			�����ȿ������礹��ˤĤ���礭���ʤ�, $k=0.7$ ��
			Ʊ���٤ˤʤ�. \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			���ȿ��ξ�����ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�
			($\partial v /\partial t$)���礭����, ���ꥪ����
			($-yu$) ���ۤȤ�ɸ����ʤ���ƻ��Ǥ�, ���Ϸ�����
			($-\partial\Phi / \partial y$)���礭���Ƿ�ޤ�, 
			��ƻ����Υ�줿�ΰ�Ǥϥ��ꥪ���Ϥˤ�äƻ��ۤ���
			�Ƥ���. ��ƻ����Υ�줿�ΰ�ΰ��Ϸ����Ϥ��礭����, 
			���ꥪ���Ϥȵ�����Ȥ�, ���κ��翶���ΰ��٤���
			�ꥪ���Ϥο�������ΰ��٤��鷺�����̤ˤ��뤿��, 
			����٤Ǥ����������������������Ƥ���. \\

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term} ������ȿ��ξ��
			����ʴ��������ȤΥ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�
			($\partial\Phi /\partial t$)���礭����, �������� 
			��«ȯ��($-\partial v/\partial y$)���礭���Ǥۤ�
			��ɷ�ޤäƤ���. �������μ�«ȯ����ʬ��, ������
			�����μ�«ȯ����ʬ��Ʊ������Ȥ뤬, �ͤϾ�����. 
			��ä�, ����������«�����, ���ΰ��֤ˤ����뼡��
			�ִ֤ΰ��Ϥ��ⰵ�ˤʤ�(������Ū�ʹ�¤�򤷤Ƥ���). 
			�������μ�«ȯ����ʬ���Ф����������μ�«ȯ����ʬ
			���礭����, �����ȿ����礭���ʤ�ˤĤ�����ä�,
			$k=0.7$ ��Ʊ���٤ˤʤ�(���������������μ�«ȯ��
			�ˤ��, �ⰵ, �㰵��ʬ�ۤ���ޤ�).
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term/n0_k0.5_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.5$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 �������ֳ֤�, $u,v,\Phi$�γơ�����ˤ����Ʋ�3�礬Ʊ���ˤʤ�褦�����Ƥ���.} \label{n0_k0.5_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

 \item[\underline{(3) \protect $k > 0.7$ (���ȿ�)�ξ��}] ~\\

	    ���ȿ�($k > 0.7$)�ξ��Υ⡼�ɤ���ħ���
	    \ref{n0_k1.4_ig-w-east-term} �˼���, �ʲ��˳ƹ����ħ��ޤ�
	    ���. 

	    \begin{description}
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k1.4_ig-w-east-term} ���, ���ȿ��ξ�
			�����ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial
			u /\partial t$ )���礭����, ���Ϸ�����
			($\partial\Phi / \partial x$)���礭���ǤۤȤ��
			��ޤäƤ���, ���ꥪ����($yv$)���礭��������Ū��
			���������Ȥ��狼��. ���Ϸ����Ϥ��Ф��륳�ꥪ����
			���礭����, �����ȿ������礹��ˤĤ�Ƽ���˸���
			����. \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			���ȿ��ξ�����ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�
			($\partial v /\partial t$)���礭����, ���ꥪ��
			��($-yu$) ���ۤȤ�ɸ����ʤ���ƻ��Ǥ�, ���Ϸ�
			����($-\partial\Phi / \partial y$)���礭���Ƿ��
			��, ��ƻ����Υ�줿�ΰ�Ǥϥ��ꥪ���Ϥˤ�ä�
			���ۤ���Ƥ���. ��ƻ����Υ�줿�ΰ�ΰ��Ϸ����Ϥ�, 
			���ꥪ���Ϥȵե��󥹤η����ˤ���, ���κ��翶����
			���٤����ꥪ���Ϥο�������ΰ��٤��鷺�����̤�
			���뤿��, ����٤Ǥ����������������������Ƥ���. \\

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n0_k1.4_ig-w-east-term} �����ȿ��ξ��
			����ʴ��������ȤΥ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�
			($\partial\Phi /\partial t$)���礭����, �������� 
			��«ȯ��($-\partial u/\partial x$)���礭���Ǥۤ�
			��ɷ�ޤäƤ���. �������μ�«ȯ����ʬ��, ������
			�����μ�«ȯ����ʬ��Ʊ�����󥹤Ǥ��뤬, �ͤϾ���
			��. ��ä�, ����������«�����, ���ΰ��֤ˤ�����
			���νִ֤ΰ��Ϥ��ⰵ�ˤʤ�(������Ū�ʹ�¤�򤷤�
			����). �������μ�«ȯ����ʬ���Ф����������μ�«
			ȯ����ʬ���礭����, �����ȿ����礭���ʤ�ˤĤ��
			����˸�������.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-east-term/n0_k1.4_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=1.4$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 �������ֳ֤�, $u,v,\Phi$�γơ�����ˤ����Ʋ�3�礬Ʊ���ˤʤ�褦�����Ƥ���.} \label{n0_k1.4_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\end{description}

\subsubsection{�� \protect $n=1$ ����ʴ���������}

����, $n\ge 1$ �ξ�����ʴ��������ȤȤ���, $n=1$ �ξ�����ħ��ޤȤ�
��. $n=2$ �ξ��ˤĤ��ƤϿ�(\ref{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5}��\ref{n2_k3.0_ig-w-east-term})�Τ߷Ǻܤ���. 

\begin{description}
 \item[\underline{(1) \protect $k=0$ �ξ��}] ~\\

	    $k=0, n=1$ �ξ���, (\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim})���
	    $\omega=\pm\sqrt{3}$ �Ȥʤ뤫��, ���Υ⡼�ɤϴ�����ư�μ���
	    �� $\sqrt{3}$ �ܤǿ�ư����. ���Υ⡼�ɤ���ħ���
	    \ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} �˼���, �ʲ��˳ƹ����ħ
	    ��ޤȤ��.

	    \begin{description}
	     \item[\underline{��Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颪�ΤȤ�}] ~\\

	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颪�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial u
			/\partial t$ )���礭����, ���ꥪ����( $yv$ )����
			�����Ƿ�ޤäƤ��뤳�Ȥ��狼��. �Ĥޤ�, ��������
			�ͤä����������ꥪ���Ϥ����������������Ƥ���. ��
			����, ����ξȾ��ǤȤ��Ʊ���(��)�Ǥ����礭����
			Ʊ���Ǥ���($n=0, k=0$ �ξ��ˤ�����ξȾ��ǵ���
			����äƤ���). �������ä�, �������λ����Ѳ���
			����ξȾ���Ʊ�����Ѳ�����. �����礭���ϻ��֤�
			����{\bf ����}��, ��������®�٤�����Ȥʤ����
			{\bf 0} �Ȥʤ�. \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颪�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial v
			/\partial t$ )���礭����, ����٤Ǥ��ؤ�� 0 ��
			����, ����٤Ƕ��ͤ�Ȥ�ʬ�ۤ򤷤Ƥ���. �Ĥޤ�, 
			�����¦������夬�ä����پ�ˤ���������β�®��
			��ȯ�����Ƥ���. ���ζ��ͤ�����ξȾ��ǵ������
			��. ���ꥪ����( $-yu$ ) �Ȱ��Ϸ�����
			($-\partial\Phi / \partial y$) �κ���Ǿ��ͤ�, 
			Ʊ�����Ѳ���, ��ƻ����Υ�줿���٤˰��֤���. ��
			��, ���Ϸ����Ϥ�, ����Ǿ�����������٤Τ���˹�
			����¦�Ǥ�, ���ꥪ���Ϥȵ������뤬�ͤϾ�����.
			$\partial v/\partial t$ ���礭���ϻ��֤ȶ���{\bf 
			����}��, ��������®�٤� 0 �Ȥʤ������Ⱦ��(��Ⱦ
			��)��{\bf �Ǿ�(����)}����. ���ζ��ͤ��礭���� 
			$n=0$ �ξ�����٤� 2�ܤ��ͤȤʤäƤ���.\\

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颪�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������ȤΥ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�(
			$\partial\Phi /\partial t$ )���礭����, ��������
			��«ȯ��( $-\partial v/\partial y$ )���礭���Ƿ�
			�ޤ�. �ޤ�, ����ξȾ��ι���٤�Ʊ���ζ���, ��
			ƻ��˹���٤Ȥϵ����ζ��ͤ�����. �Ĥޤ�, ��ƻ
			��Ǥ���������ȯ����ǹ��پ줬������, �����¦��
			��«��ǹ��پ줬�夬�빽¤�򤷤Ƥ���(������Ū��
			��¤�򤷤Ƥ���). �����礭���ϻ��֤ȶ���{\bf ����}
			��, ��������®�٤� 0 (������������)�Ȥʤ����
			{\bf 0} �Ȥʤ�.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.0, t=0.5$ ����ʴ��������Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��. ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

	    \begin{description}
	     \item[\underline{��Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颭�ΤȤ�}] ~\\

	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颭�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial u
			/\partial t$ )���礭����, ���ꥪ����( $yv$ )����
			�����Ƿ�ޤäƤ��뤳�Ȥ��狼��. �Ĥޤ�, ��������
			�ͤä����������ꥪ���Ϥ����������������Ƥ���. ��
			����, ����ξȾ��ǤȤ��Ʊ���(��)�Ǥ����礭����
			Ʊ���Ǥ���($n=0, k=0$ �ξ��ˤ�����ξȾ��ǵ���
			����äƤ���). �������ä�, �������λ����Ѳ���
			����ξȾ���Ʊ�����Ѳ�����. �����礭���ϻ��֤�
			����{\bf ����}��, ��������®�٤� 0 �Ȥʤ����
			{\bf �Ǿ���} ����. \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颭�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial v
			/\partial t$ )���礭����, ����٤Ǥ��ؤ�� 0 ��
			����, ����٤Ƕ��ͤ�Ȥ�ʬ�ۤ򤷤Ƥ���. �Ĥޤ�, 
			�����¦������夬�ä����پ�ˤ���������β�®��
			��ȯ�����Ƥ���. ���ζ��ͤ�����ξȾ��ǵ������
			��. ���ꥪ����( $-yu$ ) �Ȱ��Ϸ�����
			($-\partial\Phi / \partial y$) �κ���Ǿ��ͤ�, 
			Ʊ�����Ѳ���, ��ƻ����Υ�줿���٤˰��֤���. ��
			��, ���Ϸ����Ϥ�, ����Ǿ�����������٤Τ����
			�����¦�Ǥ�, ���ꥪ���Ϥȵ������뤬�ͤϾ���
			��.  $\partial v/\partial t$ ���礭���ϻ��֤ȶ�
			��{\bf ����}��, ��������®�٤���Ⱦ��(��Ⱦ��)�Ǻ�
			��(����)�Ȥʤ����ξȾ���{\bf 0} �Ȥʤ�. \\

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颭�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������ȤΥ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�(
			$\partial\Phi /\partial t$ )���礭����, ��������
			��«ȯ��( $-\partial v/\partial y$ )���礭���Ƿ�
			�ޤ�. �ޤ�, ����ξȾ��ι���٤�Ʊ���ζ���, ��
			ƻ��˹���٤Ȥϵ����ζ��ͤ�����. �Ĥޤ�, ��ƻ
			��Ǥ��������μ�«��ǹ��پ줬�夬��, �����¦��
			ȯ����ǹ��پ줬�����빽¤�򤷤Ƥ���(������Ū��
			��¤�򤷤Ƥ���). �����礭���ϻ��֤ȶ���{\bf ����}
			��, ��������®�٤���Ⱦ��(��Ⱦ��)�ǺǾ�(����)�Ȥ�
			�����{\bf ��ƻ��Ǻ�����}, {\bf ����٤ǺǾ���}
			��Ȥ�.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.0, t=1.5$ ����ʴ��������Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��. ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=1.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

	    \begin{description}
	     \item[\underline{��Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颫�ΤȤ�}] ~\\

	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颫�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial u
			/\partial t$ )���礭����, ���ꥪ����( $yv$ )����
			�����Ƿ�ޤäƤ��뤳�Ȥ��狼��. �Ĥޤ�, ��������
			�ͤä����������ꥪ���Ϥ����������������Ƥ���. ��
			����, ����ξȾ��ǤȤ��Ʊ���(��)�Ǥ����礭����
			Ʊ���Ǥ���($n=0, k=0$ �ξ��ˤ�����ξȾ��ǵ���
			����äƤ���). �������ä�, �������λ����Ѳ���
			����ξȾ���Ʊ�����Ѳ�����. �����礭���ϻ��֤�
			����{\bf ����}��, ��������®�٤��Ǿ��Ȥʤ����
			{\bf 0} �Ȥʤ�. \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颫�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial v
			/\partial t$ )���礭����, ����٤Ǥ��ؤ�� 0 ��
			����, ����٤Ƕ��ͤ�Ȥ�ʬ�ۤ򤷤Ƥ���. �Ĥޤ�, 
			�����¦������夬�ä����پ�ˤ���������β�®��
			��ȯ�����Ƥ���. ���ζ��ͤ�����ξȾ��ǵ������
			��. ���ꥪ����( $-yu$ ) �Ȱ��Ϸ�����
			($-\partial\Phi / \partial y$) �κ���Ǿ��ͤ�, 
			Ʊ�����Ѳ���, ��ƻ����Υ�줿���٤˰��֤���. ��
			��, ���Ϸ����Ϥ�, ����Ǿ�����������٤Τ����
			�����¦�Ǥ�, ���ꥪ���Ϥȵ������뤬�ͤϾ���
			��. $\partial v/\partial t$ ���礭���ϻ��֤ȶ�
			��{\bf ����}��, ��������®�٤� 0 �Ȥʤ������Ⱦ
			��(��Ⱦ��)��{\bf ������(�Ǿ���)}����. \\ 

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颫�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������ȤΥ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�(
			$\partial\Phi /\partial t$ )���礭����, ��������
			��«ȯ��( $-\partial v/\partial y$ )���礭���Ƿ�
			�ޤ�. �ޤ�, ����ξȾ��ι���٤�Ʊ���ζ���, ��
			ƻ��˹���٤Ȥϵ����ζ��ͤ�����. �Ĥޤ�, ��ƻ
			��Ǥ��������μ�«��ǹ��پ줬�夬��, �����¦��
			ȯ����ǹ��پ줬�����빽¤�򤷤Ƥ���(������Ū��
			��¤�򤷤Ƥ���). �����礭���ϻ��֤ȶ���{\bf ����}
			��, ��������®�٤� 0 �Ȥʤ����{\bf 0} �Ȥʤ�.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.0, t=2.5$ ����ʴ��������Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��. ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

	    \begin{description}
	     \item[\underline{��Ⱦ���®�٥٥��ȥ뤬�����颬�ΤȤ�}] ~\\

	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颬�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial u
			/\partial t$ )���礭����, ���ꥪ����( $yv$ )����
			�����Ƿ�ޤäƤ��뤳�Ȥ��狼��. �Ĥޤ�, ��������
			�ͤä����������ꥪ���Ϥ����������������Ƥ���. ��
			����, ����ξȾ��ǤȤ��Ʊ���(��)�Ǥ����礭����
			Ʊ���Ǥ���($n=0, k=0$ �ξ��ˤ�����ξȾ��ǵ���
			����äƤ���). �������ä�, �������λ����Ѳ���
			����ξȾ���Ʊ�����Ѳ�����. �����礭���ϻ��֤�
			����{\bf ����}��, ��������®�٤� 0 �Ȥʤ����
			{\bf ������} ����. \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颬�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial v
			/\partial t$ )���礭����, ����٤Ǥ��ؤ�� 0 ��
			����, ����٤Ƕ��ͤ�Ȥ�ʬ�ۤ򤷤Ƥ���. �Ĥޤ�, 
			�����¦������夬�ä����پ�ˤ���������β�®��
			��ȯ�����Ƥ���. ���ζ��ͤ�����ξȾ��ǵ������
			��. ���ꥪ����( $-yu$ ) �Ȱ��Ϸ�����
			($-\partial\Phi / \partial y$) �κ���Ǿ��ͤ�, 
			Ʊ�����Ѳ���, ��ƻ����Υ�줿���٤˰��֤���. ��
			��, ���Ϸ����Ϥ�, ����Ǿ�����������٤Τ����
			�����¦�Ǥ�, ���ꥪ���Ϥȵ������뤬�ͤϾ���
			��. $\partial v/\partial t$ ���礭���ϻ��֤ȶ�
			��{\bf ����}��, ��������®�٤���Ⱦ��(��Ⱦ��)�Ǻ�
			��(�Ǿ�)�ͤ������{\bf 0}�Ȥʤ�. \\ 

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0} �����Ⱦ��
			��®�٥٥��ȥ뤬�����颬�ˤ��� $k=0$ �ξ��δ�
			�������ȤΥ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�(
			$\partial\Phi /\partial t$ )���礭����, ��������
			��«ȯ��( $-\partial v/\partial y$ )���礭���Ƿ�
			�ޤ�. �ޤ�, ����ξȾ��ι���٤�Ʊ���ζ���, ��
			ƻ��˹���٤Ȥϵ����ζ��ͤ�����. �Ĥޤ�, ��ƻ
			��Ǥ���������ȯ����ǹ��پ줬������, �����¦��
			��«��ǹ��پ줬�夬�빽¤�򤷤Ƥ���(������Ū��
			��¤�򤷤Ƥ���). �����礭���ϻ��֤ȶ���{\bf ����}
			��, ��������®�٤���Ⱦ��(��Ⱦ��)�Ǻ���(�Ǿ�)�ͤ�
			������{\bf ��ƻ��ǺǾ���}, {\bf ����٤Ǻ���
			��}����.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.0, t=3.0$ ����ʴ��������Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��(\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��. ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

 \item[\underline{(2) \protect $0 < k \le 1.2$ (���ȿ�)�ξ��}] ~\\

	    ���ȿ�($0 < k \le 1.2$)�ξ��Υ⡼�ɤ���ħ���
	    \ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} �˼���, �ʲ��˳ƹ����ħ��ޤ�
	    ���. 

	    \begin{description}
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} ���, ���ȿ��ξ�
			�����ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial
			u /\partial t$ )���礭����, ���ꥪ����($yv$)����
			�����ǤۤȤ�ɷ�ޤäƤ���, ���Ϸ�����
			($\partial\Phi / \partial x$)���礭���Ͼ�������
			�Ȥ��狼��. �������ä�, ���ꥪ����( $yv$ )�ˤ��
			�������줿��������, �鷺���ʰ��Ϸ����Ϥˤ���®
			����Ƥ���. ���Ϸ����Ϥ�����٤��������, �����
			��������뤿��, $\partial u /\partial t$ ��
			ʬ�ۤ���ƻ��ȹ���٤ǵ�������. ���ꥪ���Ϥ�
			�Ф��밵�Ϸ����Ϥ��礭����, �����ȿ������礹���
			�Ĥ���礭���ʤ�, $k=1.2$ ��Ʊ���٤ˤʤ�. \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} ���, ���ȿ��ξ�
			�����ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�($\partial v
			/\partial t$)���礭����, ���ꥪ����($-yu$) ����
			�Ȥ�ɸ����ʤ���ƻ��Ǥ�, ���Ϸ�����
			($-\partial\Phi / \partial y$)���礭���Ƿ�ޤ�, 
			��ƻ����Υ�줿�ΰ�Ǥϥ��ꥪ���Ϥˤ�äƻ��ۤ���
			�Ƥ���. ��ƻ����Υ�줿�ΰ�ΰ��Ϸ����Ϥ�, ���ꥪ
			���Ϥȵ�������, ����٤Ǥ�������������������
			���Ƥ���. \\

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.6_ig-w-east-term} ���, ���ȿ��ξ�
			�����ʴ��������ȤΥ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�
			($\partial\Phi /\partial t$)���礭����, �������� 
			��«ȯ��($-\partial v/\partial y$)���礭���Ǥۤ�
			��ɷ�ޤäƤ���. �������μ�«ȯ����ʬ��, ������
			�����μ�«ȯ����ʬ��Ʊ������Ȥ뤬, �ͤϾ�����. 
			��ä�, ����������«�����, ���ΰ��֤ˤ����뼡��
			�ִ֤ΰ��Ϥ��ⰵ�ˤʤ�(������Ū�ʹ�¤�򤷤Ƥ���). 
			�������μ�«ȯ����ʬ������٤ȹ���٤ǵ������
			�뤿��, $\partial\Phi /\partial t$ ��ʬ�ۤ���ƻ
			��ȹ���٤ǵ�������. �������μ�«ȯ����ʬ��
			�Ф����������μ�«ȯ����ʬ���礭����, �����ȿ���
			�礭���ʤ�ˤĤ�����ä�, $k=1.2$ ��Ʊ���٤ˤʤ�
			(���������������μ�«ȯ���ˤ��, �ⰵ, �㰵��ʬ
			�ۤ���ޤ�).
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term/n1_k0.6_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.6$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 �������ֳ֤�, $u,v,\Phi$�γơ�����ˤ����Ʋ�3�礬Ʊ���ˤʤ�褦�����Ƥ���.} \label{n1_k0.6_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

 \item[\underline{(3) \protect $k > 1.2$ (���ȿ�)�ξ��}] ~\\

	    ���ȿ�($k > 1.2$)�ξ��Υ⡼�ɤ���ħ���
	    \ref{n1_k2.0_ig-w-east-term} �˼���, �ʲ��˳ƹ����ħ��ޤ�
	    ���. 

	    \begin{description}
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k2.0_ig-w-east-term} ���, ���ȿ��ξ�
			�����ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial
			u /\partial t$ )���礭����, ���Ϸ�����
			($\partial\Phi / \partial x$)���礭���ǤۤȤ��
			��ޤäƤ���, ���ꥪ����($yv$)���礭��������Ū��
			���������Ȥ��狼��. ���Ϸ����Ϥ��Ф��륳�ꥪ����
			���礭����, �����ȿ������礹��ˤĤ�Ƽ���˸���
			����. \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k2.0_ig-w-east-term} ���, ���ȿ��ξ�
			�����ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�($\partial v
			/\partial t$)���礭����, ���ꥪ����($-yu$) ����
			�Ȥ�ɸ����ʤ���ƻ��Ǥ�, ���Ϸ�����
			($-\partial\Phi / \partial y$)���礭���Ƿ�ޤ�, 
			��ƻ����Υ�줿�ΰ�Ǥϥ��ꥪ���Ϥˤ�äƻ��ۤ���
			�Ƥ���. ��ƻ����Υ�줿�ΰ�ΰ��Ϸ����Ϥ�, ���ꥪ
			���Ϥȵ�������, ����٤Ǥ�������������������
			���Ƥ���. \\

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k2.0_ig-w-east-term} �����ȿ��ξ��
			����ʴ��������ȤΥ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�
			($\partial\Phi /\partial t$)���礭����, �������� 
			��«ȯ��($-\partial u/\partial x$)���礭���Ǥۤ�
			��ɷ�ޤäƤ���. �������μ�«ȯ����ʬ��, ������
			�����μ�«ȯ����ʬ��Ʊ�������뤬, �ͤϾ�����. 
			��ä�, ����������«�����, ���ΰ��֤ˤ����뼡��
			�ִ֤ΰ��Ϥ��ⰵ�ˤʤ�(������Ū�ʹ�¤�򤷤Ƥ���). 
			������, �������μ�«ȯ����ʬ�϶�������٤ȹ����
			�ǵ������뤿��, $\partial\Phi /\partial t$ 
			��ʬ�ۤ���ƻ��ȹ���٤ǵ�������. �������μ�
			«ȯ����ʬ���Ф����������μ�«ȯ����ʬ���礭����, 
			�����ȿ����礭���ʤ�ˤĤ�Ƽ���˸�������.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term/n1_k2.0_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=2.0$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 �������ֳ֤�, $u,v,\Phi$�γơ�����ˤ����Ʋ�3�礬Ʊ���ˤʤ�褦�����Ƥ���.} \label{n1_k2.0_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.0, t=0.5$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��. ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.0-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.0, t=1.0$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��. ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.0}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.9-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.0, t=1.9$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��. ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=1.9}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term-t-roop-line/n2_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.0, t=2.5$ ����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��. ���� 3 $\times$ 3 ��οޤϿ����ΰ���ʬ�ۤ򼨤�.} \label{n2_k0.0_ig-w-east-term-t=2.5}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term/n2_k0.5_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.5$ (���ȿ�)����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 �������ֳ֤�, $u,v,\Phi$�γơ�����ˤ����Ʋ�3�礬Ʊ���ˤʤ�褦�����Ƥ���.} \label{n2_k0.5_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-east-term/n2_k3.0_ig-w-east-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=3.0$ (���ȿ�)����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 �������ֳ֤�, $u,v,\Phi$�γơ�����ˤ����Ʋ�3�礬Ʊ���ˤʤ�褦�����Ƥ���.} \label{n2_k3.0_ig-w-east-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}


\end{description}

\subsubsection{�� \protect $n=1$ �����ʴ���������}

����, $n\ge 1$ �ξ������ʴ��������ȤȤ���, $n=1$ �ξ�����ħ��ޤȤ�
��. $n=2$ �ξ��ˤĤ��ƤϿ�(\ref{n2_k0.0_ig-w-west-term-t=0.5}��\ref{n2_k3.0_ig-w-west-term})�Τ߷Ǻܤ���. 

\begin{description}
 \item[\underline{(1) \protect $k=0$ �ξ��}] ~\\

	    $k=0, n=1$ �ξ���, (\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim})���
	    $\omega=-\sqrt{3}$ �Ȥʤ뤫��, ���Υ⡼�ɤϴ�����ư�μ����� 
	    $-\sqrt{3}$ �ܤǿ�ư����. ���Υ⡼�ɤο�ʿ��¤�ϰʲ�����ͳ��
	    ���, $k=0, n=1$ �ξ�����ʴ���������(������ư, $\omega
	    >0$)�ι�¤��Ʊ���ˤʤ�. �������ä�, �⡼�ɤι�¤�Ȥ��Υᥫ��
	    ����ˤĤ��ƤϿ� \ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=0.5}��
	    \ref{n1_k0.0_ig-w-east-term-t=3.0}�򻲾Ȥ��줿��(�����Ǥϼ�
	    ���ʤ�). \\

	    $k=0, n=1$ �ξ�� $\hat{u},\hat{v},\hat{\Phi}$ ����ʬ��, ��
	    �줾��μ�����ʬ $u_{r}(y), v_{r}(y), \Phi_{r}(y)$, ������ʬ
	    $u_{i}(y), v_{i}(y), \Phi_{i}(y)$ ���Ѥ����
	    (\ref{solution_vnot=0_n=1})���ʲ��Τ褦��ɽ�����:
\begin{eqnarray}
 u_{r} &=& 0, \\
 u_{i} &=& \displaystyle\frac{1}{2}
	            \left(
		     \displaystyle\frac{1}{\omega_{i}}H_{2}+\displaystyle\frac{1}{\omega_{i}}2 H_{0}
		    \right)e^{-\frac{1}{2}y^{2}},\\
 v_{r} &=& H_{1}e^{-\frac{1}{2}y^{2}}, \\
 v_{i} &=& 0,\\
 \Phi_{r} &=& 0, \\
 \Phi_{i} &=& \displaystyle\frac{1}{2}
	            \left(
		     \displaystyle\frac{1}{\omega_{i}}H_{2}-\displaystyle\frac{1}{\omega_{i}}2 H_{0}
		    \right)e^{-\frac{1}{2}y^{2}}.
\end{eqnarray}
	    ������, $\omega \rightarrow -\omega$ �Ȥ����, 
\begin{eqnarray}
 u_{r} &=& 0, \\
 u_{i} &\rightarrow& -u_{i}, \label{u_i} \\
 v_{r} &=& v_{r}, \label{v_r} \\
 v_{i} &\rightarrow& 0, \\
 \Phi_{r} &=& 0, \\
 \Phi_{i} &\rightarrow& -\Phi_{i}, \label{phi_i}
\end{eqnarray}
	    �Ȥʤ�. ����, $k=0, n=1$ �ξ�� $u(x,y,t), v(x,y,t),
	    \Phi(x,y,t)$ �� $u_{r},v_{r},\Phi_{r},u_{i},v_{i},\Phi_{i}$
	    ���Ѥ��Ƽ��Τ褦��ɽ�����: 
\begin{eqnarray}
 u(x,y,t) &=& \underbrace{u_{r}(y)}_{=0}\cos(kx-\omega t)-u_{i}(y)\sin(kx-\omega t), \nonumber \\
          &=& -u_{i}(y)\sin(-\omega t), \nonumber \\
          &=& u_{i}(y)\sin(\omega t), \label{u_xyt} \\
 v(x,y,t) &=& v_{r}(y)\cos(kx-\omega t)-\underbrace{v_{i}(y)}_{=0}\sin(kx-\omega t), \nonumber \\
          &=& v_{r}(y)\cos(-\omega t), \nonumber \\
          &=& v_{r}(y)\cos(\omega t), \label{v_xyt} \\
\Phi(x,y,t)&=& \underbrace{\Phi_{r}(y)}_{=0}\cos(kx-\omega t)-\Phi_{i}(y)\sin(kx-\omega t), \nonumber \\
           &=& -\Phi_{i}(y)\sin(-\omega t), \nonumber \\
           &=& \Phi_{i}(y)\sin(\omega t). \label{phi_xyt}
\end{eqnarray}	    
	    ������, (\ref{u_xyt})��(\ref{phi_xyt})�ˤ����� $\omega
	    \rightarrow -\omega$ �Ȥ����, (\ref{u_i})��(\ref{phi_i})��
	    �꼡�δط�������:

\begin{equation}
 u(x,y,t) \rightarrow u(x,y,t),
\end{equation}
\begin{equation}
 v(x,y,t) \rightarrow v(x,y,t),
\end{equation}
\begin{equation}
\Phi(x,y,t) \rightarrow \Phi(x,y,t).
\end{equation}

	    \medskip
	    ��δط��� $n$ ���ͤˤ�餺���٤Ƥξ��ˤĤ�������Ω��. ��
	    �����ä� $k=0$ �Υ⡼�ɤο�ʿ��¤��, ��ư���������ͤ�������
	    ���ˤϿ�ư���ΰ㤤�˰ͤ餺Ʊ����¤���뤳�Ȥ�ʬ����. �ʾ�
	    �Τ��Ȥ���, $k=0, n=1$ �����ʴ��������Ȥι�¤�Ȥ��Υᥫ�˥�
	    ���, $k=0, n=1$ ����ʴ��������Ȥι�¤, �ᥫ�˥����Ʊ����
	    ���뤳�Ȥ�ʬ����. 

\newpage

 \item[\underline{(2) \protect $0 < k \le 1.1$ (���ȿ�)�ξ��}] ~\\

	    ���ȿ�($0 < k \le 1.1$)�ξ��Υ⡼�ɤ���ħ���
	    \ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} �˼���, �ʲ��˳ƹ����ħ��ޤ�
	    ���. 

	    \begin{description}
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} ���, ���ȿ��ξ�
			������ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial
			u /\partial t$ )���礭����, ���ꥪ����($yv$)����
			�����ǤۤȤ�ɷ�ޤäƤ���, ���Ϸ�����
			($\partial\Phi / \partial x$)���礭���Ͼ�������
			�Ȥ��狼��. �������ä�, ���ꥪ����( $yv$ )�ˤ��
			�������줿��������, �鷺���ʰ��Ϸ����Ϥˤ���®
			����Ƥ���. ���Ϸ����Ϥ���ƻ�˺��翶�����Ĺ�¤
			�򤷤Ƥ���, ���������Υ�������������ȿ������礹
			��ˤĤ���礭���ʤ�. ���ꥪ���Ϥ��Ф��밵�Ϸ���
			�Ϥ��礭����, �����ȿ������礹��ˤĤ���礭����
			��, $k=1.1$ ��Ʊ���٤ˤʤ�. ���Τ���, ���ȿ��Ǥ�
			��������������ƻ�򶴤��������������������ȿ�
			������ȤȤ�˷�礷�ư�Ĥˤʤ�(�������ȿ���1.2
			���٤Ƿ��)�ͻҤ�������. \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} ���, ���ȿ��ξ�
			������ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�($\partial v
			/\partial t$)���礭����, ���ꥪ����($-yu$) ����
			�Ȥ�ɸ����ʤ���ƻ��Ǥ�, ���Ϸ�����
			($-\partial\Phi / \partial y$)���礭���Ƿ�ޤ�, 
			��ƻ����Υ�줿�ΰ�Ǥϥ��ꥪ���Ϥˤ�äƻ��ۤ���
			�Ƥ���. ��ƻ����Υ�줿�ΰ�ΰ��Ϸ����Ϥ�, ���ꥪ
			���Ϥȵ�������, ����٤Ǥ�������������������
			���Ƥ���. ���ΰ��Ϸ����Ϥ����̥����������������
			�ΰ��Ϸ����Ϥ�Ʊ��, �����ȿ������礹��ˤĤ����
			�����ʤ�. \\

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} ���, ���ȿ��ξ�
			������ʴ��������ȤΥ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�
			($\partial\Phi /\partial t$)���礭����, ��ƻ���
			���翶�������������μ�«ȯ��($-\partial
			v/\partial y$)���礭���ǤۤȤ�ɷ�ޤäƤ���. ��
			�����μ�«ȯ����ʬ��, �����¦�ǤϤ����������μ�
			«ȯ����ʬ��Ʊ������Ȥ뤬, �ͤϾ�����.  ���
			��, ����������«�����, ���ΰ��֤ˤ����뼡�νִ�
			�ΰ��Ϥ��ⰵ�ˤʤ�(������Ū�ʹ�¤�򤷤Ƥ���). ��
			�����μ�«ȯ����ʬ������٤ȹ���٤ǵ�������
			����, $\partial\Phi /\partial t$ ��ʬ�ۤ���ƻ��
			�ȹ���٤ǵ�������. �������μ�«ȯ����ʬ����
			�����������μ�«ȯ����ʬ���礭����, �����ȿ�����
			�����ʤ�ˤĤ�����ä�, $k=1.6$ ��Ʊ���٤ˤʤ�
			(���������������μ�«ȯ���ˤ��, �ⰵ, �㰵��ʬ
			�ۤ���ޤ�).
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-west-term/n1_k0.6_ig-w-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=0.6$ �����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 �������ֳ֤�, $u,v,\Phi$�γơ�����ˤ����Ʋ�3�礬Ʊ���ˤʤ�褦�����Ƥ���.} \label{n1_k0.6_ig-w-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

 \item[\underline{(3) \protect $k > 1.1$ (���ȿ�)�ξ��}] ~\\

	    ���ȿ�($k > 1.1$)�ξ��Υ⡼�ɤ���ħ���
	    \ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} �˼���, �ʲ��˳ƹ����ħ��ޤ�
	    ���. 

	    \begin{description}
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} ���, ���ȿ��ξ�
			������ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�( $\partial
			u /\partial t$ )���礭����, ���Ϸ�����
			($\partial\Phi / \partial x$)���礭���ǤۤȤ��
			��ޤäƤ���, ���ꥪ����($yv$)���礭��������Ū��
			���������Ȥ��狼��. ���Ϸ����Ϥ��Ф��륳�ꥪ����
			���礭����, �����ȿ������礹��ˤĤ�Ƽ���˸���
			����. \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} ���, ���ȿ��ξ�
			������ʴ��������Ȥ��������λ����Ѳ�($\partial v
			/\partial t$)���礭����, ���ꥪ����($-yu$) ����
			�Ȥ�ɸ����ʤ���ƻ��Ǥ�, ���Ϸ�����
			($-\partial\Phi / \partial y$)���礭���Ƿ�ޤ�, 
			��ƻ����Υ�줿�ΰ�Ǥϥ��ꥪ���Ϥˤ�äƻ��ۤ���
			�Ƥ���. �ޤ�, ���Ϸ����Ϥȥ��ꥪ���Ϥ�Ʊ�����
			��, �����������򶯤����̤򤷤Ƥ���. \\

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k2.5_ig-w-west-term} �����ȿ��ξ��
			�����ʴ��������ȤΥ����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�
			($\partial\Phi /\partial t$)���礭����, �������� 
			��«ȯ��($-\partial u/\partial x$)���礭���Ǥۤ�
			��ɷ�ޤäƤ���. �������μ�«ȯ����ʬ��, ������
			�����μ�«ȯ����ʬ��Ʊ�������뤬, �ͤϾ�����. 
			��ä�, ����������«�����, ���ΰ��֤ˤ����뼡��
			�ִ֤ΰ��Ϥ��ⰵ�ˤʤ�(������Ū�ʹ�¤�򤷤Ƥ���). 
			������, �������μ�«ȯ����ʬ�϶�������٤ȹ����
			�ǵ������뤿��, $\partial\Phi /\partial t$ 
			��ʬ�ۤ���ƻ��ȹ���٤ǵ�������. �������μ�
			«ȯ����ʬ���Ф����������μ�«ȯ����ʬ���礭����, 
			�����ȿ����礭���ʤ�ˤĤ�Ƽ���˸�������.
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-west-term/n1_k2.5_ig-w-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=2.5$ �����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 �������ֳ֤�, $u,v,\Phi$�γơ�����ˤ����Ʋ�3�礬Ʊ���ˤʤ�褦�����Ƥ���.} \label{n1_k2.5_ig-w-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-west-term/n2_k0.5_ig-w-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=0.5$ (���ȿ�)�����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 �������ֳ֤�, $u,v,\Phi$�γơ�����ˤ����Ʋ�3�礬Ʊ���ˤʤ�褦�����Ƥ���.} \label{n2_k0.5_ig-w-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n-not0-ig-w-west-term/n2_k3.0_ig-w-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=3.0$ (���ȿ�)�����ʴ��������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 �������ֳ֤�, $u,v,\Phi$�γơ�����ˤ����Ʋ�3�礬Ʊ���ˤʤ�褦�����Ƥ���.} \label{n2_k3.0_ig-w-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\end{description}

%\newpage
%
%\bigskip 
%�Ϥ��, ��ʤ��봷�������Ȥ����¥ᥫ�˥����ͻ�����. ��
%\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}���, $u,\Phi$ ��Ʊ����δط��ˤ���, $v$ �� 
%$u,\Phi$ ����٤� $\pi/2$ �������꤬����Ƥ��뤳�Ȥ�ʬ����. �ޤ�,
%$\partial u/\partial t, \partial v/\partial t, \partial \Phi/\partial t$ 
%��ʬ�ۤ�, $u,v,\Phi$ ��ʬ�ۤ���٤Ƥ��줾�� $\pi/2$ �������꤬��Ԥ��Ƥ�
%��. ���Τ��Ȥ���, $u,v,\Phi$ �Τ��줾���ʬ�ۤϻ��֤ȤȤ��������Ť���
%���Ȥ��狼��. ���� $\partial u/\partial t, \partial v/\partial t,
%\partial \Phi/\partial t$ ��ʬ�ۤ��ɤΤ褦�ʥᥫ�˥���Ƿ�ޤäƤ��뤫��
%�ͻ�����.  �Ϥ����, $\partial \Phi/\partial t$ ��ʬ�ۤˤĤ��ƹͤ���. 
%��\ref{n0_k0.5_ig-w-east-term}���, $\partial \Phi/\partial t$ ��ʬ�ۤ�
%Ʊ������Ѳ����� $\partial u/\partial x$ (�����������������ο�ʿȯ��)��
%$\partial v/\partial y$ (�����������������ο�ʿȯ��)��­����碌�Ƿ�ޤ�
%�Ƥ���. �������ο�ʿȯ�����礭���Τۤ�������礭����Τ�. �������礭��
%�Ϥۤ�Ʊ���٤Ǥ���. ���ο�ʿ����ʬ�ۤΤ��� $\partial u/\partial t$ ��, 
%��Ϥ�Ʊ������Ѳ����� $yv$ (��������Ư�����ꥪ����)�� 
%$-\partial\Phi/\partial x$ (���������ΰ��Ϸ�����)��­����碌�Ƿ�ޤä�
%����. $\partial u/\partial t$ �ξ��, ���ꥪ���Ϥ��礭�������Ϸ����Ϥ���
%�٤Ƥ���礭��, ���ꥪ���Ϥθ��̤������Ƥ���. ����, $\partial v/\partial
%t$ ��ʬ�ۤ�, ����٤Ǥ� $-yu$ (��������Ư�����ꥪ����) �θ���, ��
%ƻ�򶴤������٤Ǥ� $-\partial\Phi/\partial y$ (���������ΰ��Ϸ�����)��
%���̤������Ƥ��ư��٤ˤ��㤤�������Τ�, �����¤����ΰ�������ͤ���
%�Ȥ�����ħ����. �ʾ�, ���¥ᥫ�˥�����ϼ��ޤǼ����ȿ�
%\ref{eq-inertio-gw-denpa}���ͤˤʤ�(������, ����Ǥ�$\Phi\rightarrow p$ 
%�Ȥ���).\\
%
%���ʤ��봷�������Ȥ����¥ᥫ�˥���⼡��\ref{n1_k0.5_ig-w-west-term}�γ�
%��ο�ʿʬ�ۤ���Ʊ�ͤ�����Ǥ���. ��\ref{n1_k0.5_ig-w-west-term}���,
%$\partial \Phi/\partial t$ ��ʬ�ۤ���ʤ��봷�������ȤȰۤʤ�, $\partial
%u/\partial x$ (�����������������ο�ʿȯ��)�� $\partial v/\partial y$ (��
%���������������ο�ʿȯ��)�ΰ����, ��ƻ���Ʊ����, ����٤� $\pi/2$ ����
%����Ƥ���. ��ä�, $\partial \Phi/\partial t$ ��ʬ�ۤ�, ��ƻ��Ǥ�
%$\partial v/\partial y$ (�������ο�ʿȯ��), ����٤Ǥ� $\partial
%u/\partial x$ (�������ο�ʿȯ��)�θ��̤Ƿ�ޤäƤ���. ���ο�ʿ����
%ʬ�ۤΤ��� $\partial u/\partial t$ ��
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-east-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=0, k=0.5$ ����ʴ��������Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})��(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ�ο�ʿʬ��.} \label{n0_k0.5_ig-w-east-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
%\newpage
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[12cm]{ps/eq-inertio-gw.ps}
% \end{center}
%\caption{$n=0$ ����ʤ��봷�������Ȥ����ťᥫ�˥���.} \label{eq-inertio-gw-denpa}
%\end{figure}
%
%ʬ�ۤ�, ����٤Ǥ� $yv$ (��������Ư�����ꥪ����)�θ���, ����٤Ǥ�
%���Ϸ����� $\partial\Phi/\partial x$ �θ��̤Ƿ�ޤäƤ���. $\partial
%v/\partial t$ ��ʬ�ۤ�Ʊ�ͤ�, ����٤Ǥ� $-yu$ (��������Ư�����ꥪ
%����)�θ���, ��ƻ�򶴤������٤Ǥ� $-\partial\Phi/\partial y$ (��������
%�ΰ��Ϸ�����)�θ��̤������Ƥ���.
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-east-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=1, k=0.5$ ����ʽ����Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})��(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ��ʿʬ��.} 
%\label{n1_k0.5_ig-w-east-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n1_k0.5_ig-w-west-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=1, k=0.5$ �����ʽ����Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})��(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ�ο�ʿʬ��.} 
%\label{n1_k0.5_ig-w-west-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-east-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=2, k=0.5$ ����ʽ����Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})��(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ�ο�ʿʬ��.} 
%\label{n2_k0.5_ig-w-east-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $yv$ & $yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n2_k0.5_ig-w-west-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=2, k=0.5$ �����ʽ����Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})��(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ�ο�ʿʬ��.} 
%\label{n2_k0.5_ig-w-west-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
\newpage

\subsection{��������ӡ������Ȥο�ʿ���ŤΥᥫ�˥���}

����Ǥ�, \ref{sec-struct} ��������� $n=0$ �Υ⡼�ɤΤ���, $\omega <0$ 
�����ʤ���⡼�ɤ򺮹�����ӡ������ȤȤ��ư���. \ref{sec-n=0} ��η�̤�
�꺮������ӡ������Ȥο�ư�� $\omega$, ����®�� $c$ ��ޤȤ��ȼ����ͤ�
�ʤ�:\footnote{ͭ�����Ϥ�ɽ�������, ��������ӡ������Ȥο�ư��, ����®
�٤ϼ����ͤˤʤ�: $$ \qquad~~~~~~~\omega =
\displaystyle\frac{1}{2}\left( k\sqrt{gH} - \displaystyle\sqrt{ k^{2}gH
+ 4\beta\sqrt{gH} } \right) \qquad(\mbox{for} ~n=0) $$ $$ \qquad\qquad c
= \displaystyle\frac{1}{2}\left( \sqrt{gH} - \displaystyle\sqrt{ gH +
\displaystyle\frac{4\beta\sqrt{gH}}{k^{2}} } \right) \qquad
~~~~~(\mbox{for} ~n=0) $$ }

$$ ~~~~~~~~~~~\omega = \displaystyle\frac{k+\sqrt{k^{2}+4}}{2} \qquad ~~~~~~~~~~~~~(\mbox{for}
~n=0) \eqno(\mbox{\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0}})
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad c =  \displaystyle\frac{1}{2}\left(
			  1 + \displaystyle\sqrt{
		          1 + \displaystyle\frac{4}{k^{2}} }
			 \right)
\qquad ~~~~~~~(\mbox{for} ~n=0) \label{eq-mixed-rossby-gw-phase}
\end{equation} 

\medskip
���ʤ��뺮������ӡ������Ȥ����¥ᥫ�˥�����
\ref{n0_k0.5_ig-w-west-term}�γƹ�ο�ʿʬ�ۤ��Ѥ���Ʊ�ͤ˹ͻ�����. 

\begin{description}
 \item[\underline{(1) \protect $k=0$ �ξ��}] ~\\

	    $k=0, n=0$ �ξ���, (\ref{eq-inertio-gw-bunsan-nondim-n=0}) 
	    ���$\omega=1$ �Ȥʤ뤫��, ���Υ⡼�ɤϴ�����ư�Ǥ���. ����
	    �⡼�ɤ���ħ��, $k=0, n=0$ ����ʴ��������Ȥ���ʬ�ǵ��Ҥ���.

 \item[\underline{(2) \protect $0< k \le 2.5$ (���ȿ�)�ξ��}] ~\\

	    ���ȿ�($0 < k \le 2.5$)�ξ��Υ⡼�ɤ���ħ���
	    \ref{n0_k0.6_ig-w-west-term} �˼���, �ʲ��˳ƹ����ħ��ޤ�
	    ���. 

	    \begin{description}
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} ���, ���ȿ��ξ�
			������ʤ��뺮������ӡ������Ȥ��������λ����Ѳ�
			( $\partial u /\partial t$ )���礭����, ���ꥪ��
			��($yv$)���礭���ǤۤȤ�ɷ�ޤäƤ���, ���Ϸ���
			��($\partial\Phi / \partial x$)���礭���Ͼ�����
			���Ȥ��狼��. �������ä�, ���ꥪ����( $yv$ )�ˤ�
			���������줿��������, �鷺���ʰ��Ϸ����Ϥˤ���
			®����Ƥ���. ���Ϸ����Ϥϥ��ꥪ���Ϥˤ��������
			�����θ��̤����Ư���򤷤Ƥ���. ���θ��̤Ϲ��
			�٤ۤ��礭��, ����ٰ�Ǥϥ��ꥪ���ϤȰ��Ϸ�����
			���Х�󥹤����Ͼ�ήŪ��®��ʬ�ۤ򤷤Ƥ���. ����
			����, ����٤ǤϽ�����Ū, ����٤Ǥϥ����ӡ���Ū
			�ʹ�¤�򤷤Ƥ���. ���ꥪ���Ϥ��Ф��밵�Ϸ����Ϥ�
			�礭����, �����ȿ������礹��ˤĤ���礭���ʤ�,
			$k=2.5$ ��Ʊ���٤ˤʤ�. \\
 
	     \item[�� �������λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} ���, ���ȿ��ξ�
			������ʤ��뺮������ӡ������Ȥλ����Ѳ�
			($\partial v /\partial t$)���礭����, ���ꥪ����
			($-yu$) ���ۤȤ�ɸ����ʤ���ƻ��Ǥ�, ���Ϸ�����
			($-\partial\Phi / \partial y$)���礭���Ƿ�ޤ�, 
			��ƻ����Υ�줿�ΰ�Ǥϥ��ꥪ���Ϥˤ�äƻ��ۤ���
			�Ƥ���. ��ƻ����Υ�줿�ΰ�ΰ��Ϸ����Ϥ�, ���ꥪ
			���Ϥȵ�������, ����٤Ǥ�������������������
			���Ƥ���. ���θ��̤Ϲ���٤ۤ��礭��, ����������
			ħ��Ʊ�ͤ˹���ٰ�Ǥϥ��ꥪ���ϤȰ��Ϸ����Ϥ���
			��󥹤����Ͼ�ήŪ��®��ʬ�ۤ򤷤Ƥ���. \\

	     \item[�� �����ݥƥ󥷥��λ����Ѳ�] ~\\
			\vspace{-2mm}

			��\ref{n1_k0.6_ig-w-west-term} ���, ���ȿ��ξ�
			������ʤ��뺮������ӡ������ȤΥ����ݥƥ󥷥��
			�λ����Ѳ�($\partial\Phi /\partial t$)���礭����, 
			��ƻ���������������μ�«ȯ��($-\partial
			v/\partial y$)���礭���ǤۤȤ�ɷ�ޤäƤ���. ��
			�����μ�«ȯ����ʬ��, �����������μ�«ȯ����ʬ��
			������Ȥ뤬, �ͤϾ�����.  ��ä�, ����������
			«�����, ���ΰ��֤ˤ����뼡�νִ֤ΰ��Ϥ��ⰵ��
			�ʤ�(������Ū�ʹ�¤�򤷤Ƥ���). �������μ�«ȯ��
			��ʬ���Ф����������μ�«ȯ����ʬ���礭����, ����
			�ȿ����礭���ʤ�ˤĤ�����ä�, $k=3.0$ ��Ʊ����
			�ˤʤ�(���������������μ�«ȯ���ˤ��, �ⰵ, ��
			����ʬ�ۤ���ޤ�).
	    \end{description}

\begin{figure}[H]
 \vspace*{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{eq-wave/ps/n0-ig-w-west-term/n0_k0.6_ig-w-west-term-s.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=0, k=0.6$ �����ʺ�������ӡ������Ȥξ���
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
 (\protect\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})�γƹ�ο�ʿʬ��.
 �������ֳ֤�, $u,v,\Phi$�γơ�����ˤ����Ʋ�3�礬Ʊ���ˤʤ�褦�����Ƥ���.} \label{n0_k0.6_ig-w-west-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $yv$ & $-yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\end{description}



%��\ref{n0_k0.5_ig-w-west-term}���, $\partial \Phi/\partial t$ ��ʬ�ۤ�
%��ʤ��봷�������ȤȰۤʤ�, $\partial u/\partial x$ (������������������
%��ʿȯ��)�� $\partial v/\partial y$ (�����������������ο�ʿȯ��)�ΰ���� 
%$\pi/2$ ��������Ƥ���. ���Τ���, $\partial \Phi/\partial t$ �˸����Τ� 
%$\partial v/\partial y$ (�������ο�ʿȯ��)������, $\partial u/\partial
%x$ �ι�Ϥ���Ȥϵե��󥹤Ǥ���, �����ι��­����碌�Ƿ�ޤäƤ�
%��. ���ο�ʿ����ʬ�ۤΤ��� $\partial u/\partial t$ ��, $ yv$ (��������Ư
%�����ꥪ����)�θ��̤������Ƥ���.  ���� $-\partial\Phi/\partial x$ (����
%�����ΰ��Ϸ�����)�ι�ϵե��󥹤�, ���������ϰ�微����. �ޤ�, $\partial
%v/\partial t$ ��ʬ�ۤ�, ����٤Ǥ�$- yu$ (��������Ư�����ꥪ����)�θ���, 
%��ƻ�򶴤������٤Ǥ�$-\partial\Phi/\partial y$ (���������ΰ��Ϸ�����)
%�θ��̤������Ƥ��ư��٤ˤ��㤤�������Τ�, �����¤����ΰ������ͤ��
%��Ȥ�����ħ������.  �������ʤ��� $n=0$ �δ��������Ȥ���ħ�ȵդǤ�
%��. \\
%
%���ʤ��뺮������ӡ������Ȥ�®�پ��, ����٤Ǥ��Ͼ�ήŪ�Ǥ���, ��ƻ�ն�
%�Ǥ����Ϲ���Ū��ή��򼨤��Ƥ���. ���Τ���, $\partial\Phi/\partial
%t~(\partial p/\partial t)$ �θ��̤����Ǥʤ�, �������٤����̷��٤˱�����
%���б��٤λ����Ѳ� $d\zeta/dt$ �θ��̤ˤ�ä�, ���νִ֤ΰ���ʬ�ۤ���ޤ�
%�Ƥ���. ���Τ褦��, ��������ӡ������Ȥ�, �����ӡ���Ū�������Ƚ�����Ū��
%������ξ���ǰ������Ť��Ƥ���(��\ref{eq-mixed-rossby-denpa}).
%
%\begin{figure}[H]
% \vspace{-5mm} 
% \begin{center}
%  \Depsf[9.cm]{ps/mixed-rossby-gw.ps}
%%  \Depsf[10cm]{ps/eq-rossby.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{��������ӡ������Ȥ����ťᥫ�˥���.} \label{eq-mixed-rossby-denpa}
%\end{figure}
%
%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n0_k0.5_ig-w-west-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{$n=0, k=0.5$ �κ�������ӡ������Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})��(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ�ο�ʿʬ��.} 
%\label{n0_k0.5_ig-w-west-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}
%
%\begin{figure}[H]
% \vspace{-6mm} 
% \begin{center}
%  \Depsf[15cm]{ps/n0_k1_ro-w-term.ps}
% \end{center}
% \vspace{-6mm} 
%\caption{�����ӡ��Ȥο�ư�����Ѥ����������� $n=0, k=1$ �ξ���
% (\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})��
% (\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ�ο�ʿʬ��. ��
% \protect\ref{n0_k0.5_ig-w-west-term}����Ӥ��뤿��Τ��.} 
%\label{n0_k1_ro-w-term}
%\end{figure}
%
%{\footnotesize
%\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
%\begin{table}[H]
%\centering
%\tabcolsep=5mm
%\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
%  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
%  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
% $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
%  $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
%  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
%\end{tabular}
%\end{table}
%}

\newpage

\subsection{��ƻ�����ӡ��Ȥο�ʿ���ŤΥᥫ�˥���}

\ref{eq-bunsan-sec} ��η�̤������ӡ��Ȥο�ư�� $\omega$, ����®�� 
$c$ ��ޤȤ��ȼ����ͤˤʤ�:\footnote{ͭ�����Ϥ�ɽ�������, �����ӡ�
�Ȥο�ư��, ����®�٤ϼ����ͤˤʤ�: 
$$
 \omega = \frac{-k\beta}{k^{2}+\frac{\beta}{\sqrt{gH}}(2n+1)} 
$$
$$
      c = \frac{-\beta}{k^{2}+\frac{\beta}{\sqrt{gH}}(2n+1)}
$$
}

$$
\omega = \frac{-k}{k^{2}+2n+1}, \qquad (n\ge 1) \eqno(\mbox{\ref{eq-rossby-bunsan-nondim}})
$$
\begin{equation}
 c = \frac{-1}{k^{2}+2n+1}. \qquad (n\ge 1) \label{eq-rossby-phase}
\end{equation}

\medskip 
(\ref{eq-rossby-phase})���, ����®�٤Ͼ�� $c<0$ �Ǥ��뤫����ƻ�����ӡ�
�Ȥ����ʤ���. ���������Ȥξ���Ʊ�ͤ�,
(\ref{equator-shallow-water-eq-u})��(\ref{equator-shallow-water-eq-phi}) 
�γƹ�ο�ʿʬ�ۤ�޼�����ȿ�\ref{n1_k1_ro-w-term} ���ͤˤʤ�.
$\partial \Phi/\partial t$ ��ʬ�ۤ�����٤Ǥ� $\partial u/\partial x$
�θ���, ����٤Ǥ� $\partial v/\partial y$ �θ��̤������Ƥ���, ������
���­����碌�Ƿ�ޤäƤ���. ���ο�ʿ����ʬ�ۤΤ��� $\partial
u/\partial t$ ��, ����٤Ǥ� $ yv$ (���ꥪ����)�θ���, ����٤Ǥ� 
$\partial\Phi/\partial x$ (���Ϸ�����)�������Ƥ���. ����, $\partial
v/\partial t$ ��ʬ�ۤ�, ����٤Ǥ� $- yu$ (���ꥪ����)
�θ���, ��ƻ�򶴤������٤Ǥ� $-\partial\Phi/\partial y$ (���Ϸ�����)��
���̤������Ƥ��뤳�Ȥ��狼��. ���Τ��Ȥ��� $\partial u/\partial t,
\partial v/\partial t$ ����, ����٤Ǥϥ��ꥪ���Ϥθ��̤�®��ʬ�ۤ����
��, ����٤Τ褦�ʥ��ꥪ���Ϥθ����ʤ��ΰ�Ǥϰ��Ϸ����Ϥˤ�ä�®��ʬ��
����ޤäƤ���Ȥ�����. ������ħ�� $n=0$ �κ�������ӡ������Ȥ���ħ��Ʊ
���Ǥ���, ����٤��Ͼ�ήŪ, ����٤����Ͼ�ήŪ��ή��Ȥʤ�®�پ�Υѥ���
�������Ū�Ǥ���(��\ref{eq-rossby-denpa-1}). ����, ����ʬ�ۤ�, ��������
�����̷��٤˱��������б��٤λ����Ѳ�$d\zeta/dt$ �θ��̤�ͤ�������򤷤�
����. �Ͼ�ήŪ��®�پ�ˤʤ����٤ˤ�������ƻ������ή�줬�����, ���ꥪ
���Ϥϰ��٤ȶ��˸��ꤹ�뤫��ݥƥ󥷥�뱲�٤���¸�ˤ�� $d\zeta/dt > 0$ 
�Ȥʤ�ʤ���Фʤ�ʤ�. �������ä��㰵��($\zeta > 0$ ���ΰ�)����¦�� 
$d\zeta/dt > 0$ ���ΰ褬����, �㰵���ΰ���������Ť���.  �ⰵ���ξ��
��ʾ�ε�����դ�é����ɤ�(��\ref{eq-rossby-denpa-1}).

\begin{figure}[H]
 \vspace{-5mm} 
 \begin{center}
  \Depsf[9cm]{ps/eq-rossby-n=1.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1$ �Υ����ӡ��Ȥ����ťᥫ�˥���.} \label{eq-rossby-denpa-1}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{ps/n1_k1_ro-w-term.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=1, k=1$ �Υ����ӡ��Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})��(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ�ο�ʿʬ��.} 
\label{n1_k1_ro-w-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{ps/n2_k1_ro-w-term.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$n=2, k=1$ �Υ����ӡ��Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})��(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ�ο�ʿʬ��.} 
\label{n2_k1_ro-w-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\subsection{��ƻ����ӥ��Ȥο�ʿ���ŤΥᥫ�˥���}

\ref{eq-bunsan-sec} ��η�̤�ꥱ��ӥ��Ȥο�ư�� $\omega$, ����®�� 
$c$ ��ޤȤ��ȼ��Τ褦�ˤʤ�:\footnote{ͭ�����Ϥ�ɽ�������, ����ӥ�
�Ȥο�ư��, ����®�٤ϼ����ͤˤʤ�: 
$$
 \omega = k\sqrt{gH} 
$$
$$
\qquad\qquad c = \sqrt{gH}\qquad\qquad
$$
}

$$
 \omega = k \eqno(\mbox{\ref{equator-kelvin-bunsan-nondim}})
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad c = 1 \qquad\qquad\label{eq-kelvin-phase}
\end{equation}

\medskip
(\ref{eq-kelvin-phase})���, ����ӥ��Ȥ���ʤ���. ����������, �����ӡ�
�Ȥξ���Ʊ�ͤ�, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})��
(\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ�ο�ʿʬ�ۤ�޼�����ȿ�
\ref{nk1_kelvin-w-term}�Τ褦�ˤʤ�. $v=0$ �Ǥ��뤳�Ȥ�����ƴ���������, 
�����ӡ��Ȥξ���Ʊ��, ($u,v,\Phi$), ($\partial u/\partial t, \partial
v/\partial t, \partial\Phi/\partial/t$) �ΰ���ط��Ϥ��줾��, ����ӥ���
�ξ��Ǥ��Ѥ��ʤ�. $\partial \Phi/\partial t$ ��ʬ�ۤ�, $\partial
u/\partial x$ (�������μ�«ȯ��)�θ��̤����Ƿ�ޤ�(��
\ref{eq-kelvin-denpa}). ���ο�ʿ����ʬ�ۤΤ�����������Ư�����ꥪ���Ϥ�¸
�ߤ��ʤ��Τ�, $\partial u/\partial t$ ��, $\partial\Phi/\partial x$ (��
�Ϸ�����)�����Ƿ�ޤ�. ����, $\partial v/\partial t$ ��ʬ�ۤ�, $v$ ����
�� 0 �Τ���¸�ߤ��ʤ�. ��\ref{nk1_kelvin-w-term} �����狼��褦��, ��
�ξ�� $- yu$ (���ꥪ����) �� $-\partial\Phi/\partial y$ (���Ϸ���
��)���Х�󥹤��Ƥ���(�껦���Ƥ���).

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[13cm]{ps/eq-kelvin.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{����ӥ��Ȥ����ťᥫ�˥���.} \label{eq-kelvin-denpa}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
 \begin{center}
  \Depsf[15.2cm]{ps/nk1_kelvin-w-term.ps}
 \end{center}
 \vspace{-6mm} 
\caption{$k=1$ �Υ���ӥ��Ȥξ���(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-u})��(\protect\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ�ο�ʿʬ��.} 
\label{nk1_kelvin-w-term}
\end{figure}

{\footnotesize
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{table}[H]
\centering
\tabcolsep=5mm
\begin{tabular}{|c||c||c|}\hline
  $u$ & $v$ & $\Phi$ ����®�� ($u,v$)   \\ [1ex]\hline\hline
  $\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial v}{\partial t}$ &
 $\displaystyle\frac{\partial \Phi}{\partial t}$  \\ [1ex] \hline\hline
  $ yv$ & $- yu$ & $-\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}$ \\ [1ex] \hline\hline
  $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial x}$ & $-\displaystyle\frac{\partial\Phi}{\partial y}$ & $-\displaystyle\frac{\partial v}{\partial y}$ \\ [1ex]\hline
\end{tabular}
\end{table}
}

\Dchapter*{����ʸ��}
\chapter*{����ʸ��}
\begin{itemize}
 \item[1)] Kundu, P. K., 1990: Fluid Mechanics, 638pp.
 \item[2)] Holton, J. R., 1992: An Introduction to Dynamic Meteorology, 511pp.
 \item[3)] Matsuno, T., 1966: Quasi-Geostrophic Motions in the Equatorial
	 Area. {\it J. Meteor. Soc. Japan}, {\bf 44}, 25-43.
 \item[4)] ����� �Ź�, 1993: ʪ���Τ���α��ѿ���. �ز�˼, 225pp.
 \item[5)] ���� ����, 1992: �����ʳؼԤΤ���ο��س���. ���Ƚ�Ź, 711pp.
 \item[6)] �� �Ͳ�, 1989: ��ƻ��. GFD �Ρ���.
 \item[7)] ���� ��, 1992: �����̻��ϳ�. �ز�˼, 323pp.
\end{itemize}

\appendix
\chapter{��Ͽ}

\section{��ͭ��������꼰���ȸ�ͭ�͡���ͭ�ؿ�(ͭ������)}

(\ref{spector-ex})��(\ref{equator-shallow-water-eq-u})��
(\ref{equator-shallow-water-eq-phi})���������ưʲ�������: 

\begin{equation}
 -i\omega \hat{u} - \beta y \hat{v} = -ik\hat{\Phi},
  \label{equator-shallow-water-eq-mode-u}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega \hat{v} + \beta y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y},
  \label{equator-shallow-water-eq-mode-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{\Phi} + gH\left(
			 ik\hat{u} + \frac{\partial\hat{v}}{\partial y}
		        \right)
 = 0.
  \label{equator-shallow-water-eq-mode-phi}
\end{equation}

\medskip
�弰�� $\beta=1, \sqrt{gH}=1$ �Ȥ�����Τ�, ̵�������������η�̤Ǥ���. 
�����, �弰���� $\hat{u},\hat{\Phi}$ ��õ������Ƴ�Ф���.

\subsubsection{�� $v\not=0$ �ξ��} 

\medskip
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u})���

\begin{equation}
 \hat{u} = -\frac{1}{i\omega}(\beta y\hat{v}-ik\hat{\Phi}).
 \label{equator-shallow-water-eq-mode-u'}
\end{equation}

\medskip
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u'})��
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v})����������

\begin{equation}
 (\beta^{2}y^{2}-\omega^{2})\hat{v} 
= ik\beta y\hat{\Phi} + i\omega\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y}.
\label{equator-shallow-water-eq-mode-v'}
\end{equation} 

\medskip
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u'})��
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})����������

\begin{equation}
 (\omega^{2}-k^{2}gH)\hat{\Phi} 
+ i\omega gH\left(
	     \frac{\partial\hat{v}}{\partial y}
	    -\frac{k}{\omega} \beta y \hat{v}
	    \right)
= 0,
\label{equator-shallow-water-eq-mode-phi'}
\end{equation}

\medskip
������. (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v'})��
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi'})���� $\Phi$ ��õ���, ����
$v$ �ˤĤ��Ƥ��󳬾���ʬ������������: 

\begin{equation}
  \frac{\partial^{2}\hat{v}}{\partial y^{2}}
+ \left[
   \left(
    \frac{\omega^{2}}{gH}
   -k^{2}
   -\frac{k}{\omega}\beta
   \right)
  -\frac{\beta^{2}y^{2}}{gH}
  \right]\hat{v}
= 0. \label{equator-shallow-water-eq-mode-only-v}
\end{equation} 

\medskip
��ƻ���齽ʬΥ�줿�Ȥ����Ǹ��ꤹ��褦�ʾ��(��ƻ����ª�������),

$$
 v \rightarrow 0 \qquad (y\rightarrow \pm\infty),
$$

\medskip
��������(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-only-v})�β�ϼ��ξ�������
��(shr\"{o}dinger equation �θ�ͭ������):

\begin{equation}
 \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left(
			 -\frac{k}{\omega}\beta
			 -k^{2}
			 +\frac{\omega^{2}}{gH}
		        \right)
= 2n+1 \qquad (n=0,1,2,\cdots). \label{equatorial-wave-bunsan}
\end{equation}

\medskip
�弰��, ��ƻ����ª���줿�����ȿ� $k$, ���̤Υ⡼�ɿ� $n$ �ο�ư�����
�뼰(��ƻ�Ȥ�ʬ���ط���)�Ǥ���. �弰��� $v\not=0$ �ξ��θ�ͭ��������
�ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�:

\begin{equation}
 \omega^{3} - \{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}\omega - kgH\beta = 0. 
 \label{equatorial-wave-bunsan2}
\end{equation}

\medskip
����������Ȥ�ʬ���ط���(\ref{shallow-water-eq-only-v3-bunsan})�˱����� $c=\sqrt{gH},f=\sqrt{\beta\sqrt{gH}(2n+1)}$ �Ȥ��������б����Ƥ���. \\

\subsubsection{�� $v=0$ �ξ��} 

(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})�� $v=0$ �Ȥ��Ƽ���������: 
\begin{equation}
 -i\omega \hat{u} = -ik\hat{\Phi}, 
  \label{equator-kelvin-eq-dim-mode-u}
\end{equation}
\begin{equation}
 \beta y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y},
  \label{equator-kelvin-eq-dim-mode-v}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{\Phi} + gH\left(
			 ik\hat{u}
		        \right)
 = 0.
  \label{equator-kelvin-eq-dim-mode-phi}
\end{equation}

\medskip
(\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-u})��
(\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-phi})���� $\Phi$ ��õ��ȼ���������:

\begin{equation}
 \omega^{2} = k^{2}gH. \label{equator-kelvin-bunsan}
\end{equation}

\medskip
���줬, (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u})��
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})�˱�����, $v=0$ �Ȥ������θ�
ͭ���������ˤ�����.

\subsection{��ͭ�ؿ�}

\subsubsection{�� $v\not=0$ �ξ��} 

��ñ���Τ���, $y$ �򼡤Τ褦���ִ�����: 

\begin{equation}
 \xi = \sqrt{\frac{\beta}{\sqrt{gH}}}y
\end{equation}

\medskip
���ΤȤ�, 

\begin{equation}
 y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\xi, 
  \qquad 
\partial y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\partial\xi
\end{equation}

\medskip
�Ǥ��뤫��, (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-only-v})��꼡��������: 
\begin{eqnarray}
  \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}}
+ \left[
 \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left(
			 -\frac{k}{\omega}\beta
			 -k^{2}
			 +\frac{\omega{2}}{gH}
		        \right)
 - \xi^{2}
  \right]\hat{v} &=& 0 \nonumber\\
  \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}}
+ \left[
   (2n+1)-\xi^{2}
  \right]\hat{v} &=& 0 \label{shrodinger-eq}
\end{eqnarray}

\medskip
�弰���󼡤Υ���졼�ǥ��󥬡��������Ǥ��뤫��, ��ϥ���ߡ���¿�༰����
���Ƽ����ͤ�ɽ�����: 

\begin{equation}
 \hat{v}(\xi) = H_{n}(\xi)\exp\left(-\frac{\xi^{2}}{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v3}
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{v}(y) = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v4}
\end{equation}

\medskip
������, $H_{n}(\xi), H_{n}(y)$ �� $n$ ���Υ���ߡ���¿�༰�Ǥ���: 

\begin{equation}
\left.
\begin{array}{rcl}
 H_{0}(\xi) &=& 1, \quad H_{1}(\xi) = 2\xi, \quad H_{2}(\xi) = 4\xi^{2}-2 ,\quad\cdots \\[1ex]
 H_{0}(y)   &=& 1, \quad H_{1}(y) = 2\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}}y, \quad H_{2}(y) = 4\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}y^{2}-2 ,\quad\cdots 
\end{array}
\right\}
\end{equation}

\medskip
�ޤ�, $n$ �� $|y|<\infty$ ���ΰ�ˤ���������������®�٥ץ��ե���������
�����б�����. ���� $\hat{v}$ ���Ѥ���, $\hat{u}, \hat{\phi}$ ��,
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}),
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})���, �ʲ����ͤ�ɽ�����: 

\begin{equation}
 \hat{u} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right) \hat{v}
  \label{equator-shallow-water-eq-mode-u4}
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{\phi} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right) \hat{v}
  \label{equator-shallow-water-eq-mode-phi4}
\end{equation}

\medskip
������, \ref{sec-eigen} ��η�̤��, $\hat{v}\not=0$ �ξ��Τ�ȤǤ�
$\omega^{2}-k^{2}\not=0$ ������Ω�Ĥ��Ȥ��Ѥ���. �ʾ�
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v4}),
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u4}),
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi4})�� $v\not=0$ �ξ��θ�ͭ�ؿ�
�Ǥ���.

\subsubsection{�� $v=0$ �ξ��} 

(\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-u})��(\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-v})���� 
$\hat{\Phi}$ ��õ��ȼ���������:

\begin{equation}
 \beta y \hat{u} = -\frac{\omega}{k}\frac{\partial\hat{u}}{\partial y} = -c\frac{\partial \hat{u}}{\partial y}.
\end{equation}

\medskip
������, $c=\omega/k$ �Ǥ���. �������ä�, $\hat{u}$ �ϰʲ����ͤˤʤ�: 

\begin{equation}
 \hat{u} = u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}}. \label{equator-kelvin-eq-mode-uhat}
\end{equation}

\medskip
������ $u_{0}$ ����ƻ�Ǥ�����®�٤�ɽ��. 
%������(\ref{equator-kelvin-eq-mode-uhat})�ˤ�����,
%$y\rightarrow\pm\infty$ �Ǹ��ꤹ���¸�ߤ��뤿��ˤ�, $c>0$ �Ǥʤ����
%�ʤ�ʤ�. �椨��,
%
%\begin{equation}
% c = \sqrt{gH}. \label{equator-kelvin-bunsan2}
%\end{equation}
%
\medskip
��ä�, (\ref{equator-kelvin-eq-dim-mode-u}) ��� $\hat{\phi}$ �ϰʲ����ͤ�
�ʤ�:

\begin{equation}
 \hat{\phi} = \frac{\omega}{k}\hat{u} = \sqrt{gH}u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}}. \label{equator-kelvin-eq-mode-phat}
\end{equation}

\medskip
�ʾ�(\ref{equator-kelvin-eq-mode-uhat}),
(\ref{equator-kelvin-eq-mode-phat})�� $v=0$ �ξ��θ�ͭ�ؿ��Ǥ���. ����
�η�̤��, $y\rightarrow\pm\infty$ �ΤȤ� $(u,v,\Phi)\rightarrow 0$ (��
�����)���������Τ�, $c>0$ �ξ��Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ����. ������, $\omega >
0$ �Ǥ��뤫��, �椨��ʬ���ط��� 

\begin{equation}
 \omega = k\sqrt{gH},
\end{equation}

\medskip
�����Ф��. 

\section{��ƻ�Ȥο�ʿ��¤(ͭ������)}

\subsection{$\hat{v}\not=0$ �ξ��}

��ñ���Τ���, $y$ �򼡤Τ褦���ִ�����: 

\begin{equation}
 \xi = \sqrt{\frac{\beta}{\sqrt{gH}}}y
\end{equation}

\medskip
���ΤȤ�, 

\begin{equation}
 y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\xi, 
  \qquad 
\partial y = \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{\beta}}\partial\xi
\end{equation}

\medskip
�Ǥ��뤫��, (\ref{equator-shallow-water-eq-mode-only-v})��꼡��������: 
\begin{eqnarray}
  \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}}
+ \left[
 \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left(
			 -\frac{k}{\omega}\beta
			 -k^{2}
			 +\frac{\omega{2}}{gH}
		        \right)
 - \xi^{2}
  \right]\hat{v} &=& 0 \nonumber\\
  \frac{\partial^{2}\hat{v}^{2}}{\partial \xi^{2}}
+ \left[
   (2n+1)-\xi^{2}
  \right]\hat{v} &=& 0 \label{shrodinger-eq}
\end{eqnarray}

\medskip
�弰���󼡤Υ���졼�ǥ��󥬡��������Ǥ��뤫��, ��ϥ���ߡ���¿�༰����
���Ƽ����ͤ�ɽ�����: 

\begin{equation}
 \hat{v}(\xi) = H_{n}(\xi)\exp\left(-\frac{\xi^{2}}{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v5}
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{v}(y) = H_{n}(y)\exp\left(-\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}\right) \label{equator-shallow-water-eq-mode-v6}
\end{equation}

\medskip
������, $H_{n}(\xi), H_{n}(y)$ �� $n$ ���Υ���ߡ���¿�༰�Ǥ���: 

\begin{equation}
\left.
\begin{array}{rcl}
 H_{0}(\xi) &=& 1, \quad H_{1}(\xi) = 2\xi, \quad H_{2}(\xi) = 4\xi^{2}-2 ,\quad\cdots \\[1ex]
 H_{0}(y)   &=& 1, \quad H_{1}(y) = 2\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}}y, \quad H_{2}(y) = 4\displaystyle\frac{\beta}{\displaystyle\sqrt{gH}}y^{2}-2 ,\quad\cdots 
\end{array}
\right\}
\end{equation}

\medskip
�ޤ�, $n$ �� $|y|<\infty$ ���ΰ�ˤ���������������®�٥ץ��ե���������
�����б�����. ���� $\hat{v}$ ���Ѥ���, $\hat{u}, \hat{\phi}$ ��,
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}),
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})���, �ʲ����ͤ�ɽ�����: 

\begin{equation}
 \hat{u} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(\omega y - k\frac{d}{dy}\right) \hat{v}
  \label{equator-shallow-water-eq-mode-u2}
\end{equation}
\begin{equation}
 \hat{\phi} = \frac{i}{\omega^{2}-k^{2}}\left(ky - \omega\frac{d}{dy}\right) \hat{v}
  \label{equator-shallow-water-eq-mode-phi2}
\end{equation}

\medskip
������, $u(x,y,t),v(x,y,t),\phi(x,y,t)$ �ϼ��Τ褦�ˤʤ�. 

\begin{eqnarray}
 u(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}}
            \left(
              \omega y H_{n}(y) \exp
	      \left(
	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
	      \right) \right. \nonumber\\
          && \left.
        ~- k \left[
	    \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp
	     \left(
	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
	     \right)
	      - \frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp
	     \left(
	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
	     \right)
	    \right]            
	    \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\
 v(x,y,t) &=& H_{n}(y) \exp
            \left(
	    -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
	    \right) e^{i(kx-\omega t)} \nonumber\\
 \phi(x,y,t) &=& \frac{i}{\omega^{2} - k^{2}}
            \left(
              k y H_{n}(y) \exp
	      \left(
	      -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
	      \right) \right. \nonumber\\
          && \left.
        ~- \omega \left[
	          \frac{d H_{n}(y)}{dy} \exp
		  \left(
		  -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
		  \right)
		  -\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y H_{n}(y) \exp
		  \left(
		  -\frac{1}{2}\frac{\beta}{\sqrt{gH}}y^{2}
		  \right)
		 \right]            
	    \right) e^{i(kx-\omega t)}\nonumber \\ \label{eq-wave-struct-eq}
\end{eqnarray}

�ʾ�ο�ʿ��¤��޼�����Ȥο�\ref{inertio-gw-pic}, \ref{rossby-pic},
\ref{rossby-pic} ���ͤˤʤ�(������, $\beta=1, \sqrt{gH}=1$ �Ȥ���).

% \begin{center}
%  \Depsf[4.5cm]{ps/Matsuno1966-Fig6a.ps}
%  \Depsf[4.5cm]{ps/Matsuno1966-Fig6b.ps}
%  \Depsf[8cm]{ps/Matsuno1966-Fig7.ps}
% \end{center}

%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%\vspace{-1cm}
%  \Depsf[8.5cm]{ps/Matsuno1966-Fig4-5.ps}
% \end{center}
% \vspace{-7mm} 
%\caption{���Ͼ��®�پ��ʬ��. ����a: ��ʴ���������($n=1$), ����b: ����
% ����������($n=1$), ����c: �����ӡ���($n=1$), ����a,b,c: ���ޤ� $n=2$ �⡼
% �ɤ��б�������.} \label{Matsuno1966-Fig4-5}
%\end{figure}

\subsection{$\hat{v}=0$ �ξ��}\label{for_vnot=0}

%\section{��ƻ����ӥ���}
%
%\subsection{��ƻ����ӥ��Ȥ��꼰��}
%
(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-u}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-v}),(\ref{equator-shallow-water-eq-mode-phi})��
$v=0$ �Ȥ��Ƽ���������: 
\begin{equation}
 -i\omega \hat{u} = -ik\hat{\Phi} 
  \label{equator-kelvin-eq-mode-u2}
\end{equation}
\begin{equation}
 \beta y \hat{u} = -\frac{\partial\hat{\Phi}}{\partial y}
  \label{equator-kelvin-eq-mode-v2}
\end{equation}
\begin{equation}
 -i\omega\hat{\Phi} + gH\left(
			 ik\hat{u}
		        \right)
 = 0
  \label{equator-kelvin-eq-mode-phi2}
\end{equation}

%
%\subsection{��ƻ����ӥ��Ȥ�ʬ���ط����ȿ�ʿ��¤}
%
%(\ref{equator-kelvin-eq-mode-u})��(\ref{equator-kelvin-eq-mode-phi})����
%$\hat{\Phi}$ ��õ��ȼ����ͤˤʤ�: 
%
%\begin{equation}
% \omega^{2} = k^{2}gH \label{equator-kelvin-bunsan}
%\end{equation}
%
%\medskip
%�������ä�, ����®�� $c$ �� $\pm\sqrt{gH}$ �Ȥʤ�. 
\medskip
(\ref{equator-kelvin-eq-mode-u2})��(\ref{equator-kelvin-eq-mode-v2})���� 
$\hat{\Phi}$ ��õ��ȼ���������:

\begin{equation}
 \beta y \hat{u} = -\frac{\omega}{k}\frac{\partial\hat{u}}{\partial y} = -c\frac{\partial \hat{u}}{\partial y}
\end{equation}

\medskip
������, $c=\omega/k$ �Ǥ���. �������ä�, $\hat{u}$ �ϰʲ����ͤˤʤ�: 

\begin{equation}
 \hat{u} = u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}} \label{equator-kelvin-eq-mode-uhat}
\end{equation}

\medskip
������ $u_{0}$ ����ƻ�Ǥ�����®�٤�ɽ��. ������
(\ref{equator-kelvin-eq-mode-uhat})�ˤ�����, $y\rightarrow\infty$ �Ǹ���
�����¸�ߤ��뤿��ˤ�, $c>0$ �Ǥʤ���Фʤ�ʤ�. �椨��, ��ƻ����ӥ�
�Ȥΰ���®�٤ϼ����ͤˤʤ�:

\begin{equation}
 c = \sqrt{gH} \label{equator-kelvin-bunsan2}
\end{equation}

\medskip
��ä�, (\ref{equator-kelvin-eq-mode-u2}) ��� $\hat{\phi}$ �ϰʲ����ͤ�
�ʤ�:

\begin{equation}
 \hat{\phi} = \frac{\omega}{k}\hat{u} = \sqrt{gH}u_{0}e^{-\frac{\beta}{2c}y^{2}} \label{equator-kelvin-eq-mode-phat}
\end{equation}

\medskip
�ʾ�ο�ʿ��¤��޼�����ȿ�\ref{kelvin-pic}���ͤˤʤ�(������, $\beta=1,
\sqrt{gH}=1$ �Ȥ���).  

%\begin{figure}[H]
% \begin{center}
%\vspace{-5mm}
%  \Depsf[5.3cm]{ps/Matsuno1966-Fig8.ps}
% \end{center}
% \vspace{-9mm} 
%\caption{��ƻ����ӥ��Ȥΰ��Ͼ��®�پ��ʬ��} \label{Matsuno1966-Fig8}
%\end{figure}

\newpage

\section{��ư���θ�̩��(��Ͽ)\protect\footnote{���η�̤�����ޤǤζ�����
 ���������Ϥޤ��Ȥ�Ƥ��ʤ�. ���ϤȤꤢ�������ξ��֤ǥΡ��ȤˤȤɤ�Ƥ�
 ��(2001/04/18).}}

����Ǥ�3���������β�ˡ�ݥ�����Ρ����륿�ꥢ�β�ˡ���Ѥ���,
(\ref{equatorial-wave-bunsan})�θ�̩���Ƴ�Ф���. 

$$
 \frac{\sqrt{gH}}{\beta}\left(
			 -\frac{k}{\omega}\beta
			 -k^{2}
			 +\frac{\omega^{2}}{gH}
		        \right)
= 2n+1
$$

\medskip
���, 

$$
 \omega^{3}-\{k^{2}gH+\beta\sqrt{gH}(2n+1)\}\omega - kgH\beta = 0 \eqno(\mbox{A.1})
$$

\medskip
������ $\omega = \alpha + \beta$ �Ȥ�����, $\omega^{3}$ �η׻���̤���
����������: 

$$
 \omega^{3}-3\alpha\beta\omega - (\alpha^{3}+\beta^{3}) = 0 \eqno(\mbox{A.2})
$$

\medskip
(A.1)��(A.2)����Ӥ���

$$
 3\alpha\beta = k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1) \quad \rightarrow \quad
  \alpha^{3}\beta^{3} = \frac{\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27},
$$
$$
 \alpha^{3}+\beta^{3} = kgH\beta.
$$

\medskip
������ $\alpha^{3}, \beta^{3}$ �ϼ���2���������β�Ǥ���: 

$$
 A^{2} - kgH\beta A + \frac{\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27} = 0
$$

\medskip
�椨��,
$$
 A = \frac{kgH\beta \pm \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}
$$

\medskip
��ä�, 

$$
 \alpha^{3} = \frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2},
$$
$$
 \beta^{3}  = \frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}.
$$

\medskip
������, ���̤�

$$
 x^{3}-\gamma = (x-\gamma^{1/3})(x^{2}+\gamma^{1/3}x+\gamma^{2/3})=0,
\qquad \mbox{���} \qquad
 x = \gamma^{1/3}, \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\gamma^{1/3}
$$

\medskip
�Ǥ��뤫��, 

\begin{eqnarray*}
 \alpha &=& 
  \sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\
 &&
  \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\ 
 &&
  \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}. 
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 \beta &=& 
  \sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\
 &&
  \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\
 &&
  \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}. 
\end{eqnarray*}

�Ȥʤ�. �������ä�, ���� $\omega=\omega_{1},\omega_{2},\omega_{3}$ ��
$\omega = \alpha + \beta$ ��꼡���ͤˤʤ�:
\begin{eqnarray*}
\omega_{1} &=& 
\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}} \\ 
&& \qquad 
+ \sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\
\omega_{2} &=& 
  \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}} \\ 
&& \qquad
+ \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}, \\
\omega_{3} &=& 
  \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta + \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}} \\
&& \qquad
+ \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\sqrt[3]{\frac{kgH\beta - \sqrt{(kgH\beta)^{2}-\frac{4\{k^{2}gH + \beta\sqrt{gH}(2n+1)\}^{3}}{27}}}{2}}
\end{eqnarray*}

\newpage

\section{��ƻ���������γƹ�Υ⡼��Ÿ��}\label{mode-expansion}

����Ǥ�, (\ref{equator-shallow-water-eq-u})��
(\ref{equator-shallow-water-eq-phi})�γƹ��⡼��Ÿ��������̤�
�ޤȤ��. ̵��������������(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-u3})��
(\ref{equator-shallow-water-nondim-eq-phi3})��⡼��Ÿ��������̤�, 
�ʲ��Τ��줾��μ��ˤ����� $\beta=1, \sqrt{gH}=1$ �Ȥ����������. 

\begin{eqnarray}
    \frac{\partial u}{\partial t}
&=& -i\omega u \nonumber \\
&=& -i(\omega_{r} + i\omega_{i})(u_{r} + iu_{i}) 
    e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -i\{ (\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i}) + i(\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r}) \} e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\
&=& \{ (\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r})-i(\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i}) \}
    \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \} \nonumber \\
    \frac{\partial u}{\partial t}\Bigg|_{����} 
&=& \{ (\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dudt}\\[2ex]
    \beta y v 
&=& \beta y (v_{r} + iv_{i})
    e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& \beta y (v_{r} + iv_{i})
    e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\
&=& \beta y (v_{r} + iv_{i})
    \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \} \nonumber \\
    \beta y v \Bigg|_{����} 
&=& \beta y 
    \{ v_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - v_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t}
\label{mode-betayv} \\[2ex]
    -\frac{\partial\Phi}{\partial x}
&=& -ik\Phi \nonumber \\
&=& -ik(\Phi_{r} + i\Phi_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& k(\Phi_{i} - i\Phi_{r})e^{i(kx-\omega_{r}t)+\omega_{i}t} \nonumber \\
&=& k(\Phi_{i} - i\Phi_{r})\{\cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
-\frac{\partial\Phi}{\partial x}\bigg|_{����} 
&=& k\{\Phi_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + \Phi_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dpdx}\\[2ex]
    \frac{\partial v}{\partial t}
&=& -i\omega v \nonumber \\
&=& -i(\omega_{r} + i\omega_{i})(v_{r} + iv_{i}) 
    e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -i\{ (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i}) + i(\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r}) \} e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\
&=& \{ (\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})-i(\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i}) \}
    \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \} \nonumber \\
    \frac{\partial v}{\partial t}\Bigg|_{����} 
&=& \{ (\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dvdt}\\[2ex]
    -\beta y u 
&=& -\beta y (u_{r} + iu_{i})
    e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -\beta y (u_{r} + iu_{i})
    e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\
&=& -\beta y (u_{r} + iu_{i})
    \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \} \nonumber \\
    -\beta y u \Bigg|_{����} 
&=& -\beta y 
    \{ u_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - u_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} 
\label{mode-betayu}\\[2ex]
    -\frac{\partial\Phi}{\partial y} 
&=& -\frac{\partial}{\partial y}(\Phi_{r}+i\Phi_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -\frac{\partial}{\partial y}(\Phi_{r}+i\Phi_{i})e^{i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t} \nonumber \\
&=& -\frac{\partial}{\partial y}(\Phi_{r}+i\Phi_{i})\{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t }  \nonumber \\
    -\frac{\partial\Phi}{\partial y} \Bigg|_{����} 
&=& -\left\{
     \frac{\partial\Phi_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial\Phi_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t)
     \right\}e^{\omega_{i}t} \label{mode-dpdy} \\[2ex]
    \frac{\partial \Phi}{\partial t}
&=& -i\omega \Phi \nonumber \\
&=& -i(\omega_{r} + i\omega_{i})(\Phi_{r} + i\Phi_{i}) 
    e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -i\{ (\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i}) + i(\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r}) \} e^{ i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t } \nonumber \\
&=& \{ (\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r})-i(\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i}) \}
    \{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t } \} \nonumber \\
    \frac{\partial \Phi}{\partial t}\Bigg|_{����} 
&=& \{ (\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} 
\label{mode-dpdt} \\[1ex]
    -gH\frac{\partial u}{\partial x}
&=& -gH \cdot iku \nonumber \\
&=& -ikgH(u_{r} + iu_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& kgH(u_{i} - iu_{r})e^{i(kx-\omega_{r}t)+\omega_{i}t} \nonumber \\
&=& kgH(u_{i} - iu_{r})\{\cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
-gH\frac{\partial u}{\partial x}\bigg|_{����} 
&=& kgH\{u_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + u_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \label{mode-ghdudx}\\[2ex]
    -gH\frac{\partial v}{\partial y} 
&=& -gH\frac{\partial}{\partial y}( v_{r}+i v_{i})e^{i\{kx-(\omega_{r}+i\omega_{i})t\}} \nonumber \\
&=& -gH\frac{\partial}{\partial y}( v_{r}+i v_{i})e^{i(kx-\omega_{r}t) + \omega_{i}t} \nonumber \\
&=& -gH\frac{\partial}{\partial y}( v_{r}+i v_{i})\{ \cos(kx-\omega_{r}t) + i\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t }  \nonumber \\
    -gH\frac{\partial v}{\partial y} \Bigg|_{����} 
&=& -gH\left\{
     \frac{\partial v_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial v_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t)
     \right\}e^{\omega_{i}t} \label{mode-ghdvdy}
\end{eqnarray}

\medskip
(\ref{mode-dudt})��(\ref{mode-dpdx})���
(\ref{equator-shallow-water-eq-u})��⡼��Ÿ�����Ƽ��Ф��������ϼ��Τ�
���ˤʤ�: 
\begin{eqnarray}
&& \{ (\omega_{r}u_{i}+\omega_{i}u_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}u_{r}-\omega_{i}u_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad
= \beta y \{ v_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - v_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
+k\{\Phi_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + \Phi_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t}
\end{eqnarray}
(\ref{mode-dvdt})��(\ref{mode-dpdy})���
(\ref{equator-shallow-water-eq-v})��⡼��Ÿ�����Ƽ��Ф��������ϼ��Τ�
���ˤʤ�: 
\begin{eqnarray}
&& \{ (\omega_{r}v_{i}+\omega_{i}v_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}v_{r}-\omega_{i}v_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\ 
&& \qquad\qquad\qquad
= -\beta y 
    \{ u_{r}\cos(kx-\omega_{r}t) - u_{i}\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad\qquad
-\left\{
     \frac{\partial\Phi_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial\Phi_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t)
     \right\}e^{\omega_{i}t}~~~~
\end{eqnarray}
(\ref{mode-dpdt})��(\ref{mode-ghdvdy})���
(\ref{equator-shallow-water-eq-phi})��⡼��Ÿ�����Ƽ��Ф��������ϼ��Τ�
���ˤʤ�: 
\begin{eqnarray}
&& \{ (\omega_{r}\Phi_{i}+\omega_{i}\Phi_{r})\cos(kx-\omega_{r}t) + (\omega_{r}\Phi_{r}-\omega_{i}\Phi_{i})\sin(kx-\omega_{r}t) \}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad
= kgH\{u_{r}\sin(kx-\omega_{r}t) + u_{i}\cos(kx-\omega_{r}t)\}e^{\omega_{i}t} \nonumber \\
&& \qquad\qquad\qquad\qquad
-gH\left\{
     \frac{\partial v_{r}}{\partial y}\cos(kx-\omega_{r}t) - \frac{\partial v_{i}}{\partial y}\sin(kx-\omega_{r}t)
     \right\}e^{\omega_{i}t}~~~~
\end{eqnarray}

%\section*{��Ͽ ��ư������}
%
%�����ξ�������ʬ�����Ȥ�, ������ư�������˽���: 
%
%\begin{equation}
% \frac{\partial^{2}\eta}{\partial t^{2}} = c^{2}\nabla^{2}\eta \label{hadou-1}
%\end{equation}
%
%\medskip
%������, $\eta$ �Ͼ���μ��ʪ���̤�ɽ��, ɽ���Ѱ�, ̩���Ѳ�, ��Ĺ����
%�����֤���������. $x$ ���������Ť����Ȥξ��ˤ�, �ʲ��Τ褦�ˤʤ�: 
%
%\begin{equation}
%    \frac{\partial^{2}\eta}{\partial t^{2}} 
%  = c^{2}\frac{\partial^{2}\eta}{\partial x^{2}} \label{hadou-x}
%\end{equation}
%
%\medskip
%������ư��������, ���ΰ��̲�����({\it d'Alembert's solution}): 
%
%\begin{equation}
% \eta = f(x-ct) + g(x+ct) \label{hadou-x-solution}
%\end{equation}
%
%\medskip
%������, $f, g$ ��Ǥ�դδؿ��Ǥ���. $f(x-ct)$ �� $x$ ������ $c$ �ǿʤ���
%��ɽ��, $g(x+ct)$ �� $x$ ������ $-c$ �ǿʤ��Ȥ�ɽ���Ƥ���
%\footnote{$f(x-ct)$ �ξ��, $x-ct=$const �Ȥʤ���(��)�� $t$ �����äȶ���
%$x$ ��������®�� $c$ �ǰ�ư���Ƥ���. ���Τ���, $f(x-ct)$ ���ȤϻϤ�η�
%$f(x)$ ���ݤ��ʤ����ư���Ƥ���.}. \\
%
%��Ȥ��ưʲ��Τ褦�ʽ���ͤ�����Ȥ�ͤ���: 
%
%\begin{equation}
% \eta(x,0) = F(x) 
%  \qquad\mbox{and}\qquad 
% \frac{\partial\eta}{\partial t}(x,0) = G(x) \label{hadou-x-initial}
%\end{equation}
%
%\medskip
%���ΤȤ�(\ref{hadou-x-solution})��, ���Τ褦�ˤʤ�. 
%
%\begin{equation}
% f(x) + g(x) = F(x) \label{hadou-x-initial-1}
%\end{equation}
%\begin{eqnarray*}
%\frac{\partial\eta}{\partial t}(x,0)
% &=& 
%G(x) \\
%\frac{\partial}{\partial t}
% \left(f(\underbrace{x-ct}_{a})+g(\underbrace{x+ct}_{b})\right) 
% &=& 
%\frac{\partial}{\partial t}\left(f(a)+g(b)\right) \\
% &=& 
%  \frac{df}{da}\frac{\partial a}{\partial t} 
% +\frac{dg}{db}\frac{\partial b}{\partial t} \\
% &=& 
% -c\frac{df}{da}
% +c\frac{dg}{db} \\
%\frac{\partial\eta}{\partial t}(x,0)
% &=& 
% -c\frac{df}{da}\bigg|_{a=x}
% +c\frac{dg}{db}\bigg|_{b=x} \\
% &=& 
% -c\frac{df}{dx}
% +c\frac{dg}{dx}
%\end{eqnarray*}
%�椨��, 
%\begin{equation}
% -\frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx} = \frac{1}{c}G(x) \label{hadou-x-initial-2}
%\end{equation}
%
%(\ref{hadou-x-initial-2})����ʬ������, (\ref{hadou-x-initial-1})��ϢΩ����
%���, �ʲ�������: 
%
%\begin{equation}
% f(x) = \frac{1}{2}\left[F(x)-\frac{1}{c}\int_{x_{0}}^{x}G(\xi)d\xi\right]
%\qquad
% g(x) = \frac{1}{2}\left[F(x)+\frac{1}{c}\int_{x_{0}}^{x}G(\xi)d\xi\right]
%\end{equation}
%
%\medskip
%������, ���®�� $G(x)$ �� 0 �ξ��ˤ� $f(x)=g(x)=F(x)/2$ �Ȥʤ�,
%(\ref{hadou-x-solution})�ϼ��Τ褦�ˤʤ�: 
%
%\begin{equation}
% \eta = \frac{1}{2}F(x-ct)+\frac{1}{2}F(x+ct)
%\end{equation}
%
%\medskip
%���β򤫤�, ���®�� $G(x)=0$ ���Ȥ�, ����ο�����Ⱦʬ�� $x$����������®
%�� $-c$ �ǿʤ�, �Ĥ��Ⱦʬ��, $x$����������®�� $c$ �ǿʤ��Ȥ�ʬ�䤵���
%���Ȥ�ʬ����(��\ref{wave-profile-pic}). 
%
%\vspace{-5mm}
%\begin{figure}[H]
%% \begin{center}
%% \Depsf[9.5cm]{ps/FM-Fig.7.2.ps}
%% \end{center}
% \vspace{-5mm} 
%\caption{���ַв����Ȥ��ͻ�. ����Υץ��ե������ $F(x)$, ���®�٤� 0
% �Ȥ���. ��������Ⱦʬ�ϱ��˿ʤ�, �Ĥ��Ⱦʬ�Ϻ��˿ʤ��ͻҤ�ʬ����.} \label{wave-profile-pic}
%\end{figure}

\end{document}

