地球流体波動ノート

谷口博第二版

2001 年 8 月 29 日

目次

1 重力波の基礎理論 1 1.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 表面重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 表面重力波の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2.2 表面重力波の分散関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 表面重力波の圧力成分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.4 浅水波・深水波近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.5 表面重力波の波のエネルギーとフラックス . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 群速度とエネルギーフラックス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 群速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 波束と群速度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.3 群速度とエネルギーフラックス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 波線理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.1 深さ H が一定の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 深さ H が変化する場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 非回転系重力波 1 −浅水重力波 17

2.1 浅水重力波 (Shallow-Water Gravity Waves) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 浅水重力波の定性的な特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 浅水重力波の定性的な伝播メカニズム . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 浅水重力波の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 非回転系重力波 2 −内部重力波 21

3.1 内部重力波 (Internal Gravity (Buoyancy) Waves) . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1 大気重力波の定性的な特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2 純粋な内部重力波 (パーセル法による解釈) . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.3 純粋な内部重力波の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.4 内部重力波の分散関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.1.5 内部重力波の構造と伝搬メカニズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.6 地形性の内部重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.7 地形性内部重力波の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.8 地形性内部重力波の分散関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.9 地形性内部重力波の鉛直構造と鉛直伝播可能性 . . . . . . . . . . . 27 4 重力波 (回転系) 29

4.1 はじめに . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 基礎方程式の定式化 (浅水方程式) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2.1 圧力傾度力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2.2 連続の式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2.3 基礎方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3 浅水方程式における高周波・低周波レジーム . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3.1 ω ≫ f (高周波) の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3.2 ω > f (ただし ω ∼ f) の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3.3 ω ≪ f (低周波) の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4 回転系の重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 慣性重力波 34

5.1 慣性重力波 (Inertio-Gravity Waves) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.1.1 慣性重力波の定性的な特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.1.2 パーセル法による慣性重力波の解釈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.1.3 慣性重力波の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5.1.4 慣性重力波の分散関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1.5 慣性重力波の構造と伝搬メカニズム . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 ケルビン波 39

6.1 ケルビン波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.1.1 ケルビン波の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.1.2 ケルビン波の分散関係 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.1.3 ケルビン波の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 ロスビー波 42

7.1 ロスビー波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.1.1 準地衝流渦度方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7.1.2 ロスビー波の分散関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

8 浅水系の赤道波の定式化と無次元化 46 8.1 定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 8.2 無次元化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 8.3 v の式の導出 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.4 境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9 赤道波の固有値問題とその解 50 9.1 固有値問題の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 9.2 v̂ ≠ 0 の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.2.1 n = 0 の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 9.2.2 n ≥ 1 の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

9.3 v̂ = 0 の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9.3.1 ω = −k(≠ 0) の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 9.3.2 ω = k の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9.4 固有値, 固有関数のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 9.4.1 v̂ ≠ 0 の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 9.4.2 v̂ = 0 の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9.5 位相速度のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 9.5.1 v̂ ≠ 0 の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 9.5.2 v̂ = 0 の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10 赤道波の分散関係式と水平構造 61 10.1 赤道波の分散曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 10.2 n = −1 の場合の水平構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 10.3 n = 0 の場合の水平構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 10.4 n ≥ 1 の場合の水平構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 10.5 k = 0 のモードの水平構造に関する注釈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11 慣性重力波の水平伝播のメカニズム 69

11.1 n = 1, k = 0 の慣性重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11.1.1 n = 1, k = 0 の慣性重力波の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 11.1.2 n = 1, k = 0 の慣性重力波の構造を決める物理量 . . . . . . . . . . . 71 11.1.3 n = 1, k = 0 の慣性重力波の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.2 n = 1, k ≠ 0 の東進慣性重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 11.2.1 0 < k ≤ 1.2 (低波数) の東進慣性重力波の特徴 . . . . . . . . . . . . 79 11.2.2 k > 1.2 (高波数) の東進慣性重力波の特徴 . . . . . . . . . . . . . . 88

11.3 n = 1, k ≠ 0 の西進慣性重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 11.3.1 0 < k ≤ 1.1 (低波数) の西進慣性重力波の特徴 . . . . . . . . . . . . 91 11.3.2 k > 1.1 (高波数) の西進慣性重力波の特徴 . . . . . . . . . . . . . . 95

11.4 n = 2, k = 0 の慣性重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 11.4.1 n = 2, k = 0 の慣性重力波の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 11.4.2 n = 2, k = 0 の慣性重力波の構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

11.5 n = 2, k ≠ 0 の東進慣性重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 11.6 n = 2, k ≠ 0 の西進慣性重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

12 赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム 112 12.1 n = 1, k = 0 の赤道ロスビー波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 12.2 n = 1, k ≠ 0 の赤道ロスビー波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12.2.1 0 < k ≤ 2.0 (低波数) の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 12.2.2 k > 2.0 (高波数) の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

13 混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム 125

13.1 n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 13.1.1 n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波の特徴 . . . . . . . . . . . . . . 126 13.1.2 n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波の構造 . . . . . . . . . . . . . . 126 \underline{地球流体波動ノート目次 iv}

13.2 n = 0, k ≠ 0 の東進混合ロスビー重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 13.2.1 0 < k ≤ 0.7 (低波数) の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 13.2.2 k > 0.7 (高波数) の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

13.3 n = 0, k ≠ 0 の西進混合ロスビー重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 13.3.1 0 < k ≤ 2.5 (低波数) の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 13.3.2 k > 2.5 (高波数) の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

14 赤道ケルビン波の水平伝播のメカニズム 146 A 赤道波の固有値・固有関数 (有次元系) 150

A.1 固有値問題の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 A.2 固有値, 固有関数のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

A.2.1 v̂ ≠ 0 の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 A.2.2 v̂ = 0 の解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

B n ≥ 1 の分散関係式の解 152 B.1 n ≥ 1 の場合の分散関係式の厳密解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 B.2 n ≥ 1 の場合の分散関係式の近似解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

B.2.1 Matsuno(1966) の方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 B.2.2 厳密解から近似解を導く方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

C 赤道波方程式の各項のモード展開 160 D 渦度方程式の各項のモード展開 163 E 回転の無い浅水系の重力波 166

E.1 1 次元の非回転浅水系重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 E.2 2 次元の非回転浅水系重力波 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

F n = 1, k ≠ 0 の慣性重力波の構造を決める物理量 175 G n = 2, k = 0 の慣性重力波の構造を決める物理量 177 H n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波の構造を決める物理量 179

\underline{地球流体波動ノート第 1 章重力波の基礎理論 1}

第 1 章

重力波の基礎理論

1.1 はじめに

時空間上の 2 点間 (これを, 系と呼ぶ) で, その間の媒体の移動なしに情報を伝えるものを波と呼ぶ. 波の生成には, 復元力と慣性の存在が必要である. 復元力は, 系を元の状態に戻す働きをする. 一方, 慣性とは, 系が元の状態に戻った後もその運動を続けようとする働きのことである.

波の運動形態は, 二つに分類される. 一つは, 復元力が媒体の圧縮性もしくは弾性によって生じる場合である. この波は, 圧縮波 (compression wave), 弾性波 (elastic wave), あるいは, 圧力波 (pressure wave) と呼ばれ, 流体粒子は波が伝播する方向に振動する (縦波). この振動の振幅が小さい場合には, 音波 (sound wave) となる. 一方, もう一つの運動形態は, 重力が復元力となる場合である. この波は, 重力波 (gravity wave) と呼ばれる. 特に, 水面のような自由表面上の重力波を表面重力波 (surface gravity waves), 密度の異なる二つの流体の間 (界面: interface) で存在する重力波を内部重力波 (internal gravity waves) と呼ぶ. 重力波の流体粒子の運動は, 波の伝播の方向に平行な成分と垂直な成分の両者を併せ持つ (横波).

本章では, 重力波の基礎的な性質をまとめる. 以下では, 波の周期は自転周期よりもはるかに大きいとし, 波の運動は惑星の自転に影響されないものと仮定する.

1.2 表面重力波

本節では, 一様な深さ H をもつ海上の自由表面における重力波を議論する.

1.2.1 表面重力波の定式化

波の波長を λ, 自由表面の振幅を a, 静止状態からの鉛直変位を η(x, t) とし, a/λ ≪ 1 (海面の傾斜は小さい) かつ a/H ≪ 1 (波があっても海の深さは変わらない) とする. また, x 方向にのみ伝播する場合を扱い, 運動は x − z 平面内の 2 次元とする.

図 1.1: 波動の記述

●速度ポテンシャルの導入回転の無い運動であるから, はじめに速度ポテンシャル ϕ を以下のように定義する:

u ≡ \frac{∂ϕ}{∂x},  w ≡ \frac{∂ϕ}{∂z}  (1.2.1)

●連続の式速度ポテンシャルを連続の式

\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂w}{∂z} = 0  (1.2.2)

に代入して以下のラプラス方程式を得る:

\frac{∂^{2}ϕ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ϕ}{∂z^{2}} = 0  (1.2.3)

●境界条件海底では鉛直流が無いので境界条件は以下のようになる.

w = \frac{∂ϕ}{∂z} = 0 at z = −H  (1.2.4)

一方, 水面では, 海面の変位の速度が鉛直流に等しいから, 境界条件は以下のようになる.

\frac{Dη}{Dt} = w_{η}  at z = η  (1.2.5)

ここで, D/Dt = ∂/∂t + u(∂/∂x), w_{η} は, 自由表面での流体の速度の鉛直成分である. これは, 速度ポテンシャルを用いて以下のように書ける.

\frac{∂η}{∂t} + u\frac{∂η}{∂x}|_{z=η} = \frac{∂ϕ}{∂z}|_{z=η}  (1.2.6)

振幅の小さい波の場合, u と ∂η/∂x は共に小さいから, u(∂η/∂x) ≪ 1 は (1.2.4) 中の他の項よりもオーダが一つ小さくなる. したがって以下を得る.

\frac{∂η}{∂t} = \frac{∂ϕ}{∂z}|_{z=η}  (1.2.7)
= \frac{∂ϕ}{∂z}|_{z=0} + η \frac{∂^{2}ϕ}{∂z^{2}} |_{z=0} + ⋯ ≃ \frac{∂ϕ}{∂z}|_{z=0}
\frac{∂η}{∂t} = \frac{∂ϕ}{∂z}  at z = 0  (1.2.8)

さらに, 自由表面下の圧力を以下のように仮定する.

p = 0 at z = η  (1.2.9)

ここで運動方程式は, 以下のようになる:

\frac{∂u}{∂t} + (u · ∇)u = −\frac{1}{ρ}∇p + g + F  (1.2.10)
\frac{∂u}{∂t} + ∇ (\frac{1}{2}|u|^{2}) − u × rotu = −\frac{1}{ρ}∇p + g + F  (1.2.11)

渦無し条件と速度ポテンシャルを用いて以下のように書ける (Bernoulli’s equation).

\frac{∂ϕ}{∂t} + \frac{1}{2}(u^{2} + w^{2}) = −\frac{p}{ρ} − gz + F (t)  (1.2.12)

ここで, (u^{2} + w^{2}) の非線形項は, 振幅の小さい波の場合は無視できる. また, F は左辺の ∂ϕ/∂t に含めて新たに ϕ を定義する. また, p = 0 である. これより以下の関係を得る.

\frac{∂ϕ}{∂t} + gη = 0 at z = η  (1.2.13)

先の場合と同様に, ∂ϕ/∂t は z = 0 でも同様に評価できるから, 以下の境界条件を得る:

\frac{∂ϕ}{∂t} + gη = 0 at z = 0  (1.2.14)

●表面重力波の解の導出

これまでを要約すると, 解くべき方程式, 境界条件は以下の様になる:

\frac{∂^{2}ϕ}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}ϕ}{∂z^{2}} = 0  (1.2.3)
\frac{∂ϕ}{∂z} = 0 at z = −H  (1.2.4)
\frac{∂η}{∂t} = \frac{∂ϕ}{∂z}  at z = 0  (1.2.8)
\frac{∂ϕ}{∂t} = −gη at z = 0  (1.2.14)

ここで, 解 η(x, t) の形を以下のように仮定する.

η = a cos(kx − ωt)  (1.2.15)

ただし, k, ω はそれぞれ東西波数, 振動数である. この η を用いると, (1.2.8),(1.2.14) より ϕ は, sin 型の関数になることが分かる. これより, ϕ を以下のように仮定することにする:

ϕ = f(z) sin(kx − ωt)  (1.2.16)

(1.2.16) を (1.2.3) に代入して次式を得る:

\frac{d^{2}f}{dz^{2}} − k^{2}f = 0

この一般解は次のようになる:

f(z) = Ae^{kz} + Be^{−kz}  (1.2.17)

したがって, 速度ポテンシャルは次のように表される:

ϕ = (Ae^{kz} + Be^{−kz}) sin(kx − ωt)  (1.2.18)

これより (1.2.4) 式から以下の関係式を得る:

B = Ae^{−2kH}  (1.2.19)

また, (1.2.18) の左辺において

\frac{∂ϕ}{∂z}|_{z=η} = k(Ae^{kη} − Be^{−kη}) sin(kx − ωt)

である. ここではじめの仮定 (自由表面の傾斜と振幅は小さい) より kη ≪ 1 であるから e^{kη} ≃ e^{−kη} ≃ 1 である. したがって (1.2.15),(1.2.18) を (1.2.8) に代入して次の関係を得る:

k(A − B) = aω  (1.2.20)

よって, (1.2.19),(1.2.20) から A, B は次のようになる.

A = \frac{aω}{k(1 − e^{−2kH})},  B = \frac{aωe^{−2kH}}{k(1 − e^{−2kH})}  (1.2.21)

よって速度ポテンシャルは次のようになる:

ϕ = (\frac{aωe^{kz}}{k(1 − e^{−2kH})} + \frac{aωe^{−2kH}e^{−kz}}{k(1 − e^{−2kH})}) sin(kx − ωt)
= \frac{aω}{k} \frac{e^{kz} + e^{−2kH}e^{−kz}}{1 − e^{−2kH}} sin(kx − ωt)

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

= \frac{aω}{k} \frac{e^{k(z+H)} + e^{−k(z+H)}}{e^{kH} − e^{−kH}} sin(kx − ωt)
= \frac{aω}{k} \frac{cosh k(z + H)}{sinh kH} sin(kx − ωt)  (1.2.22)

したがって, 速度成分は次のようになる:

u = aω \frac{cosh k(z + H)}{sinh kH} cos(kx − ωt)
w = aω \frac{sinh k(z + H)}{sinh kH} sin(kx − ωt)

(1.2.23)

1.2.2 表面重力波の分散関係式

表面重力波の分散関係式は, (1.2.15) と (1.2.22) を (1.2.14) に代入して得られる:

ω = \sqrt{gk tanh kH}  (1.2.24)

よって, 位相速度 c = ω/k は次の様になり, 分散性 (c の波数依存性) があることがわかる.

c = \sqrt{\frac{g}{k} tanh kH} = \sqrt{\frac{gλ}{2π} tanh \frac{2πH}{λ}}  (1.2.25)

1.2.3 表面重力波の圧力成分

次に圧力成分を考える. 圧力 p は以下の線形化した Bernoulli’s equation を満たす:

\frac{∂ϕ}{∂t} + \frac{p}{ρ} + gz = 0  (1.2.26)

ただし, 外力は 0 とした. ここで,

p′ ≡ p − \underbrace{(−ρgz)}_{静止場での圧力}= p + ρgz  (1.2.27)

であるから, この p を (1.2.26) に代入して以下の式を得る:

p′ = −ρ\frac{∂ϕ}{∂t}  (1.2.28)

よって, 上式に (1.2.22) を代入すると, p′ は以下のようになる:

p′ = \frac{ρaω^{2}}{k} \frac{cosh k(z + H)}{sinh kH} cos(kx − ωt)  (1.2.29)

さらに, (1.2.29) に分散関係式 (1.2.24) を代入すると次式を得る:

p′ = ρga\frac{cosh k(z + H)}{cosh kH} cos(kx − ωt)  (1.2.30)

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1.2.4 浅水波・深水波近似

H/λ ≪ 1 とする近似を浅水波近似, H/λ ≫ 1 とする場合の近似を深水波近似と呼ぶ. 本節ではこれらの近似を用いて表面重力波の性質をまとめる.

●深水波近似

x → ∞ のとき tanh x → 1 であるから, 深水波近似 H/λ ≫ 1 を適用すると表面重力波の位相速度 (1.2.25) は次のようになる:

c = \sqrt{\frac{gλ}{2π} tanh \frac{2πH}{λ}}
= \sqrt{\frac{gλ}{2π}}
= \sqrt{\frac{g}{k}}  (1.2.31)

これより, 深い流体上の表面重力波は, 波長が長い波ほどより早く伝播することが分かる. 一方 H/λ ≫ 1 の場合, (1.2.23) より流体粒子の速度成分は以下のようになることがわかる:

u = aω \frac{cosh k(z + H)}{sinh kH} cos(kx − ωt)
= aω \frac{e^{k(z+H)} + e^{−k(z+H)}}{e^{kH} − e^{−kH}} cos(kx − ωt)

= aω \frac{e^{\frac{2π}{λ} (z+H)} + \underbrace{e^{− \frac{2π}{λ} (z+H)}}_{=0}}{e^{\frac{2π}{λ} H} − \underbrace{e^{− \frac{2π}{λ} H}}_{=0}} cos(kx − ωt)

≃ aωe^{kz} cos(kx − ωt)  (1.2.32)
w = aω \frac{sinh k(z + H)}{sinh kH} sin(kx − ωt)
= aω \frac{e^{k(z+H)} − e^{−k(z+H)}}{e^{kH} − e^{−kH}} sin(kx − ωt)

= aω \frac{e^{\frac{2π}{λ} (z+H)} − \underbrace{e^{− \frac{2π}{λ} (z+H)}}_{=0}}{e^{\frac{2π}{λ} H} − \underbrace{e^{− \frac{2π}{λ} H}}_{=0}} sin(kx − ωt)

≃ aωe^{kz} sin(kx − ωt)  (1.2.33)

これより, 速度ベクトルは, x が正の方向に伝播する波の場合, 振動数 ω で時計回りに回転することが分かる. このとき, 振幅は水深 (z = z_{0}) と振動数で決まり aωe^{kz_{0}} の一定値を取り続ける. 一方, 圧力成分 (1.2.30) 式は, 深水波近似のもとでは以下のようになる:

p′ = ρga\frac{cosh k(z + H)}{cosh kH} cos(kx − ωt)

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= ρga\frac{e^{k(z+H)−e^{−k(z+H)}}}{e^{kH} − e^{−kH}} cos(kx − ωt)
= ρga\frac{e^{\frac{2π}{λ} (z+H)−e^{− \frac{2π}{λ} (z+H)}}}{e^{\frac{2π}{λ} H} − e^{− \frac{2π}{λ} H}} cos(kx − ωt)
≃ ρgae^{kz} cos(kx − ωt)  (1.2.34)

これより, 波の運動による圧力の変化は, 深さと共に指数関数的に減衰していくことがわかる. したがって, 底に達することが出来るのは長波の波のみである.

●浅水波近似

x → 0 のとき tanh x → x であるから, 浅水波近似 H/λ ≪ 1 を適用すると表面重力波の位相速度 (1.2.25) は次のようになる:

c = \sqrt{\frac{gλ}{2π} tanh \frac{2πH}{λ}}
= \sqrt{gH}  (1.2.35)

これより, 浅い流体上の表面重力波の速度は, 深さにのみ依存し波長には依存しないことが分かる. 一方 H/λ ≪ 1 の場合,

cosh k(z + H) ≃ 1,  sinh k(z + H) ≃ k(z + H),  sinh kH ≃ kH

であるから, (1.2.23) より流体粒子の速度成分は以下のようになることがわかる:

u = aω \frac{cosh k(z + H)}{sinh kH} cos(kx − ωt)
= \frac{aω}{kH} cos(kx − ωt)  (1.2.36)
w = aω \frac{sinh k(z + H)}{sinh kH} sin(kx − ωt)
= aω (1 + \frac{z}{H} ) sin(kx − ωt)  (1.2.37)

これより鉛直速度成分は水平速度成分よりもはるかに小さいことが分かる. 一方, 圧力成分 (1.2.30) 式は, 浅水波近似のもとでは以下のようになる:

p′ = ρga\frac{cosh k(z + H)}{cosh kH} cos(kx − ωt)
≃ ρga cos(kx − ωt) = ρgη  (1.2.38)

ここで, η について (1.2.15) を用いた. これより, 圧力の変動は水深に独立であり, 各層の圧力変化は表面変位の変動による圧力の増加に等しい. それ故, 浅水波では完全な静水圧平衡が成り立っていることが分かる.

1.2.5 表面重力波の波のエネルギーとフラックス

●表面重力波の波のエネルギー

表面重力波は, 流体の運動による運動エネルギーと自由表面の変位によるポテンシャルエネルギーを持っている. 単位水平面積あたりの運動エネルギー E_{k} は, 以下のように層厚にわたっての積分を施した後, 一波長あたりの平均を取ることで得られる:

E_{k} = \frac{ρ}{λ} ∫_{0}^{λ} ∫_{−H}^{0} \frac{1}{2}(u^{2} + w^{2})dzdx  (1.2.39)

ここで, 鉛直積分は z = 0 まで行う. これは, z = η まで計算すると高次の項が生じてしまうためである. 上式に (1.2.23) を代入すると以下のようになる:

E_{k} = \frac{ρ}{2λ} ∫_{0}^{λ} ∫_{−H}^{0} a^{2}ω^{2} [\frac{cosh^{2} k(z + H)}{sinh^{2} kH} cos^{2}(kx − ωt) + \frac{sinh^{2} k(z + H)}{sinh^{2} kH} sin^{2}(kx − ωt)] dzdx
= \frac{ρω^{2}}{2 sinh^{2} kH} [\frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} a^{2} cos^{2}(kx − ωt)dx ∫_{−H}^{0} cosh^{2} k(z + H)dz
+\frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} a^{2} sin^{2}(kx − ωt)dx ∫_{−H}^{0} sinh^{2} k(z + H)dz]  (1.2.40)

ここで, x 積分について, 表面変位 η を用いると以下のようになる:

\frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} a^{2} cos^{2}(kx − ωt)dx = \frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} a^{2} sin^{2}(kx − ωt)dx
= \frac{1}{λ} ∫_{0}^{λ} η^{2}dx = \overline{η^{2}}

ここで, \overline{η^{2}} は平均自乗変位である. これを用いて E_{k} を書き換えると次のようになる:

E_{k} = \frac{ρω^{2}}{2 sinh^{2} kH} [\overline{η^{2}} ∫_{−H}^{0} cosh^{2} k(z + H)dz + \overline{η^{2}} ∫_{−H}^{0} sinh^{2} k(z + H)dz]
= \frac{ρω^{2}\overline{η^{2}}}{2 sinh^{2} kH} [∫_{−H}^{0} \frac{e^{2k(z+H)} + e^{−2k(z+H)} + 2}{4}dz + ∫_{−H}^{0} \frac{e^{2k(z+H)} + e^{−2k(z+H)} − 2}{4}dz]
= \frac{ρω^{2}\overline{η^{2}}}{2 sinh^{2} kH} \frac{1}{4} [[\frac{1}{2k} e^{2k(z+H)} − \frac{1}{2k} e^{−2k(z+H)} + 2z]_{−H}^{0}

+ [\frac{1}{2k} e^{2k(z+H)} − \frac{1}{2k} e^{−2k(z+H)} − 2z]_{−H}^{0}]

= \frac{ρω^{2}\overline{η^{2}}}{2 sinh^{2} kH} \frac{1}{4} [[\frac{1}{2k} e^{2kH} − \frac{1}{2k} e^{−2kH} − (\frac{1}{2k} − \frac{1}{2k} − 2H)]

+ [\frac{1}{2k} e^{2kH} − \frac{1}{2k} e^{−2kH} − (\frac{1}{2k} − \frac{1}{2k} + 2H)]]

= \frac{ρω^{2}\overline{η^{2}}}{8 sinh^{2} kH} · \frac{2}{k} (\frac{e^{2kH} − e^{−2kH}}{2} )
= \frac{ρω^{2}\overline{η^{2}}}{4k sinh^{2} kH} sinh 2kH

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= \frac{ρω^{2}\overline{η^{2}}}{4k sinh^{2} kH} · 2 sinh kH cosh kH
= \frac{ρω^{2}\overline{η^{2}}}{2k tanh kH}  ← この ω に分散関係式 (1.2.24) を代入して
= \frac{ρ · (gk tanh kH)\overline{η^{2}}}{2k tanh kH}
= \frac{1}{2}ρg\overline{η^{2}}  (1.2.41)

次に, ポテンシャルエネルギーについて考える. ポテンシャルエネルギーは, 水平の自由平面を持ち上げるときになされる仕事として定義される. これは, 波が存在し盛り上がった場のポテンシャルエネルギーと波の無い静止場のポテンシャルエネルギーの差に等しい. y 方向の単位長さあたりの流体要素のポテンシャルエネルギーは ρgzdxdz であるから, 単位水平面積あたりの波のポテンシャルエネルギー E_{p} は, 以下のようになる:

E_{p} = \frac{ρg}{λ} ∫_{0}^{λ} ∫_{−H}^{η} zdzdx − \frac{ρg}{λ} ∫_{0}^{λ} ∫_{−H}^{0} zdzdx
= \frac{ρg}{λ} ∫_{0}^{λ} ∫_{0}^{η} zdzdx
= \frac{ρg}{2λ} ∫_{0}^{λ} η^{2}dx  ← \overline{η^{2}} の定義を用いて
= \frac{1}{2}ρg\overline{η^{2}}  (1.2.42)

図 1.2: 流体柱のポテンシャルエネルギーの計算

(1.2.41) と (1.2.42) を比較すると, 平均運動エネルギーとポテンシャルエネルギーは等しいことが分かる. これはエネルギー等分配の原理 (principle of equipartition of energy) と呼ばれ, 地球の回転の影響を受けない小振幅の振動において成り立つ. 単位水平面積あたりの流体柱における波の全エネルギーは以下のようになる.

E = E_{k} + E_{p} = ρg\overline{η^{2}} = \frac{1}{2}ρga^{2}  (1.2.43)

ここで, η が正弦波の場合, cos^{2} x の一波長平均は, 1/2 であるから, \overline{η^{2}} = a^{2} (a は正弦波の振幅) であることを用いた.

●表面重力波の波のエネルギーフラックス

次に, 波数 k の波 (正弦波) によるエネルギーの伝達率 (エネルギーフラックス) についてまとめる. x = 0 の鉛直平面を横切るエネルギーフラックスは, x > 0 の領域の流体が x < 0 の領域の流体からなされた圧力による仕事に等しい. 波頭の単位長さあたり時間平均したエネルギーフラックスは, 擾乱場 (波のあるところ) の圧力 p′ の和を p, 背景場の圧力を −ρgz として以下のようになる:

F =⟨ ∫_{−H}^{0} pudz ⟩=⟨ ∫_{−H}^{0} p′udz ⟩ −ρg < u > ∫_{−H}^{0} zdz =⟨ ∫_{−H}^{0} p′udz ⟩  (1.2.44)

ここで, < > は波の周期にわたる平均を示し, < u >= 0 であることを用いた. また, p′ は (1.2.30) で与えられる. したがって, (1.2.44) に (1.2.23) の u と (1.2.30) を代入すると, 以下のようになる:

F = ⟨ ∫_{−H}^{0} p′udz ⟩
= ⟨ ∫_{−H}^{0} [\frac{ρaω^{2}}{k} \frac{cosh k(z + H)}{sinh kH} cos(kx − ωt) × aω \frac{cosh k(z + H)}{sinh kH} cos(kx − ωt)] dz ⟩
= ⟨cos^{2}(kx − ωt)⟩\frac{ρa^{2}ω^{3}}{k sinh^{2} kH} ∫_{−H}^{0} cosh^{2} k(z + H)dz
= ⟨cos^{2}(kx − ωt)⟩\frac{ρa^{2}ω^{3}}{k sinh^{2} kH} ∫_{−H}^{0} \frac{e^{2k(z+H)} + e^{−2k(z+H)} + 2}{4}dz
= ⟨cos^{2}(kx − ωt)⟩\frac{ρa^{2}ω^{3}}{4k sinh^{2} kH} [\frac{1}{2k} e^{2k(z+H)} − \frac{1}{2k} e^{−2k(z+H)} + 2z]_{−H}^{0}
= ⟨cos^{2}(kx − ωt)⟩\frac{ρa^{2}ω^{3}}{4k sinh^{2} kH} [\frac{1}{2k} e^{2kH} − \frac{1}{2k} e^{−2kH} − (\frac{1}{2k} − \frac{1}{2k} − 2H)]
= ⟨cos^{2}(kx − ωt)⟩\frac{ρa^{2}ω^{3}}{4k^{2} sinh^{2} kH} (sinh 2kH + 2kH)
= ⟨cos^{2}(kx − ωt)⟩\frac{ρa^{2}ω^{3}}{4k^{2} sinh^{2} kH} (2 sinh kH cosh kH + 2kH)
= ⟨cos^{2}(kx − ωt)⟩\frac{ρa^{2}ω^{3}}{4k^{2} sinh^{2} kH} · 2 sinh kH cosh kH (1 + \frac{2kH}{sinh 2kH} )
= ⟨cos^{2}(kx − ωt)⟩\frac{ρa^{2}ω^{3}}{2k^{2} tanh kH} (1 + \frac{2kH}{sinh 2kH} )  (1.2.45)

ここで, ⟨cos^{2}(kx − ωt)⟩ = 1/2 である. さらに, 分散関係式 (1.2.24) を用いると, 求めるエネルギーフラックスは以下のようになる.

F = \frac{1}{2}ρa^{2} \frac{1}{2k^{2}} \frac{gk tanh kH\sqrt{gk tanh kH}}{tanh kH} (1 + \frac{2kH}{sinh 2kH} )
= \frac{1}{2}ρga^{2} \frac{\sqrt{gk tanh kH}}{2k} (1 + \frac{2kH}{sinh 2kH} )
= \frac{1}{2}ρga^{2} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{k} tanh kH} (1 + \frac{2kH}{sinh 2kH} )
= \frac{1}{2}ρga^{2} [\frac{c}{2} (1 + \frac{2kH}{sinh 2kH} )]  (1.2.46)

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1.3 群速度とエネルギーフラックス

本節では, 位相速度が波数に依存するような分散性のある波を扱う. 分散性のある波の場合, 波のエネルギーは位相速度ではなく群速度で伝播する. 以下では, この群速度とエネルギーフラックスの関係についてまとめる.

1.3.1 群速度

はじめに, 振幅が等しく波数のわずかに異なる (k_{1}, k_{2}; したがって, 振動数もわずかに異なる; ω_{1}, ω_{2}) 二つの波の重ね合わせを考える.

η = a cos(k_{1}x − ω_{1}t) + a cos(k_{2}x − ω_{2}t)
= 2a cos [\frac{1}{2}(k_{2} − k_{1})x − \frac{1}{2}(ω_{2} − ω_{1})t] cos [\frac{1}{2}(k_{2} + k_{1})x − \frac{1}{2}(ω_{2} + ω_{1})t] (1.3.47)

ここで, k = (k_{1} + k_{2})/2, ω = (ω_{1} + ω_{2}), dk = k_{2} − k_{1}, dω = ω_{2} − ω_{1} とおくと次式を得る:

η = 2a cos (\frac{dk}{2} x − \frac{dω}{2} t) cos(kx − ωt)  (1.3.48)

ここで, cos(kx−ωt) は位相速度 c = ω/k で進行する波である (個々の波). しかし, その振幅 2a は cos[dkx/2 − dωt/2] の関数によって, ゆっくり変化する (波長 4π/dk, 周期 4π/dω)(図 1.3).

図 1.3: 二つの正弦波の線形の重ね合わせによる連続した群速度の形成.

この振幅変調が伝播していく速度 (波長/周期) は以下のようになる:

c_{g} = \frac{dω}{dk}  (1.3.49)

上記のように, 速く変化する正弦波とゆっくり変化する正弦波の積により波群が繰り返し形成される. この波群の速度 c_{g} を群速度と呼ぶ. c_{g} は, 分散曲線の接線の傾きに対応している (図 1.4). 群速度を一次元のみで扱う場合には, ω は波の伝播方向 k の関数として扱う. 三次元の場合, ω(k, l, m) は波数ベクトル K = (k, l, m) の関数である. このとき, 群速度ベクトルは直交座標系のテンソル表記を用いると以下のようになる:

c_{gi} = \frac{dω}{dK_{i}}  (1.3.50)

ここで, K_{i} は K の成分を表す. 群速度ベクトルは, それ故, 波数空間における ω の傾きに等しいことが分かる.

● c_{g} < c の場合

この場合, 波頭 (wave crest) はどの節点 (nodal point) でも現れなくなり波群 (envelope) 全体を通して波頭は前に進む. これら波頭は, 次の節点にやって来ると消失する.

● c_{g} > c の場合

この場合, 個々の波頭は先にある節点で現れ, 後ろの節点で消失する様に見える. これは, 波群全体を通して波頭が波群に相対的に後ろに進んでいるように見えるからである.

図 1.4: 分散曲線 ω(k) と c, c_{g} との対応.

1.3.2 波束と群速度

波束 (wave packet) は, δk の狭い領域内に存在するすべての波数の波が重なって出来たものである. 波群は, この波束が複数集まって出来たものである. 波束の中心には波数 k の波が存在する. 波束の振幅は, 1/δk のオーダの長さで減衰する (図 1.5).

波群の形の初期値を以下のように与える:

η = a(x) cos kx  (1.3.51)

上記の波形は, 少し時間がたった後では以下のように変化する:

η = a(x − c_{g}t) cos(kx − ωt)  (1.3.52)

ここで c_{g} = dω/dk である. これは, 波束の振幅が群速度で移動して行く様子を表している. このことから, c_{g} は波のエネルギーが伝播する速度に等しくなければならないことがわかる. なぜなら, 節点自身が c_{g} で移動し, 波のエネルギーは節点を越えて伝播することが出来ないためである.

表面重力波の場合, 分散関係式は

ω = \sqrt{gk tanh kH}  (1.2.24)

であるから, 群速度は以下のようになる:

c_{g} = \frac{c}{2} [1 + \frac{2kH}{sinh 2kH} ]  (1.3.53)

ここで, 深水波近似 (H/λ ≫ 1), 浅水波近似 (H/λ ≪ 1) のもとではそれぞれ sinh 2kH → ∞, sinh 2kH → 2kH となるから, 群速度はそれぞれ以下のようになる:

c_{g} = \frac{1}{2}c (deep water)
c_{g} = c (shallow water)

(1.3.54)

図 1.5: δk の狭い波数帯の波束の様子.

線形の非分散の系においては, どんな波束もその形は保存される. それは, 上記の shallow water の結果に見るように, どんな波長の波も同じ位相速度で進むためである. 一方, deep water のような分散系においては, 以下の図に見られるように, 各々の波長で位相速度が異なる. したがって群速度も異なる (長波長の波ほど群速度は大きい) ので, 初期に与えた擾乱は各々の波長の波に分離 (分散) していく様子が見られる.

図 1.6: 水面に石を投じた場合の水面のプロファイルを 3 つの時間にわけて書いたもの.

1.3.3 群速度とエネルギーフラックス

重力波のエネルギーの伝達率は, (1.2.46) で与えられる:

F = \frac{1}{2}ρga^{2} [\frac{c}{2} (1 + \frac{2kH}{sinh 2kH} )] = E [\frac{c}{2} (1 + \frac{2kH}{sinh 2kH} )]  (1.2.46 )

ここで, E = \frac{1}{2}ρga^{2} は, 単位水平面積あたりの流体柱の平均エネルギーである. (1.3.53) を用いると, 次式を得る:

F = Ec_{g}  (1.3.55)

これは, 正弦波の波成分のエネルギーの伝達率は, (波のエネルギー) × (群速度) で表されること, つまり, 波のエネルギーは群速度で伝播することを示している.

1.4 波線理論

1.4.1 深さ H が一定の場合

深さ H がどこでも一定の流体の場合, c_{g} の速度で移動する観測者からみると波数 k は変化しない. 本節ではこのことを示すため, 波長が徐々に変化するような波列を考えることにする. このような波列では, 連続した波頭の間の距離は, 時間, 空間でゆっくり変化する. ここでは, 局所的に以下のような形で自由表面の変位が記述できるものとする:

η = a(x, t) cos[θ(x, t)]  (1.4.56)

ここで, a(x, t) はゆっくり変化する振幅, θ はその場所の位相である. また, 波数 k, 振動数 ω の場合の位相角は, θ = kx − ωt である. 徐々に変化する波列の場合, 時空間における位相の変化率として, 局所波数 k(x, t), 局所振動数 ω(x, t) を定義することができる:

\begin{aligned}k & = & \frac{∂θ}{∂x} \\ ω & = & −\frac{∂θ}{∂t} \end{aligned}  (1.4.57)

交互に微分を施すと次式を得る:

\frac{∂k}{∂t} + \frac{∂ω}{∂x} = 0  (1.4.58)

ここで, H は一定であるから, ω は k のみの関数 ω = ω(k) であると仮定する. このとき,

\frac{∂ω}{∂x} = \frac{dω}{dk} \frac{∂k}{∂x}  (1.4.59)

となるから, (1.4.58) 式は次の様になる:

\frac{∂k}{∂t} + c_{g} \frac{∂k}{∂x} = 0  (1.4.60)

ここで, c_{g} = dω/dk である. (1.4.60) の左辺は, ラグランジュ微分と同様の形をしており, 速度 c_{g} で動く観測者から見たときの k の変化の割合を与えることがわかる. この変化の割合が 0 であることから, そのような観測者から波を観測すると, いつも同じ波長の波が観測される. それ故, 群速度は波数 k が移流する速度であることがわかる (図 1.7). 図 1.7 において, 波頭は dx/dt = c となる線に沿っている. 一方, 波長は dx/dt = c_{g} となる線に沿って保存 (同じ値を取る) している. 擾乱が与えられた領域の幅は, 図 1.7 の最初の太線と最後の太線に囲まれた領域の幅に対応している. この幅は, 時間と共に増加するものの, 波頭は波群の後ろから現れ波群の前で消えて行く様子が見られる.

図 1.7: 一様な流体中を波群が伝播する様子を x − t 平面で表したもの. 細線は波頭のとる線, 太線は k と ω が等しくなるところを結んだ線である.

1.4.2 深さ H が変化する場合

c_{g} の速度で動く観測者から見ると, どこでも一様な性質を持つ流体中では同じ波長の波しか観測されない, という前節での結果は, 深さ H が場所によって変化するような本節の場合成り立たない. 本節では, 波動がいつも底を感じるように浅水波を仮定する. このような場合, 波のエネルギーの伝播の経路に沿って保存する (同じ値を取る) のは, 波長ではなく振動数である. 以下では, このことを示すことにする.

H(x) は徐々に (波長のスケールで) 変化する場合を考える. このとき, 分散関係式 (1.2.24) は次のようになる:

ω = \sqrt{gk tanh kH(x)}  (1.4.61)

これより ω は k, x の関数になることがわかる:

ω = ω(k, x)  (1.4.62)

この場合, 群速度は一点で局所的に求めることが出来る.

c_{g}(k, x) = \frac{∂ω(k, x)}{∂k}  (1.4.63)

両辺右から ∂k/∂t を掛けると次のようになる:

c_{g} \frac{∂k}{∂t} = \frac{∂ω}{∂k} \frac{∂k}{∂t} = \frac{∂ω}{∂t}  (1.4.64)

(1.4.58) に c_{g} を掛けて上式の結果を用いると次式を得る:

\frac{∂ω}{∂t} + c_{g} \frac{∂ω}{∂x} = 0  (1.4.65)

3 次元の系では以下のようになる:

\frac{∂ω}{∂t} + c_{g} · ∇ω = 0  (1.4.66)

上式から, 深さ H が変化するような非一様流体中では, 群速度で動く観測者からみたときに保存する (同じ値を取る) 物理量は, 振動数であることが分かる.

以上, 二つの小節の結果をまとめると次のようになる. 深さ H が一定の流体の場合, c_{g} の速度で動く観測者から見て保存するのは, k, ω(k), c, c_{g} である. その結果, x − t 平面では群速度を表す波線 (ray path) は直線になる (図 1.7). 一方, 深さ H が変化する流体の場合, c_{g} の速度で動く観測者から見て (dx/dt = c_{g} の線上で) 保存するのは, ω のみである. この場合 k, c, c_{g} は変化する. その結果, x − t 平面の波線は直線にはならない (図 1.8).

図 1.8: 非一様な流体中を波群が伝播する様子を x − t 平面で表したもの. ω が一定となる波線のみを書いている.

\underline{地球流体波動ノート第 2 章非回転系重力波 1 −浅水重力波 17}

第 2 章

非回転系重力波 1 −浅水重力波

2.1 浅水重力波 (Shallow-Water Gravity Waves)

表面重力波のうち, 浅水波近似したものを浅水重力波と呼ぶ. 本節では, 浅水重力波の特徴についてまとめることにする.

2.1.1 浅水重力波の定性的な特徴

• 浅水重力波は, 自由表面 (free surface) をもつ非圧縮流体, もしくは, 非圧縮な流体内部で密度の不連続がある場合に存在する波で, 等密度面中を伝播する.

• 浅水重力波の復元力は, 自由表面もしくは, 界面にはたらく圧力 (重力) であり, 鉛直方向を向いている. この復元力は, 波の伝播の方向と垂直である (横波)^{1}.

2.1.2 浅水重力波の定性的な伝播メカニズム

浅水重力波の伝播メカニズムについて考察するため, 図 2.1 のような x 軸方向に広がった水路を考える. 図 2.1 のように, 表面もしくは, 密度不連続面の界面 (interface) が上下に振動すると, 水平方向の圧力傾度力が変化するため水平方向に正負の加速度が発生し, 流体中に収束域と発散域が作られる. 収束域, 発散域はそれぞれ高圧部, 低圧部を形成するから, 元々存在する高圧部, 低圧部は時間が立つと新たに形成された高圧部, 低圧部へと位相伝播する (図 2.1).

1これに対し, 圧縮性流体に存在する音波は, 復元力の方向と波の伝播の方向が平行であり縦波である.

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図 2.1: x 軸右向きに伝播する浅水重力波 (表面重力波).

2.1.3 浅水重力波の定式化

本節では, 浅水重力波を定式化する. 図 2.2 のように, 密度の異なる二つの一様な非圧縮流体^{2}を考える. ここで, 下層の密度 ρ_{1} (定数) は, 上層の密度 ρ_{2} (定数) よりも大きいとし (安定成層した状態を考える), 静水圧した系を考える. このとき, それぞれの層の水平圧力傾度力は, 高度に依存しない定数となる.

\frac{∂}{∂z} (\frac{∂p}{∂x}) = −\frac{∂ρ}{∂x}g = 0

図 2.2: x 軸右向きに伝播する浅水重力波 (2 層モデル).

簡単のため, 上層の水平圧力傾度力は 0 とする. 図 2.2 において, 点 A と点 B に於ける圧力はそれぞれ次のようになる:

p + δp_{1} = p + ρ_{1}gδz = p + ρ_{1}g (\frac{∂h}{∂x}) δx,

p + δp_{2} = p + ρ_{2}gδz = p + ρ_{2}g (\frac{∂h}{∂x}) δx.

2非圧縮の仮定により, 音波を除去する.

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ここで ∂h/∂x は, 界面の傾斜を表す. δx → 0 とすると, 下層の圧力傾度力が得られる:

lim_{δx→0} [\frac{(p + δp_{1}) − (p + δp_{2})}{δx}] = gδρ\frac{∂h}{∂x}

ここで, δρ = ρ_{1} − ρ_{2} である. 運動は x − z 平面に限られ 2 次元的であると仮定すると, 下層の x 方向の運動方程式は次のようになる.

\frac{∂u}{∂t} + u\frac{∂u}{∂x} + w\frac{∂u}{∂z} = −\frac{gδρ}{ρ_{1}} \frac{∂h}{∂x}  (2.1.1)

一方, 連続の式は,

\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂w}{∂z} = 0.  (2.1.2)

(2.1.1) の圧力傾度力は z に独立であるから, 初期に u ≠ u(z) を仮定すると, u は z に独立な関数である. このとき (2.1.1) を下層境界 z = 0 から界面の高さ z = h まで鉛直方向に積分すると以下のようになる:

w(h) − w(0) = −h (\frac{∂u}{∂x})

一方, w(h) は界面の高さの時間変化の割合に等しいから,

w(h) = \frac{Dh}{Dt} = \frac{∂h}{∂t} + u\frac{∂h}{∂x}

また, w(0) = 0 (下端境界条件) である. ゆえに, 連続の式を鉛直方向に積分して,

\frac{∂h}{∂t} + \frac{∂}{∂x}(hu) = 0.  (2.1.3)

さらに, u, h を以下のように摂動展開する:

u = \overline{u} + u′, h = H + h′

ここで, \overline{u} は基本場の東西流を表し定数である. また, H は下層の平均深さをあらわす. (2.1.1) と (2.1.3) を摂動展開すると,

\frac{∂u′}{∂t} + \overline{u}\frac{∂u′}{∂x} + \frac{gδρ}{ρ_{1}} \frac{∂h′}{∂x} = 0  (2.1.4)
\frac{∂h′}{∂t} + \overline{u}\frac{∂h′}{∂x} + H \frac{∂u′}{∂x} = 0  (2.1.5)

ここで, H ≫ |h′| と仮定し, 摂動の 2 次以上の項は消去した. (2.1.4) と (2.1.5) から u′ を消去すると, 次式を得る.

(\frac{∂}{∂t} + \overline{u}\frac{∂}{∂x})^{2} h′ − \frac{gHδρ}{ρ_{1}} \frac{∂^{2}h′}{∂x^{2}} = 0  (2.1.6)

以下のような波型の解

h′ = A exp[ik(x − ct)]

を仮定し (2.1.6) に代入すると, 位相速度 c は以下のようになる:

c = \overline{u} ± \sqrt{\frac{ghδρ}{ρ_{1}}}  (2.1.7)

上層が大気, 下層が水面の様な場合には, δρ ≈ ρ_{1} となるから, 位相速度は以下のようになる:

c = \overline{u} ± \sqrt{gH}

\sqrt{gH} は浅水波の速度と呼ばれ, 流体の厚さよりも波長がはるかに長いような波の場合には妥当な速度である.

\underline{地球流体波動ノート第 3 章非回転系重力波 2 −内部重力波 21}

第 3 章

非回転系重力波 2 −内部重力波

3.1 内部重力波 (Internal Gravity (Buoyancy) Waves)

本節では, 大気中を伝播する重力波 (大気重力波) について考察する. はじめに, 純粋な内部重力波についてその特徴をまとめ, 定式化を行う. 続けて, 地形性の重力波についてまとめることにする.

3.1.1 大気重力波の定性的な特徴

• 大気重力波は, 大気が安定成層している場合にのみ存在し, 密度の不連続な流体中を伝播する波である.

• 大気重力波の復元力は, 鉛直方向に変位した流体パーセルに働く浮力である.

• 水平だけでなく鉛直伝播も可能である^{1}. 鉛直伝播する波を特に内部波 (内部重力波) と呼ぶ.

• 流体の回転は考えない.

3.1.2 純粋な内部重力波 (パーセル法による解釈)

簡単のため, x, z 平面を伝播する 2 次元の内部重力波を扱う. 流体の回転はない. 内部重力波は重力波の特徴である横波の性質をもつから, パーセルの振動は, 図 3.1 のように, 等位相線に対して平行である.

図 3.1: 鉛直方向に対して α の角度の等位相線をもつ重力波のパーセルの振動の模式図.

1海洋は上下に境界がありそこで反射を受けるため, 障害無く伝播できるのは水平方向に伝播する波のみ.

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\underline{地球流体波動ノート第 3 章非回転系重力波 2 −内部重力波 22}

図 3.1 で示すように, 鉛直方向に対して α の角度の等位相線にそって, 距離 δs だけ変位したパーセルを考える. このとき鉛直方向の変位 δz = δs cos α であるから, このパーセルに働く単位質量あたりの浮力は, −N^{2}δz である (N は浮力振動数^{2}). したがって, 図 3.1 のように傾いた等位相線に沿って振動するパーセルに働く浮力は以下のようになる:

−N^{2}δz = −N^{2}(δs cos α) cos α = −(N cos α)^{2}δs

よって, 等位相線に沿って振動するパーセルの運動方程式は次のようになる:

\frac{d^{2}(δs)}{dt^{2}} = −(N cos α)^{2}δs  (3.1.1)

上式より

δs = exp[±i(N cos α)t]

を得る. これより, パーセルは振動数 ν = N cos α で振動することが分かる.

3.1.3 純粋な内部重力波の定式化

純粋な内部重力波の定式化にあたり仮定するのは以下の事項である.

• 運動は 2 次元 (x, z 平面)

• 流体の回転はなし

• ブジネスク近似 (浮力項中の重力を除き密度一定 (ゆえに, 非圧縮流体) として扱う^{3})

• 基本場は東西平均流のみ

• 静水圧平衡上記の仮定により, 基礎方程式は以下のようになる:

\frac{∂u}{∂t} + u\frac{∂u}{∂x} + w\frac{∂u}{∂z} + \frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂x} = 0  (3.1.2)
\frac{∂w}{∂t} + u\frac{∂w}{∂x} + w\frac{∂w}{∂z} + \frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂z} + g = 0  (3.1.3)
\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂w}{∂z} = 0  (3.1.4)
\frac{∂θ}{∂t} + u\frac{∂θ}{∂x} + w\frac{∂θ}{∂z} = 0  (3.1.5)

ここで, 温位 θ は

2N^{2} = g \frac{d ln θ_{0}}{dz}

3これは, 鉛直スケールが大気のスケールハイト (H ≈ 8km) より小さい場合には妥当な近似である.

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θ = \frac{p}{RT} (\frac{p_{s}}{p} )^{κ}  (3.1.6)

である. 次に, (3.1.2)〜(3.1.5) を以下のように線形化する.

ρ = ρ_{0} + ρ′,  u = \overline{u} + u′
p = \overline{p}(z) + p′, w = w′ (3.1.7)
θ = \overline{θ}(z) + θ′

ここで, 基本場の東西流\overline{u}, ρ_{0} は共に定数である. また, 静水圧平衡より

\frac{d\overline{p}}{dz} = −ρ_{0}g  (3.1.8)

基本場の温位は, (3.1.6) を満たすから,

ln \overline{θ} = ln \{\frac{\overline{p}}{ρ_{0}R} (\frac{p_{s}}{\overline{p}} )^{\frac{R}{cp}} \}

= ln \overline{p}^{(1− \frac{R}{cp} )} − ln ρ_{0} + ln \frac{ps^{\frac{R}{cp}}}{R}
= \frac{1}{γ} ln \overline{p} − ln ρ_{0} + const.  (3.1.9)

ただし, γ = c_{p}/c_{v} である. (3.1.8) を (3.1.2)〜(3.1.6) に代入して線形化を行うと, (3.1.3) 左辺の残り二つの項は以下のように近似できる:

\frac{1}{ρ} \frac{∂p}{∂z} + g = \frac{1}{ρ_{0} + ρ′} (\frac{d\overline{p}}{dz} + \frac{∂p′}{∂z} ) + g
≈ \underbrace{\frac{1}{ρ_{0}} \frac{d\overline{p}}{dz}}_{=−g} (1 − \frac{ρ′}{ρ_{0}} ) + \frac{1}{ρ_{0}} \frac{∂p′}{∂z} + g = \frac{1}{ρ_{0}} \frac{∂p′}{∂z} + \frac{ρ′}{ρ} g  (3.1.10)

また, (3.1.6) の摂動展開は以下のようにして得られる.

ln [\overline{θ} (1 + \frac{θ′}{\overline{θ}} )] = \frac{1}{γ} ln [\overline{p} (1 + \frac{p′}{\overline{p}} )] − ln [ρ_{0} (1 + \frac{ρ′}{ρ_{0}} )] + const.  (3.1.11)
ln \overline{θ} + ln (1 + \frac{θ′}{\overline{θ}} ) = \frac{1}{γ} ln \overline{p} + \frac{1}{γ} ln (1 + \frac{p′}{\overline{p}} ) − ln ρ_{0} − ln (1 + \frac{ρ′}{ρ_{0}} ) + const.
ln \frac{θ′}{\overline{θ}} = \frac{1}{γ} ln \frac{p′}{\overline{p}} − ln \frac{ρ′}{ρ_{0}}

ただし, ここで ln(1 + ε) ≈ ε (for ε ≪ 1), (3.1.9) を用いた. 以上より,

\frac{θ′}{\overline{θ}} = \frac{1}{γ} \frac{p′}{\overline{p}} − \frac{ρ′}{ρ_{0}}

ρ′ について解くと,

ρ′ ≈ −ρ_{0} \frac{θ′}{\overline{θ}} + \frac{p′}{c_{s}^{2}}  (3.1.12)

ここで, c_{s} ≡ \overline{p}γ/ρ_{0} は音波の速度の 2 乗である. 内部重力波の場合, 圧力変化による密度変化は, 温度変化による密度変化と比べて小さい (|ρ_{0}θ′/\overline{θ}| ≫ |p′/c_{s}^{2}|) から, 故に以下の関係式を得る:

\frac{θ′}{\overline{θ}} = −\frac{ρ′}{ρ_{0}}  (3.1.13)

(3.1.10) と (3.1.13) を用いて, (3.1.2)〜(3.1.5) は次のように線形化される:

(\frac{∂}{∂t} + \overline{u}\frac{∂}{∂x}) u′ + \frac{1}{ρ_{0}} \frac{∂p′}{∂x} = 0,  (3.1.14)
(\frac{∂}{∂t} + \overline{u}\frac{∂}{∂x}) w′ + \frac{1}{ρ_{0}} \frac{∂p′}{∂z} − \frac{θ′}{\overline{θ}} g = 0,  (3.1.15)
\frac{∂u′}{∂x} + \frac{∂w′}{∂z} = 0,  (3.1.16)
(\frac{∂}{∂t} + \overline{u}\frac{∂}{∂x}) θ′ + w′ \frac{d\overline{θ}}{dz} = 0.  (3.1.17)

∂(3.1.15)/∂z− ∂(3.1.14)/∂x より, p′ を消去して, 渦度方程式の y 成分を得る:

(\frac{∂}{∂t} + \overline{u}\frac{∂}{∂x}) (\frac{∂w′}{∂x} − \frac{∂u′}{∂z} ) − \frac{g}{\overline{θ}} \frac{∂θ′}{∂x} = 0  (3.1.18)

(3.1.16), (3.1.17) を用いて, (3.1.18) は次のようになる:

(\frac{∂}{∂t} + \overline{u}\frac{∂}{∂x})^{2} (\frac{∂^{2}w′}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}w′}{∂z^{2}} ) + N^{2} \frac{∂^{2}w′}{∂x^{2}} = 0  (3.1.19)

ここで, N^{2} ≡ gd ln \overline{θ}/dz は浮力振動数の 2 乗 (定数と仮定) である.

3.1.4 内部重力波の分散関係

内部重力波の分散関係を得るため, (3.1.19) に対して以下のように波型の解を仮定する:

w′ = Re[ŵ exp(iϕ)] = w_{r} cos ϕ − w_{i} sin ϕ  (3.1.20)

ただし, ŵ は複素振幅 ŵ = w_{r}+iw_{i} (w_{r} は実部, w_{i} は虚部) であり, ϕ は位相 ϕ = kx+mz−νt を表す. 解は x 方向には常に三角関数型であるから, 東西波数 k は実数, 鉛直波数 m は複素数 m = m_{r} + m_{i} (m_{r} は z 方向に三角関数型で変位するときの波数を表し, m_{i} はその符号が正か負であるかによって z 方向で指数関数的に増加するか減衰するかを表す.) m が実数の場合, 全波数 k≡ (k, m) となる. k は, 等位相線に垂直な方向を向いていて, k = 2π/L_{x}, m = 2π/L_{z} である. (3.1.19) を (3.1.20) に代入して以下の分散関係式を得る:

(ν − \overline{u}k)^{2}(k^{2} + m^{2}) − N^{2}k^{2} = 0

したがって,

ν̂ ≡ ν − \overline{u}k = ±\frac{Nk}{\sqrt{k^{2} + m^{2}}} = ±\frac{Nk}{|k|}  (3.1.21)

ここで, ν̂ は intrinsic frequency と呼ばれ, 平均流に相対的な振動数を表す (ν が正 (負) の場合には, 平均流に対して相対的に西風 (東風) である).

3.1.5 内部重力波の構造と伝搬メカニズム

図 3.2 のように k > 0, m < 0 の場合, 等位相線は, 東に傾いていることが分かる^{4}. (3.1.21) の正の方を選択すると, 水平, 鉛直位相速度はそれぞれ c_{x} = ν̂/k, c_{z} = ν̂/m で与えられるから, これは東向きかつ下向きの位相伝搬に対応する.

図 3.2: 内部重力波に於ける圧力, 温度, 速度場の位相の理想的な経度高度断面図. 細い矢印は, 速度場を表し, 太い矢印は, 位相速度を表す. 影を付けた領域は, 運動が上向きの領域を表す.

一方, 群速度 c_{gx}, c_{gz} は, 次式で与えられる:

c_{gx} = \frac{∂ν}{∂k} = \overline{u} ± \frac{Nm^{2}}{(k^{2} + m^{2})^{3/2}} ,  (3.1.22)
c_{gz} = \frac{∂ν}{∂m} = ±\frac{−Nkm}{(k^{2} + m^{2})^{3/2}} .  (3.1.23)

± の符号は, (3.1.21) と同じように取る. これより, 以下のことが分かる.

4等位相線は ϕ = kx + mz 一定の線であるから, k > 0, m < 0 の場合, x が増加のとき z も増加する.

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• 群速度の鉛直成分は, 平均流に対して相対的な鉛直位相速度の符号と逆符号を取る (下向きに位相伝搬する場合は, エネルギーは上方伝播されることを意味する).

• 群速度ベクトルは等位相線に平行^{5}(∴群速度は位相速度と垂直)

大気中の内部重力波は, 主に対流圏での積雲対流や地形上の流れによって励起されるので, 個々の流体パーセルの振動が鉛直方向数 km 以内に限られていたとしても, エネルギーは上向きに伝播し成層圏にまで及び得ることが分かる.

図 3.2 中の等位相線の鉛直方向に対する傾きを以下のように取れば,

cos α = L_{z}/\sqrt{L_{x}^{2} + L_{z}^{2}} = ±k/\sqrt{k^{2} + m^{2}} = ±k/k

(3.1.21) より, ν̂ = ±N cos α となり, (3.1.1) で得られた結果と一致することが分かる.

3.1.6 地形性の内部重力波

静的安定な状況のもと, 速度\overline{u} の流れが三角関数型の地形を越える場合を考える. このとき個々の流体パーセルは, 平衡状態にある高度から上下の変位を強いられるため, 浮力振動をする. このような地形による強制を受けて上下に振動しながら浮力を復元力として進行する波を地形性内部重力波という. 以下では, このような地形性内部重力波の特徴についてまとめる.

3.1.7 地形性内部重力波の定式化

地形性内部重力波では, 地上の地形に対して相対的に定在となる解が存在する. この解は時間がたっても波の位相が変化することは無い ((3.1.20) に於いて ν = 0). したがって (3.1.19) より, 次式を得る:

(\frac{∂^{2}w′}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}w′}{∂z^{2}} ) + \frac{N^{2}}{\overline{u}} w′ = 0  (3.1.24)

3.1.8 地形性内部重力波の分散関係式

(3.1.20) を (3.1.24) に代入して以下の分散関係式を得る:

m^{2} = \frac{N^{2}}{\overline{u}^{2}} − k^{2}  (3.1.25)

5k との内積が 0 /home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

3.1.9 地形性内部重力波の鉛直構造と鉛直伝播可能性

(3.1.25) より, N, k, \overline{u} が与えられれば, 地形性内部重力波の鉛直構造を求めることが出来る.

\underline{1) |\overline{u} < N/k| の場合 (m^{2} > 0 の場合)}

この場合, m は実数となる. したがって, 鉛直上向きに伝播する解 (群速度 c_{gz} > 0, 位相速度 c_{z} < 0) が存在する:

w′ = ŵ exp[i(kx + mz)]

ここで (3.1.21) より, k > 0 の時,

\underline{\overline{u} > 0 の場合:}

ν̂ < 0 となる (地形性内部重力波では ν = 0) ので, c_{z} < 0 であるためには m > 0 でなければならない. このとき, (3.1.22),(3.1.23) の符号は, c_{gz} > 0 となるように, 下側の符号が選ばれる.

\underline{\overline{u} < 0 の場合:}

ν̂ < 0 となる (地形性内部重力波では ν = 0) ので, c_{z} < 0 であるためには m < 0 でなければならない. このとき, (3.1.22),(3.1.23) の符号は, c_{gz} > 0 となるように, 上側の符号が選ばれる.

\underline{2) |\overline{u} > N/k| の場合 (m^{2} < 0 の場合)}

この場合, m は虚数となり m = im_{i} となる. (3.1.24) は, 鉛直方向に減衰する (鉛直方向に捕捉された) 解をもつ:

w′ = ŵ exp(ikx) exp(−im_{i}z)

以上の結果から, 地形性内部重力波が鉛直伝播可能 (m が実数) になるのは, 平均流に対して相対的な振動数の大きさ |ν̂| = |ν(= 0) − \overline{u}k| = |\overline{u}k| が, 浮力振動数 (N) よりも小さい場合に限られることが分かる^{6}. これらの波の励起源は地上にあるので, 波のエネルギーは上向きに輸送される^{7}.

最後に, 地上の地形が与えられた場合の解を示しておく. ここでは, 以下のような地形のプロファイルを考える:

h(x) = h_{M} cos kx

6例えば, 安定成層をしていて (N が大きい), 地形の山の幅が広く (k が小さい), 相対的に基本場の東西流 (\overline{u}) が小さい場合に, このような条件が満たされる

7位相速度は下向きとなるので, 等位相線は高度と共に西に傾く.

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\underline{地球流体波動ノート第 3 章非回転系重力波 2 −内部重力波 28} ここで, h_{M} は地形の振幅である. 下端の境界に於ける流れは境界に平行でなければならないから, 境界における鉛直速度は, 運動にしたがって変化する境界の高度変化で与えられる:

w′(x, 0) = (\frac{Dh}{Dt})_{z=0} ≈ \overline{u}\frac{∂h}{∂x} = −\overline{u}kh_{M} sin kx

この条件を満たす (3.1.24) の解は, 以下のようになる:

w(x, z) = \{ \begin{matrix}−\overline{u}h_{M}ke^{−m_{i}z} sin kx, & (\overline{u}k > N) \\ −\overline{u}h_{M}k sin(kx + mz). & (\overline{u}k < N) \end{matrix}  (3.1.26)

\underline{地球流体波動ノート第 4 章重力波 (回転系) 29}

第 4 章

重力波 (回転系)

4.1 はじめに

第 1 章では, 表面重力波, 内部重力波について議論した. そこでは, 惑星の回転の影響が小さく, 波の振動数 ω がコリオリパラメータ f よりもはるかに大きい場合について扱った. 本章では, ω が f と同程度であり, 惑星の回転の影響を受けるような “ゆっくりとした現象” について扱う.

4.2 基礎方程式の定式化 (浅水方程式)

本章では, 層厚 H が一定, 底地形のない浅水波 (λ ≫ H) を扱う (図 4.1). 鉛直座標 z は底から上向きにとり, 表面変位 η は波長にくらべて十分小さいものとする.

図 4.1: 本章であつかう系の設定

4.2.1 圧力傾度力

1.2.4節の結果より, 浅水系では静水圧平衡が成り立っているから, 座標 z における圧力は以下のようになる:

p = ρg(H + η − z)  (4.2.1)

したがって, 水平方向の圧力傾度力は次のようになる:

\frac{∂p}{∂x} = ρg \frac{∂η}{∂x},  \frac{∂p}{∂y} = ρg \frac{∂η}{∂y}  (4.2.2)

これらは z に独立であるので, 水平運動は流体の深さに独立である.

4.2.2 連続の式

次に, 浅水系での連続の式を導出する. 一般の連続の式

\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} + \frac{∂w}{∂z} = 0  (4.2.3)

において, ∂u/∂x, ∂v/∂y は共に z に関して独立であるから, w は z に関して線形である (底で 0, 水面で最大値). (4.2.3) を z = 0 から z = H + η まで鉛直積分すると次式を得る:

(H + η)\frac{∂u}{∂x} + (H + η)\frac{∂v}{∂y} + w(η) − w(0) = 0  (4.2.4)

ここで w(η), w(0) は, それぞれ水面, 水底での鉛直速度である (w(0) = 0). 一方, 水面での鉛直速度は dη/dt に等しいから次式を得る:

w(η) = \frac{Dη}{Dt} = \frac{∂η}{∂t} + u\frac{∂η}{∂x} + v \frac{∂η}{∂y}  (4.2.5)

上式を用いると, (4.2.4) は次のようになる:

(H + η)\frac{∂u}{∂x} + (H + η)\frac{∂v}{∂y} + \frac{∂η}{∂t} + u\frac{∂η}{∂x} + v \frac{∂η}{∂y} = 0,

\frac{∂η}{∂t} + \frac{∂}{∂x}[u(H + η)] + \frac{∂}{∂y} [v(H + η)] = 0.  (4.2.6)

小振幅の波の場合, 2 次の非線形項は線形項と比べて十分小さいから, (4.2.6) は次のようになる:

\frac{∂η}{∂t} + H (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} ) = 0  (4.2.7)

4.2.3 基礎方程式

したがって, (4.2.2) と (4.2.7) を用いると線形化した基礎方程式は以下のようになる:

\begin{aligned}\frac{∂η}{∂t} + H (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} ) & = & 0, \\ \frac{∂u}{∂t} − fv & = & −g \frac{∂η}{∂x}, \\ \frac{∂v}{∂t} + fu & = & −g \frac{∂η}{∂y} . \end{aligned}  (4.2.8)

ここで, 運動方程式中の非線形項 (〜移流項) は小振幅の仮定のもとで無視した. (4.2.8) は, 流体の層厚に比べて水平スケ−ルがはるかに大きい場合の流体の支配方程式であり浅水方程式と呼ばれる.

4.3 浅水方程式における高周波・低周波レジーム

本節では, 種々の周波数帯で浅水方程式の各項がどのように消去できるかをまとめる. 回転の影響として, β 効果を導入する. 慣例に従い, x, y 軸をそれぞれ東向き, 北向きに取る. 種々の周波数帯による浅水方程式の振舞いを考察するため, (4.2.8) を用いる.

(4.2.8) の運動方程式をそれぞれ時間微分した後, 連続の式を用いると次のようになる:

\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} − f \frac{∂v}{∂t} = gH \frac{∂}{∂x} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )  (4.3.9)
\frac{∂^{2}v}{∂t^{2}} + f \frac{∂u}{∂t} = gH \frac{∂}{∂x} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )  (4.3.10)

さらに (4.3.10) を t で微分した後, (4.3.9) を用いると次のようになる:

\frac{∂^{3}v}{∂t^{3}} + f [f \frac{∂v}{∂t} + gH \frac{∂}{∂x} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )] = gH \frac{∂^{2}}{∂y∂t} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )  (4.3.11)

ここで, u を消去するため (4.2.8) の運動方程式から得られる次の渦度方程式を用いる:

\frac{∂}{∂t} (\frac{∂u}{∂y} − \frac{∂v}{∂x}) − f_{0} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} ) − βv = 0  (4.3.12)

ここで, f について β 平面近似 f = f_{0} + βy (ただし, β ≡ df/dy; これは, Δf/f ≪ 1 の場合に妥当である) を用いた. (4.3.12) を x 微分した後, gH を掛けて (4.3.11) を加えると v のみの渦度方程式を得る:

\frac{∂}{∂x}(4.3.12) : \frac{∂}{∂t} (\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} − \frac{∂^{2}v}{∂x^{2}} ) − f_{0} (\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}v}{∂x∂y} ) − β \frac{∂u}{∂x} = 0
×gH : gH \frac{∂}{∂t} (\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} − \frac{∂^{2}v}{∂x^{2}} ) − f_{0}gH (\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}v}{∂x∂y} ) − βgH \frac{∂u}{∂x} = 0
+(4.3.11) : \frac{∂^{3}v}{∂t^{3}} + f_{0}^{2} \frac{∂v}{∂t} + f_{0}gH \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + f_{0}gH \frac{∂^{2}v}{∂x∂y} + gH \frac{∂}{∂t} (\frac{∂^{2}u}{∂x∂y} − \frac{∂^{2}v}{∂x^{2}} )

−f_{0}gH (\frac{∂^{2}u}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}v}{∂x∂y} ) − βgH \frac{∂v}{∂x} = gH \frac{∂^{2}}{∂y∂t} (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )

\frac{∂^{3}v}{∂t^{3}} + f_{0}^{2} \frac{∂v}{∂t} − gH \frac{∂}{∂t} (\frac{∂^{2}v}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}v}{∂x^{2}} ) − βgH \frac{∂v}{∂x} = 0

\frac{∂^{3}v}{∂t^{3}} − gH \frac{∂}{∂t}∇_{H}^{2}v + f_{0}^{2} \frac{∂v}{∂t} − gHβ \frac{∂v}{∂x} = 0  (4.3.13)

ただし, ∇_{H}^{2} = ∂^{2}/∂x^{2} + ∂^{2}/∂y^{2} は水平ラプラシアン演算子である. ここで, 以下のような波動解を考える:

v = v̂e^{i(kx+ly−ωt)}  (4.3.14)

ここで, k は東西波数, l は南北波数である. これを (4.3.13) に代入して次の分散関係式を得る:

ω^{3} − c^{2}ωK^{2} − f_{0}^{2}ω − c^{2}βk = 0  (4.3.15)

ここで, K^{2} = k^{2} + l^{2}, c = \sqrt{gH} である. (4.3.15) は浅水波方程式の一般的な分散関係式である. 以下では, (4.3.15) を ω の範囲によって分類する.

4.3.1 ω ≫ f (高周波) の場合

この場合, (4.3.15) の 3 番目の項は 1 番目の項と比べて無視することが出来る. さらに, 4 番目の項は 2 番目の項と比べて無視できる:

\frac{c^{2}βk}{c^{2}ωK^{2}} ∼ \frac{β}{ωK} ∼ 10^{−3}  (4.3.16)

ここで, 以下の典型的な値を用いた: β = 2 × 10^{−11}m^{−1}s^{−1}, ω = 3f ∼ 3 × 10^{−4}s^{−1}, 2π/K ∼ 100km. それ故, ω ≫ f の場合には, (4.3.15) 式は 1 番目の項と 2 番目の項とのバランスになる:

ω^{3} − c^{2}ωK^{2} = ω(ω^{2} − c^{2}K^{2}) = 0  (4.3.17)

これより ω = ±K\sqrt{gH} を得る. 波の位相速度は ω/K = \sqrt{gH} となるから, したがって高周波の波の場合には, f と β の影響 (回転の効果) は共に無視できることが分かる. これは, ω が f と比べて非常に大きいためにコリオリ力の効果が効かなくなることに対応している.

4.3.2 ω > f (ただし ω ∼ f) の場合

この場合, (4.3.15) の 3 番目の項は無視できないが, β 効果 (4 番目の項) は無視できる. したがって, この場合の重力波はコリオリ力によって影響を受ける. しかし, 運動のタイムスケールは依然として非常に短いので, β 効果によって影響を受けることは無い.

4.3.3 ω ≪ f (低周波) の場合

この場合には, β 効果が非常に重要になる. このとき, (4.3.15) の第一項は無視できる. 例えば, 1 番目の項と 4 番目の項を比べると以下のようになる:

\frac{ω^{3}}{c^{2}βk} ≪ 1  (4.3.18)

海洋の典型的な値を用いると, 順圧モードの場合 c ∼ 200m/s, 傾圧モードの場合 c ∼ 2m/s となり, β = 2 × 10^{−11}m^{−1}s^{−1}, 2π/k ∼ 100km, ω ∼ 10^{−5}s^{−1} である. これらの値から上の比は, 順圧モードの場合, 約 0.2 × 10^{−4}, 傾圧モードの場合 0.2 となる. それ故, ω ≪ f の場合には (4.3.15) の第一項は無視できることがわかる.

(4.3.13) は, 大気, 海洋の種々の波動を支配する方程式系である. 本節での議論により, 限定された状況のもとで, これらの方程式のどの項を無視して良いかについて明らかにした. 以下の節では, 個々の限定された状況について, その波動の性質をまとめることにする.

4.4 回転系の重力波

本節では, 振動数 ω が ω > f の範囲の重力波についてまとめる. 前節の結果よりこの範囲では, β 効果は無視することが出来る. したがって, f = f_{0}(const.) とする. ここで, 以下のように波動解を仮定する.

(u, v, η) = (û, v̂, η̂)e^{i(kx+ly−ωt)}  (4.4.19)

ここで, û, v̂, η̂ は複素振幅である. 上式を (4.2.8) に代入すると次のようになる:

− iωû − fv̂ = −ikgη̂,  (4.4.20)
− iωv̂ + fû = −ilgη̂,  (4.4.21)
− iωη̂ + iH(kû + lv̂) = 0.  (4.4.22)

(4.4.20) と (4.4.21) より û, v̂ について解くと以下を得る:

û = \frac{gη̂}{ω^{2} − f^{2}} (ωk + ifl),  (4.4.23)
v̂ = \frac{gη̂}{ω^{2} − f^{2}} (ωl − ifk).  (4.4.24)

これらを (4.4.22) に代入して次の分散関係式を得る:

ω^{2} − f^{2} = gH(k^{2} + l^{2})
ω^{2} = f^{2} + gHK^{2}  (4.4.25)

ここで, K^{2} = \sqrt{k^{2} + l^{2}} である. 上の分散関係式から, この波は水平面内であらゆる方向に伝播し, ω > f であることがわかる. このように, コリオリ力によって影響を受けた重力波をポアンカレ波 (Poincaré wave), スベルドラップ波 (Sverdrup waves), 慣性重力波 (inertio gravity waves) 等と呼ぶ. 次節では, この慣性重力波の特徴について更に詳しくまとめることにする.

\underline{地球流体波動ノート第 5 章慣性重力波 34}

第 5 章

慣性重力波

5.1 慣性重力波 (Inertio-Gravity Waves)

数 km 以上の水平スケールをもち, 数時間以上の周期をもつ重力波は, コリオリ力の影響を受ける (ロスビー数が小さい場合にあたる). このように, 回転の影響を受けた重力波を慣性重力波という. 本節では慣性重力波の特徴をまとめることにする.

5.1.1 慣性重力波の定性的な特徴

• 慣性重力波は, 数 km 以上の水平スケールと数時間以上の周期をもち, 回転の影響を受けた重力波である.

• 慣性重力波の復元力は, 浮力とコリオリ力である.

• 水平だけでなく鉛直伝播も可能である. 特に, 子午面方向のパーセルの振動が慣性重力波には重要である^{1}.

5.1.2 パーセル法による慣性重力波の解釈

図 5 のように, y, z 平面において斜めの経路を伝わるパーセルの振動を考える. 鉛直変位を δz とすると, パーセルの振動方向に平行な浮力成分は, −N^{2}δz cos α である. 一方, パーセルの振動方向に平行なコリオリ力の成分は, 慣性振動を考えると得られる.

\overline{慣性振動}

{基本場は東西流のみであるとし, u_{g}(y) とおく. パーセルの変位により圧力場は変化しな \atop いものと仮定すると, パーセルの運動方程式は以下のようになる:}

\frac{Du}{Dt} = fv = f \frac{Dy}{Dt} (A.1)

1コリオリ力の変化が復元力となるため /home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

\frac{Dv}{Dt} = −f(u − u_{g}) (A.2)

{y = y_{0} でパーセルは地衝流平衡にあるものとすると, δy だけ変位したパーセルの東西速 \atop 度は (A.1) を積分して以下のように得られる:}

u(y_{0} + δy) = u_{g}(y_{0}) + fδy (A.3)

{一方, y_{0} + δy における地衝風は, y_{0} のまわりで u_{g} をテイラー展開することにより次の \atop ように表すことができる.}

u_{g}(y_{0} + δy) = u_{g}(y_{0}) + \frac{∂u_{g}}{∂y} δy (A.4)

{(A.3) と (A.4) を用いて, (A.2) を評価すると y_{0} + δy の場所における南北方向の運動方 \atop 程式は次のようになる:}

\underline{\frac{Dv}{Dt} = \frac{D^{2}δy}{Dt^{2}} = −f (f − \frac{∂u_{g}}{∂y} ) δy (A.5)}

慣性振動の考察により, 基本場が y 方向に一定の場合 (u_{g} = const.) の南北方向のコリオリ力は (A.5) より −f^{2}δy である. したがって, パーセルの振動方向に平行なコリオリ力の成分は −f^{2}δy sin α となる. 以上より, パーセルの運動方程式 (3.1.1) は次のようになる:

\frac{D^{2}δs}{Dt^{2}} = −f^{2}δy sin α − N^{2}δz cos α
= −f^{2}(δs sin α) sin α − N^{2}π(δs cos α) cos α
= −(f sin α)^{2}δs − (N cos α)^{2}δs
= −(N^{2} cos^{2} α + f^{2} sin^{2} α)δs  (5.1.1)

ここで, δs はパーセルの変位である (図 5). したがって分散関係式は次のようになる:

ν^{2} = N^{2} cos^{2} α + f^{2} sin^{2} α  (5.1.2)
= N^{2} cos^{2} α + f^{2}(1 − cos^{2} α)
= (N^{2} − f^{2}) cos^{2} α + f^{2}

ここで N^{2} > f^{2} であるから, (5.1.2) より慣性重力波の振動数 ν は, f ≤ |ν| ≤ N にあることが分かる^{2}.

2パーセルの軌跡の傾斜が鉛直方向に近付くにつれて ν は N に近くなる. 一方, パーセルの軌跡の傾斜が水平方向に近付くにつれて ν は f に近くなる. 中緯度の対流圏で ν の範囲は, およそ 12 分〜15 時間である.

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

図 5.1: 慣性重力波における子午面内でのパーセルの振動の模式図.

5.1.3 慣性重力波の定式化

慣性重力波の定式化にあたり仮定するのは以下の事項である.

• 運動は 3 次元 (x, y, z 平面)

• 流体の回転を含む

• ブジネスク近似 (浮力項中の重力を除き密度一定 (ゆえに, 非圧縮流体) として扱う)

• 基本場の流れは無し

• 静水圧平衡上記の仮定により, 基礎方程式は以下のようになる:

\frac{∂u′}{∂t} − fv′ + \frac{1}{ρ_{0}} \frac{∂p′}{∂x} = 0,  (5.1.3)
\frac{∂v′}{∂t} + fu′ + \frac{1}{ρ_{0}} \frac{∂p′}{∂y} = 0,  (5.1.4)
\frac{1}{ρ_{0}} \frac{∂p′}{∂z} − \frac{θ′}{\overline{θ}} g = 0,  (5.1.5)
\frac{∂u′}{∂x} + \frac{∂v′}{∂y} + \frac{∂w′}{∂z} = 0,  (5.1.6)
\frac{∂θ′}{∂t} + w′ \frac{∂\overline{θ}}{∂z} = 0.  (5.1.7)

ここで (5.1.5) より,

θ′ = \frac{1}{ρ_{0}} \frac{\overline{θ}}{g} \frac{∂p′}{∂z}

であるから, これを (5.1.7) に代入して θ′ を消去すると次式を得る:

\frac{∂}{∂t} (\frac{1}{ρ_{0}} \frac{∂p′}{∂z} ) + N^{2}w′ = 0  (5.1.8)

5.1.4 慣性重力波の分散関係

慣性重力波の分散関係を得るため, (5.1.8) に対して以下のように波型の解を仮定する:

(u′, v′, w′, p′/ρ_{0}) = Re[(û′, v̂′, ŵ′, p̂′) exp i(kx + ly + mz − νt)]

上式を (5.1.3),(5.1.4),(5.1.8) に代入すると, 次式を得る:

û = \frac{1}{ν^{2} − f^{2}} (νk + ilf)p̂,  (5.1.9)
v̂ = \frac{1}{ν^{2} − f^{2}} (νl − ikf)p̂,  (5.1.10)
ŵ = −\frac{νm}{N^{2}} p̂.  (5.1.11)

ここで (5.1.6) を用いると, 慣性重力波の分散関係式は以下のようになる:

ν^{2} = f^{2} + \frac{N^{2}(k^{2} + l^{2})}{m^{2}}  (5.1.12)

静水圧平衡の状況のもとでは, 運動の水平スケール ≫ 運動の鉛直スケールであるから, (k^{2} + l^{2})/m^{2} ≪ 1 である. したがって, m が実数となるような鉛直伝播可能な波動の場合, (5.1.12) より慣性重力波の振動数 ν は |f| < |ν| ≪ N の範囲でなければならないことがわかる. (5.1.12) は, 以下のような変換を施すと (5.1.2) と同等であることが分かる^{3}.

sin^{2} α → 1, cos^{2} α = \frac{k^{2} + l^{2}}{m^{2}}

5.1.5 慣性重力波の構造と伝搬メカニズム

l = 0 の場合, (5.1.9)×if+ (5.1.10)×ν より, v̂ = −\frac{ifû}{ν} を得る. これより, û が実数の場合, 慣性重力波の水平成分は以下のようになる:

u′ = û cos(kx + mz − νt),  v′ = û(f/ν) sin(kx + mz − νt)  (5.1.13)

上の結果から, 慣性重力波について以下の性質があることがわかる (図 5.2参照)^{4}:

• 速度ベクトルの水平成分は, 時間と共に高気圧性循環 (北半球では時計周り) をする.

• パーセルの軌跡は, 波数ベクトルに垂直な面内で楕円を描く.

• 上向きにエネルギーを伝播する波 (c_{gz} > 0) の場合 (m < 0, ν > 0 → c_{z} < 0 の場合), 速度ベクトルの水平成分は, 高度上昇と共に時計周りで回転する.

3この変換は, 場が静水圧平衡にある場合の条件 (k^{2} + l^{2})/m^{2} ≪ 1 と同等である.

4これらの性質は, 観測データで内部重力波と慣性重力波を区別するのに役立つ.

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図 5.2: 上向きに伝播する慣性重力波 (m < 0, ν > 0, f > 0 :北半球) の速度, ジオポテンシャル, 温度擾乱の位相を波数ベクトル k を含む鉛直断面で示したもの. 傾いた細い線は, 波数ベクトルに垂直な等位相面を表す. 太い矢印は, 位相伝搬の方向を示す. 細い矢印は, 慣性重力波の東西, 鉛直速度場を表す. 子午面の風は, ページ内に向かう向きを北向き, ページから出る向きを南向きとして表している. この図より速度ベクトルは高度とともに, 時計周りをしている様子が分かる.

\underline{地球流体波動ノート第 6 章ケルビン波 39}

第 6 章

ケルビン波

6.1 ケルビン波

本節では, 壁に平行に伝播する重力波を考える. このうち, 壁に捕捉された重力波を特に, ケルビン波と呼ぶ. このとき, v = 0 であるから fu は −g(∂η/∂y) と地衝流バランスした状態にある (f は一定):

fu = −g \frac{∂η}{∂y}  (6.1.1)

波頭の下部の左側では下降流, トラフの左側では上昇流があることから, 圧力傾度力の方向に対して右向きに流れが存在することになる. このことから, ケルビン波では, 北 (南) 半球の場合, 壁を右 (左) にみる方向に流れが存在する.

ポアンカレ波 (慣性重力波) とケルビン波との違いは, 南北方向の方程式から明らかである:

\frac{∂v}{∂t} + fu = −g \frac{∂η}{∂y}  (6.1.2)

ポアンカレ波の場合, 波頭が水平になり南北の圧力傾度力が存在しないときには, ∂v/∂t はコリオリ力とバランスし, 粒子の軌跡は楕円軌道を描く. 一方, ケルビン波の場合には, 地衝流バランス fu = −g(∂η/∂y) のために南北流速が存在しない.

6.1.1 ケルビン波の定式化

(4.2.8) より, x 方向の壁に沿って伝播するケルビン波の運動方程式は次のようになる:

\begin{aligned}\frac{∂η}{∂t} + H \frac{∂u}{∂x} & = & 0, \\ \frac{∂u}{∂t} & = & −g \frac{∂η}{∂x}, \\ fu & = & −g \frac{∂η}{∂y} . \end{aligned}  (6.1.3)

\underline{地球流体波動ノート第 6 章ケルビン波 40}

6.1.2 ケルビン波の分散関係

ここで解を以下のように仮定する:

[u, η] = [û(y), η̂(y)]e^{i(kx−ωt)}  (6.1.4)

(6.1.3) に代入すると次のようになる:

\begin{aligned}−iωη̂ + iHkû & = & 0, \\ −iωû & = & −igkη̂, \\ fû = −g \frac{dη̂}{dy}. \end{aligned}  (6.1.5)

上式の最初の二つの式から û を消去すると次のようになる:

η̂[ω^{2} − gHk^{2}] = 0  (6.1.6)

よって, 任意の η について次の分散関係式を得る:

ω = ±k\sqrt{gH}  (6.1.7)

ゆえに, 位相速度は非分散となり次の様になる:

c = \sqrt{gH}  (6.1.8)

上記の結果より, ケルビン波の伝播する速度は非回転系の重力波の位相速度と同じになる. 慣性重力波 (ポアンカレ波) とケルビン波の分散曲線をまとめると図 6.1 の様になる:

図 6.1: ポアンカレ波とケルビン波の分散曲線

6.1.3 ケルビン波の構造

東西の構造 (x 方向) を調べるため, (6.1.5) の 1 番目と 3 番目の方程式から û を消去すると次の様になる:

\frac{dη̂}{dy} ± \frac{f}{c} η̂ = 0  (6.1.9)

このうち, 岸から離れると減衰する解は以下の様になる:

η̂ = η_{0}e^{−fy/c}  (6.1.10)

ここで, η_{0} は岸における振幅である. これより, ケルビン波の場合の表面変位と速度場は以下の様になる:

\begin{aligned}η & = & η_{0}e^{−fy/c} cos k(x − ct) \\ u & = & η_{0}\sqrt{\frac{g}{H}} e^{−fy/c} cos k(x − ct) \end{aligned}  (6.1.11)

ここで, 解は実部のものを選んだ. また, u の解を得るのに, (6.1.5) を用いた. (6.1.11) より, ケルビン波の南北の減衰スケールは以下の様に与えられる:

Λ ≡ \frac{c}{f}  (6.1.12)

これは, ロスビーの変形半径 (Rossby radius of deformation) と呼ばれる. H = 5km, f = 10^{−4}s^{−1}(中緯度) の場合, c = \sqrt{gH} = 220m/s, Λ = c/f = 2200km である.

\underline{地球流体波動ノート第 7 章ロスビー波 42}

第 7 章

ロスビー波

7.1 ロスビー波

これまでは, f を一定とする波動を考えてきた. これらの波動の振動数は, f と比べてはるかに大きい値であった. 本節では, f が緯度変化することにより存在する波動を考える. これらはロスビー波と呼ばれ, 大気中における波動の場合, その空間スケールは非常に大きい. これが惑星波と呼ばれる由縁である. 一方, 海洋の場合, その波長はわずか 100km 程度である. ロスビー波の周波数は, ω ≪ f の場合に対応する. 振動数が f と比べてはるかに小さいために, 時間微分項はコリオリ力や圧力傾度力とくらべて小さいオーダを持つ. このような地衝流に近い運動のことを, 準地衝流運動と呼んでいる.

7.1.1 準地衝流渦度方程式

ロスビー波の定式化のため, 本節では準地衝流渦度方程式を導出する. 簡単のため, β 平面近似は βy ≪ f_{0} の場合に妥当であるとする (これは, 大気の全球規模のロスビー波の場合には適当ではない). 以下では, 平均流を 0 とした場合の定式化を行い, 最後に一様な平均流を重ね合わせることにする. また, 速度場は, 最も低次のオーダでは地衝流平衡にあるとする.

浅水波の場合のポテンシャル渦度方程式から出発する:

\frac{D}{Dt} (\frac{f + ζ}{h} ) = 0  (7.1.1)

上式を展開して

h\frac{D}{Dt}(f + ζ) − (f + ζ)\frac{Dh}{Dt} = 0  (7.1.2)

h = H + η (ただし, H は擾乱の無い基本場の層厚, η は表面変位) とすると,

(H + η) (\frac{∂ζ}{∂t} + u\frac{∂ζ}{∂x} + v \frac{∂ζ}{∂y} − βv) − (f_{0} + ζ) (\frac{∂η}{∂t} + u\frac{∂η}{∂x} + v \frac{∂η}{∂y} ) = 0  (7.1.3)

ここで, Df/Dt = v(df/dy) = βv である. また, β 平面近似では df/dy を含む項を除いて f の緯度変化は考えないので, f を含む項は f_{0} とした. 小さな擾乱成分の場合 (擾乱成分はロスビー数のオーダであるから), (7.1.3) において 2 次の非線形項は無視することが出来る. したがって, 線形化を施すと次式を得る:

H \frac{∂ζ}{∂t} + Hβv − f_{0} \frac{∂η}{∂t} = 0  (7.1.4)

これは, 線形化したポテンシャル渦度方程式である. ここで, 初めの仮定より最低次の速度場はほぼ地衝流平衡

\begin{aligned}u & ≃ & −\frac{g}{f} \frac{∂η}{∂y} \\ v & ≃ & \frac{g}{f} \frac{∂η}{∂x} \end{aligned}  (7.1.5)

にあるから^{1}, (7.1.4) 式より準地衝流渦度方程式を得ることができる. (7.1.5) を用いて渦度表記を行うと次式を得る:

ζ = \frac{f}{f_{0}} (\frac{∂^{2}η}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}η}{∂y^{2}} )  (7.1.6)

上式を (7.1.4) に代入して次式を得る:

\frac{gH}{f_{0}} \frac{∂}{∂t} (\frac{∂^{2}η}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}η}{∂y^{2}} ) + \frac{gHβ}{f_{0}} \frac{∂η}{∂x} − f_{0} \frac{∂η}{∂t} = 0  (7.1.7)

c = \sqrt{gH} を用いて書き換えると,

\frac{∂}{∂t} (\frac{∂^{2}η}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}η}{∂y^{2}} − \frac{f_{0}^{2}}{c^{2}} η) + β \frac{∂η}{∂x} = 0  (7.1.8)

これが, 線形化した準地衝流渦度方程式である. c/f_{0} はロスビーの変形半径である.

7.1.2 ロスビー波の分散関係式

(7.1.8) の解を次のように仮定する:

η = η̂e^{i(kx+ly−ωt)}  (7.1.9)

ここで, ω は正の値として扱い, k, l の符号は位相伝播の方向を決めるものとする. この η を (7.1.8) に代入して以下の関係式を得る:

1地衝流平衡にある速度場では, 水平発散は厳密に 0 であり, ∂η/∂t = 0 となるが, (7.1.4) では ∂η/∂t = 0 とはしない. これは, 地衝流平衡からのずれが流れの時間発展を記述するからであり, 時間微分項を残しておく必要があるためである.

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ω = −\frac{βk}{k^{2} + l^{2} + f_{0}^{2}/c^{2}}  (7.1.10)

これは, ロスビー波の分散関係式である. この分散関係の波数 k と l に関する非対称性は, ロスビー波の運動が水平方向に等方性を持たないことを意味している (これは β 効果によるものである). (7.1.10) は, 一層の一様流体について求めたものであるが, 成層のある流体の場合には c = \sqrt{g′H} (reduced gravity model), あるいは, c = NH/nπ (連続成層モデルの第 n モード) とすれば良い (ただし, g′ = g(ρ_{2} − ρ_{1})/ρ_{2}). 順圧モードの場合, c は非常に大きいので f_{0}^{2}/c^{2} は 0 として良い.

k, l を水平軸にとり, ω を鉛直軸にとると, (7.1.10) の ω を分散曲線として描くことが出来る (図 7.1). 分散関係式 (7.1.10) より,

(k + \frac{β}{2ω} )^{2} + l^{2} = (\frac{β}{2ω} )^{2} − \frac{f_{0}^{2}}{c^{2}}  (7.1.11)

となるから, ω 一定のコンターは円を描く.

図 7.1: ロスビー波の分散曲線 ω(k, l). 上の図は l = 0 とした場合の k と ω の関係を示している. 下の図は k − l 平面から見た場合の ω のコンターを示している. 3 つの円は, ωf_{0}/βc が, 0.2, 0.3, 0.4 の場合を示している. ω のコンターに垂直な矢印は, 群速度ベクトル c_{g} の方向を示している.

群速度の定義

c_{g} = i\frac{∂ω}{∂k} + j \frac{∂ω}{∂l}  (7.1.12)

より, c_{g} の方向は ω のコンターに垂直であることが分かる. 図 7.1 より l = 0 の場合, 振動数が最大になるのは, kc/f_{0} = −1 の場合であることが分かる. これより, 振動数が最大になる場合でもその大きさはコリオリ周期よりもはるかに小さいことが分かる.

(7.1.10) より, 東西方向の位相速度は以下のようになる:

c_{x} = \frac{ω}{k} = −\frac{β}{k^{2} + l^{2} + f_{0}^{2}/c^{2}}  (7.1.13)

このように c_{x} が常に負の値を取ることから, 位相の伝播はいつも西向きであることがわかる. 位相速度が最大になるのは k^{2} + l^{2} → 0 の場合であり, これは図 7.1 の原点付近の領域によって示された非常に大きな波長帯に対応している. この領域では, 波はほぼ非分散であり, 次式で与えられる:

c_{x} = −\frac{βc^{2}}{f_{0}^{2}}  (7.1.14)

ロスビー波はしばしば, ジェット気流の様な強い東向きの平均流と重ね合わせられる. U を東向きの平均流の速度とすると, 観測される東向きの位相速度は以下の様になる:

c_{x} = U − \frac{β}{k^{2} + l^{2} + f_{0}^{2}/c^{2}}  (7.1.15)

それ故, 定在ロスビー波 (c_{x} = 0) は, 東向きの基本流の流速と西向きの位相速度が相殺したときに形成される.

最後に, (7.1.10) を浅水系一般の分散関係式 (4.3.15):

ω^{3} − c^{2}ω(k^{2} + l^{2}) − f_{0}^{2}ω − c^{2}βk = 0  (7.1.16)

から導出することを試みる. ここで, ω ≪ f の場合, 第一項は第三項と比べて無視できるから, したがって (7.1.16) より, (7.1.10) を得る.

\underline{地球流体波動ノート第 8 章浅水系の赤道波の定式化と無次元化 46}

第 8 章

浅水系の赤道波の定式化と無次元化

8.1 定式化

簡単化のため, 流体の厚さ H は一定であるとし, 運動の無い基本場を考える. ここでは, 赤道 β 平面近似を用い, コリオリパラメータは以下のように表す:

f ≈ βy.  (8.1.1)

ここで, β = 2Ω/a (a は惑星半径, Ω は惑星の自転角速度) である. このとき浅水系の方程式系を線形化すると, 以下のようになる:

\frac{∂u}{∂t} − βyv = −\frac{∂Φ}{∂x},  (8.1.2)
\frac{∂v}{∂t} + βyu = −\frac{∂Φ}{∂y},  (8.1.3)
\frac{∂Φ}{∂t} + gH (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} ) = 0.  (8.1.4)

ここで, Φ = gH はジオポテンシャルである.

8.2 無次元化

次のようなスケールを導入する.

水平速度 ≡ U ≡ \sqrt{gH},  (8.2.5)
長さ ≡ L ≡ \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{β}} ,  (8.2.6)
時間 ≡ T ≡ \frac{L}{U} = \sqrt{\frac{1}{β\sqrt{gH}}} ,  (8.2.7)
深さ ≡ H.  (8.2.8)

これらを用いて, 変数を無次元化する.

(x, y) = L(x_{∗}, y_{∗}),  (8.2.9)
t = T t_{∗},  (8.2.10)
(u, v) = U(u_{∗}, v_{∗}),  (8.2.11)
Φ = gHΦ_{∗}.  (8.2.12)

ただし, ∗ の付いた量はそれぞれの量の無次元量を表す. これらを, (8.1.2)〜(8.1.4) に代入すると

\frac{U}{T} \frac{∂u_{∗}}{∂t_{∗}} − βLUy_{∗}v_{∗} = −\frac{gH}{L} \frac{∂Φ_{∗}}{∂x_{∗}} ,  (8.2.13)
\frac{U}{T} \frac{∂v_{∗}}{∂t_{∗}} + βLUy_{∗}u_{∗} = −\frac{gH}{L} \frac{∂Φ_{∗}}{∂y_{∗}} ,  (8.2.14)
gH \frac{∂Φ_{∗}}{∂t_{∗}} + \frac{gHU}{L} (\frac{∂u_{∗}}{∂x_{∗}} + \frac{∂v_{∗}}{∂y_{∗}} ) = 0.  (8.2.15)

すなわち

\frac{∂u_{∗}}{∂t_{∗}} − βLT y_{∗}v_{∗} = −\frac{gHT}{LU} \frac{∂Φ_{∗}}{∂x_{∗}} ,  (8.2.16)
\frac{∂v_{∗}}{∂t_{∗}} + βLT y_{∗}u_{∗} = −\frac{gHT}{LU} \frac{∂Φ_{∗}}{∂y_{∗}} ,  (8.2.17)
\frac{∂Φ_{∗}}{∂t_{∗}} + \frac{T U}{L} (\frac{∂u_{∗}}{∂x_{∗}} + \frac{∂v_{∗}}{∂y_{∗}} ) = 0.  (8.2.18)

ところが,

βLT = β · \sqrt{\frac{\sqrt{gH}}{β}} · \sqrt{\frac{1}{β\sqrt{gH}}} = 1,  (8.2.19)
\frac{gHT}{LU} = gH · \sqrt{\frac{1}{β\sqrt{gH}}} · \sqrt{\frac{β}{\sqrt{gH}}} · \frac{1}{\sqrt{gH}} = 1,  (8.2.20)
\frac{T U}{L} = T · \frac{1}{T} = 1,  (8.2.21)

である. ゆえに,

\frac{∂u_{∗}}{∂t_{∗}} − y_{∗}v_{∗} = −\frac{∂Φ_{∗}}{∂x_{∗}} ,  (8.2.22)
\frac{∂v_{∗}}{∂t_{∗}} + y_{∗}u_{∗} = −\frac{∂Φ_{∗}}{∂y_{∗}} ,  (8.2.23)
\frac{∂Φ_{∗}}{∂t_{∗}} + \frac{∂u_{∗}}{∂x_{∗}} + \frac{∂v_{∗}}{∂y_{∗}} = 0.  (8.2.24)

となる. 以下, 簡単のため添字の ∗ は省略する. 以降では, 無次元化した方程式系を主に扱い, 必要に応じて有次元系に戻ることにする (有次元系での式の扱いは場合によって付録に移動する).

8.3 v の式の導出

(8.2.22), (8.2.24) より

\frac{∂Φ}{∂x} + \frac{∂u}{∂t} = yv,  (8.3.25)
\frac{∂Φ}{∂t} + \frac{∂u}{∂x} = −\frac{∂v}{∂y} .  (8.3.26)

これを u, Φ について解くと,

(\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} − \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} ) Φ = (y \frac{∂}{∂x} + \frac{∂^{2}}{∂y∂t}) v,  (8.3.27)

(\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} − \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} ) u = (−y \frac{∂}{∂t} − \frac{∂^{2}}{∂y∂x}) v.  (8.3.28)

一方, (8.2.23) に\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} − \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} を作用させると

\frac{∂}{∂t} (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} − \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} ) v + y (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} − \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} ) u + \frac{∂}{∂y} (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} − \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} ) Φ = 0.  (8.3.29)

上式に (8.3.27),(8.3.28) を代入して

\frac{∂}{∂t} (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} − \frac{∂^{2}}{∂t^{2}} ) v + y (−y \frac{∂}{∂t} − \frac{∂^{2}}{∂y∂x}) v + \frac{∂}{∂y} (y \frac{∂}{∂x} + \frac{∂^{2}}{∂y∂t}) v = 0,  (8.3.30)

すなわち,

(\frac{∂^{3}}{∂x^{2}∂t} + \frac{∂^{3}}{∂y^{2}∂t} − y^{2} \frac{∂}{∂t} + \frac{∂}{∂x} − \frac{∂^{3}}{∂t^{3}} ) v = 0,  (8.3.31)

を得る.

8.4 境界条件

赤道波を扱う本章では, (8.1.2)〜(8.1.4), もしくは, (8.2.22)〜(8.2.24) の解のうち, 赤道 (y = 0) に捕捉された解を考える. 赤道に捕捉された解を考える根拠は, (8.2.22)〜(8.2.24) において u, Φ を消去した v についての式 (8.3.31) を考えることで得られる.

(\frac{∂^{3}}{∂x^{2}∂t} + \frac{∂^{3}}{∂y^{2}∂t} − y^{2} \frac{∂}{∂t} + \frac{∂}{∂x} − \frac{∂^{3}}{∂t^{3}} ) v = 0.  (8.3.31)

東西方向には, 地球や惑星の様な緯度円を一周する状況を考え, 周期境界条件

\frac{∂^{n}}{∂x^{n}} (u, v, Φ)|_{x} = \frac{∂^{n}}{∂x^{n}} (u, v, Φ)|_{x+L_{x}}  (n = 0, 1, 2, ⋯, N),  (8.4.32)

を課すことにする. 一方, 南北方向には “赤道に捕捉されている” 波だけを考え, 境界条件として

(u, v, Φ) → 0 as y → ±∞,  (8.4.33)

の条件を持つものとする. なぜなら, x, t に依存しない様な特殊な場合を考え, y に依存する項のみを取り出すと,

\frac{∂}{∂t} (\frac{∂^{2}}{∂y^{2}} − y^{2}) v = 0.  (8.4.34)

したがって

v(y) ∼ A exp (\frac{y^{2}}{2} ) + B exp (−\frac{y^{2}}{2} ) ,  (8.4.35)

となる (ただし, A, B は任意定数). これにより (8.3.31) には y → ±∞ で発散する解が含まれているから, y → ±∞ で v(y) が発散しないという条件を課しておかなければならない. 今の場合は A = 0 の場合に対応する:

v(y) ∼ B exp (−\frac{y^{2}}{2} ) .  (8.4.36)

よって, y → ±∞ で v(y) → 0 となる. 以上のことから, もっと一般的な場合でも y → ±∞ で v(y) → 0 となるような境界条件を課すことにする.

\underline{地球流体波動ノート第 9 章赤道波の固有値問題とその解 50}

第 9 章

赤道波の固有値問題とその解^{1}

9.1 固有値問題の定式化

u, v, Φ を以下の様に水平方向に離散化する:

( \begin{matrix}u \\ v \\ Φ \end{matrix} ) = Re ∑_{k} ∑_{m} [ \begin{matrix}a_{k,m}û_{k,m}(y) \\ a_{k,m}v̂_{k,m}(y) \\ a_{k,m}Φ̂_{k,m}(y) \end{matrix} ] exp[i(kx − ω_{k,m}t)].  (9.1.1)

ただし, a_{k,m} は任意の定数, k は東西波数, ω は振動数, m は ω を位相速度の大きい順に並べた時のモードの番号である. (9.1.1) を (8.2.22)〜(8.2.24) に代入し, exp i(kx − ωt) の直交性を用いて各々の k についての成分を取り出すと以下を得る (以降, 添字 k, m は省略):

− iωû − yv̂ = −ikΦ̂,  (9.1.2)
− iωv̂ + yû = −\frac{∂Φ̂}{∂y},  (9.1.3)
− iωΦ̂ + ikû + \frac{∂v̂}{∂y} = 0.  (9.1.4)

上式は k をパラメータとする固有値 ω = ω(k) の固有値問題となる. 以下では, v̂ だけの式を導出し, それを解くことにする. (9.1.2)〜(9.1.4) から û, Φ̂ を消去すると次式が得られる.

(ω \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} − k^{2}ω − k + ω^{3} − ωy^{2}) v̂ = 0.  (9.1.5)

上の式は, (8.3.31) に対応する. v̂ は, 上式と, 境界条件 (赤道に捕捉される条件),

v → 0 (y → ±∞),

を満たす k の関数として決められる. 以下では v̂ = 0, v̂ ≠ 0 の両者について場合分けを行い, 固有値, 固有関数を議論することにする. 第 9.3節で詳述するように v̂ = 0 の場合でも, û ≠ 0, Φ̂ ≠ 0 となるような物理的に意味のある解が存在するからである.

1有次元系での固有関数, 固有値の導出は, 付録第 A章にまとめた.

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9.2 v̂ ≠ 0 の場合

この節では v̂ ≠ 0 についての分散関係を導出し, その後に固有関数の構造を求める. (9.1.5) の両辺を ω で割ると, 次式を得る.

(\frac{∂^{2}}{∂y^{2}} − k^{2} − \frac{k}{ω} + ω^{2} − y^{2}) v̂ = 0.  (9.2.6)

両辺を ω で割ることができたのは, v̂ ≠ 0 の場合, ω ≠ 0 だからである. それは以下の理由による. ω = 0 の場合, (9.1.5) より,

kv̂ = 0  (9.2.7)

となるから, v̂ ≠ 0 より k = 0 を得る. このとき, v̂ の固有関数形を (9.1.5) より求めることが出来ない. そこで, 元の方程式系 (9.1.2)〜(9.1.4) に戻って, ω = k = 0 とすると, v̂ = 0 を得る. これは v̂ ≠ 0 とした始めの仮定に不適であるから, したがって, ω ≠ 0 が得られる. (9.2.6) 式は, 以下の微分方程式

\frac{d^{2}u}{dξ^{2}} + (λ − ξ^{2}) u = 0,  (9.2.8)

(一次元調和振動子に対するシュレーディンガー方程式^{1}, もしくは, 放物柱関数を与える微分方程式) と同じ形をしている. したがって, (9.2.6) と比較して以下の分散関係式

ω^{3} − k^{2}ω − k = (2n + 1)ω,  (9.2.9)

を得る. また, 固有関数 v̂ は (9.2.8) よりエルミート多項式 H_{n}(y):

H_{n}(y) = (−1)^{n}e^{y^{2}} \frac{d^{n}}{dy^{n}} e^{−y^{2}}  (n ≥ 0),  (9.2.10)
H_{0}(y) = 1, H_{1}(y) = 2y, H_{2}(y) = 4y^{2} − 2, H_{3}(y) = 8y^{3} − 12y ⋯

を用いて以下のように表される:

v̂_{n}(y) = A_{n}D_{n}(y) (n ≥ 0),  (9.2.11)
D_{n}(y) = H_{n}(y) exp (−\frac{y^{2}}{2} )  (n ≥ 0).  (9.2.12)

ただし, A_{n} は任意の定数であり, 以降簡単化のため A_{n} = 1 とする^{2}. また, この v̂_{n}(y) を使って求められる û(y), Φ̂(y) を以降 û_{n}(y), Φ̂_{n}(y) と表すことにする. 以下では, まず (9.2.9) 式を解き, 分散関係式を導出する. 次に v̂_{n} の固有関数 (9.2.11) を用いて, 元の方程式系 (9.1.2)〜(9.1.4) から n の値に応じた固有関数 û_{n}, Φ̂_{n} を導出する. さらにこれらの解が物理的に意味のある解であるかどうかをチェックすることにする.

9.2.1 n = 0 の場合

(9.2.9) より,

ω^{3} − k^{2}ω − k = ω, → (ω + k)(ω^{2} − kω − 1) = 0.  (9.2.13)

ゆえに, n = 0 の場合に得られる ω は

ω = −k もしくは ω = (k ± \sqrt{k^{2} + 4})/2,  (9.2.14)

1質量 m の質点の x 方向の速度 u, 全エネルギー E, 質点の振動数 ω とすると, 次の関係が成り立つ (シュレーディンガー方程式):

\frac{d^{2}u}{dx^{2}} − \frac{m^{2}ω^{2}}{h̄^{2}} x^{2}u = −\frac{2mE}{h̄^{2}} u, → \frac{d^{2}u}{dx^{2}} + (\frac{2mE}{h̄^{2}} − \frac{m^{2}ω^{2}}{h̄^{2}} x^{2}) u = 0.

ここで, ξ = αx, α = \sqrt{mω/h̄}, λ = 2E/h̄ω と変数変換を行うと次式を得る:

\frac{d^{2}u}{dξ^{2}} + (λ − ξ^{2}) u = 0.

ただし, h̄ = h/2π, h はプランク定数である. このとき, 固有値 λ, 固有関数 u はエルミート (Hermite) 多項式 H_{n} を用いて次のように与えられる:

λ = 2n + 1,  u_{n}(ξ) = A_{n}e^{−ξ^{2}/2}H_{n}(ξ),  H_{n}(ξ) = (−1)^{n}e^{ξ^{2}} \frac{d^{n}e^{−ξ^{2}}}{dξ^{n}}  (n ≥ 0).

ここで A_{n} は ∫_{−∞}^{∞} |u_{n}(ξ)|^{2}dξ = 1 となるように選ばれる規格化定数である (例えば, 原島鮮著, 初等量子力学 p54〜p69 等, 参照). またエルミート多項式によって定義される次の関数を放物柱関数という:

D_{n}(ξ) = e^{− \frac{ξ^{2}}{2}} H_{n}(ξ) = (−1)^{n}e^{\frac{ξ^{2}}{2}} \frac{d^{n}}{dξ^{n}} e^{−ξ^{2}} (n ≥ 0).

一方, エルミート多項式には次の関係 (エルミート方程式)

\frac{d^{2}}{dξ^{2}} H_{n} − 2ξ \frac{d}{dξ} H_{n} + 2nH_{n} = 0,

があり, n 次 (n ≥ 0) の放物柱関数 D_{n} の満たすべき式は上の関係式に D_{n} の表現を代入して

\frac{d^{2}}{dξ^{2}} D_{n} + (2n + 1 − ξ^{2})D_{n} = 0.

したがって, (9.2.8) の形式の微分方程式は, 固有値 2n + 1, 固有関数 D_{n} を取り得ることが分かる. 2本来 A_{n} は, 固有関数 û_{n}, v̂_{n}, Φ̂_{n} が以下の規格化条件

∫_{−∞}^{∞}∫_{−∞}^{∞} dxdy(u_{ω′}^{∗}u_{ω} + v_{ω′}^{∗}v_{ω} + Φ_{ω′}^{∗}Φ_{ω}) = δ_{ωω′},

を満たすように決める. ここでは簡単化のため A_{n} = 1 とした.

\underline{地球流体波動ノート第 9 章赤道波の固有値問題とその解 53} である. 一方, (9.2.11) より固有関数 v̂_{0} は次の様になる:

v̂_{0}(y) = H_{0}(y) exp (−\frac{y^{2}}{2} )
= exp (−\frac{y^{2}}{2} ) .  (9.2.15)

以下では, (9.2.14) の ω により場合分けを行い, 固有関数 (9.2.15) を用いて û_{0}, Φ̂_{0} を求める. \underline{a) ω = (k ± \sqrt{k^{2} + 4})/2 の場合}

(9.1.2), (9.1.4) より,

(ω^{2} − k^{2})û_{0} = i (ωy − k \frac{d}{dy} ) v̂_{0},  (9.2.16)
(ω^{2} − k^{2})Φ̂_{0} = i (ky − ω \frac{d}{dy} ) v̂_{0}.  (9.2.17)

であるから, ω ≠ ±k より,

û_{0} = \frac{i}{ω^{2} − k^{2}} (ωy − k \frac{d}{dy} ) v̂_{0},  (9.2.18)
Φ̂_{0} = \frac{i}{ω^{2} − k^{2}} (ky − ω \frac{d}{dy} ) v̂_{0}.  (9.2.19)

ゆえに, (9.2.15) を代入して ω = (k ± \sqrt{k^{2} + 4})/2 の場合の固有関数をまとめると次の様になる:

û_{0} = \frac{i}{ω^{2} − k^{2}} (ωy + ky) exp (−\frac{y^{2}}{2} ) = \frac{i}{ω − k} yD_{0},  (9.2.20)
v̂_{0} = D_{0},  (9.2.21)
Φ̂_{0} = \frac{i}{ω^{2} − k^{2}} (ky + ωy) exp (−\frac{y^{2}}{2} ) = \frac{i}{ω − k} yD_{0}.  (9.2.22)

第 10章で詳述するが, これらの波は東進, 西進する混合ロスビー重力波である. \underline{b) ω = −k (≠ 0) の場合}

(9.1.2)〜(9.1.4) で ω = −k とし, (9.2.15) 式を代入すると次式を得る:

ikû_{0} − ye^{− \frac{1}{2} y^{2}} = −ikΦ̂_{0},  (9.2.23)
ike^{− \frac{1}{2} y^{2}} + yû_{0} = −\frac{∂Φ̂_{0}}{∂y} ,  (9.2.24)
ikΦ̂_{0} + ikû_{0} − ye^{− \frac{1}{2} y^{2}} = 0.  (9.2.25)

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ここで, (9.2.23) と (9.2.25) は同じ式となるから, 次の関係を得る (∵ k ≠ 0):

Φ̂_{0} = −û_{0} + \frac{1}{ik} ye^{− \frac{1}{2} y^{2}}.  (9.2.26)

これより (9.2.24) から次式を得る:

\frac{∂û_{0}}{∂y} − yû_{0} = \frac{1}{ik} (1 − k^{2} − y^{2})e^{− \frac{1}{2} y^{2}}.  (9.2.27)

左辺 = 0 として得られる同次線形微分方程式の解 (e^{\frac{1}{2} y^{2}}) を用いて, û_{0} = C(y)e^{\frac{1}{2} y^{2}} と表されるから,

\frac{∂û_{0}}{∂y} = \frac{∂C(y)}{∂y}e^{\frac{1}{2} y^{2}} + yC(y)e^{\frac{1}{2} y^{2}},

より, (9.2.27) に代入して次式を得る:

\frac{∂C(y)}{∂y} = \frac{1}{ik} (1 − k^{2} − y^{2})e^{−y^{2}}
C(y) = ∫_{∞}^{y} \frac{1}{ik} (1 − k^{2} − y^{′2})e^{−y^{′2}}dy′.  (9.2.28)

ゆえに, (9.2.27) の解は以下のようになる:

û_{0} = e^{\frac{1}{2} y^{2}} ∫_{∞}^{y} \frac{1}{ik} (1 − k^{2} − y^{′2})e^{−y^{′2}}dy′
= e^{\frac{1}{2} y^{2}} ∫_{∞}^{y} \frac{1}{ik} \{(\frac{1}{2} − k^{2}) e^{−y^{′2}} + (\frac{1}{2} − y^{′2}) e^{−y^{′2}}\} dy′
= e^{\frac{1}{2} y^{2}} ∫_{∞}^{y} \frac{1}{ik} \{(\frac{1}{2} − k^{2}) e^{−y^{′2}}\} dy′ + e^{\frac{1}{2} y^{2}} [\frac{1}{2ik} y′e^{−y^{′2}}]_{∞}^{y}
= e^{\frac{1}{2} y^{2}} ∫_{∞}^{y} \frac{1}{ik} \{(\frac{1}{2} − k^{2}) e^{−y^{′2}}\} dy′ + \frac{1}{2ik} ye^{− \frac{1}{2} y^{2}}.  (9.2.29)

上の変形では, 積分定数を y = ∞ にて û_{0} = 0 となるように与えたが, 右辺第 1 項は y → −∞ で発散することが分かる. したがって, ω = −k ≠ 0 の場合, 境界条件を満たす解は存在しない (n = 0 の時には ω = −k ≠ 0 は固有値では無いことになり, 自由度が 1 足らなくなった (固有値は 3 つあるから 1 つ減った)).

9.2.2 n ≥ 1 の場合

(9.2.9) より,

ω_{i}^{3} − k^{2}ω_{i} − k = (2n + 1)ω_{i}. i = 1, 2, 3  (9.2.30)

この式を解くと, 固有値 ω_{i} は次のようになる (付録第 B章参照):

ω_{1} = \sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} \{− cos (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )

+\sqrt{3} sin (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )\} ,  (9.2.31)

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

≃ −\frac{k}{k^{2} + 2n + 1}  (9.2.32)
ω_{2} = \sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} \{− cos (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )

−\sqrt{3} sin (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )\} ,  (9.2.33)
≃ −\sqrt{k^{2} + 2n + 1}  (9.2.34)
ω_{3} = 2\sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} cos (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} ) .  (9.2.35)
≃ \sqrt{k^{2} + 2n + 1}  (9.2.36)

第 10章で詳述する様に, ω_{1} はロスビー波のモード, ω_{2}, ω_{3} は慣性重力波のモードを表している. 次に固有関数 û, Φ̂ を求める. (9.2.11) より固有関数 v̂_{n} は次の様になる:

v̂_{n}(y) = H_{n}(y) exp (−\frac{y^{2}}{2} ) .  (9.2.37)

以下では, 固有関数 (9.2.37) を用いて û_{n}, Φ̂_{n} を求める. (9.1.2), (9.1.4) より,

(ω^{2} − k^{2})û_{n} = i (ωy − k \frac{d}{dy} ) v̂_{n},  (9.2.38)
(ω^{2} − k^{2})Φ̂_{n} = i (ky − ω \frac{d}{dy} ) v̂_{n}.  (9.2.39)

これで v̂_{n} の微分を実行すれば û_{n}, Φ̂_{n} は求まるが, ここではやらない. v̂_{n} の微分を実行する代わりに, エルミート多項式についての漸化式を用いることにする. そこで, 以下ではさらに変形を続ける. (9.2.38), (9.2.39) の辺々の加減を行うと,

(ω^{2} − k^{2})(Φ̂_{n} + û_{n}) = −i(k + ω) (\frac{∂}{∂y} − y) v̂_{n},  (9.2.40)
(ω^{2} − k^{2})(Φ̂_{n} − û_{n}) = i(k − ω) (\frac{∂}{∂y} + y) v̂_{n}.  (9.2.41)

ここで n ≥ 1 の場合, エルミート多項式, 放物柱関数はそれぞれ以下の関係

H_{n+1}(y) − 2yH_{n}(y) + 2nH_{n−1} = 0 (n ≥ 1),  (9.2.42)
D_{n+1}(y) − 2yD_{n}(y) + 2nD_{n−1} = 0 (n ≥ 1),  (9.2.43)

を満たすから, 放物柱関数についての漸化式

(\frac{∂}{∂y} − y) D_{n} = \frac{∂H_{n}}{∂y} exp (−\frac{y^{2}}{2} ) + D_{n}(−y) − yD_{n}

= (2yH_{n} − H_{n+1}) exp (−\frac{y^{2}}{2} ) − 2yD_{n}
= −D_{n+1} (n ≥ 0),  (9.2.44)
(\frac{∂}{∂y} + y) D_{n} = \frac{∂H_{n}}{∂y} exp (−\frac{y^{2}}{2} ) + D_{n}(−y) + yD_{n}
= (2yH_{n} − H_{n+1}) exp (−\frac{y^{2}}{2} )
= 2yD_{n}(y) − D_{n+1}(y) (n ≥ 0)
= 2nD_{n−1}(y) (n ≥ 1),  (9.2.45)

を使うと,

(ω^{2} − k^{2})(Φ̂_{n} + û_{n}) = i(k + ω)D_{n+1},  (9.2.46)
(ω^{2} − k^{2})(Φ̂_{n} − û_{n}) = i(k − ω)2nD_{n−1}.  (9.2.47)

ただし, n = 1, 2, 3, · · · . である. ここで, D_{n} ≢ 0 (n ≥ 0) であるから^{2}, (9.2.46) より ω ≠ k, (9.2.47) より ω ≠ −k を得る. ゆえに, (9.2.46), (9.2.47) の両辺を (ω^{2} − k^{2}) で割ることが出来て, n ≥ 1 の場合の固有関数は次の様になる:

û_{n} = \frac{i}{2} (\frac{1}{ω − k} D_{n+1} + \frac{1}{ω + k} 2nD_{n−1}) ,  (9.2.48)
v̂_{n} = D_{n},  (9.2.49)
Φ̂_{n} = \frac{i}{2} (\frac{1}{ω − k} D_{n+1} − \frac{1}{ω + k} 2nD_{n−1}) .  (9.2.50)

第 10章で詳述するが, これらの波は東進, 西進する慣性重力波とロスビー波である.

9.3 v̂ = 0 の場合

v̂ = 0 は, (9.1.5) の自明解である. û, Φ̂ の固有関数を考えるには, (9.1.2)〜(9.1.4) の方程式系に戻って考察する必要がある. (9.1.2)〜(9.1.4) に v̂ = 0 を代入して次式を得る:

− iωû = −ikΦ̂,  (9.3.51)
H_{n}(y) = (2y)^{n} − \frac{n(n − 1)}{1!}(2y)^{n−2} + \frac{n(n − 1)(n − 2)(n − 3)}{2!}(2y)^{n−4} + ⋯

+ \{ \begin{matrix}(−1)^{n/2} \frac{n!}{(\frac{1}{2}n)!} (n 偶数), \\ (−1)^{(n−1)/2} \frac{n!}{(\frac{1}{2}(n − 1))!}2y (n 奇数), \end{matrix}

2D_{n} = 0 となるのは, n が奇数の場合に y = 0 となる点 (線) 上のみである. なぜなら, H_{n} は一般にと表され, n が奇数の場合には H_{n}(y) の各項には必ず y の因子が含まれるためである. よって全領域で D_{n} = 0 となることはない (D_{n} ≢ 0).

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yû = −\frac{∂Φ̂}{∂y},  (9.3.52)
− iωΦ̂ + (ikû) = 0.  (9.3.53)

(9.3.51) と (9.3.53) から

(ω^{2} − k^{2})û = 0,  (9.3.54)
(ω^{2} − k^{2})Φ̂ = 0.  (9.3.55)

したがって, 非自明解を持つ条件として以下の関係を得る:

ω = ±k.  (9.3.56)

以下では, 得られた条件 ω = ±k と v̂ = 0 を用いて, 方程式系 (9.3.51)〜(9.3.53) から固有関数 û, Φ̂ を導出することにする.

9.3.1 ω = −k(≠ 0) の場合

この場合, (9.3.51) と (9.3.53) は同じ式となるから,

ik(û + Φ̂) = 0,  (9.3.57)

ゆえに,

Φ̂ = −û.  (9.3.58)

これを (9.3.52) に代入して

(\frac{∂}{∂y} − y) û = 0.  (9.3.59)

ゆえに, (9.3.59) の一般解は

û = Ae^{\frac{1}{2} y^{2}},  (9.3.60)

(A は任意定数) となる. 境界条件 (8.4.33) を満たすような A(≠ 0) は存在しないから, よって ω = −k の場合には解は存在しない.

9.3.2 ω = k の場合

この場合も (9.3.51) と (9.3.53) は同じ式となるから,

ik(û − Φ̂) = 0,

すなわち

û = Φ̂.  (9.3.61)

これを (9.3.52) に代入して

(\frac{∂}{∂y} + y) û = 0.  (9.3.62)

ゆえに,

û = e^{− \frac{1}{2} y^{2}},  (9.3.63)
v̂ = 0,  (9.3.64)
Φ̂ = e^{− \frac{1}{2} y^{2}}.  (9.3.65)

となり, これらは境界条件 (8.4.33) を満たす解である. これが v̂ ≠ 0 かつ n = 0 の場合に欠けていた解である. 第 10章で詳述するが, この波はケルビン波である.

9.4 固有値, 固有関数のまとめ

第 9.2節の結果より v̂ ≠ 0 の場合には, n = 0 のとき解は 2 つ, n ≥ 1 のときには解は 3 つ得られた. n = 0 の場合の解の個数が 1 つ少なくなっているが, 第 9.3節の結果より v̂ = 0 とした場合に解が 1 つ得られたので, 解の数は 3 つそろった. 以上, 第 9.2節, 第 9.3節の結果 (固有値, 固有関数) をまとめると以下の様になる:

9.4.1 v̂ ≠ 0 の解

n = 0 の場合の分散関係と固有関数は以下のとおりである.

ω_{i} = \frac{k ± \sqrt{k^{2} + 4}}{2}  (i = 1, 2),  (9.4.66)
û(y) = \frac{i}{ω_{i} − k} yH_{0}e^{− \frac{1}{2} y^{2}},  (9.4.67)
v̂(y) = H_{0}e^{− \frac{1}{2} y^{2}},  (9.4.68)
Φ̂(y) = \frac{i}{ω_{i} − k} yH_{0}e^{− \frac{1}{2} y^{2}}.  (9.4.69)

n ≥ 1 の場合の分散関係と固有関数は以下のとおりである.

ω_{1} = \sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} \{− cos (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )

+\sqrt{3} sin (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )\} (9.4.70)
≃ −\frac{k}{k^{2} + 2n + 1},  (9.4.71)
ω_{2} = \sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} \{− cos (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )

−\sqrt{3} sin (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )\} (9.4.72)
≃ −\sqrt{k^{2} + 2n + 1},  (9.4.73)

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

ω_{3} = 2\sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} cos (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )  (9.4.74)
≃ \sqrt{k^{2} + 2n + 1},  (9.4.75)
û(y) = \frac{i}{2} (\frac{1}{ω_{i} − k} H_{n+1} + \frac{1}{ω_{i} + k} 2nH_{n−1}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}}  (i = 1, 2, 3),  (9.4.76)
v̂(y) = H_{n}e^{− \frac{1}{2} y^{2}},  (9.4.77)
Φ̂(y) = \frac{i}{2} (\frac{1}{ω_{i} − k} H_{n+1} − \frac{1}{ω_{i} + k} 2nH_{n−1}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}}  (i = 1, 2, 3).  (9.4.78)

9.4.2 v̂ = 0 の解

v = 0 の場合の解は以下の通りである.

ω = k,  (9.4.79)
û(y) = e^{− \frac{1}{2} y^{2}},  (9.4.80)
v̂(y) = 0,  (9.4.81)
Φ̂(y) = e^{− \frac{1}{2} y^{2}}.  (9.4.82)

ちなみに v̂ = 0 の固有値 ω = k は, n ≥ 1 の場合の固有値方程式において n = −1 とすれば得られる. 一方, v̂ = 0 の場合の固有関数は, n ≥ 1 の場合の固有関数を表す式において n = −1 を代入し H_{−1} = H_{−2} = 0 と定義すれば, (i/2)H_{0}/(ω_{i} − k) ∼ 1 と考えることで v̂ = 0 の場合と同様の式が得られる. よって, v̂ = 0 の解を形式的に n = −1 の場合と定義することにする. 最後に, 各物理量の位相関係に関して注意しておく. まず, û と Φ̂ は n の値によらず同位相の関係にある. このことは, n = 0 の場合は (9.4.67) と (9.4.69) より, n = 1 の場合は (9.4.76) と (9.4.78) より明らかである. また, n = −1 でない場合には, v̂ と û, Φ̂ は π/2 だけ位相が異なっていることが分かる^{3}.

9.5 位相速度のまとめ

本節では, 第 9.4節で求めた固有値から求めた位相速度 c をまとめておく.

9.5.1 v̂ ≠ 0 の解

n = 0 の場合の位相速度は以下のとおりである.

c_{i} = \frac{1 ± \sqrt{1 + 4/k}}{2}  (i = 1, 2)  (9.5.83)

こと自体意味が無い.

3ケルビン波に対応する n = −1 の場合には, v̂ は常に 0 であるから, v̂ と û, Φ̂ の間の位相関係を考える /home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

\underline{地球流体波動ノート第 9 章赤道波の固有値問題とその解 60} n ≥ 1 の場合の位相速度は以下のとおりである.

c_{1} = \frac{1}{k}\sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} \{− cos (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )
+\sqrt{3} sin (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )\} (9.5.84)
≃ −\frac{1}{k^{2} + 2n + 1},  (9.5.85)
c_{2} = \frac{1}{k}\sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} \{− cos (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )
−\sqrt{3} sin (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )\} (9.5.86)
≃ −\frac{1}{k}\sqrt{k^{2} + 2n + 1},  (9.5.87)
c_{3} = \frac{2}{k}\sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} cos (\frac{1}{3} tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )  (9.5.88)
≃ \frac{1}{k}\sqrt{k^{2} + 2n + 1}.  (9.5.89)

9.5.2 v̂ = 0 の解

v = 0 の場合の位相速度は以下の通りである.

c = 1  (9.5.90)

\underline{地球流体波動ノート第 10 章赤道波の分散関係式と水平構造 61}

第 10 章

赤道波の分散関係式と水平構造

本章では前章の結果に基づいて赤道波の分類を行い, 第 9.4.1節, 第 9.5.2節の固有関数で与えられる水平構造から各モードの定義を行う. 有次元系での議論は, 付録第 A章にまとめた.

10.1 赤道波の分散曲線

第 9.4節の結果より, これまでの分散関係と分散関係式から求めた位相速度をまとめると, 図 10.1, 10.2の様になる. 各々のモードの名前付けについては次節参照のこと.

図 10.1: 赤道波の分散曲線の理論解 (−1 ≤ n ≤ 3). ラベル無し実線は赤道ケルビン波 (9.4.79), ラベル有り実線は西進, 東進慣性重力波の近似解 (9.4.73) と (9.4.75), 点線は赤道ロスビー波の近似解 (9.4.71), 破線と一点鎖線は混合ロスビー重力波 (9.4.66) の分散曲線を表す. 慣性重力波とロスビー波の分散曲線の近似解と厳密解は, 実際にはよく一致する.

図 10.2: 赤道波の位相速度の理論解. 曲線と波の対応は図 10.1と同様. ラベル無し実線は (9.5.90), ラベル有り実線は (9.5.87) と (9.5.89), 点線は (9.5.85), 破線と一点鎖線は (9.5.83) の位相速度を表す.

10.2 n = −1 の場合の水平構造

この場合 (9.4.79) より, 分散関係式は

ω = k,  (10.2.1)

である. この振動数を用いて固有関数 (9.4.80)〜(9.4.82) を図示すると次の様になる:

図 10.3: 赤道ケルビン波の圧力場と速度場の分布 (k = 1, ω = 1).

この波は赤道に壁を対応させた場合に, 壁に沿って伝播するケルビン波と同じ構造をしており, 赤道ケルビン波と呼ばれる.

10.3 n = 0 の場合の水平構造

この場合 (9.4.66) より, 分散関係式は

ω = \frac{k ± \sqrt{k^{2} + 4}}{2}.  (10.3.2)

したがって, この場合東進する波と西進する波が存在することがわかる. この振動数を用いると, それぞれの波の固有関数 (9.4.67)〜(9.4.69) は図 10.4, 10.5の様になる.

図 10.4: n = 0 の混合ロスビー重力波 (東進) の圧力場と速度場の分布 (k = 0.5, ω = 2.56).

図 10.5: n = 0 の混合ロスビー重力波 (西進) の圧力場と速度場の分布 (k = 0.5, ω = −1.56).

東進する波の方は, 速度場の収束発散により位相伝播する構造をしており (第 11章参照), 慣性重力波と呼ばれている. 一方, 西進する波には第 13章で詳述するように重力波的な性質とロスビー波的な性質が存在する. このような特徴から, 西進する波の方は混合ロスビー重力波と呼ばれている. 本ノートでは, 一般的な呼称に習い n = 0 のモードはまとめて混合ロスビー重力波のモードと呼ぶことにする.

10.4 n ≥ 1 の場合の水平構造

この場合 (9.4.70)〜(9.4.75) より, 分散関係式は以下の様になる:

ω_{1} = \sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} \{− cos \frac{1}{3} (tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )

+\sqrt{3} sin \frac{1}{3} (tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )\} ,  (10.4.3)
≃ −\frac{k}{k^{2} + 2n + 1}  (10.4.4)

ω_{2} = \sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} \{− cos \frac{1}{3} (tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )

−\sqrt{3} sin \frac{1}{3} (tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )\} ,  (10.4.5)
≃ −\sqrt{k^{2} + 2n + 1}  (10.4.6)

ω_{3} = 2\sqrt{\frac{k^{2} + 2n + 1}{3}} cos \frac{1}{3} (tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} ) .  (10.4.7)
≃ \sqrt{k^{2} + 2n + 1}.  (10.4.8)

この様に, n ≥ 1 の場合には分散関係式は 3 つ存在する. 以下ではこれまでの節と同様, これらの分散関係式を用いて波の固有関数 (9.4.76)〜(9.4.78) の図示を行い, 波の定義を行うことにする. まずはじめに ω_{1} の振動数を用いて, 固有関数 (9.4.76)〜(9.4.78) を図示すると図 10.6 の様になる. 第 12章で詳述するように, これはいわゆるロスビー波の伝播メカニズムにしたがって伝播する構造をしており, 赤道ロスビー波と呼ばれている. よって, このモードを赤道ロスビー波のモードと定義することにする. 次に, ω_{2} の振動数を用いて, 固有関数 (9.4.76)〜(9.4.78) を図示すると図 10.7 の右図の様になる. これは第 11章で詳述するように, f 平面のいわゆる慣性重力波と同様のメカニズムで西に伝播する構造をしており, 赤道域での西進慣性重力波と呼ばれている. よって, このモードを赤道域での西進慣性重力波のモードと定義することにする. 次に, ω_{3} の振動数を用いて, 固有関数 (9.4.76)〜(9.4.78) を図示すると図 10.7 の左図の様になる. これも ω_{2} の場合と同様, f 平面のいわゆる慣性重力波と同様のメカニズムで東に伝播する構造をしており, 赤道域での東進慣性重力波と呼ばれている. よって, このモードを赤道域での東進慣性重力波のモードと定義することにする.

\underline{地球流体波動ノート第 10 章赤道波の分散関係式と水平構造 65}

{図 10.6: 赤道ロスビー波の圧力場と速度場の分布 (k = 1). 左図: n = 1, ω = −0.25, 右図: \atop n = 2, ω = −0.17.}

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

図 10.7: 慣性重力波の圧力場と速度場の分布 (k = 0.5). 左図: 東進慣性重力波, 右図: 西進慣性重力波. 上段から n = 1 (左図 ω = 1.80, 右図 ω = −1.80), n = 2 (左図 ω = 2.29, 右図 ω = −2.29).

10.5 k = 0 のモードの水平構造に関する注釈

第 10.3節, 第 10.4節で定義した慣性重力波と混合ロスビー重力波では, n が同じで k = 0 の場合には, 東進するモードと西進するモードは同じモードになる. 慣性重力波や混合ロスビー重力波の分散関係式を見ると, k = 0 の東進するモードと西進するモードの振動数は, n の値が同じ場合には絶対値は等しいが異なる符号を取ることがわかる. このため, 図 10.1 の分散曲線は n の値が同じでも東進するモードと西進するモードは, 見かけ上異なるモードの様に見えてしまっていた. これらの 2 つのモードは, 負の波数 k を導入し正の振動数だけで表現すると, k = 0 で接続 (振動数が等しくなる) し, 分散曲線の図から見ても東進するモードと西進するモードは同じモードであることがわかる (図 10.8). 同じ n の値をもつ東進するモードと西進するモードの 2 つの振動数は, k = 0 で等しくなることが分かったので, 次に 2 つのモードの構造も等しくなることを示す. 以下では, 図 10.1で見かけ上異なるモードの様に見えてしまっていた同じ n の値をもつ東進するモードと西進するモードのそれぞれが, k = 0 ではその振動数に依らず同じ水平構造を持つ (つまり, 同じモードである) ことを固有関数の式を用いて示す. ここでは, k = 0, n = 1 の慣性重力波の場合を例として扱う. k = 0, n = 1 の場合, (10.4.6), (10.4.8) より ω = ±\sqrt{3} となる. このとき, û, v̂, Φ̂ の成分は, それぞれの実部成分 u_{r}(y), v_{r}(y), Φ_{r}(y), 虚部成分 u_{i}(y), v_{i}(y), Φ_{i}(y) を用いると (9.4.76)〜 (9.4.78) より以下の様に表される:

u_{r} = 0,  (10.5.9)
u_{i} = \frac{1}{2} (\frac{1}{ω} H_{2} + \frac{1}{ω} 2H_{0}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}},  (10.5.10)
v_{r} = H_{1}e^{− \frac{1}{2} y^{2}},  (10.5.11)
v_{i} = 0,  (10.5.12)
Φ_{r} = 0,  (10.5.13)
Φ_{i} = \frac{1}{2} (\frac{1}{ω} H_{2} − \frac{1}{ω} 2H_{0}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}}.  (10.5.14)

ここで, ω → −ω とすると,

u_{r} = 0,  (10.5.15)
u_{i} → −u_{i},  (10.5.16)
v_{r} = v_{r},  (10.5.17)
v_{i} → 0,  (10.5.18)
Φ_{r} = 0,  (10.5.19)
Φ_{i} → −Φ_{i},  (10.5.20)

となる. 一方, k = 0, n = 1 の場合 u(x, y, t), v(x, y, t), Φ(x, y, t) は u_{r}, v_{r}, Φ_{r}, u_{i}, v_{i}, Φ_{i} を用いて次のように表される:

u(x, y, t) = \underbrace{u_{r}(y)}_{=0} cos(kx − ωt) − u_{i}(y) sin(kx − ωt),
= −u_{i}(y) sin(−ωt),
= u_{i}(y) sin(ωt),  (10.5.21)
v(x, y, t) = v_{r}(y) cos(kx − ωt) − \underbrace{v_{i}(y)}_{=0} sin(kx − ωt),
= v_{r}(y) cos(−ωt),

= v_{r}(y) cos(ωt),  (10.5.22)
Φ(x, y, t) = \underbrace{Φ_{r}(y)}_{=0} cos(kx − ωt) − Φ_{i}(y) sin(kx − ωt),
= −Φ_{i}(y) sin(−ωt),
= Φ_{i}(y) sin(ωt).  (10.5.23)

(10.5.21)〜(10.5.23) において ω → −ω とすると, (10.5.16)〜(10.5.20) より次の関係を得る:

u(x, y, t) → u(x, y, t),  (10.5.24)
v(x, y, t) → v(x, y, t),  (10.5.25)
Φ(x, y, t) → Φ(x, y, t).  (10.5.26)

(10.5.24)〜(10.5.26) の関係は n の値に依らずすべての場合について成り立つ. したがって k = 0 のモードの水平構造は, 振動数の絶対値が等しい場合には同じになる.

図 10.8: 赤道波の分散曲線の理論解 (−1 ≤ n ≤ 3). 図中のラベルは図 10.1と同様. ただし, 図 10.1で負の振動数を持っていた分散曲線は k < 0 の波数領域に描かれている. この図から, 慣性重力波や混合ロスビー重力波の東進するモード (正の波数と持つモード) と西進するモード (負の波数を持つモード) は, k = 0 で接続する (同じモードである) ことが分かる.

\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 69}

第 11 章

慣性重力波の水平伝播のメカニズム

本章からは, 前章までの結果をもとに赤道波の水平伝播のメカニズムをまとめる. まずはじめに, 慣性重力波の水平伝播メカニズムをまとめる. 第 10章の結果より慣性重力波の振動数 ω, 位相速度 c をまとめると次の様になる:^{1}

ω = ±\sqrt{k^{2} + 2n + 1}  (for n ≥ 1)  (11.0.1)
c = ±\sqrt{1 + \frac{2n + 1}{k^{2}}}  (for n ≥ 1)  (11.0.2)

(11.0.2) より, 慣性重力波は東進するものと西進するものが存在する. 以下では, u, v, Φ の位相伝搬のメカニズムを明らかにするため, 元の方程式系 (8.2.22)〜(8.2.24)

\frac{∂u}{∂t} = yv − \frac{∂Φ}{∂x},  (8.2.22)
\frac{∂v}{∂t} = −yu − \frac{∂Φ}{∂y},  (8.2.23)
\frac{∂Φ}{∂t} = − (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} ) ,  (8.2.24)

に戻って, 各項の位相関係を明らかにする. 以下ではそれぞれの項をモード展開したもの^{2}を用いて考察する.

11.1 n = 1, k = 0 の慣性重力波

k = 0, n = 1 のモードを考える. このモードの振動数は, (11.0.1) より ±\sqrt{3} となる. 第 10.5 節で述べた様に, n の値が等しい k = 0 の 2 つのモード (絶対値の等しい正負の振動数を

c = ±\sqrt{gH + \frac{β\sqrt{gH}(2n + 1)}{k^{2}}} (for n ≥ 1)

1有次元系で表記すると, 慣性重力波の振動数, 位相速度は次の様になる:

ω = ±\sqrt{k^{2}gH + β\sqrt{gH}(2n + 1)} (for n ≥ 1)

2(8.2.22)〜(8.2.24) の各項のモード展開は C 章にまとめた.

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持つモード) は同じモードである. 以下では, はじめに 1 周期を通しての波の特徴をまとめ, 続いてその特徴が得られる理論的根拠について言及する.

11.1.1 n = 1, k = 0 の慣性重力波の特徴

本節では, 図 11.1〜図 11.6 中に共通してみられる特徴をまとめる.

• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布および時間発展は以下の通り:

– 速度ベクトルは, 赤道で 0 となる赤道対称分布をする ((11.1.3) 式). 速度ベクトルの大きさは, 南北半球でそれぞれ 1 つずつ同符号の極値をもつ ((11.1.4) 式). 速度ベクトルは北半球で時計周り, 南半球で反時計周りに回転する. 図 11.1で見られる様に時間を固定しても速度ベクトルの方向は緯度により異なるが, これは東西風と南北風の大きさの比が緯度に依り異なるためである ((11.1.3) 式, 図 11.2). しかし, 速度ベクトルの方向は 1/4 周期毎に一致し, 全ての速度ベクトルは 1 周期で 1 周する (図 11.2). また, 速度ベクトルの大きさは, 緯度 ±\sqrt{3} を除く全ての緯度で時間変化する ((11.1.4) 式).

– ジオポテンシャルも赤道で 0 となる赤道対称分布をする. ジオポテンシャルは, 南北半球でそれぞれ 1 つずつ同符号の極値をもつ (図 11.1〜図 11.6の ϕ の等値線). ジオポテンシャルは 1/2 周期毎に符号を変えながら時間変化する ((11.1.6) 式).

• 速度ベクトルの時間発展は以下の様にして決まっている.

– 速度ベクトルの回転はコリオリ力のために起こる. コリオリ力は, 速度ベクトルに対して北半球では直角右向き, 南半球では直角左向きの成分をもつ (図 11.1 の緑色ベクトル). これは, f 平面の慣性振動と同じメカニズムである^{3}.

– 圧力傾度力は, 速度ベクトルの大きさを変化させる効果を持つ. 圧力傾度力の x 成分は常に 0 である ((11.1.7) 式). したがって圧力傾度力は常に南北方向を向く (図 11.1の赤色ベクトル). このため, 圧力傾度力は南北流速の大きさを変化させる働きをする. 圧力傾度力が 0 となる緯度 ±\sqrt{3} より赤道側では, 北 (南) 半球で最初の 1/2 周期は北 (南) 風加速となり, 次の 1/2 周期は南 (北) 風加速となる^{4}. 一方, 緯度 ±\sqrt{3} より極側では, 北 (南) 半球で最初の 1/2 周期は南 (北) 風加速となり, 次の 1/2 周期は北 (南) 風加速となる^{5}. 圧力傾度力が 0 となる緯度 ±\sqrt{3} では, 圧力傾度力による南北風の加速・減速が起こらないので, 速度ベクトルの大きさは時間変化しない (図 11.2).

• ジオポテンシャルの時間変化は, 以下の様に決まる:

3しかし, 上で述べたように速度ベクトルの大きさ自身も時間変化するので, 流向のみが時間変化するという意味でのいわゆる f 平面での慣性振動とは異なる.

4南北風は, 始めの 1/4 周期では北 (南) 半球で南 (北) 風成分を持つので減速し, 次の 1/4 周期では北 (南)

風成分をもつので, 南北風は加速する. 残りの 1/2 周期も同様のメカニズムで南北風は減速, 加速をする.

5南北風は, 始めの 1/4 周期では北 (南) 半球で南 (北) 風成分を持つので加速し, 次の 1/4 周期では北 (南)

風成分をもつので, 南北風は減速する. 残りの 1/2 周期も同様のメカニズムで南北風は加速, 減速をする.

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– ジオポテンシャルの分布は, 南北風の収束発散で決まっており. 東西風と同位相で 1/2 周期毎に符号が反転する ((11.1.6) 式).

続いて n = 1, k = 0 の慣性重力波がこれらの特徴を示す理論的根拠について, 次節で詳細をまとめることにする.

11.1.2 n = 1, k = 0 の慣性重力波の構造を決める物理量

本節では, 前節でまとめた特徴が得られる理論的背景について, 第 9章の結果に基づき n = 1, k = 0 の慣性重力波の構造を支配する諸量をまとめておく. (9.4.76), (9.4.77) より, n = 1, k = 0 の時, 東西・南北風速は次の様に表される:

( u(x, y, t), v(x, y, t) ) = (Re [\frac{i}{2} (\frac{1}{ω} H_{2} + \frac{2}{ω} H_{0}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(−ωt)}] , Re [H_{1}e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(−ωt)}])
= (\frac{2}{ω} y^{2}e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt, 2ye^{− \frac{1}{2} y^{2}} cos ωt) .  (11.1.3)

ただし, H_{0} = 1, H_{1} = 2y, H_{2} = 4y^{2} − 2 を用いた. (11.1.3) より, 東西風の振幅は, 赤道で 0 となり赤道対称な分布をすることが分かる. 南北風の振幅は, 赤道で 0 となり赤道非対称な分布をする. したがって, 速度ベクトルは赤道対称な分布をする. また, 南北風は東西風と比べて 1/4 周期だけ位相がずれている. これより, 速度ベクトルは北半球で時計周り, 南半球では反時計周りの回転をすることが分かる. 次に, 速度ベクトルの大きさを計算すると以下の様になる:

u(x, y, t)^{2} + v(x, y, t)^{2} = 4y^{2} (\frac{y^{2}}{ω^{2}} sin^{2} ωt + cos^{2} ωt) e^{−y^{2}}.  (11.1.4)

(11.1.4) より, 速度ベクトルの大きさは緯度を固定しても時間により変化することがわかる. 速度ベクトルの大きさが時間変化しないのは, y = ±\sqrt{3} のみである. y = ±\sqrt{3} では, 後で見るように圧力傾度力が 0 となり, コリオリ力だけが働いている. 次に速度ベクトルの方向の緯度分布を調べる. 東西風と南北風の大きさの比は,

\frac{\frac{2}{ω} y^{2}e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt}{2ye^{− \frac{1}{2} y^{2}} cos ωt} = \frac{y tan ωt}{ω},  (11.1.5)

となり, 南北風の大きさに対する東西風の大きさは高緯度ほど大きくなっていて, 高緯度のベクトルほど赤道側を向くことが分かる. 次に速度ベクトルに作用する圧力分布の緯度, 時間変化を考える. (9.4.78) より, n = 1, k = 0 の時, ジオポテンシャルは次の様に表される:

Φ(x, y, t) = Re [\frac{i}{2} (\frac{1}{ω} H_{2} − \frac{2}{ω} H_{0}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(−ωt)}]
= \frac{2}{ω} (y^{2} − 1)e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt,  (11.1.6)

となる. したがって, ジオポテンシャルは赤道対称な分布をしながら u(x, y, t) と同位相で振動することがわかる.

次に, 圧力傾度力の成分を計算する. (11.1.6) より, 圧力傾度力の x, y 成分は次の様に表される:

( −\frac{∂Φ}{∂x}, −\frac{∂Φ}{∂y} ) = ( 0, −\frac{∂}{∂y} \{\frac{2}{ω} (y^{2} − 1)e^{− \frac{1}{2} y^{2}}\} sin ωt)
= ( 0, −\frac{2}{ω} y (3 − y^{2}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt ) .  (11.1.7)

したがって, 圧力傾度力の y 成分は赤道と緯度 ±\sqrt{3} で 0 となり, ±\sqrt{3} 度を境界として圧力傾度力は符号を変える.

11.1.3 n = 1, k = 0 の慣性重力波の構造

本節では, 始めに 1/4 周期ごとに速度ベクトルの時間変化を示し, 続いて運動方程式 (8.2.22) 〜(8.2.24) のそれぞれの項の水平分布図を示す. 水平分布図は以下の構成のもと作成した:

\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}

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図 11.1: n = 1, k = 0.0 の慣性振動の速度ベクトル (黒色のベクトル), ジオポテンシャル (等値線), 圧力傾度力 (赤色のベクトル), コリオリ力 (緑色のベクトル), 加速度ベクトル (du/dt, dv/dt)(青色のベクトル) のスナップショット. それぞれ t = 0.5 (上左図), t = 1.5 (上右図),t = 2.5 (下左図), t = 3.0 (下右図) である. ただし, ベクトルは経度 180 度の位置のもののみ示した. また, 速度ベクトルの終点がその他のベクトルの始点になるように描いている.

図 11.2: n = 1, k = 0.0 の慣性振動の速度ベクトルとその成分 ((11.1.3) 式. 太線は東西風, 細線は南北風.), ならびに, 圧力傾度力の y 成分 ((11.1.7) 式. 点線) の一周期分の時間変化. 横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ緯度 2.4 度 (上段), 緯度\sqrt{3} 度 (中段), 緯度 1 度 (下段) の図である. 図中の二本の斜線は, u と v のグラフが交差する点 (u = v となる点) を結んだものであり, 高緯度ほど u = v となる時間 (速度ベクトルが 45 度または 225 度を向く時間) が早いことを示す. このグラフから, 速度ベクトルの傾きの緯度による違いは, u と v の振幅差によることがわかる.

\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 75}

{図 11.3: n = 1, k = 0.0, t = 0.5 の東進慣性重力波の場合の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平 \atop 分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 76}

{図 11.4: n = 1, k = 0.0, t = 1.5 の東進慣性重力波の場合の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平 \atop 分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 77}

{図 11.5: n = 1, k = 0.0, t = 2.5 の東進慣性重力波の場合の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平 \atop 分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 78}

{図 11.6: n = 1, k = 0.0, t = 3.0 の東進慣性重力波の場合の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平 \atop 分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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11.2 n = 1, k ≠ 0 の東進慣性重力波

本節では n = 1, k ≠ 0 の場合の東進慣性重力波の特徴をまとめる. k ≠ 0 の場合の運動方程式の各成分の構造を概観すると, 以下で示す様に k の値によって卓越する成分が大きく変化する. このうち, 南北風に伴うコリオリ力に対する東西方向の圧力傾度力の大きさは, 東西波数が増大するにつれて大きくなり, k = 1.2 で同程度になる. そこで以下では, 0 < k ≤ 1.2 の場合を低波数のレジーム, k > 1.2 の場合を高波数のレジームとして私意的に分類し, 議論することにする.

11.2.1 0 < k ≤ 1.2 (低波数) の東進慣性重力波の特徴

低波数 (k = 0.6) の場合のモードの構造を図 11.7 に示す. このモードの振動数は, (11.0.1) より\sqrt{3.36} となる. これは, 先に議論した n = 1, k = 0 のモードの振動数\sqrt{3} と比べて大きな値である. 以下では, k = 0 のモードとの相違について, 図 11.7 の低波数のケースから得られる特徴をまとめる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子

• はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の様子について述べる. 速度ベクトルは, k = 0 の場合と同様に赤道対称な分布をする^{6}. しかし, k = 0 の場合と異なり速度ベクトルが 0 となる緯度は存在しない. 東西風速, 南北風速が 0 となる緯度はそれぞれ, ±\sqrt{k/(ω + k)} と 0 である. 次に速度ベクトルの時間変化の様子について ∂u/∂t, ∂v/∂t の分布を見ると, それぞれ東西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長進んでいることが分かる. このことから確かに速度ベクトルの位相は全体として東進していることが分かる.

• 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子について述べる. ジオポテンシャルも, k = 0 の場合と同様, 赤道対称な分布をする. ジオポテンシャルが 0 となる緯度は, ±\sqrt{ω/(ω + k)} である ((11.2.10)). 次にジオポテンシャルの時間変化の様子について ∂Φ/∂t の分布を見ると, ジオポテンシャルの分布と比べて 1/4 波長進んでいることが分かる. このことからジオポテンシャルの位相も全体として東進していることが分かる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム

u(x, y, t) = −2\frac{(ω + k)y^{2} − k}{ω^{2} − k^{2}} e^{−(1/2)y^{2}} sin(kx − ωt),  (11.2.8)
ϕ(x, y, t) = −2\frac{(ω + k)y^{2} − ω}{ω^{2} − k^{2}} e^{−(1/2)y^{2}} sin(kx − ωt).  (11.2.10)

6n = 1, k ≠ 0 の場合, (9.4.76) 〜(9.4.78) より,

v(x, y, t) = 2ye^{−(1/2)y^{2}} cos(kx − ωt),  (11.2.9)

となる.

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• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展の緯度による違いについて速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムは, 高緯度域と赤道域に分けて考えることにする. その理由は, 速度ベクトルの時間変化が, 高緯度域ではコリオリ力, 赤道域では圧力傾度力で決まっているからである (図 11.7, 図 11.8). このため, 高緯度域では慣性振動的, 赤道域では重力波的な振る舞い (第 E章参照) をしていると考えられる (この詳細は後で述べる). ところが, 高緯度域と赤道域の境界は明確に定義することは出来ない. なぜなら, コリオリ力と圧力傾度力の振幅が等しくなる緯度は, ∂u/∂t, ∂v/∂t で異なるからである (第 F章参照). さらに, Φ の時間変化に於いては, 全ての緯度で ∂v/∂y が卓越しており, 高緯度域と赤道域の区別をすることは出来ない (図 11.7). しかし, 境界付近を除けば, 速度ベクトルの位相伝搬は高緯度ではコリオリ力, 赤道域では圧力傾度力の分布で決まっているといえる. 以上の理由により, 以下では “高緯度域, 赤道域” という枠組を用いて位相伝搬のメカニズムを議論することにする.

• 高緯度域の速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムまずはじめに, 高緯度域の速度ベクトル, ジポテンシャルの位相伝搬のメカニズムについて考察する. これまで述べてきた様に, 高緯度域ではコリオリ力が圧力傾度力よりも卓越している. よって見た目には, 高緯度域では慣性振動的な振る舞いをしている. しかし, 位相伝搬に寄与しているのは, 慣性振動からのずれの部分である. 以下では, 図 11.7 の高緯度域の具体的な特徴を見ていくことにする. 大雑把に見ると高緯度側の時間変化の様子は, k = 0 の慣性振動の場合 (第 11.1.1 節) と同じである. 速度ベクトルについては, コリオリ力の働く方向へ一周期で一周するが^{7}, 南北圧力傾度力によりコリオリ力だけの回転よりもずれる^{8}. また, ジオポテンシャルについては, 南北風の収束発散成分で決まっている^{9}. しかしながら, これまで述べてきた様な k = 0 の慣性振動と同じ状況では, 位相伝搬は起こらない. 慣性振動からのずれの部分は, 当然のことながら東西の圧力傾度力である. 東西の圧力傾度力により, 東西風の大きさが東西方向に変化し, 東西風の東西方向の収束発散成分が生まれるため, 東西方向に位相伝搬できるのである. 図 11.7 に於いて, 東西風に働く高緯度側のコリオリ力と圧力傾度力の分布に注目すると, コリオリ力と圧力傾度力は同符号を取り, 圧力傾度力が正の領域では西風加速, 負の領域では東風加速となっている. この特徴は, 一周期を通して見ても変わらない (図 11.9〜図 11.12 の赤と緑の実線). このため, 東西風はコリオリ力で加速 (減速) を受ける分よりもいっそう加速 (減速) を受けていることが分かる. この結果, 東風増加 (経度方向に東風が増加する) 領域でかつ西風加速を受ける領域 (経度 0〜150 度の高緯度部分) では, 収束場となる (図 11.7 の ∂u/∂x 図) ので, ジオポテンシャルは正の値を取るようになる. 同様に, 東風減少 (経度方向に東風が減少する) 領域でかつ東風加速を受ける領域 (経度 150〜300 度) では, 発散場となる (図 11.7 の ∂u/∂x 図) ので, ジオポテンシャルは負の値を取るようになる. 同様に, 西風増加 (経度方向に西風が増加する) 領域でかつ東風加速を受ける領域 (経度 300〜450 度) では, 発散場となる (図 11.7 の ∂u/∂x 図) ので, ジオポテンシャルは負の値を取るようになる. 西風減少 (経度方向に西風が減少する) 領域でかつ西風加速を受ける領域 (経度 450〜600 度) では, 収束場となる (図 11.7 の ∂u/∂x 図) ので, ジオポテンシャルは正の値を取るようになる. このようにして出来たジオポテンシャル場は, 東西のコントラストにより東西に圧力傾度力をもたらすので, 速度ベクトルに影響し, 高高度場の前方 (後方) で西風 (東風) 成分, 低高度場の前方 (後方) で東風 (西風) 成分が生成される. こうして, 速度ベクトルとジオポテンシャルは連動しながら東に位相伝搬しているのである. 南北風の収束発散成分 (図 11.7) は, 東西風の収束発散成分の効果を強める働きをしている.

7図 11.7 の速度ベクトルとジオポテンシャルの平面分布図の高緯度側に於ける速度ベクトルの分布, 11.9 〜図 11.12 参照

8図 11.7 の南北風に働く高緯度側のコリオリ力と圧力傾度力の分布に注目すると, コリオリ力と圧力傾度力は逆符号を取っている. このため, コリオリ力による南北風の加速 (減速) は圧力傾度力によって減速 (加速) されている. この南北風と南北の圧力傾度力の位相関係は, k = 0 の場合に見られた特徴と変わらない.

9図 11.7 の ∂Φ/∂t の図と −∂u/∂x, −∂v/∂y の分布図参照.

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• 赤道域の速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム次に, 赤道域の速度ベクトルとジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムについて考察する. 上で述べてきた様に, 赤道域では圧力傾度力がコリオリ力よりも卓越している. よって見た目には, 赤道域では重力波的な振る舞いをしながら, 速度ベクトルの収束発散により東西に位相伝搬している (第 E.2章参照). また, 重力波からのずれの部分も存在し, 速度ベクトルの回転に寄与している. 以下では, 図 11.7 の赤道域の具体的な特徴を見ていくことにする. 大雑把に見ると赤道域の時間変化の様子は, 以下で述べる様に第 E.2章の図 E.2 (東進重力波の Y = 0 付近) と同じである. 速度ベクトルの位相伝搬については, 東西風の位相伝搬には東西圧力傾度力が寄与し, 南北風の位相伝搬には南北の圧力傾度力が寄与している. また, ジオポテンシャルの位相伝搬については, 南北風の収束発散成分が卓越して寄与している. よって, 速度ベクトルの東西と南北の収束発散によって, 速度ベクトルとジオポテンシャルは東西に位相伝搬する構造をしている. これは, k = 0 の場合に見られなかった特徴である. しかしながら, これまで述べてきたような重力波的な状況では, 速度ベクトルの回転方向が一致しない^{10}. 速度ベクトルの回転は, 次に述べる重力波からのずれによって生じる. 重力波からのずれの部分は, 当然のことながら速度ベクトルに働くコリオリ力である. 赤道上を除いて速度ベクトルに働くコリオリ力は, 速度ベクトルをコリオリ力の働く方向に回転させる働きをする. そこで, 赤道域でのコリオリ力の働きに注目してみることにする. 図 11.7 の赤道域に注目すると, 東西風, 南北風に寄与するコリオリ力は, それぞれ圧力傾度力と同符号, 異符号であるので, 東西風, 南北風はそれぞれコリオリ力により加速, 減速される. この特徴は, 一周期を通して見ても変わらない (図 11.9〜図 11.12の赤・緑の実線と点線). また, ジオポテンシャルに寄与する東西風の収束発散成分は, 南北風の収束発散と同符号で変動している (図 11.7). このため, 東西風の収束発散成分は, 南北風の収束発散によるジオポテンシャルの位相伝搬を補う働きをしている.

10第 E.2章の図 E.1の非回転東進浅水重力波の速度ベクトルは, 時間経過に伴い −3 < Y < −1.5 では反時計周り, −1.5 < Y < 0 では時計周り, 0 < Y < 1.5 では反時計周り, 1.5 < Y < 3.0 では時計周りをする.

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\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 83}

{図 11.7: n = 1, k = 0.6 (低波数) の東進慣性重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = 1.83, c = 3.06). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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図 11.8: n = 1, k = 0.6 の東進慣性重力波の速度ベクトル (黒色のベクトル), ジオポテンシャル (等値線), 圧力傾度力 (赤色のベクトル), コリオリ力 (緑色のベクトル), 加速度ベクトル (du/dt, dv/dt)(青色のベクトル) のスナップショット. それぞれ t = 0.8 (上左図), t = 1.5 (上右図),t = 2.2 (下左図), t = 3.0 (下右図) である. 速度ベクトルの終点がその他のベクトルの始点になるように描いている.

図 11.9: n = 1, k = 0.6 の慣性重力波の経度 0 度に於ける速度ベクトルとその成分 ((F.0.1) 式. 黒太線は東西風, 黒点線は南北風), ならびに, 圧力傾度力の x 成分 (赤実線), y 成分 (赤点線) ((F.0.3)), コリオリ力の x 成分 (緑実線), y 成分 (緑点線) ((F.0.2) 式), ∂u/∂t (青実線), ∂v/∂t (青点線) の一周期分の時間変化. 横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ緯度 2.0 度 (上段), 緯度 1.69 度 (中段), 緯度 0.93 度 (下段) の図である.

図 11.10: n = 1, k = 0.6 の慣性重力波の経度 0 度に於ける速度ベクトルとその成分 ((F.0.1) 式. 黒太線は東西風, 黒点線は南北風), ならびに, 圧力傾度力の x 成分 (赤実線), y 成分 (赤点線) ((F.0.3)), コリオリ力の x 成分 (緑実線), y 成分 (緑点線) ((F.0.2) 式), ∂u/∂t (青実線), ∂v/∂t (青点線) の一周期分の時間変化. 横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ緯度 1.5 度 (上段), 緯度 0.5 度 (中段), 緯度 0.0 度 (下段) の図である.

図 11.11: n = 1, k = 0.6 の慣性重力波の経度 0 度に於ける速度ベクトルとその成分 ((F.0.1) 式. 黒太線は東西風, 黒点線は南北風), ならびに, 圧力傾度力の x 成分 (赤実線), y 成分 (赤点線) ((F.0.3)), コリオリ力の x 成分 (緑実線), y 成分 (緑点線) ((F.0.2) 式), ∂u/∂t (青実線), ∂v/∂t (青点線) の一周期分の時間変化. 横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ緯度 0.0 度 (上段), 緯度 -0.5 度 (中段), 緯度 -1.5 度 (下段) の図である.

図 11.12: n = 1, k = 0.6 の慣性重力波の経度 0 度に於ける速度ベクトルとその成分 ((F.0.1) 式. 黒太線は東西風, 黒点線は南北風), ならびに, 圧力傾度力の x 成分 (赤実線), y 成分 (赤点線) ((F.0.3)), コリオリ力の x 成分 (緑実線), y 成分 (緑点線) ((F.0.2) 式), ∂u/∂t (青実線), ∂v/∂t (青点線) の一周期分の時間変化. 横軸は時間, 縦軸は振幅を表す. それぞれ緯度 -0.93 度 (上段), 緯度 -1.69 度 (中段), 緯度 -2.0 度 (下段) の図である.

11.2.2 k > 1.2 (高波数) の東進慣性重力波の特徴

高波数 (k > 1.2) の場合のモードの構造を図 11.13 に示す. このモードの振動数は, (11.0.1) より\sqrt{7} となり, k < 1.2 の場合の振動数と比べてより大きな値を取る.

以下では, 低波数のモードとの相違について, 図 11.13 の高波数のケースから得られる特徴をまとめる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子

速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布, 時間変化の特徴は, 基本的に低波数の場合と変わらない. ただし, 東西風速とジオポテンシャルが 0 となる緯度は, k → ∞ で y → ±1/\sqrt{2} に落ち着く (第 F章参照).

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム

• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展の緯度による違いについて速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムは, 図 11.13から明らかなように, 低波数の場合と同様に高緯度域と赤道域に分けられる. 高緯度域と赤道域の境界はやはり明確ではないが, 低波数の場合と比べて赤道域と呼ばれる領域が広くなる. このことから, 高波数ほど重力波的な特徴が顕著になると考えられる (この詳細は, 以下で述べる).

• 高緯度域の速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム低波数の場合には, 高緯度域の速度ベクトルの時間変化にコリオリ力が最も寄与していた. 高波数となっても, 基本的に速度ベクトルとジオポテンシャルの位相伝搬メカニズムは変わらない. 高波数になると, 東西風の時間変化に寄与する東西の圧力傾度力の大きさは, コリオリ力に対して相対的に大きくなる. また, ジオポテンシャルの位相伝搬に寄与する成分は, 高波数になるにつれて次第に東西風の収束発散成分の方が効くようになる. 以上の特徴から, 高緯度域では高波数になるにつれて慣性振動的な特徴は弱くなり, 重力波的な特徴が強くなる.

• 赤道域の速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム高波数となっても, 基本的に赤道域の速度ベクトルとジオポテンシャルの位相伝搬メカニズムは低波数の場合と変わらない. 高波数になるにつれて, これまで赤道域と呼んできた領域は広くなり, 速度ベクトルの位相伝搬に, 圧力傾度力がいっそう寄与するようになる. また, ジオポテンシャルの位相伝搬には, 高緯度域と同様に高波数になるにつれて東西風の収束発散成分がいっそう寄与するようになる. 以上の特徴から, 低緯度域でも高波数になるにつれて, より重力波的なメカニズムで位相伝搬するようになる.

\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 90}

{図 11.13: n = 1, k = 2.0 (高波数) の東進慣性重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = 2.65, c = 1.32). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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11.3 n = 1, k ≠ 0 の西進慣性重力波

次に, n = 1, k ≠ 0 の場合の西進慣性重力波の特徴をまとめる. 本節では, これまでと同様の方法で 0 < k ≤ 1.1 の場合を低波数のレジーム, k > 1.1 の場合を高波数のレジームとして恣意的に分類し, 議論することにする.

11.3.1 0 < k ≤ 1.1 (低波数) の西進慣性重力波の特徴

低波数 (0 < k ≤ 1.1) の場合のモードの構造を図 11.14 に示す. このモードの振動数は, (11.0.1) より −\sqrt{3.36} となる^{11}. これは, 先に議論した n = 1, k = 0 のモードの振動数 −\sqrt{3} と比べて小さな値である. 以下では, k = 0 のモードとの相違について, 図 11.14 の低波数のケースから得られる特徴をまとめる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子

• はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の様子について述べる. 速度ベクトルは, n = 1, k = 0 の慣性振動の場合や n = 1 の東進慣性重力波 (以下, 東進波と略す) の場合と同様に赤道対称な分布をする. 速度ベクトルが 0 となる緯度は, n = 1 の東進波の場合と同様存在しない. 西進波では, 図 11.14の場合, 西風領域の西側で南風領域, 東側で北風領域となっており, 赤道を除いて東進波の場合 (西風領域の西側で北風領域, 東側で南風領域) と異なる分布をしている. しかし, 進行方向で見ると, 東進波も西進波も南北風が先行し東西風が後行する (1/4 波長のずれ) ので, 見た目の分布の特徴は変わらない. 次に速度ベクトルの時間変化の様子について ∂u/∂t, ∂v/∂t の分布を見ると, それぞれ東西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長遅れていることが分かる. このことから速度ベクトルの位相は全体として西進していることが分かる.

• 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子について述べる. ジオポテンシャルも, n = 1, k = 0 の慣性振動の場合や n = 1 の東進波の場合と同様, 赤道対称な分布をする. ジオポテンシャルが 0 となる緯度は, ±\sqrt{ω/(ω + k)} である ((11.2.10)). 東進波の場合と異なり, 特に赤道付近でジオポテンシャルの振幅が大きくなるという特徴がある. 次にジオポテンシャルの時間変化の様子について ∂Φ/∂t の分布を見ると, ジオポテンシャルの分布と比べて 1/4 波長遅れていることが分かる. このことからジオポテンシャルの位相も全体として西進していることが分かる.

11負の波数を導入した場合には k = 0 の場合 ω = \sqrt{3}, k = −0.6 の場合 ω = \sqrt{3.36} となる.

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●速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム

• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展の緯度による違いについて速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムは, n = 1 の東進波の場合と異なり, 高緯度域, 低緯度域という切り分けで議論することは出来ない. 図 11.14 の速度ベクトルやジオポテンシャルの時間変化を一見すると, 高緯度でコリオリ力が卓越しているように見えるが, 位相伝搬に寄与しているのは速度ベクトルの収束発散成分と圧力傾度力である. したがって, 全領域で重力波的な振る舞い (第 E.2章) をしている. 以下では, この詳細を述べながら, 位相伝搬のメカニズムをまとめる.

• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム上述した様に, 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間変化は, 共に重力波的な振る舞いをしている. その特徴をまとめると次の様になる. はじめにジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムについて考察する. 図 11.14 の経度 300 度付近の速度ベクトルの分布に注目すると, 西側で西風領域, 東側で東風領域, 赤道を挟んで北側で北風領域, 南側で南風領域となるため, この経度帯は速度ベクトルの収束域となっている (図 11.14の −∂u/∂x, −∂v/∂y 成分参照). この収束により, 経度 300 度付近の赤道域では, ∂ϕ/∂t は正の値を取るようになる (図 11.14 の ∂ϕ/∂t 成分参照). 赤道を離れても, 東西風が収束域であることに変わりはないが, 南北風は発散域となる. 東西風が収束域となる点は, いわゆる非回転の 2 次元浅水系重力波と異なる (非回転 2 次元浅水重力波では, 東西風の収束発散は, 赤道側と高緯度側で逆符号を取る. 図 E.3参照). これは, 高緯度側でコリオリ成分の寄与により, 速度ベクトルの向きが変わるためである (図 11.14の高緯度側の yv と −∂ϕ/∂x, −yu と −∂ϕ/∂y 参照). しかし, このモードでは, 2 次元の浅水重力波の低波数の場合と同様に, 東西風の収束発散成分よりも南北風の収束発散成分の寄与が大きいので, 赤道を離れたところでは, ∂ϕ/∂t は負の値を取るようになる. 他の経度帯でも同様に, ジオポテンシャルの位相伝搬は速度ベクトルの収束発散で決まっている. 次に, 速度ベクトルの位相伝搬について考察する. 図 11.14の経度 300 度付近のジオポテンシャルの分布に注目すると, 赤道域では, 東側で正の値, 西側で負の値を取る. このため, この領域の東西圧力傾度力 −∂ϕ/∂x は, 負の値を取る. したがって, この領域での東西風は東風加速を受けるので, 図 11.14の東西風の分布と見比べると東西風の位相は西に伝播することが分かる. 一方, 図 11.14の経度 300 度付近の高緯度側のジオポテンシャルの分布に注目すると, 東側で負の値, 西側で正の値を取る. このため, この領域の東西圧力傾度力 −∂ϕ/∂x は, 正の値を取る. したがって, この領域での東西風は圧力傾度力により西風加速を受ける. これは, 非回転 2 次元浅水重力波の位相伝搬のメカニズムと同様である. 西進慣性重力波の場合, 高緯度側の速度ベクトルは, コリオリ力の影響を受けるので, 東西風は高緯度側でも赤道域と同符号の値を取る (二次元の非回転重力波で本来西風 (東風) であるところが, 東風 (西風) になるまでコリオリ力により向きを変えられている). よって, 東西圧力傾度力の役割は, 見た目には東西風の位相伝搬を妨げているように見える. しかし, 高緯度域ではコリオリ力の大きさも圧力傾度力の大きさより卓越しているので, ∂u/∂t の符号には影響しない (∂u/∂t は東西風の位相が西進するような分布となる). つまり, 高緯度域の東西風の位相伝搬には, その場所の圧力傾度力は寄与していない. 高緯度域の東西風の位相伝搬は, 赤道域の圧力傾度力の分布に強く依存していて, いわゆる二次元の非回転重力波の位相伝搬のメカニズムとは異なっている. 次に, 図 11.14 の経度 150 度付近のジオポテンシャルの分布に注目すると, 緯度 1 度 (−1 度) 付近を挟んで北側 (南側) で正の値, 南側 (北側) で負の値を取る. このため, この領域の南北圧力傾度力 −∂ϕ/∂y は, 負 (正) の値を取る. したがってこの領域での南北風は北風加速 (南風加速) を受けるので, 図 11.14の南北風の分布と見比べると南北風の位相は西に伝播することが分かる. こうして, 速度ベクトルの位相伝搬は, 全領域で赤道付近 (緯度 ±1.5 度) の圧力傾度力により決まっている. 以上の様に, 西進慣性重力波には, 非回転二次元の浅水重力波と異なる点があるが, 基本的には全領域で重力波的なメカニズムで位相伝搬していることが分かる.

\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 94}

{図 11.14: n = 1, k = 0.6 (低波数) の西進慣性重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = −1.83, c = −3.06). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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11.3.2 k > 1.1 (高波数) の西進慣性重力波の特徴

高波数 (k > 1.1) の場合のモードの構造を図 11.15 に示す. このモードの振動数は, (11.0.1) より −\sqrt{9.25} となり^{12}, k < 1.1 の場合の振動数と比べてより小さな値を取る. 以下では, 低波数のモードとの相違について, 図 11.15 の高波数のケースから得られる特徴をまとめる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子

速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布, 時間変化の特徴は, 基本的に低波数の場合と変わらない (図 11.15 の u, v, ϕ の分布と ∂u/∂t, ∂v/∂t, ∂Φ/∂t の分布から西進していることが分かる). 低波数の場合との違いは, u, Φ の振幅の極大・極小の位置が赤道上にくること, これに伴い ∂u/∂t, ∂Φ/∂t の振幅の極大・極小の位置が赤道上にくること, の 2 点である.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム

• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展の緯度による違いについて速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムは, 図 11.15で見られるように, 低波数の場合と同様に全領域で重力波的なメカニズムで位相伝搬している.

• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム高波数となっても, 基本的に速度ベクトルとジオポテンシャルの位相伝搬メカニズムは変わらない. 東進波の場合と同様に, 西進慣性重力波の場合でも, 高波数になると, 東西風の時間変化に寄与する東西の圧力傾度力の大きさは, コリオリ力に対して相対的に大きくなる. また, 同様にジオポテンシャルの位相伝搬には, 高波数になるにつれて次第に東西風の収束発散成分の方が効くようになる. 以上の特徴から, 高波数になるにつれてコリオリ成分は弱くなることが分かる.

12負の波数を導入した場合には k = 0 の場合 ω = \sqrt{3}, k = −2.5 の場合 ω = \sqrt{9.25} となる.

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\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 96}

{図 11.15: n = 1, k = 2.5 (高波数) の西進慣性重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = −3.04, c = −1.21). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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11.4 n = 2, k = 0 の慣性重力波

本節では, n = 2, k = 0 の慣性重力波 (慣性振動) の特徴について述べる. k = 0, n = 2 のモードの振動数は, (11.0.1) より ±\sqrt{5} となる. Hermite 多項式のモード番号を表す n は, モードの南北構造を決定づけるパラメータであるので n の違いは南北構造に反映される. したがって, n = 2, k = 0 のモードであっても n = 1, k = 0 のモードとの間にメカニズムの違いは無い. n = 1 の場合と異なるのは, 速度ベクトル, ジオポテンシャルの南北構造だけである. 以下では, n = 1, k = 0 のモードとの相違点を通して波の特徴をまとめる^{13}.

11.4.1 n = 2, k = 0 の慣性重力波の特徴

本節では, 図 11.16〜図 11.20 中に共通してみられる特徴をまとめる.

• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布および時間発展は以下の通り:

– 速度ベクトルは, ±1/\sqrt{2} で 0 となる赤道反対称分布をする ((G.0.1) 式). 速度ベクトルの大きさは, 南北半球でそれぞれ 2 つずつ極大値と極小値をもつ ((G.0.2) 式). この様に速度ベクトルの分布が n = 1 の場合と異なる他は, n = 1 の場合と同様の時間発展をする.

– ジオポテンシャルも赤道で 0 となる赤道非対称分布をする. ジオポテンシャルは, 南北半球でそれぞれ 2 つずつ異符号の極値をもつ (図 11.16〜図 11.20の ϕ の等値線). この様にジオポテンシャルの分布が n = 1 の場合と異なる他は, n = 1 の場合と同様の時間発展をする.

• 速度ベクトルの時間発展は以下の様にして決まっている.

– 速度ベクトルの回転は n = 1, k = 0 の場合と同様コリオリ力のために起こる. コリオリ力の働きについても n = 1 の場合と同様である.

– 圧力傾度力の働きも n = 1 の場合と同様, 南北流速の大きさを変化させる働きをする (速度ベクトルの大きさを変化させる効果). n = 2 の場合, 圧力傾度力が 0 となる緯度は ±1/\sqrt{2}, ±\sqrt{5} であり南北両半球でそれぞれ 2 つずつ存在する. 緯度 ±1/\sqrt{2} より赤道側では, 南・北半球で最初の 1/2 周期は北風加速となり, 次の 1/2 周期は南風加速となる^{14}. 緯度が 1/\sqrt{2} と\sqrt{5} の間, もしくは −1/\sqrt{2} と −\sqrt{5} の間では, 南・北半球で最初の 1/2 周期は南風加速となり, 次の 1/2 周期は北風加速となる^{15}. 緯度が ±\sqrt{5} より極側では, 南・北半球で最初の 1/2 周期は北風加速となり, 次の 1/2 周期は南風加速となる^{16}. 圧力傾度力が 0 となる緯度 ±1/\sqrt{2}, ±\sqrt{5} では, 圧力傾度力による南北風の加速・減速が起こらないので, 速度ベクトルの大きさは時間変化しない.

13本節で述べる特徴の物理的根拠は, 付録第 G章に記した.

14南北風は, 始めの 1/4 周期では南・北半球で南向きの成分を持つので減速し, 次の 1/4 周期では北向きの成分をもつので, 南北風は加速する. 残りの 1/2 周期も同様のメカニズムで南北風は減速, 加速をする.

15南北風は, 始めの 1/4 周期では南・北半球で北向きの成分を持つので減速し, 次の 1/4 周期では南向きの成分をもつので, 南北風は加速する. 残りの 1/2 周期も同様のメカニズムで南北風は減速, 加速をする.

16南北風は, 始めの 1/4 周期では南・北半球で北向きの成分を持つので加速し, 次の 1/4 周期では南向きの成分をもつので, 南北風は減速する. 残りの 1/2 周期も同様のメカニズムで南北風は減速, 加速をする.

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• ジオポテンシャルの時間変化は, 以下の様に決まる:

– ジオポテンシャルの時間発展も, n = 1, k = 0 の場合と同様, 南北風の収束発散で決まっており, 東西風と同位相で 1/2 周期毎に符号が反転する ((G.0.5) 式).

11.4.2 n = 2, k = 0 の慣性重力波の構造

本節では, 始めに 1/4 周期ごとに速度ベクトルの時間変化を示し, 続いて運動方程式 (8.2.22) 〜(8.2.24) のそれぞれの項の水平分布図を示す. 水平分布図は n = 1, k = 0 の構成と同じである.

図 11.16: n = 2, k = 0.0 の慣性振動の速度ベクトル (黒色のベクトル), ジオポテンシャル (等値線), 圧力傾度力 (赤色のベクトル), コリオリ力 (緑色のベクトル), 加速度ベクトル (du/dt, dv/dt)(青色のベクトル) のスナップショット. それぞれ t = 0.5 (上左図), t = 1.5 (上右図), t = 2.5 (下左図), t = 3.0 (下右図) である. ただし, ベクトルは経度 180 度の場合のみ示した. また, 速度ベクトルの終点がその他のベクトルの始点になるように描いている.

\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 100}

{図 11.17: n = 2, k = 0.0, t = 0.5 の東進慣性重力波の場合の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水 \atop 平分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 101}

{図 11.18: n = 2, k = 0.0, t = 1.0 の東進慣性重力波の場合の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水 \atop 平分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 102}

{図 11.19: n = 2, k = 0.0, t = 1.9 の東進慣性重力波の場合の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水 \atop 平分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 103}

{図 11.20: n = 2, k = 0.0, t = 2.5 の東進慣性重力波の場合の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水 \atop 平分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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11.5 n = 2, k ≠ 0 の東進慣性重力波

本節では, n = 2, k ≠ 0 の場合の東進慣性重力波の特徴をまとめる. 本節でも, これまでと同様の方法で 0 < k ≤ 1.7 の場合を低波数のレジーム, k > 1.7 の場合を高波数のレジームとして私意的に分類し, 低波数と高波数の場合を併せて議論することにする. 低波数 (0 < k ≤ 1.7) の場合のモードの構造を図 11.21 に示し, 高波数 (k > 1.7) の場合のモードの特徴を図 11.22 に示す. これらの図から得られる特徴を以下にまとめる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子

• はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の様子について述べる. 速度ベクトルは, n = 1 の場合と異なり, 赤道反対称な分布をする^{17}. n = 2, k ≠ 0 の場合, n = 1, k ≠ 0 の場合と同様, 速度ベクトルが 0 となる緯度は存在しない. 南北流速が 0 となる緯度は, ±1/\sqrt{2}, 東西流速が 0 となる緯度は, k = 0 の場合と同様に赤道と ±\sqrt{(ω + 5k)/(2(ω + k))} となる緯度である. n = 1 の場合と比較して, u, v が 0 となる緯度の数 (節の数) は, それぞれ 2 → 3, 1 → 2 のように変化する. また, 東西風速が 0 となるこれらの緯度は赤道を除いて, k → ∞ で y → ±\sqrt{5/2} に落ち着く. 次に速度ベクトルの時間変化の様子について ∂u/∂t, ∂v/∂t の分布を見ると, それぞれ東西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長進んでいることが分かる. このことから確かに速度ベクトルの位相は全体として東進していることが分かる.

• 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子について述べる. ジオポテンシャルも, n = 1 の場合と異なり, 赤道反対称な分布をする. ジオポテンシャルは赤道と ±\sqrt{(5ω + k)/(2(ω + k))} となる緯度で 0 となる. n = 1 の場合と比較して, Φ が 0 となる緯度の数 (節の数) は, 2 → 3 のように変化する. また, Φ が 0 となるこれらの緯度は赤道を除いて, k → ∞ で y → ±1/\sqrt{2} に落ち着く. 次にジオポテンシャルの時間変化の様子について ∂Φ/∂t の分布を見ると, ジオポテンシャルの分布と比べて 1/4 波長進んでいることが分かる. このことからジオポテンシャルの位相も全体として東進していることが分かる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム

u(x, y, t) = −2y \frac{2(ω + k)y^{2} − ω − 5k}{ω^{2} − k^{2}} e^{−(1/2)y^{2}} sin(kx − ωt),  (11.5.11)
ϕ(x, y, t) = −2y \frac{2(ω + k)y^{2} − 5ω − k}{ω^{2} − k^{2}} e^{−(1/2)y^{2}} sin(kx − ωt).  (11.5.13)

17n = 2, k ≠ 0 の場合, (9.4.76) 〜(9.4.78) より,

v(x, y, t) = (4y^{2} − 2)e^{−(1/2)y^{2}} cos(kx − ωt),  (11.5.12)

となる.

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• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展の緯度による違いについて速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムは, n = 1 の時と同様に高緯度域と赤道域に分けて考えることが出来る. 高緯度と赤道域の境界はやはり明確に決められないが, 図 11.21 では, 緯度 ± 1〜1.5 度付近にあると考えられる. よって以下では, これまでと同様に “高緯度域, 赤道域” という枠組を用いて位相伝搬のメカニズムを議論する.

• 高緯度域の速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム高緯度域の速度ベクトル, ジオポテンシャルは, n = 1 の東進波の場合と同様のメカニズムで位相伝搬する. 低波数の場合 n = 1 の東進波の場合と同様, コリオリ力が圧力傾度力よりも卓越しているので, 見た目には慣性振動的な振舞いをしている. よって, 位相伝搬に寄与しているのは慣性振動からのずれの部分の東西圧力傾度力である. 低波数から高波数になるにつれて, コリオリ力に対する東西の圧力傾度力の大きさは大きくなり, 東西風速の収束発散成分は南北風速の収束発散成分よりも大きくなる. したがって, 高緯度域では n = 1 の場合と同様, 高波数になるにつれて, 慣性振動的な特徴は弱くなり, 重力波的な特徴が強くなる.

• 赤道域の速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム赤道域の速度ベクトル, ジオポテンシャルは, n = 1 の東進波の場合と同様のメカニズムで位相伝搬する. 高波数になると東西の圧力傾度力と東西風速の収束発散成分はより大きな値を取るようになるので, n = 1 の東進波の高波数の場合で見られたように, より重力波的なメカニズムで位相伝搬するようになる.

\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 106}

{図 11.21: n = 2, k = 0.5 (低波数) の東進慣性重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = 2.29, c = 4.58). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 107}

{図 11.22: n = 2, k = 3.0 (高波数) の東進慣性重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = 3.74, c = 1.25). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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11.6 n = 2, k ≠ 0 の西進慣性重力波

本節では, n = 2, k ≠ 0 の場合の西進慣性重力波の特徴をまとめる. 本節でも, これまでと同様の方法で 0 < k ≤ 1.6 の場合を低波数のレジーム, k > 1.6 の場合を高波数のレジームとして私意的に分類し, 低波数と高波数の場合を併せて議論することにする. 低波数 (0 < k ≤ 1.6) の場合のモードの構造を図 11.23 に示し, 高波数 (k > 1.6) の場合のモードの特徴を図 11.24 に示す. これらの図から得られる特徴を以下にまとめる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子

• はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の様子について述べる. 速度ベクトルは, n = 1 の場合と異なり, 赤道反対称な分布をする. 東西流速が 0 となる緯度は, 赤道だけである^{18}. 南北流速は東進する場合と同様, 緯度 ±1/\sqrt{2} で 0 となる. u, v が 0 となる緯度の数 (節の数) は, n = 2 の東進波の場合と同様にそれぞれ 3 個, 2 個である. n = 1 の西進慣性重力波の場合と異なるのは, 速度ベクトルの収束発散域が赤道上に無い (図 11.23, 11.24では, 緯度 ± 1 度付近にある) ことである. しかし, 南北半球で速度ベクトルが収束発散する緯度帯を中心にして (n = 1 の場合の赤道として) 見れば, n = 1 の時に見られた西進波と東進波の違い (東西流速と南北流速の位相の違い) は, n = 2 の場合でも見られる. 次に速度ベクトルの時間変化の様子について ∂u/∂t, ∂v/∂t の分布を見ると, それぞれ東西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長遅れていることが分かる. このことから確かに速度ベクトルの位相は全体として西進していることが分かる.

• 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子について述べる. ジオポテンシャルも n = 1 の場合と異なり, 赤道反対称な分布をする. ジオポテンシャルは赤道と緯度 ±\sqrt{(5ω + k)/2(ω + k)} で 0 となる. Φ が 0 となる緯度の数 (節の数) は, n = 2 の東進波の場合と同様である. 次にジオポテンシャルの時間変化の様子について ∂Φ/∂t の分布を見ると, ジオポテンシャルの分布と比べて 1/4 波長遅れていることが分かる. このことからジオポテンシャルの位相も全体として西進していることが分かる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム

• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展の緯度による違いについて速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムは, 図 11.23, 11.24 から明らかなように, n = 1 の西進波の場合と同様に全領域で重力波的である. 上述したように, n = 1 の西進慣性重力波の場合と異なり, 速度ベクトルの収束発散域が赤道上に無いが, 南北半球で速度ベクトルが収束発散する緯度帯を中心にして見れば, n = 1 の場合と同様に重力波的なメカニズムをしている. 以下では, この詳細について述べることにする.

18(11.5.11) に於いて ω < 0 なので, ω + 5k > 0, ω + k < 0 となり, u = 0 となる y(≠ 0) が存在しない.

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• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム n = 2 となっても, 基本的に速度ベクトルとジオポテンシャルの位相伝搬メカニズムは変わらない. n = 1 の西進波の場合と同様に, n = 2 の西進波の場合でも, 高波数になると, 東西風の時間変化に寄与する東西の圧力傾度力の大きさは, コリオリ力に対して相対的に大きくなる. また, 同様にジオポテンシャルの位相伝搬には, 高波数になるにつれて次第に東西風の収束発散成分の方が効くようになる. 以上の特徴から, 高緯度域では高波数になるにつれて慣性振動的な特徴は弱くなり, 重力波的な特徴が強くなる.

\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 110}

{図 11.23: n = 2, k = 0.5 (低波数) の西進慣性重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = −2.29, c = −4.58). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 11 章慣性重力波の水平伝播のメカニズム 111}

{図 11.24: n = 2, k = 3.0 (高波数) の西進慣性重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = −3.74, c = −1.25). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 12 章赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム 112}

第 12 章

赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム

第 10章の結果よりロスビー波の振動数 ω, 位相速度 c をまとめると次の様になる:^{1}

ω = \frac{−k}{k^{2} + 2n + 1},  (n ≥ 1)  (12.0.1)
c = \frac{−1}{k^{2} + 2n + 1}. (n ≥ 1)  (12.0.2)

(12.0.2) より, 位相速度は常に c < 0 であるから赤道ロスビー波は西進する. 図 10.6の速度分布から見られる様に, ロスビー波には渦が存在する. そこで本節では運動方程式に加えて, 渦度方程式の各項の分布を調べる. その中で中緯度域のロスビー波と比較を行う. はじめに, 赤道 β 平面の方程式系から渦度方程式を導出する. \frac{∂}{∂x}(8.2.23), \frac{∂}{∂y}(8.2.22) より,

\frac{∂}{∂x} (\frac{∂v}{∂t} ) = −y \frac{∂u}{∂x} − \frac{∂^{2}Φ}{∂x∂y}  (12.0.3)
\frac{∂}{∂y} (\frac{∂u}{∂t}) = v + y \frac{∂v}{∂y} − \frac{∂^{2}Φ}{∂x∂y}  (12.0.4)

よって, (12.0.3)−(12.0.4) より相対渦度 ζ の渦度方程式を得る:

\frac{∂ζ}{∂t} ≡ \frac{∂}{∂t} (\frac{∂v}{∂x} − \frac{∂u}{∂y}) = −v − y (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )  (12.0.5)

これより相対渦度の時間変化は, コリオリ力の南北経度と速度場の水平発散成分からなっていることが分かる. 以下では必要に応じて (12.0.5) 式の各項の水平分布の図を示すことにする. なお, (12.0.5) 式の水平モード展開の詳細は付録 D 章に記述した.

ω = \frac{−kβ}{k^{2} + \frac{β}{\sqrt{gH}} (2n + 1)},
c = \frac{−β}{k^{2} + \frac{β}{\sqrt{gH}} (2n + 1)}.

1有次元系で表記すると, ロスビー波の振動数, 位相速度は次の様になる:

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12.1 n = 1, k = 0 の赤道ロスビー波

k = 0 の場合, (12.0.1) より ω = 0 であるから第 9章の結果 (9.4.76), (9.4.78) 式より, û, Φ̂ は発散することがわかる. よって k = 0 の赤道ロスビー波の固有関数は存在しない^{2}.

12.2 n = 1, k ≠ 0 の赤道ロスビー波

次に n ≥ 1, k ≠ 0 の場合の赤道ロスビー波として, n = 1 の場合の特徴をまとめる. n = 2 の場合については図 12.6〜12.9 のみ掲載する. 慣性重力波の場合と同様, 運動方程式中で卓越する項は k の値により大きく変化する. このうち, 南北風に伴うコリオリ力に対する東西方向の圧力傾度力の大きさは, 東西波数が増大するにつれて大きくなり, k = 2.0 で同程度になる. この波数 (k = 2.0) は, 分散曲線の図 10.1の点線 (赤道ロスビー波の分散曲線) のグラフの傾きが変わる波数に対応する. そこで以下では, 0 < k ≤ 2.0 の場合を低波数 (長波, 群速度 ∂ω/∂k < 0) のレジーム, k > 2.0 の場合を高波数 (短波, 群速度 ∂ω/∂k > 0) のレジームとして分類し議論する.

12.2.1 0 < k ≤ 2.0 (低波数) の場合

低波数 (0 < k ≤ 2.0) の場合のモードの構造を図 12.2 に示す. このモードの振動数は, (12.0.1) より −0.25 となる. 以下では, 図 12.2 の低波数のケースから得られる特徴をまとめる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子

• はじめに, 速度ベクトルの分布と時間変化の様子について述べる. 速度ベクトルは, 赤道対称な分布をする. この特徴は, n = 1 のモード (他に慣性重力波がある) に共通して見られる^{3}. 東西流速は赤道で 0 とならないので速度ベクトル自身も赤道で 0 とならない. 東西風速が 0 となるのは, 緯度 ±\sqrt{k/(ω + k)} である. 南北流速は, 赤道反対称な分布をする. 南北流速は赤道で 0 となる. 次に, 速度ベクトルの時間変化の特徴について ∂u/∂t, ∂v/∂t の分布を見ると, それぞれ東西風, 南北風の分布と比べて 1/4 波長遅れていることが分かる. このことから速度ベクトルの位相は全体として西進していることが分かる.

u(x, y, t) = −2\frac{(ω + k)y^{2} − k}{ω^{2} − k^{2}} e^{−(1/2)y^{2}} sin(kx − ωt),
ϕ(x, y, t) = −2\frac{(ω + k)y^{2} − ω}{ω^{2} − k^{2}} e^{−(1/2)y^{2}} sin(kx − ωt).

2物理的には, k = 0 の場合, 渦度が 0 となり, ロスビー波の伝搬メカニズムの特徴である相対渦度の東西伝播が記述できない (東西一様で相対渦度の東西変化が存在しない) ことによる.

3n = 1, k ≠ 0 の場合, (9.4.76) 〜(9.4.78) より, 以下の様になる (再掲):

v(x, y, t) = 2ye^{−(1/2)y^{2}} cos(kx − ωt), /home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

• 次に, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子について述べる. ジオポテンシャルも, 速度ベクトルと同様, 赤道対称な分布をする. ジオポテンシャルが 0 となる緯度は, ±\sqrt{ω/(ω + k)} である (本ページ脚注参照). 次に, ジオポテンシャルの時間変化の特徴について ∂Φ/∂t の分布を見ると, ジオポテンシャルの分布と比べて 1/4 波長遅れていることが分かる. このことからジオポテンシャルの位相も全体として西進していることが分かる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム

• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬は, 基本的には中緯度のロスビー波と同様に β 効果で起こっている. まずここでは, 中緯度のロスビー波の伝搬メカニズムを簡単にまとめておく. (12.0.5) 式を, 赤道 β 面から中緯度 β 面 (f = f_{0} + βy) に書き換えて準地衝流近似を用いると, 次の様になる (簡単のため, 有次元系で表す):

\frac{∂ζ}{∂t} ≡ \frac{∂}{∂t} (\frac{∂v}{∂x} − \frac{∂u}{∂y}) = −β \frac{∂Φ}{∂x} − \frac{f_{0}^{2}}{gH} \frac{∂Φ}{∂t}  (12.2.6)

て k → 0 の様なロスビー長波の場合を考えると, 水平スケール (L) が非常に大きくなるので, (12.0.5) 式は, 左辺第一項が右辺の他の項と比べて相対的に無視され, 惑星渦度による渦位変化 (右辺第一項) と, 流体柱の伸縮による渦位変化 (右辺第二項) がバランスした状態で書ける;

y \frac{∂Φ}{∂t} = v.  (12.2.7)

これにより, 流体上端面に

• 速度ベクトルは, 慣性振動の場合と同様に回転運動をする. この速度ベクトルの回転はコリオリ力のために起こっている (慣性振動的特徴). 東西風, 南北風共に, 時間変化は, コリオリ力と圧力傾度力両方の効果で生じている. しかし, 慣性重力波の場合と異なり, 赤道域を除いて両者の力はほぼバランスしており, 加速度成分 (∂u/∂t, ∂v/∂t) の大きさは非常に小さい. この様に, 速度場はほぼ地衝流バランスしており, これまでの重力波的なメカニズムの解釈ではうまく説明できない. 一方, 相対渦度の時間変化 (図 12.3) を見ると, 相対渦度の位相伝搬に対する速度場の発散成分の寄与は小さく, 惑星渦度の南北傾度が位相伝搬に大きく寄与していることが分かる. このため, 速度場の位相伝搬は惑星渦度の南北経度により生じており, いわゆる中緯度のロスビー波の伝搬メカニズムと同じであることが分かる (図 12.1 参照).

• ジオポテンシャルの時間発展は, 慣性重力波の場合と同様に速度場の収束発散によって決まっている. 慣性重力波と異なるのは, 東西流速の収束発散成分と南北流速の収束発散成分が互いに逆符号を取り, キャンセルするように働いていることである.

図 12.1: n = 1 の赤道ロスビー波の伝播メカニズム.

\underline{地球流体波動ノート第 12 章赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム 116}

{図 12.2: n = 1, k = 1.0 (低波数) の赤道ロスビー波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = −0.25, c = −0.25). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 12 章赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム 117}

{図 12.3: n = 1, k = 1.0 (低波数) のロスビー波の相対渦度 ζ と dζ/dt, さらに dζ/dt を構成 \atop する各々の成分の水平分布 (t = 0, ω = −0.25, c = −0.25). 等値線間隔は, 下 3 枚が同じ.}^{ζ ; \frac{∂ζ}{∂t} ; −v ; −y (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )}

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

12.2.2 k > 2.0 (高波数) の場合

高波数 (k > 2.0) の場合のモードの構造を図 12.4 に示す. このモードの振動数は, (11.0.1) より −0.27 となる. k < 2.0 の場合と振動数と比べてより小さな値を取る理由は, 速度場がより地衝流バランスに近い状態となり, 収束発散成分の寄与が小さくなったためである. 以下では, 低波数のモードとの相違について, 図 12.4 の高波数のケースから得られる特徴をまとめる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布

速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布の特徴は, 低波数の場合と変わらない. 低波数との違いは, 振幅が減少していることである.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展

• 速度ベクトルの回転運動, 位相伝搬のメカニズムは低波数の場合と同様である. 低波数の場合との違いは, 速度場がより地衝流バランスに近付いていることである. このため, 速度場の収束発散によって伝搬するといった重力波的な特徴はよりいっそう弱くなり, 惑星渦度の南北経度により相対渦度が時間変化する中緯度のロスビー波的な伝搬メカニズムにシフトしていることが分かる.

• ジオポテンシャルの位相伝搬メカニズムも低波数の場合と同様である. しかし, 低波数の場合と比べて東西流速の収束発散成分がより大きくなるので, 南北流速の収束発散成分とほぼキャンセルするようになり, 位相速度はより小さくなっている.

\underline{地球流体波動ノート第 12 章赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム 119}

{図 12.4: n = 1, k = 2.5 (高波数) の赤道ロスビー波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = −0.27, c = −0.11). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 12 章赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム 120}

{図 12.5: n = 1, k = 2.5 (高波数) のロスビー波の相対渦度 ζ と dζ/dt, さらに dζ/dt を構成 \atop する各々の成分の水平分布 (t = 0, ω = −0.27, c = −0.11). 等値線間隔は, 下 3 枚が同じ.}^{ζ ; \frac{∂ζ}{∂t} ; −v ; −y (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )}

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\underline{地球流体波動ノート第 12 章赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム 121}

{図 12.6: n = 2, k = 1.0 (低波数) の赤道ロスビー波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = −0.17, c = −0.17). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 12 章赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム 122}

{図 12.7: n = 2, k = 1.0 (低波数) のロスビー波の相対渦度 ζ と dζ/dt, さらに dζ/dt を構成 \atop する各々の成分の水平分布 (t = 0, ω = −0.17, c = −0.17). 等値線間隔は, 下 3 枚が同じ.}^{ζ ; \frac{∂ζ}{∂t} ; −v ; −y (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )}

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

\underline{地球流体波動ノート第 12 章赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム 123}

{図 12.8: n = 2, k = 2.5 (高波数) の赤道ロスビー波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 \atop (t = 0, ω = −0.22, c = −0.09). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 12 章赤道ロスビー波の水平伝播のメカニズム 124}

{図 12.9: n = 2, k = 2.5 (高波数) のロスビー波の相対渦度 ζ と dζ/dt, さらに dζ/dt を構成 \atop する各々の成分の水平分布 (t = 0, ω = −0.22, c = −0.09). 等値線間隔は, 下 3 枚が同じ.}^{ζ ; \frac{∂ζ}{∂t} ; −v ; −y (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )}

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\underline{地球流体波動ノート第 13 章混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム 125}

第 13 章

混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム

第 10.3節の結果より混合ロスビー重力波の振動数 ω, 位相速度 c をまとめると次の様になる:^{1}

ω = \frac{k ± \sqrt{k^{2} + 4}}{2}  (for n = 0)  (13.0.1)
c = \frac{1}{2} (1 ± \sqrt{1 + \frac{4}{k^{2}}} )  (for n = 0)  (13.0.2)

(13.0.2) より, 混合ロスビー重力波には東進するものと西進するものが存在する.

13.1 n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波

本節では, n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波の特徴について述べる. n = 0, k = 0 のモードの振動数は, (13.0.1) より ω = 1 = β となる. n = 2, k = 0 の慣性重力波の節で述べた様に, n はモードの南北構造を規定し, n の違いは南北構造に反映される. したがって k = 0 のモードであっても n = 0 のモードは n = 1, n = 2 の節で述べてきた構造とは異なる構造を持つ. 以下では, n = 1, 2, k = 0 のモードとの相違点を通して, n = 0, k = 0 のモードの特徴をまとめる^{2}.

ω = \frac{1}{2} (k\sqrt{gH} ± \sqrt{k^{2}gH + 4β\sqrt{gH}}) (for n = 0)

c = \frac{1}{2} (\sqrt{gH} ± \sqrt{gH + \frac{4β\sqrt{gH}}{k^{2}}} ) (for n = 0)

1有次元系で表記すると, 混合ロスビー重力波の振動数, 位相速度は次の様になる:

2本節で述べる特徴の物理的根拠は, 付録第 H章に記した.

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13.1.1 n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波の特徴

本節では, 図 13.1〜図 13.5 中に共通してみられる特徴をまとめる.

• 速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布および時間発展は以下の通り:

– 速度ベクトルは, 赤道非対称分布をする ((H.0.1) 式). これは, n = 2, k = 0 のモードと同じ特徴である. 速度ベクトルの大きさは, 南北半球でそれぞれ 1 つずつ同符号の極値をもつ ((H.0.2) 式). この様に速度ベクトルの分布が n = 1, 2 の場合と異なる他は, n = 1, 2, k = 0 のモードと同様の時間発展をする.

– ジオポテンシャルも赤道で 0 となる赤道反対称分布をする. ジオポテンシャルは, 南北半球でそれぞれ 1 つずつ異符号の極値をもつ (図 13.1〜図 13.5の ϕ の等値線). この様にジオポテンシャルの分布が, n = 1, 2 の場合と異なる他は, n = 1, 2, k = 0 のモードと同様の時間発展をする;

• 速度ベクトルの時間発展は以下の様にして決まっている.

– 速度ベクトルの回転は n = 1, 2, k = 0 の場合と同様コリオリ力のために起こる. コリオリ力の働きについても n = 1, 2 の場合と同様である.

– 圧力傾度力の働きも n = 1, 2, k = 0 の場合と同様, 速度ベクトルの大きさを変化させる効果を持つ. n = 0 の場合, 圧力傾度力が 0 となる緯度は ±1 であり南北両半球でそれぞれ 1 つずつ存在する. 緯度 ±1 より赤道側では, 南・北半球で最初の 1/2 周期は南風加速となり, 次の 1/2 周期は北風加速となる^{3}. 一方, 緯度 ±1 より極側では, 南・北半球で最初の 1/2 周期は北風加速となり, 次の 1/2 周期は南風加速となる^{4}. 圧力傾度力が 0 となる緯度 ±1 では, 圧力傾度力による南北風の加速・減速が起こらないので, 速度ベクトルの大きさは時間変化しない.

• ジオポテンシャルの時間変化は, 以下の様に決まる:

– ジオポテンシャルの時間発展も, n = 1, 2, k = 0 の場合と同様, 南北風の収束発散で決まっており. 東西風と同位相で 1/2 周期毎に符号が反転する ((H.0.4) 式).

13.1.2 n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波の構造

本節では, 始めに 1/4 周期ごとに速度ベクトルの時間変化を示し, 続いて運動方程式 (8.2.22) 〜(8.2.24) のそれぞれの項の水平分布図を示す. 水平分布図の構成はこれまでと同様である.

3南北風は, 始めの 1/4 周期では南・北半球で北向きの成分を持つので減速し, 次の 1/4 周期では南向きの成分をもつので, 南北風は加速する. 残りの 1/2 周期も同様のメカニズムで南北風は減速, 加速をする.

4南北風は, 始めの 1/4 周期では南・北半球で北向きの成分を持つので加速し, 次の 1/4 周期では南向きの成分をもつので, 南北風は減速する. 残りの 1/2 周期も同様のメカニズムで南北風は加速, 減速をする.

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図 13.1: n = 0, k = 0.0 の慣性振動の速度ベクトル (黒色のベクトル), ジオポテンシャル (等値線), 圧力傾度力 (赤色のベクトル), コリオリ力 (緑色のベクトル), 加速度ベクトル (du/dt, dv/dt)(青色のベクトル) のスナップショット. それぞれ t = 0.5 (上左図), t = 2.5 (上右図),t = 3.5 (下左図), t = 5.5 (下右図) である. ただし, ベクトルは経度 180 度の位置のもののみ示した. また, 速度ベクトルの終点がその他のベクトルの始点になるように描いている.

\underline{地球流体波動ノート第 13 章混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム 128}

{図 13.2: n = 0, k = 0.0, t = 0.5 の東進混合ロスビー重力波 (慣性振動) の場合の (8.2.22)〜 \atop (8.2.24) の各項の水平分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 13 章混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム 129}

{図 13.3: n = 0, k = 0.0, t = 2.5 の東進混合ロスビー重力波 (慣性振動) の場合の (8.2.22)〜 \atop (8.2.24) の各項の水平分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

\underline{地球流体波動ノート第 13 章混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム 130}

{図 13.4: n = 0, k = 0.0, t = 3.5 の東進混合ロスビー重力波 (慣性振動) の場合の (8.2.22)〜 \atop (8.2.24) の各項の水平分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

\underline{地球流体波動ノート第 13 章混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム 131}

{図 13.5: n = 0, k = 0.0, t = 5.5 の東進混合ロスビー重力波 (慣性振動) の場合の (8.2.22)〜 \atop (8.2.24) の各項の水平分布. 下の 3 × 3 枚の図は振幅の緯度分布を示す.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

13.2 n = 0, k ≠ 0 の東進混合ロスビー重力波

本節では, n = 0, k ≠ 0 の東進混合ロスビー重力波の特徴をまとめる. 慣性重力波やロスビー波の場合と同様, 運動方程式中で卓越する項は k の値により大きく変化する. このうち, 南北風に伴うコリオリ力に対する東西方向の圧力傾度力の大きさは, 東西波数が増大するにつれて大きくなり, k = 0.7 で同程度になる. そこで以下では, 0 < k ≤ 0.7 の場合を低波数のレジーム, k > 0.7 の場合を高波数のレジームとして私意的に分類し, 議論することにする.

13.2.1 0 < k ≤ 0.7 (低波数) の場合

低波数 (0 < k ≤ 0.7) の場合のモードの特徴を図 13.6 に示し, 以下に各項の特徴をまとめる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布

速度ベクトル, ジオポテンシャルは共に, n = 2 の東進慣性重力波の場合と同様, 赤道反対称な分布をする^{5}. n = 2 の東進慣性重力波の場合と異なるのは, 東西風と南北風の分布に於いて, 振幅の符号が逆転していることである. k ≠ 0 の場合, 南北流速は特定の経度を除いて赤道で 0 とならないので速度ベクトル自身も赤道で 0 とならない. 南北流速が 0 となるのは, cos(kx − ωt) = 0 となる経度である. 東西流速は, k = 0 の場合と同様赤道で 0 となり, 加えて sin(kx − ωt) = 0 となる経度で 0 となる. ジオポテンシャルは赤道と sin(kx − ωt) = 0 となる経度で 0 となる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展

• 速度ベクトルは n = 2 の東進慣性重力波の場合と同様に回転運動をし, 同様のメカニズムで東に伝播する. ∂u/∂t, ∂v/∂t の分布と東西風, 南北風の分布を見比べると, 確かに速度ベクトルは全体として東進していることが分かる.

• ジオポテンシャルも n = 2 の東進慣性重力波の場合と同様のメカニズムで東に伝播する. ∂Φ/∂t の分布とジオポテンシャルの分布を見比べると, 確かにジオポテンシャルも東進していることが分かる.

u(x, y, t) = −\frac{y}{ω − k} e^{−(1/2)y^{2}} sin(kx − ωt),  (13.2.3)
ϕ(x, y, t) = −\frac{y}{ω − k} e^{−(1/2)y^{2}} sin(kx − ωt).  (13.2.5)

5n = 0, k ≠ 0 の場合, (9.4.67)〜(9.4.69) より,

v(x, y, t) = e^{−(1/2)y^{2}} cos(kx − ωt),  (13.2.4)

となる.

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図 13.6: n = 0, k = 0.5 (低波数) の東進混合ロスビー重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 (t = 0, ω = 1.28, c = 2.56). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.

\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}

13.2.2 k > 0.7 (高波数) の場合

高波数 (k > 0.7) の場合のモードの構造を図 13.7 に示す. このモードの振動数は, (13.0.1) より 1.92 となる. k < 0.7 の場合の振動数と比べてより大きな値を取る理由は, 東に位相伝搬する重力波的な特徴がより顕著になったためである. 以下では, 低波数のモードとの相違について, 図 13.7 の高波数のケースから得られる特徴をまとめる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布

速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布の特徴は低波数の場合と変わらない. 低波数との違いは, 振幅が増大していることである.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展

• 速度ベクトルの回転運動, 位相伝搬のメカニズムは低波数の場合と同様である. 低波数の場合との違いは, 東西風の時間変化に寄与する東西の圧力傾度力の大きさがコリオリ力に対して相対的に大きくなることである. このため, 速度場の東西方向の収束発散成分は大きくなるので, 低波数の場合と比べて位相速度が大きくなる (低波数から高波数へシフトしたときの特徴の変化は, 慣性重力波の場合と同様である).

• ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズムも低波数の場合と同様である. 東西流速の収束発散成分が大きくなるので, ジオポテンシャルの位相伝搬の速度も速度場の位相伝搬と同様大きくなる (低波数から高波数へシフトしたときの特徴の変化は, 慣性重力波の場合と同様である).

図 13.7: n = 0, k = 1.4 (高波数) の東進混合ロスビー重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分布 (t = 0, ω = 1.92, c = 1.37). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.

\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}

13.3 n = 0, k ≠ 0 の西進混合ロスビー重力波

次に西進する混合ロスビー重力波の伝搬メカニズムを考察する. 西進する混合ロスビー重力波にはロスビー波の場合と同様, 渦が存在するから, 運動方程式の各項の考察に加えて, 相対渦度の構造についても考察を行う. これまでと同様の方法で, 0 < k ≤ 2.5 の場合を低波数のレジーム, k > 2.5 の場合を高波数のレジームとして私意的に分類し, 議論することにする.

13.3.1 0 < k ≤ 2.5 (低波数) の場合

低波数 (0 < k ≤ 2.5) の場合のモードの構造を図 13.9 に示す. このモードの振動数は, (11.0.1) より −0.46 となる^{6}. 以下では, k = 0 のモード, 東進混合ロスビー重力波のモードとの相違について, 図 13.9 の低波数のケースから得られる特徴をまとめる. (ここからは 12/11 午前中に作業!!!!!)

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布

速度ベクトル, ジオポテンシャルは共に, k = 0 の場合と同様, 赤道対称な分布をする. 東西流速が 0 となるのは, sin(kx − ωt) = 0 となる経度だけである. ジオポテンシャルは緯度 ±\sqrt{ω/(ω + k)} と sin(kx − ωt) = 0 となる経度で 0 となる. 南北流速は赤道で 0 となる. 西進波と東進波の決定的な違いは, 東西風速と南北風速の位相差である. 西進波では, 北 (南) 半球西側で西 (東) 風領域, 東側で東 (西) 風領域となっている (東進する場合にはこの逆. 但し赤道を除く). 南北風の分布は西進波と東進波で変わらないので, 東西風と南北風の関係は, 西 (東) 進波の方は 1/4 周期先行 (後攻) している.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの時間発展

• 速度ベクトルの回転運動, 位相伝搬のメカニズムは東進する場合と同様である. 負の位相速度に対応して, ∂u/∂t, ∂v/∂t の分布と東西風, 南北風の分布を見比べると, 確かに速度ベクトルは全体として西進している. 東進する場合と同様, 速度場は東西方向にも収束発散成分を持つので, 重力波のメカニズムで西に伝播出来る.

6負の波数を導入した場合には k = 0 の場合 ω = 1, k = −0.6 の場合 ω = 0.46 となる.

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• ジオポテンシャルの時間発展も東進する場合と同様, 速度場の収束発散によって決まる. ∂Φ/∂t の分布とジオポテンシャルの分布を見比べると, 確かにジオポテンシャルも西進している.

図 13.8: 西進する混合ロスビー重力波の伝播メカニズム.

\underline{地球流体波動ノート第 13 章混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム 138}

{図 13.9: n = 0, k = 0.6 (低波数) の西進混合ロスビー重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の \atop 水平分布 (t = 0, ω = −0.46, c = −1.24). 等値線間隔は, u, v, Φ の各列の下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 13 章混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム 139}

{図 13.10: n = 0, k = 0.6 (低波数) の西進混合ロスビー重力波の相対渦度 ζ と dζ/dt, dζ/dt \atop を構成する各成分の水平分布 (t = 0, ω = −0.46, c = −1.24). 等値線間隔は, 下 3 枚が同じ.}^{ζ ; \frac{∂ζ}{∂t} ; −v ; −y (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )}

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13.3.2 k > 2.5 (高波数) の場合

高波数 (k > 2.5) の場合のモードの特徴を図 13.11 に示し, 以下に各項の特徴をまとめる.

●東西風の時間変化

図 13.11 より, 高波数の場合の西進する混合ロスビー重力波の東西風の時間変化 ( ∂u/∂t ) の大きさは小さく, コリオリ力 (yv) と圧力傾度力 (∂Φ/∂x) がほぼバランスしている. この結果, 東西風の構造は全領域でロスビー波的な構造をしている.

●南北風の時間変化

図 13.11 より, 低波数の場合の西進する混合ロスビー重力波の時間変化 (∂v/∂t) の大きさは, コリオリ力 (−yu) がほとんど効かない赤道域では, 圧力傾度力 (−∂Φ/∂y) の大きさで決まり, 赤道から離れた領域ではコリオリ力によって決まっている. このため, 東進する混合ロスビー重力波の場合に見られた特徴と同様, 低緯度では重力波的, 高緯度ではロスビー波的な構造をしている. この様子は低波数の場合と変わらない. やはり, 東西風の特徴と同様に高緯度域ではコリオリ力と圧力傾度力がバランスした地衝流的な速度分布をしている.

●ジオポテンシャルの時間変化

図 13.11 より, 低波数の場合の西進する混合ロスビー重力波のジオポテンシャルの時間変化 (∂Φ/∂t) の大きさは小さく, 赤道上に節をもつ南北風の収束発散 (−∂v/∂y) 成分と東西風の収束発散成分 (−∂u/∂x) がほぼバランスしている. 東西風の収束発散成分に対する南北風の収束発散成分の大きさは, 東西波数が大きくなるにつれて減少する.

●相対渦度の時間変化

図 13.12より, 高波数の場合の西進する混合ロスビー重力波の相対渦度は, 低波数の場合の分布と同じであるが, 大きさは強くなっている. 一方, 相対渦度の時間変化 (∂ζ/∂t) は, 東西方向に 1/4 波長西向きに進んだ分布となっている (西向きに伝播する). この分布は, 低波数の場合と同様, 南向きの流速に伴うコリオリ力の南北変化 (df/dy = −v) で決まっている. つまり, 絶対渦度保存則に従って, コリオリ力の変化が相対渦度の変化をもたらしている. 一方, 相対渦度の生成を押える働きにある速度の水平発散の成分は, 低波数の場合よりも小さくなっており, 高波数になるほどロスビー波的な構造になることを示している.

\underline{地球流体波動ノート第 13 章混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム 141}

{図 13.11: n = 0, k = 3.0 (高波数) の西進混合ロスビー重力波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の \atop 水平分布 (t = 0, ω = −0.30, c = −0.10). 等値線間隔は, u, v, Φ の各列の下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

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\underline{地球流体波動ノート第 13 章混合ロスビー重力波の水平伝播のメカニズム 142}

{図 13.12: n = 0, k = 3.0 (高波数) の西進混合ロスビー重力波の相対渦度 ζ と dζ/dt, dζ/dt \atop を構成する各成分の水平分布 (t = 0, ω = −0.30, c = −0.10). 等値線間隔は, 下 3 枚が同じ.}^{ζ ; \frac{∂ζ}{∂t} ; −v ; −y (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} )}

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

図 13.13: 参考図 1: n = 1, k = 0.6 (低波数)(左), n = 1, k = 2.0 (高波数)(右) の東進慣性重力波の相対渦度 ζ と dζ/dt, さらに dζ/dt を構成する各々の成分の水平分布 (左: t = 0, ω = 1.83, c = 3.06, 右: t = 0, ω = 2.65, c = 1.32). 等値線間隔は, 下 3 枚が同じ.

図 13.14: 参考図 2: n = 1, k = 0.6 (低波数)(左), n = 1, k = 2.5 (高波数)(右) の西進慣性重力波の相対渦度 ζ と dζ/dt, さらに dζ/dt を構成する各々の成分の水平分布 (左: t = 0, ω = −1.83, c = −3.06, 右: t = 0, ω = −3.04, c = −1.21). 等値線間隔は, 下 3 枚が同じ.

図 13.15: 参考図 3: n = 0, k = 0.5 (低波数)(左), n = 0, k = 1.4 (高波数)(右) の東進混合ロスビー重力波の場合の相対渦度 ζ と dζ/dt, さらに dζ/dt を構成する各々の成分の水平分布 (左: ω = 1.28, c = 2.56, 右: ω = 1.92, c = 1.37). 等値線間隔は, 下 3 枚が同じ.

\underline{地球流体波動ノート第 14 章赤道ケルビン波の水平伝播のメカニズム 146}

第 14 章

赤道ケルビン波の水平伝播のメカニズム

第 10章の結果よりケルビン波の振動数 ω, 位相速度 c をまとめると次のようになる:^{1}

ω = k,  (14.0.1)
c = 1.  (14.0.2)

(14.0.2) より, ケルビン波は東進する. 慣性重力波やロスビー波, 混合ロスビー重力波の場合と違い, 低波数から高波数になっても, 構造に変化は見られない. したがって, 低波数, 高波数といった区別をせずに議論することにする. ケルビン波のモードの特徴を図 14.1 に示す. この図から得られる特徴を以下にまとめる.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布と時間変化の様子

(9.4.80)〜(9.4.82) の構造から明らかなように, 速度ベクトル, ジオポテンシャルは共に, k = 0 のモードと同様, 赤道対称な分布をする. また, 南北流速は常に 0 である. 低波数から高波数にシフトしても速度ベクトル, ジオポテンシャルの分布に変化は見られ無い.

●速度ベクトル, ジオポテンシャルの位相伝搬のメカニズム

∂u/∂t, ∂Φ/∂t の分布と東西風, ジオポテンシャルの分布を見比べると, このモードは全体として東進していることが分かる. その伝搬メカニズムは, 以下の様にして決まっている. 100 度付近の速度ベクトルの分布を見ると, 西側で西風領域, 東側で東風領域となるので, この経度帯は速度ベクトルの収束域となっている (図 14.1の −∂u/∂x, −∂v/∂y 成分参照). この収束により, 経度 100 度付近の赤道域では, ∂ϕ/∂t は正の値を取るようになる (図 14.1 の ∂ϕ/∂t 成分参照) ので, 図 14.1のジオポテンシャルの分

ω = k\sqrt{gH}
c = \sqrt{gH}

1有次元系で表記すると, ケルビン波の振動数, 位相速度は次の様になる:

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布と見比べると, ジオポテンシャルの位相は確かに東に伝播することが分かる. 他の経度帯でも同様に, ジオポテンシャルの位相伝搬は速度ベクトルの収束発散で決まっている. 次に, 経度 100 度付近のジオポテンシャルの分布を見る. すると, 西側で正の値, 東側で負の値を取るので, この領域の圧力傾度力 −∂ϕ/∂x は, 正の値を取る (図 14.1 の −∂ϕ/∂x 参照). したがって, この領域の東西風は西風加速を受けるので, 図 14.1の東西風の分布と見比べると東西風の位相は確かに東に伝搬することが分かる. 他の経度帯でも同様に速度ベクトルの位相伝搬は, 圧力傾度力により決まっている. 速度ベクトルのうち, 南北風は常に 0 で時間変化しない. これは, 南北方向のコリオリ力と圧力傾度力がバランスしているからである. このように, 赤道ケルビン波は, 1 次元非回転系の重力波的なメカニズム (第 E.1章) で伝搬している.

\underline{地球流体波動ノート第 14 章赤道ケルビン波の水平伝播のメカニズム 148}

{図 14.1: n = −1, k = 1.0 (低波数) の赤道ケルビン波の (8.2.22)〜(8.2.24) の各項の水平分 \atop 布 (t = 0, ω = 1.0, c = 1.0). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.}^{\begin{matrix}u & v & Φ と風速場 (u, v) \\ \frac{∂u}{∂t} & \frac{∂v}{∂t} & \frac{∂Φ}{∂t} \\ yv & −yu & −\frac{∂u}{∂x} \\ −\frac{∂Φ}{∂x} & −\frac{∂Φ}{∂y} & −\frac{∂v}{∂y} \end{matrix}}

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

\underline{地球流体波動ノート参考文献 149}

参考文献

1) Gill, A. E., 1982: Atmosphere-Ocean Dynamics, 662pp.

2) Kundu, P. K., 1990: Fluid Mechanics, 638pp.

3) Holton, J. R., 1992: An Introduction to Dynamic Meteorology, 511pp.

4) Matsuno, T., 1966: Quasi-Geostrophic Motions in the Equatorial Area. J. Meteor. Soc. Japan, 44, 25-43.

5) Pedlosky, J., 1986: Geophysical Fluid Dynamics, 710pp.

6) Satomura, T., 1981: An Invetigation of Shear Instability in a Shallow Water, J. Meteor. Soc. Japan, 59, 148-166.

7) 小野寺嘉孝, 1993: 物理のための応用数学. 裳華房, 225pp.

8) 寺沢寛一, 1992: 自然科学者のための数学概論. 岩波書店, 711pp.

9) 林祥介, 1989: 赤道波. GFD ノート, 地球流体電脳倶楽部.

10) 原島鮮, 1992: 初等量子力学. 裳華房, 323pp.

Appendix A

赤道波の固有値・固有関数 (有次元系)

本章では, 第 9章で導出した無次元の固有値・固有関数に対応して, 有次元での赤道波の解をまとめる.

A.1 固有値問題の定式化

(9.1.1) を (8.1.2)〜(8.1.4) に代入して以下を得る:

− iωû − βyv̂ = −ikΦ̂,  (A.1.1)
− iωv̂ + βyû = −\frac{∂Φ̂}{∂y},  (A.1.2)
− iωΦ̂ + gH (ikû + \frac{∂v̂}{∂y}) = 0.  (A.1.3)

上式で β = 1, \sqrt{gH} = 1 としたものが, 無次元化した場合の結果である. さらに, 上式から v̂ だけの式を導出すると以下の様になる:

\frac{∂^{2}v̂}{∂y^{2}} + [(\frac{ω^{2}}{gH} − k^{2} − \frac{k}{ω} β) − \frac{β^{2}y^{2}}{gH} ] v̂ = 0.  (A.1.4)

v̂ は, 上式と, 境界条件 (赤道に捕捉される条件),

v → 0 (y → ±∞),

を満たす k の関数として決められる. よって, この境界条件を用いると, (A.1.4) の固有値問題は以下の式を解くという問題に帰着される:

\frac{\sqrt{gH}}{β} (−\frac{k}{ω} β − k^{2} + \frac{ω^{2}}{gH} ) = 2n + 1 (n = 0, 1, 2, ⋯).  (A.1.5)

ゆえに,

ω^{3} − \{k^{2}gH + β\sqrt{gH}(2n + 1)\}ω − kgHβ = 0.  (A.1.6)

A.2 固有値, 固有関数のまとめ

無次元系での方法と同様に固有値・固有関数の導出を行うと次の様になる. ここでは, 結果だけをまとめる.

A.2.1 v̂ ≠ 0 の解

n = 0 の場合の分散関係と固有関数は以下の通りである.

ω_{i} = \frac{1}{2} (k\sqrt{gH} ± \sqrt{k^{2}gH + 4β\sqrt{gH}})  (i = 1, 2),  (A.2.7)
û(y) = \frac{i}{ω_{i} − k} \frac{β}{\sqrt{gH}} yH_{0}e^{− \frac{1}{2} \frac{β}{\sqrt{gH}} y^{2}},  (A.2.8)
v̂(y) = H_{0}e^{− \frac{1}{2} \frac{β}{\sqrt{gH}} y^{2}},  (A.2.9)
Φ̂(y) = \frac{i}{ω_{i} − k} \frac{β}{\sqrt{gH}} yH_{0}e^{− \frac{1}{2} \frac{β}{\sqrt{gH}} y^{2}}.  (A.2.10)

n ≥ 1 の場合の分散関係と固有関数は以下の通りである.

ω_{1} ≃ \frac{−kβ}{k^{2} + \frac{β}{\sqrt{gH}} (2n + 1)},  (A.2.11)
ω_{2} ≃ −\sqrt{k^{2}gH + β\sqrt{gH}(2n + 1)},  (A.2.12)
ω_{3} ≃ \sqrt{k^{2}gH + β\sqrt{gH}(2n + 1)},  (A.2.13)
û(y) = \frac{i}{ω^{2} − k^{2}} (ωyH_{n}(y) exp (−\frac{1}{2} \frac{β}{\sqrt{gH}} y^{2})
−k [\frac{dH_{n}(y)}{dy} exp (−\frac{1}{2} \frac{β}{\sqrt{gH}} y^{2}) − \frac{β}{\sqrt{gH}} yH_{n}(y) exp (−\frac{1}{2} \frac{β}{\sqrt{gH}} y^{2})]) , (A.2.14)
v̂(y) = H_{n}e^{− \frac{1}{2} \frac{β}{\sqrt{gH}} y^{2}},  (A.2.15)
Φ̂(y) = \frac{i}{ω^{2} − k^{2}} (kyH_{n}(y) exp (−\frac{1}{2} \frac{β}{\sqrt{gH}} y^{2})
−ω [\frac{dH_{n}(y)}{dy} exp (−\frac{1}{2} \frac{β}{\sqrt{gH}} y^{2}) − \frac{β}{\sqrt{gH}} yH_{n}(y) exp (−\frac{1}{2} \frac{β}{\sqrt{gH}} y^{2})]) . (A.2.16)

A.2.2 v̂ = 0 の解

v = 0 の場合の解は以下の通りである.

ω = k\sqrt{gH},  (A.2.17)
û(y) = u_{0}e^{− \frac{1}{2\sqrt{gH}} y^{2}},  (A.2.18)
v̂(y) = 0,  (A.2.19)
Φ̂(y) = u_{0}\sqrt{gH}e^{− \frac{1}{2\sqrt{gH}} y^{2}}.  (A.2.20)
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地球流体波動ノート  Appendix B n ≥ 1 の分散関係式の解  152

Appendix B

n ≥ 1 の分散関係式の解

本章では, n ≥ 1 の場合の分散関係式の厳密解と近似解を導出をまとめる. (9.2.30) より, 分散関係式は以下の様になる:

ω_{i}^{3} − ω_{i}k^{2} − k = ω_{i}(2n + 1),  i = 1, 2, 3 (n ≥ −1)  (B.0.1)

(B.0.1) は, 変数 n を含んだ一般的な 3 次方程式であり厳密解として固有値 ω は 3 つ存在する. 以下では, はじめに厳密解を導出したあと, ω の大小によってこれら 3 つの固有値を近似的に取り出す方法を示す.

B.1 n ≥ 1 の場合の分散関係式の厳密解

本節では, (B.0.1) の厳密解を導出する. ここでは, k = 0 の場合と k ≠ 0 の場合とに分けて考える. k = 0 の場合は簡単に解が求まるが, k ≠ 0 の場合には解は簡単に求まらないので, カルダノ・タルタリアの解法を用いて (B.0.1) の厳密解を導出することにする.

\underline{(1) k = 0 の場合}

(B.0.1) より,

ω_{i}^{3} = ω_{i}(2n + 1),  i = 1, 2, 3 (n ≥ 1)  (B.1.2)
ω_{i}{ω_{i}^{2} − (2n + 1)} = 0.  (B.1.3)

ゆえに,

ω = \{ \begin{matrix}ω_{1} = 0, \\ ω_{2} = −\sqrt{2n + 1}, \\ ω_{3} = \sqrt{2n + 1}. \end{matrix}  (B.1.4)

\underline{(2) k ≠ 0 の場合}

カルダノ・タルタリアの方法を用いて (B.0.1) の厳密解を導出する. (B.0.1)

ω_{i}^{3} − (k^{2} + 2n + 1)ω_{i} − k = 0. i = 1, 2, 3 (n ≥ 1)  (B.1.5)

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において, ω = α + β とおき, α と β を求めることにする. ω^{3} に ω = α + β を代入すると, 次式を得る:

ω^{3} − 3αβω − (α^{3} + β^{3}) = 0  (B.1.6)

(B.1.5) と (B.1.6) を比較して

3αβ = k^{2} + 2n + 1.
α^{3} + β^{3} = k.

よって,

\{ \begin{matrix}α^{3}β^{3} = \frac{(k^{2} + 2n + 1)^{3}}{27} , \\ α^{3} + β^{3} = k. \end{matrix}

これより α^{3}, β^{3} は次の 2 次方程式の解である:

A^{2} − kA + \frac{(k^{2} + 2n + 1)^{3}}{27} = 0.  (B.1.7)

この方程式の解は,

A = \frac{k ± \sqrt{k^{2} − \frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3}}}{2} .

ここで, 根号 √ の中は,

k^{2}−\frac{4}{27}(k^{2}+2n+1)^{3} = −\frac{4}{27}k^{6}−\frac{12}{27}k^{4}(2n+1)−\frac{4}{27}k^{2} \underbrace{\{(2n)^{2} + 4n − \frac{5}{4}\}}_{n≥1 の場合必ず正の値}−\frac{12}{27}(2n+1)^{3} < 0

(B.1.8)

となり, n ≥ 1 の場合には必ず負となる. よって,

A = \frac{k ± i\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{2} .  (B.1.9)

ここで,

A = ae^{±iθ},  (B.1.10)

とおく. ただし, a は正の実数である. すると, α^{3} = ae^{iθ},

β^{3} = ae^{−iθ}.

となり, それぞれ 3 乗根をとると

α = a^{\frac{1}{3}} e^{\frac{1}{3} iθ}, \frac{−1 ± i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}} e^{\frac{1}{3} iθ},  (B.1.11)
β = a^{\frac{1}{3}} e^{− \frac{1}{3} iθ}, \frac{−1 ± i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}} e^{− \frac{1}{3} iθ}.  (B.1.12)

となる^{1}. α^{3}, β^{3} の 3 乗根をそれぞれ α_{1}, α_{2}, α_{3}, β_{1}, β_{2}, β_{3} と書くことにすると, α^{3}, β^{3} の 3 乗根は以下のようになる:

α_{1} = a^{\frac{1}{3}} (cos \frac{θ}{3} + i sin \frac{θ}{3}) ,  (B.1.13)
α_{2} = a^{\frac{1}{3}} \frac{−1 + i\sqrt{3}}{2} (cos \frac{θ}{3} + i sin \frac{θ}{3}) ,
= \frac{a^{\frac{1}{3}}}{2} \{− cos \frac{θ}{3} − \sqrt{3} sin \frac{θ}{3} + i (− sin \frac{θ}{3} + \sqrt{3} cos \frac{θ}{3})\} , (B.1.14)
α_{3} = a^{\frac{1}{3}} \frac{−1 − i\sqrt{3}}{2} (cos \frac{θ}{3} + i sin \frac{θ}{3})
= \frac{a^{\frac{1}{3}}}{2} \{− cos \frac{θ}{3} + \sqrt{3} sin \frac{θ}{3} + i (− sin \frac{θ}{3} − \sqrt{3} cos \frac{θ}{3})\} . (B.1.15)
β_{1} = a^{\frac{1}{3}} (cos \frac{θ}{3} − i sin \frac{θ}{3}) ,  (B.1.16)
β_{2} = a^{\frac{1}{3}} \frac{−1 + i\sqrt{3}}{2} (cos \frac{θ}{3} − i sin \frac{θ}{3}) ,
= \frac{a^{\frac{1}{3}}}{2} \{− cos \frac{θ}{3} + \sqrt{3} sin \frac{θ}{3} + i (sin \frac{θ}{3} + \sqrt{3} cos \frac{θ}{3})\} ,  (B.1.17)
β_{3} = a^{\frac{1}{3}} \frac{−1 − i\sqrt{3}}{2} (cos \frac{θ}{3} − i sin \frac{θ}{3}) ,
= \frac{a^{\frac{1}{3}}}{2} \{− cos \frac{θ}{3} − \sqrt{3} sin \frac{θ}{3} + i (sin \frac{θ}{3} − \sqrt{3} cos \frac{θ}{3})\} .  (B.1.18)

となる. ω = α+β であるから, α+β が実数となる組合せ^{2} α_{1}+β_{1} = ω_{1}, α_{2}+β_{2} = ω_{2}, α_{3} + β_{3} = ω_{3} を求めると次の厳密解が得られる:

ω = \{ \begin{matrix}ω_{1} & = & α_{1} + β_{1} = \frac{−1 − i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}} e^{\frac{1}{3} iθ} + \frac{−1 + i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}} e^{− \frac{1}{3} iθ} \\ & = & a^{\frac{1}{3}} (− cos \frac{θ}{3} + \sqrt{3} sin \frac{θ}{3}) , \\ ω_{2} & = & α_{2} + β_{2} = \frac{−1 + i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}} e^{\frac{1}{3} iθ} + \frac{−1 − i\sqrt{3}}{2}a^{\frac{1}{3}} e^{− \frac{1}{3} iθ} \\ & = & a^{\frac{1}{3}} (− cos \frac{θ}{3} − \sqrt{3} sin \frac{θ}{3}) , \\ ω_{3} & = & α_{3} + β_{3} = a^{\frac{1}{3}} e^{\frac{1}{3} iθ} + a^{\frac{1}{3}} e^{− \frac{1}{3} iθ} \\ & = & 2a^{\frac{1}{3}} cos \frac{θ}{3}. \end{matrix}  (B.1.19)

x^{3} − γ = (x − γ^{1/3})(x^{2} + γ^{1/3}x + γ^{2/3}) = 0, より x = γ^{1/3}, \frac{−1 ± i\sqrt{3}}{2}γ^{1/3}

1一般に 2固有モード (中立波) を求めるのだから, 固有値の虚部は 0 である.

/home/taniro-wrk/inertial/note/kiso/gfd-wave/gfd-wave.tex  2002/06/24(谷口博)

ただし, a^{1/3}, θ/3 は次式を満たす:

a^{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}(k^{2} + 2n + 1)},  (B.1.20)
\frac{θ}{3} = \frac{1}{3} (tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} ) ,  (B.1.21)

この (B.1.20), (B.1.21) は, それぞれ以下のようにして導かれる. (B.1.10) より

a cos θ = \frac{k}{2},  (B.1.22)
a sin θ = \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{2} .  (B.1.23)

上の式から a cos θ ≥ 0, a sin θ ≥ 0 であることが分かるので,

0 ≤ θ ≤ \frac{π}{2} .  (B.1.24)

である. よって (B.1.22), (B.1.23) より,

a^{2} = (\frac{k}{2} )^{2} + \frac{1}{4} (\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}) = \frac{1}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3},  (B.1.25)
tan θ = \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} .  (B.1.26)

ゆえに,

a^{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}(k^{2} + 2n + 1)},  (B.1.27)
\frac{θ}{3} = \frac{1}{3} (tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} ) ,  (B.1.28)

となるからである. この a^{1/3} と θ/3 を (B.1.19) に代入すれば良い. 上記の (1) k = 0, (2) k ≠ 0 の結果をまとめると n ≥ 1 の厳密解は次の様になる:

ω = \{ \begin{matrix}k = 0 の場合: & \{ \begin{matrix}ω_{1} = 0, \\ ω_{2} = −\sqrt{2n + 1}, \\ ω_{3} = \sqrt{2n + 1}. \end{matrix} \\ k ≠ 0 の場合: & \{ \begin{matrix}ω_{1} = a^{\frac{1}{3}} (− cos \frac{θ}{3} + \sqrt{3} sin \frac{θ}{3}) , \\ ω_{2} = a^{\frac{1}{3}} (− cos \frac{θ}{3} − \sqrt{3} sin \frac{θ}{3}) , \\ ω_{3} = 2a^{\frac{1}{3}} cos \frac{θ}{3}. \end{matrix} \end{matrix}  (B.1.29)

ここで, a^{\frac{1}{3}} は (B.1.20) 式, \frac{θ}{3} は (B.1.21) 式で与えられる. 以上, ω_{1}, ω_{2}, ω_{3} を図示すると図 10.1 の様になる (n ≥ 1 の分散曲線). ここで, (B.1.29) 式に於いて k = 0 の場合の振動数が k ≠ 0 場合の振動数と接続していることを確認しておく. (B.1.21) 式より,

\frac{θ}{3} = \frac{1}{3} (tan^{−1} \frac{\sqrt{\frac{4}{27}(k^{2} + 2n + 1)^{3} − k^{2}}}{k} )

= \frac{1}{3} (tan^{−1} \sqrt{\frac{\frac{4}{27}\{k^{6} + 3k^{4}(2n + 1) + 3k^{2}(2n + 1)^{2} + (2n + 1)^{3}\} − k^{2}}{k^{2}}} )

= \frac{1}{3} (tan^{−1} \sqrt{\frac{4}{27} \{k^{4} + 3k^{2}(2n + 1) + 3(2n + 1)^{2} + \frac{(2n + 1)^{3}}{k^{2}} \} − 1}) . (B.1.30)

ゆえに,

lim_{k→0} \frac{θ}{3} = \frac{1}{3} (tan^{−1}(+∞))
= \frac{1}{3} (\frac{π}{2} )
= \frac{π}{6} .  (B.1.31)

一方, (B.1.20) より

lim_{k→0} a^{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2n + 1}{3}}.  (B.1.32)

よって, k ≠ 0 の場合の振動数 ω_{1}, ω_{2}, ω_{3} の k → 0 の極限は (B.1.31), (B.1.32) を用いると, 以下の様になる:

lim_{k→0}(k ≠ 0 の場合のω)

= \{ \begin{matrix}lim_{k→0} ω_{1} = \sqrt{\frac{2n + 1}{3}} (− cos \frac{π}{6} + \sqrt{3} sin \frac{π}{6} ) = \sqrt{\frac{2n + 1}{3}} (−\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0, \\ lim_{k→0} ω_{2} = \sqrt{\frac{2n + 1}{3}} (− cos \frac{π}{6} − \sqrt{3} sin \frac{π}{6} ) = \sqrt{\frac{2n + 1}{3}} (−\frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{\sqrt{3}}{2}) = −\sqrt{2n + 1}, \\ lim_{k→0} ω_{3} = 2\sqrt{\frac{2n + 1}{3}} cos \frac{π}{6} = 2\sqrt{\frac{2n + 1}{3}} \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{2n + 1}. \end{matrix}

(B.1.33)

ゆえに, k ≠ 0 の場合の振動数 ω_{1}, ω_{2}, ω_{3} の k → 0 の極限は k = 0 の場合の振動数 ω_{1}, ω_{2}, ω_{3} にそれぞれ一致することが分かる. したがって, k ≠ 0 の式には k = 0 の解も含まれる. よって以下では, k ≠ 0 の場合の解を n ≥ 1 の場合の厳密解と書くことにする.

B.2 n ≥ 1 の場合の分散関係式の近似解

(B.1.29) を見て明らかなように, この分散関係式は大変複雑な形をしている. これに対し, 振動数の大小によって見たい波動の分散関係式を物理的に矛盾なく取り出す方法がこれまで提出されてきた (例えば, Matsuno,1966). 以下では, はじめに Matsuno(1966) の方法を簡単にレビューし, そのあと本ノートで導出した厳密解から近似解を導く方法を示す.

B.2.1 Matsuno(1966) の方法

\underline{1) 大きな ω (高周波の波動) を取り出す}

(B.0.1) の左辺第三項が無視できて, ω ≃ ±\sqrt{k^{2} + 2n + 1} (慣性重力波の分散関係式) を得る.

ω_{i}^{3} − ω_{i}k^{2} \underbrace{−k}_{無視} = ω_{i}(2n + 1)

\underline{2) 小さな ω (低周波の波動) を取り出す}

(B.0.1) の左辺第一項が無視できて, ω ≃ −k/(k^{2} + 2n + 1) (赤道ロスビー波の分散関係式) を得る.

\underbrace{ω_{i}^{3}}_{無視}−ω_{i}k^{2} − k = ω_{i}(2n + 1)

B.2.2 厳密解から近似解を導く方法

これまで Matsuno(1966) 等で行われてきた上記の近似は, 本ノートでは tan θ → ∞ の場合に対応している. 以下では, この tan θ → ∞ の場合を考えることにより, 分散関係式を近似的に導出する方法をまとめる. 前節の定義に基づき (B.1.29) の厳密解を再掲すると次のようになる:

ω = \{ \begin{matrix}ω_{1} = a^{\frac{1}{3}} (− cos \frac{θ}{3} + \sqrt{3} sin \frac{θ}{3}) ,  (ロスビー波) \\ ω_{2} = a^{\frac{1}{3}} (− cos \frac{θ}{3} − \sqrt{3} sin \frac{θ}{3}) ,  (西進慣性重力波) \\ ω_{3} = 2a^{\frac{1}{3}} cos \frac{θ}{3}.  (東進慣性重力波) \end{matrix}  (B.2.34)

上式に於いて tan θ → ∞ の場合を考える. このとき, θ → π/2 となるから, θ が π/2 の近傍 (π/2 − δ, δ ≪ 1) をとる場合を考える. cos θ, sin θ の π/2 近傍での振る舞いは次の様になる (π/2 のまわりで 1 次の項までテイラー展開を施す):

cos θ = cos \frac{π}{2} + \frac{1}{1!} (− sin \frac{π}{2} ) (θ − \frac{π}{2} ) + ⋯ ≃ \frac{π}{2} − θ,  (B.2.35)
sin θ = sin \frac{π}{2} + \frac{1}{1!} (cos \frac{π}{2} ) (θ − \frac{π}{2} ) + ⋯ ≃ 1  (B.2.36)

これより, (B.2.35) から次の関係を得る:

θ ≃ \frac{π}{2} − cos θ  (B.2.37)

一方, cos(θ/3), sin(θ/3) の π/2 近傍での振る舞いは次の様になる:

cos \frac{θ}{3} = cos \frac{1}{3} · \frac{π}{2} + \frac{1}{1!} (−\frac{1}{3} sin \frac{1}{3} · \frac{π}{2} ) (θ − \frac{π}{2} ) + ⋯
≃ cos \frac{π}{6} − \frac{1}{3} sin \frac{π}{6} (θ − \frac{π}{2} )
≃ \frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{1}{6} (θ − \frac{π}{2} ) ,  (B.2.38)
sin \frac{θ}{3} = sin \frac{1}{3} · \frac{π}{2} + \frac{1}{1!} (\frac{1}{3} cos \frac{1}{3} · \frac{π}{2} ) (θ − \frac{π}{2} ) + ⋯
≃ sin \frac{π}{6} + \frac{1}{3} cos \frac{π}{6} (θ − \frac{π}{2} )
≃ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} (θ − \frac{π}{2} ) .  (B.2.39)

これより, (B.2.37) を用いて (B.2.38), (B.2.39) を cos θ を用いて表すと次の様になる:

cos \frac{θ}{3} ≃ \frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{1}{6} (θ − \frac{π}{2} )
≃ \frac{\sqrt{3}}{2} − \frac{1}{6} (\frac{π}{2} − cos θ − \frac{π}{2} )
≃ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{6} cos θ,  (B.2.40)
sin \frac{θ}{3} ≃ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} (θ − \frac{π}{2} )
≃ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{6} (\frac{π}{2} − cos θ − \frac{π}{2} )
≃ \frac{1}{2} − \frac{\sqrt{3}}{6} cos θ.  (B.2.41)

ここで, (B.1.22) より,

cos θ = \frac{k}{2a},  (B.2.42)

であるから, (B.2.40), (B.2.41) より, cos(θ/3), sin(θ/3) は最終的に以下の様に近似されることが分かる:

cos \frac{θ}{3} ≃ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{k}{12a},  (B.2.43)
sin \frac{θ}{3} ≃ \frac{1}{2} − \frac{\sqrt{3}k}{12a} .  (B.2.44)

したがって, (B.2.43), (B.2.44) を用いると, (B.2.34) は以下の様に近似される:

ω = \{ \begin{matrix}ω_{1} = a^{1/3} (− cos \frac{θ}{3} + \sqrt{3} sin \frac{θ}{3}) & ≃ & a^{1/3} \{− (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{k}{12a}) + \sqrt{3} · (\frac{1}{2} − \frac{\sqrt{3}k}{12a} )\} \\ & = & −\frac{k}{3a^{2/3}} \\ ω_{2} = a^{1/3} (− cos \frac{θ}{3} − \sqrt{3} sin \frac{θ}{3}) & ≃ & a^{1/3} \{− (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{k}{12a}) − \sqrt{3} · (\frac{1}{2} − \frac{\sqrt{3}k}{12a} )\} \\ & = & −\sqrt{3}a^{1/3} + \frac{k}{6a^{2/3}} \\ ω_{3} = 2a^{1/3} cos \frac{θ}{3}. & ≃ & 2a^{1/3} · (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{k}{12a}) \\ & = & \sqrt{3}a^{1/3} + \frac{k}{6a^{2/3}} \end{matrix}

(B.2.45)

よって, (B.1.20) を用いると, (B.2.34) は最終的に以下の様に近似される:

ω = \{ \begin{matrix}ω_{1} = a^{1/3} (− cos \frac{θ}{3} + \sqrt{3} sin \frac{θ}{3}) ≃ −\frac{k}{k^{2} + 2n + 1} \\ ω_{2} = a^{1/3} (− cos \frac{θ}{3} − \sqrt{3} sin \frac{θ}{3}) ≃ −\sqrt{k^{2} + 2n + 1} + \frac{k}{2(k^{2} + 2n + 1)} \\ ω_{3} = 2a^{1/3} cos \frac{θ}{3}. ≃ \sqrt{k^{2} + 2n + 1} + \frac{k}{2(k^{2} + 2n + 1)} \end{matrix}  (B.2.46)

この様に, tan θ → ∞ の近似を行うことで, Matsuno(1966) 等で得られた解と同様の解が得られた. つまり, tan θ → ∞ の極限は, ω → 小, あるいは, ω → 大の極限と同等であることを意味する. なぜなら, tan θ の式において k → 大, もしくは, k → 小とすれば, tan θ → ∞ の極限が得られるからである. 上記の結果は, 多くの教科書で見られる赤道ロスビー波の分散関係式を解析解から近似的に導出するためには, 分散関係式を 2 次の精度まで求めてやる必要があることを示している. しかし, 本ノートでは簡単のため ω_{2}, ω_{3} の 2 次のオーダーの成分 (k/2(k^{2} + 2n + 1)) を省略して扱う:

ω = −\frac{k}{k^{2} + 2n + 1},  (赤道ロスビー波)  (B.2.47)
ω = ±\sqrt{k^{2} + 2n + 1},  (慣性重力波)  (B.2.48)

以上, これまでの分散関係と分散関係式から求めた位相速度をまとめると, 図 10.1, 10.2の様になる. n ≥ 1 の場合の近似解 (B.2.47), (B.2.48) は, 厳密解として求めた分散曲線とよく一致する.

Appendix C

赤道波方程式の各項のモード展開

本節では, (8.1.2)〜(8.1.4) の各項をモード展開した結果をまとめる. 無次元の方程式系 (8.2.22)〜(8.2.24) をモード展開した結果は, 以下のそれぞれの式において β = 1, \sqrt{gH} = 1 とすれば得られる.

\frac{∂u}{∂t} = −iωu
= −i(ω_{r} + iω_{i})(u_{r} + iu_{i})e^{i{kx−(ω_{r}+iω_{i})t}}
= −i{(ω_{r}u_{r} − ω_{i}u_{i}) + i(ω_{r}u_{i} + ω_{i}u_{r})}e^{i(kx−ω_{r}t)+ω_{i}t}
= {(ω_{r}u_{i} + ω_{i}u_{r}) − i(ω_{r}u_{r} − ω_{i}u_{i})}{cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}},
\frac{∂u}{∂t}|_{実部} = \{(ω_{r}u_{i} + ω_{i}u_{r}) cos(kx − ω_{r}t) + (ω_{r}u_{r} − ω_{i}u_{i}) sin(kx − ω_{r}t)\}e^{ω_{i}t} (C.0.1)
βyv = βy(v_{r} + iv_{i})e^{i{kx−(ω_{r}+iω_{i})t}}
= βy(v_{r} + iv_{i})e^{i(kx−ω_{r}t)+ω_{i}t}
= βy(v_{r} + iv_{i}){cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}},
βyv|_{実部} = βy{v_{r} cos(kx − ω_{r}t) − v_{i} sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}  (C.0.2)

−\frac{∂Φ}{∂x} = −ikΦ
= −ik(Φ_{r} + iΦ_{i})e^{i{kx−(ω_{r}+iω_{i})t}}
= k(Φ_{i} − iΦ_{r})e^{i(kx−ω_{r}t)+ω_{i}t}
= k(Φ_{i} − iΦ_{r}){cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t},
−\frac{∂Φ}{∂x}|_{実部} = k\{Φ_{r} sin(kx − ω_{r}t) + Φ_{i} cos(kx − ω_{r}t)\}e^{ω_{i}t}  (C.0.3)

\frac{∂v}{∂t} = −iωv
= −i(ω_{r} + iω_{i})(v_{r} + iv_{i})e^{i{kx−(ω_{r}+iω_{i})t}}
= −i{(ω_{r}v_{r} − ω_{i}v_{i}) + i(ω_{r}v_{i} + ω_{i}v_{r})}e^{i(kx−ω_{r}t)+ω_{i}t}

= {(ω_{r}v_{i} + ω_{i}v_{r}) − i(ω_{r}v_{r} − ω_{i}v_{i})}{cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}},
\frac{∂v}{∂t} |_{実部} = \{(ω_{r}v_{i} + ω_{i}v_{r}) cos(kx − ω_{r}t) + (ω_{r}v_{r} − ω_{i}v_{i}) sin(kx − ω_{r}t)\}e^{ω_{i}t} (C.0.4)

−βyu = −βy(u_{r} + iu_{i})e^{i{kx−(ω_{r}+iω_{i})t}}
= −βy(u_{r} + iu_{i})e^{i(kx−ω_{r}t)+ω_{i}t}
= −βy(u_{r} + iu_{i}){cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}},
−βyu|_{実部} = −βy{u_{r} cos(kx − ω_{r}t) − u_{i} sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}  (C.0.5)

−\frac{∂Φ}{∂y} = −\frac{∂}{∂y} (Φ_{r} + iΦ_{i})e^{i\{kx−(ω_{r}+iω_{i})t\}}
= −\frac{∂}{∂y} (Φ_{r} + iΦ_{i})e^{i(kx−ω_{r}t)+ω_{i}t}
= −\frac{∂}{∂y} (Φ_{r} + iΦ_{i})\{cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)\}e^{ω_{i}t},
−\frac{∂Φ}{∂y}|_{実部} = − \{\frac{∂Φ_{r}}{∂y} cos(kx − ω_{r}t) − \frac{∂Φ_{i}}{∂y} sin(kx − ω_{r}t)\} e^{ω_{i}t}  (C.0.6)

\frac{∂Φ}{∂t} = −iωΦ
= −i(ω_{r} + iω_{i})(Φ_{r} + iΦ_{i})e^{i{kx−(ω_{r}+iω_{i})t}}
= −i{(ω_{r}Φ_{r} − ω_{i}Φ_{i}) + i(ω_{r}Φ_{i} + ω_{i}Φ_{r})}e^{i(kx−ω_{r}t)+ω_{i}t}
= {(ω_{r}Φ_{i} + ω_{i}Φ_{r}) − i(ω_{r}Φ_{r} − ω_{i}Φ_{i})}{cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}},
\frac{∂Φ}{∂t}|_{実部} = \{(ω_{r}Φ_{i} + ω_{i}Φ_{r}) cos(kx − ω_{r}t) + (ω_{r}Φ_{r} − ω_{i}Φ_{i}) sin(kx − ω_{r}t)\}e^{ω_{i}t} (C.0.7)

−gH \frac{∂u}{∂x} = −gH · iku
= −ikgH(u_{r} + iu_{i})e^{i{kx−(ω_{r}+iω_{i})t}}
= kgH(u_{i} − iu_{r})e^{i(kx−ω_{r}t)+ω_{i}t}
= kgH(u_{i} − iu_{r}){cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t},
−gH \frac{∂u}{∂x}|_{実部} = kgH\{u_{r} sin(kx − ω_{r}t) + u_{i} cos(kx − ω_{r}t)\}e^{ω_{i}t}  (C.0.8)

−gH \frac{∂v}{∂y} = −gH \frac{∂}{∂y} (v_{r} + iv_{i})e^{i\{kx−(ω_{r}+iω_{i})t\}}
= −gH \frac{∂}{∂y} (v_{r} + iv_{i})e^{i(kx−ω_{r}t)+ω_{i}t}
= −gH \frac{∂}{∂y} (v_{r} + iv_{i})\{cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)\}e^{ω_{i}t},

−gH \frac{∂v}{∂y} |_{実部} = −gH \{\frac{∂v_{r}}{∂y} cos(kx − ω_{r}t) − \frac{∂v_{i}}{∂y} sin(kx − ω_{r}t)\} e^{ω_{i}t}.  (C.0.9)

(C.0.1)〜(C.0.3) より (8.1.2) をモード展開して取り出した実部は次のようになる:

{(ω_{r}u_{i} + ω_{i}u_{r}) cos(kx − ω_{r}t) + (ω_{r}u_{r} − ω_{i}u_{i}) sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}
= βy{v_{r} cos(kx − ω_{r}t) − v_{i} sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}
+k{Φ_{r} sin(kx − ω_{r}t) + Φ_{i} cos(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}. (C.0.10)

(C.0.4)〜(C.0.6) より (8.1.3) をモード展開して取り出した実部は次のようになる:

{(ω_{r}v_{i} + ω_{i}v_{r}) cos(kx − ω_{r}t) + (ω_{r}v_{r} − ω_{i}v_{i}) sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}
= −βy{u_{r} cos(kx − ω_{r}t) − u_{i} sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}
− \{\frac{∂Φ_{r}}{∂y} cos(kx − ω_{r}t) − \frac{∂Φ_{i}}{∂y} sin(kx − ω_{r}t)\} e^{ω_{i}t}. (C.0.11)

(C.0.7)〜(C.0.9) より (8.1.4) をモード展開して取り出した実部は次のようになる:

{(ω_{r}Φ_{i} + ω_{i}Φ_{r}) cos(kx − ω_{r}t) + (ω_{r}Φ_{r} − ω_{i}Φ_{i}) sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}
= kgH{u_{r} sin(kx − ω_{r}t) + u_{i} cos(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}
−gH \{\frac{∂v_{r}}{∂y} cos(kx − ω_{r}t) − \frac{∂v_{i}}{∂y} sin(kx − ω_{r}t)\} e^{ω_{i}t}. (C.0.12)

Appendix D 渦度方程式の各項のモード展開

本節では, 渦度 ζ ならびに (12.0.5)

\frac{∂}{∂t} (\frac{∂v}{∂x} − \frac{∂u}{∂y}) = −v − y (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} ) ,  (12.0.5)

の各項をモード展開した結果をまとめる.

ζ = \frac{∂v}{∂x} − \frac{∂u}{∂y}
= ikv − \frac{∂u}{∂y}
= ik(v_{r} + iv_{i})e^{i\{kx−(ω_{r}+iω_{i})t\}} − \frac{∂}{∂y} (u_{r} + iu_{i})e^{i\{kx−(ω_{r}+iω_{i})t\}}
= ik(v_{r} + iv_{i})e^{i(kx−ω_{r}t)}e^{ω_{i}t} − \frac{∂}{∂y} (u_{r} + iu_{i})e^{i(kx−ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}
= k(iv_{r} − v_{i}){cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}

−\frac{∂}{∂y} (u_{r} + iu_{i})\{cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)\}e^{ω_{i}t},

ζ|_{実部} = −k{v_{i} cos(kx − ω_{r}t) + v_{r} sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}
− \{\frac{∂u_{r}}{∂y} cos(kx − ω_{r}t) − \frac{∂u_{i}}{∂y} sin(kx − ω_{r}t)\} e^{ω_{i}t},  (D.0.1)
\frac{∂ζ}{∂t} = \frac{∂}{∂t} (\frac{∂v}{∂x} − \frac{∂u}{∂y})
= \frac{∂}{∂x} (\frac{∂v}{∂t} ) − \frac{∂}{∂y} (\frac{∂u}{∂t})
= \frac{∂}{∂x} (−iωv) − \frac{∂}{∂y} (−iωu)
= −iω(ik)v + iω \frac{∂u}{∂y}
= kωv + iω \frac{∂u}{∂y}
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= k(ω_{r} + iω_{i})(v_{r} + iv_{i})e^{i{kx−(ω_{r}+iω_{i})t}}

+i(ω_{r} + iω_{i})\frac{∂}{∂y} \{(u_{r} + iu_{i})e^{i\{kx−(ω_{r}+iω_{i})t\}}\}

= k{(ω_{r}v_{r} − ω_{i}v_{i}) + i(ω_{r}v_{i} + ω_{i}v_{r})}e^{i(kx−ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}

+(−ω_{i} + iω_{r})\frac{∂}{∂y} \{(u_{r} + iu_{i})e^{i(kx−ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}\}

= k{(ω_{r}v_{r} − ω_{i}v_{i}) + i(ω_{r}v_{i} + ω_{i}v_{r})}{cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}

+(−ω_{i} + iω_{r})\frac{∂}{∂y} [(u_{r} + iu_{i})\{cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)\}e^{ω_{i}t}]

= k{(ω_{r}v_{r} − ω_{i}v_{i}) + i(ω_{r}v_{i} + ω_{i}v_{r})}{cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}

+\frac{∂}{∂y} [\{(−ω_{i}u_{r} − ω_{r}u_{i}) + i(−ω_{i}u_{i} + ω_{r}u_{r})\}

×{cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}] ,

\frac{∂ζ}{∂t} |_{実部} = k \{(ω_{r}v_{r} − ω_{i}v_{i}) cos(kx − ω_{r}t) − (ω_{r}v_{i} + ω_{i}v_{r}) sin(kx − ω_{r}t)\} e^{ω_{i}t}

+\frac{∂}{∂y} \{(−ω_{i}u_{r} − ω_{r}u_{i}) cos(kx − ω_{r}t)

−(−ω_{i}u_{i} + ω_{r}u_{r}) sin(kx − ω_{r}t)} e^{ω_{i}t}

= k {(ω_{r}v_{r} − ω_{i}v_{i}) cos(kx − ω_{r}t) − (ω_{r}v_{i} + ω_{i}v_{r}) sin(kx − ω_{r}t)} e^{ω_{i}t}

\{(−ω_{i} \frac{∂u_{r}}{∂y} − ω_{r} \frac{∂u_{i}}{∂y} ) cos(kx − ω_{r}t)

+ (ω_{i} \frac{∂u_{i}}{∂y} − ω_{r} \frac{∂u_{r}}{∂y} ) sin(kx − ω_{r}t)\} e^{ω_{i}t},  (D.0.2)
−v = −(v_{r} + iv_{i})e^{i{kx−(ω_{r}+iω_{i})t}}
= −(v_{r} + iv_{i})e^{i(kx−ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}
= −(v_{r} + iv_{i}){cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t},
−v|_{実部} = −{v_{r} cos(kx − ω_{r}t) − v_{i} sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t},  (D.0.3)
−y (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} ) = −y (iku + \frac{∂v}{∂y} )
= −y (ik(u_{r} + iu_{i})e^{i\{kx−(ω_{r}+iω_{i})t\}} + \frac{∂}{∂y} (v_{r} + iv_{i})e^{i\{kx−(ω_{r}+iω_{i})t\}})
= −y (k(u_{i} − iu_{r})e^{i(kx−ω_{r}t)}e^{ω_{i}t} + \frac{∂}{∂y} (v_{r} + iv_{i})e^{i(kx−ω_{r}t)}e^{ω_{i}t})
= −y (k(u_{i} − iu_{r}){cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)}e^{ω_{i}t}

+\frac{∂}{∂y} (v_{r} + iv_{i})\{cos(kx − ω_{r}t) + i sin(kx − ω_{r}t)\}e^{ω_{i}t}) ,

−y (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} ) |_{実部} = −y ( \{u_{r} sin(kx − ω_{r}t) + u_{i} cos(kx − ω_{r}t)\}e^{ω_{i}t}
+ \{\frac{∂v_{r}}{∂y} cos(kx − ω_{r}t) − \frac{∂v_{i}}{∂y} sin(kx − ω_{r}t)\} e^{ω_{i}t}) .  (D.0.4)

Appendix E 回転の無い浅水系の重力波

本章では, 第 11章で慣性重力波の位相伝搬を考察する際に参考となる非回転浅水系の重力波についてまとめる.

E.1 1 次元の非回転浅水系重力波

無次元化した 1 次元の非回転浅水系重力波の支配方程式は以下の様になる:

\frac{∂u}{∂t} = −\frac{∂Φ}{∂x},  (E.1.1)
\frac{∂Φ}{∂t} = −\frac{∂u}{∂x}.  (E.1.2)

これより Φ を消去すると,

\frac{∂^{2}u}{∂t^{2}} = \frac{∂^{2}u}{∂x^{2}}.  (E.1.3)

ここで

u = A exp i(kx − ωt),  (E.1.4)

(ただし A は任意定数) とおいて (E.1.3) に代入すると次の分散関係式を得る:

ω = ±k,  (E.1.5)
c = ±1.  (E.1.6)

ただし, c = ω/k である. これより, 固有関数 u, Φ は次の様になる:

u(x, t) = Re[A exp ik(x ∓ t)] = A cos k(x ∓ t),  (E.1.7)
Φ(x, t) = Re[A exp ik(x ∓ t)] = A cos k(x ∓ t).  (E.1.8)

ただし, 複合は, 上が ω > 0, 下が ω < 0 を表す.

E.2 2 次元の非回転浅水系重力波

無次元化した 2 次元の非回転浅水系重力波の支配方程式は, 以下の様になる^{1}:

\frac{∂u}{∂t} = −\frac{∂Φ}{∂x},  (E.2.9)
\frac{∂v}{∂t} = −\frac{∂Φ}{∂y},  (E.2.10)
\frac{∂Φ}{∂t} = − (\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂v}{∂y} ) .  (E.2.11)

ここで, u, v, Φ を (9.1.1) の様に離散化する:

−iωû = −ikΦ̂,  (E.2.12)
−iωv̂ = −\frac{∂Φ̂}{∂y},  (E.2.13)
−iωΦ̂ = −ikû − \frac{∂v̂}{∂y}.  (E.2.14)

これより u, Φ を消去すると,

\frac{∂^{2}v̂}{∂y^{2}} = −k^{2}(c^{2} − 1)v̂  (E.2.15)

ただし, c = ω/k である. よって解 v̂ は, 次の様に与えられる:

v̂(y) = Ae^{ik\sqrt{c^{2}−1}y} + Be^{−ik\sqrt{c^{2}−1}y}  (E.2.16)
= (A + B) cos \{k\sqrt{(c^{2} − 1)}y\} , +i(A − B) sin \{k\sqrt{(c^{2} − 1)}y\} . (E.2.17)

ただし, A, B は任意定数. ここで水路の様な (南北に位相が伝播しない) 以下の境界条件を与える:

v̂ → 0 (y = ±L).  (E.2.18)

この境界条件より,

(A + B) cos \{k\sqrt{(c^{2} − 1)}y\} = 0,  (E.2.19)
(A − B) sin \{k\sqrt{(c^{2} − 1)}y\} = 0.  (E.2.20)

よって, A = B = 0 の自明解以外の解を持つ条件を求めると, 以下の様になる:

\{ \begin{matrix}A = −B, \\ k\sqrt{c^{2} − 1}L = nπ (n = 0, 1, 2, ⋯) \end{matrix}  (E.2.21)

または,

\{ \begin{matrix}A = B, \\ k\sqrt{c^{2} − 1}L = nπ/2 (n = 0, 1, 2, ⋯) \end{matrix}  (E.2.22)

1Satomura(1981) で\sqrt{gH} = 1 とした場合に対応.

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ここでは, Satomura(1981) に合わせて (E.2.21) の方を採用すると以下の分散関係式を得る:

c = ±\sqrt{1 + \frac{(nπ)^{2}}{L^{2}k^{2}}} ,  (E.2.23)
ω = ±\sqrt{k^{2} + \frac{(nπ)^{2}}{L^{2}}} .  (E.2.24)

また, 固有関数 u, v, Φ は次の様になる:

u(x, y, t) = A\frac{inπ}{Lk(1 − c^{2})} cos(nπy/L)e^{i(kx−ωt)},  (E.2.25)
v(x, y, t) = A sin(nπy/L)e^{i(kx−ωt)},  (E.2.26)
Φ(x, y, t) = A\frac{icnπ}{Lk(1 − c^{2})} cos(nπy/L)e^{i(kx−ωt)}.  (E.2.27)

ただし, ここで (E.2.23) より

\frac{(nπ)^{2}}{Lk} = Lk(1 − c^{2})  (E.2.28)

の関係を用いた. また, A は任意定数である. (E.2.25)〜(E.2.27) の構造を計算すると図 E.1 の様になる:

図 E.1: n = 1, k = 1.0 の非回転浅水重力波の圧力場と速度場の分布. 等値線はジオポテンシャル, ベクトルは速度 (u, v) を表す. 左図 (東進): ω = 1.45, 右図 (西進): ω = −1.45.

また, (E.2.9)〜(E.2.11) の各項の分布は, 図 E.2〜図 E.7に示した. 図 E.2〜図 E.7より, 2 次元非回転浅水重力波の位相伝搬には, 1 次元の場合と違って南北風の収束発散成分 (∂v/∂y) も寄与していることが分かる. 低波数 (図 E.2) のうちは, ジオポテンシャルの位相伝搬に南北風の収束発散成分が最も寄与しているが, 東西風の収束発散成分に対する南北風の収束発散成分の寄与の割合は, 東西波数が増大するにつれて減少する (図 E.6). (E.2.12), (E.2.13) から明らかな様に, 図 E.2〜図 E.7より, 東進 (西進) する波動の東西風, 南北風の位相は, ジオポテンシャルの位相より 1/4 周期遅れて (進んで) いることが分かる. このため, 圧力傾度に伴う高圧部から低圧部へ向かう東西流と南北流は, 圧力経度の分布に対して 1/4 周期遅れて (進んで) 生じている.

図 E.2: n = 1, k = 0.8 の非回転浅水重力波 (東進) の (E.2.9)〜(E.2.11) の各項の水平分布 (t = 0, ω = 1.32, c = 1.65). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.

\frac{∂u}{∂t}  \frac{∂v}{∂t}  \frac{∂Φ}{∂t}

−\frac{∂u}{∂x}

−\frac{∂Φ}{∂x}  −\frac{∂Φ}{∂y}  −\frac{∂v}{∂y}

u  v  Φ と風速場 (u, v)

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図 E.3: n = 1, k = 0.8 の非回転浅水重力波 (西進) の (E.2.9)〜(E.2.11) の各項の水平分布 (t = 0, ω = −1.32, c = −1.65). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.

\frac{∂u}{∂t}  \frac{∂v}{∂t}  \frac{∂Φ}{∂t}

−\frac{∂u}{∂x}

−\frac{∂Φ}{∂x}  −\frac{∂Φ}{∂y}  −\frac{∂v}{∂y}

u  v  Φ と風速場 (u, v)

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図 E.4: n = 1, k = 1.0 の非回転浅水重力波 (東進) の (E.2.9)〜(E.2.11) の各項の水平分布 (t = 0, ω = 1.45, c = 1.45). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.

\frac{∂u}{∂t}  \frac{∂v}{∂t}  \frac{∂Φ}{∂t}

−\frac{∂u}{∂x}

−\frac{∂Φ}{∂x}  −\frac{∂Φ}{∂y}  −\frac{∂v}{∂y}

u  v  Φ と風速場 (u, v)

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図 E.5: n = 1, k = 1.0 の非回転浅水重力波 (西進) の (E.2.9)〜(E.2.11) の各項の水平分布 (t = 0, ω = −1.45, c = −1.45). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.

\frac{∂u}{∂t}  \frac{∂v}{∂t}  \frac{∂Φ}{∂t}

−\frac{∂u}{∂x}

−\frac{∂Φ}{∂x}  −\frac{∂Φ}{∂y}  −\frac{∂v}{∂y}

u  v  Φ と風速場 (u, v)

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図 E.6: n = 1, k = 1.5 の非回転浅水重力波 (東進) の (E.2.9)〜(E.2.11) の各項の水平分布 (t = 0, ω = 1.83, c = 1.22). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.

\frac{∂u}{∂t}  \frac{∂v}{∂t}  \frac{∂Φ}{∂t}

−\frac{∂u}{∂x}

−\frac{∂Φ}{∂x}  −\frac{∂Φ}{∂y}  −\frac{∂v}{∂y}

u  v  Φ と風速場 (u, v)

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図 E.7: n = 1, k = 1.5 の非回転浅水重力波 (西進) の (E.2.9)〜(E.2.11) の各項の水平分布 (t = 0, ω = −1.83, c = −1.22). 等値線間隔は, u, v, Φ の各々の列において下 3 枚が同じ.

\frac{∂u}{∂t}  \frac{∂v}{∂t}  \frac{∂Φ}{∂t}

−\frac{∂u}{∂x}

−\frac{∂Φ}{∂x}  −\frac{∂Φ}{∂y}  −\frac{∂v}{∂y}

u  v  Φ と風速場 (u, v)

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地球流体波動ノート

Appendix F n = 1, k ≠ 0 の慣性重力波の構造を決める物理量 175

Appendix F

n = 1, k ≠ 0 の慣性重力波の構造を決める物理量

本章では, 第 11.2節, でまとめた特徴が得られる理論的背景について, 第 9章の結果に基づき n = 1, k ≠ 0 の東進慣性重力波の構造を支配する諸量をまとめておく. (9.4.76), (9.4.77) より, n = 1, k ≠ 0 の時, 東西・南北風速は次の様に表される:

( u(x, y, t), v(x, y, t) )

= (Re [\frac{i}{2} (\frac{1}{ω − k} H_{2} + \frac{2}{ω + k} H_{0}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(kx−ωt)}] , Re [H_{1}e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(kx−ωt)}])

= (−2\frac{(ω + k)y^{2} − k}{ω^{2} − k^{2}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin(kx − ωt), 2ye^{− \frac{1}{2} y^{2}} cos(kx − ωt)) . (F.0.1)

ただし, H_{1} = 2y, H_{2} = 4y^{2} − 2 を用いた. (F.0.1) より, 東西風の振幅は, ±\sqrt{k/(ω + k)} で 0 となり赤道対称な分布をすることが分かる. 南北風の振幅は, 赤道で 0 となり赤道反対称な分布をする. したがって, 速度ベクトルは赤道対称な分布をする. また, 南北風は東西風と比べて 1/4 周期だけ位相がずれている. これより, 速度ベクトルは北半球で時計周り, 南半球では反時計周りの回転をすることが分かる. 次に速度ベクトルに作用するコリオリ力を明記しておく. (F.0.1) より, n = 1, k ≠ 0 の時, コリオリ力は次の様に表される:

( yv(x, y, t), −yu(x, y, t) )
= (2y^{2}e^{− \frac{1}{2} y^{2}} cos(kx − ωt), 2y \frac{(ω + k)y^{2} − k}{ω^{2} − k^{2}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin(kx − ωt)) (F.0.2)

次に速度ベクトルに作用する圧力分布の緯度, 経度, 時間変化を考える. (9.4.78) より, n = 1, k ≠ 0 の時, ジオポテンシャルは次の様に表される:

Φ(x, y, t) = Re [\frac{i}{2} (\frac{1}{ω − k} H_{2} − \frac{2}{ω + k} H_{0}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(kx−ωt)}]
= −2\frac{(ω + k)y^{2} − ω}{ω^{2} − k^{2}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin(kx − ωt),  (F.0.3)

となる. したがって, ジオポテンシャルは赤道対称な分布をしながら u(x, y, t) と同位相で振動することがわかる.

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地球流体波動ノート

Appendix F n = 1, k ≠ 0 の慣性重力波の構造を決める物理量 176

次に, 圧力傾度力の成分を計算する. (F.0.3) より, 圧力傾度力の x, y 成分は次の様に表される:

−\frac{∂Φ}{∂x} = 2k \frac{(ω + k)y^{2} − ω}{ω^{2} − k^{2}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}} cos(kx − ωt),  (F.0.4)
−\frac{∂Φ}{∂y} = 2y \frac{−(ω + k)y^{2} + 3ω + 2k}{ω^{2} − k^{2}} e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin(kx − ωt).  (F.0.5)

したがって, 圧力傾度力の x 成分は緯度 ±\sqrt{ω/(ω + k)} で 0 となり, y 成分は緯度 ±\sqrt{(3ω + 2k)/(ω + k)} で 0 となる. 最後に, 速度ベクトルの時間変化に対するコリオリ力と圧力傾度力の寄与を考察するための情報として, コリオリ力と圧力傾度力の振幅の絶対値が等しくなる緯度を計算しておく. はじめに, 東西方向の運動方程式に於けるコリオリ力と圧力傾度力の振幅の絶対値が等しくなる緯度を求める. yv と −∂Φ/∂x の振幅の絶対値が等しくなる条件は,

2y^{2} = −2k \frac{(ω + k)y^{2} − ω}{ω^{2} − k^{2}} ,

{(ω^{2} − k^{2}) + k(ω + k)} y^{2} = kω,

y = ±\sqrt{\frac{k}{ω + k}} .  (F.0.6)

これは, 東西流速が 0 となる緯度に等しい. ちなみに, 振幅 (絶対値ではない) の等しくなる条件を求めると次の様になる:

2y^{2} = 2k \frac{(ω + k)y^{2} − ω}{ω^{2} − k^{2}} ,

{(ω^{2} − k^{2}) − k(ω + k)} y^{2} = −kω,
y = ±\sqrt{\frac{kω}{(ω + k)(2k − ω)}}.  (F.0.7)

この様に 2k −ω < 0 の場合には振幅が等しくなることは無い. 本ノートでは, 低波数と高波数の境界を東西方向の圧力傾度力とコリオリ力の寄与がほぼ等しくなるところをおおよそ平面分布図から私意的に判断して決めているが, その様に決めた低波数の場合には 2k − ω < 0 となり振幅が等しくなる緯度を求めることが出来ない. 一方, 高波数の場合には 2k − ω > 0 となり振幅が等しくなる緯度を求めることが可能になる. この様な点で, 2k − ω の符号は, 低波数から高波数へレジームがシフトする際の境界を決める条件となる可能性がある. 次に南北方向の運動方程式に於けるコリオリ力と圧力傾度力の振幅が等しくなる緯度を求める. −yu と −∂Φ/∂y の振幅の絶対値が等しくなる条件は,

2y \frac{(ω + k)y^{2} − k}{ω^{2} − k^{2}} = 2y \frac{−(ω + k)y^{2} + 3ω + 2k}{ω^{2} − k^{2}} ,

y {2(ω + k)y^{2} − k − (3ω + 2k)} = 0
y = ±\sqrt{\frac{3}{2}}.  (F.0.8)

よって, k, ω の値によらず一定値を取る.

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地球流体波動ノート

Appendix G n = 2, k = 0 の慣性重力波の構造を決める物理量 177

Appendix G

n = 2, k = 0 の慣性重力波の構造を決める物理量

本章では, 第 11.4節でまとめた特徴が得られる理論的背景について, 第 9章の結果に基づき n = 2, k = 0 の慣性重力波の構造を支配する諸量をまとめておく. (9.4.76), (9.4.77) より, n = 2, k = 0 の時, 東西・南北風速は次の様に表される:

( u(x, y, t), v(x, y, t) ) = (Re [\frac{i}{2} (\frac{1}{ω} H_{3} + \frac{4}{ω} H_{1}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(−ωt)}] , Re [H_{2}e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(−ωt)}])
= (\frac{2}{ω} y(2y^{2} − 1)e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt, 2(2y^{2} − 1)e^{− \frac{1}{2} y^{2}} cos ωt) . (G.0.1)

ただし, H_{1} = 2y, H_{2} = 4y^{2} − 2, H_{3} = 8y^{3} − 12y を用いた. (G.0.1) より, 東西風の振幅は, 赤道と ±1/\sqrt{2} で 0 となり赤道反対称な分布をすることが分かる. 南北風の振幅は, 緯度 ±1/\sqrt{2} で 0 となり赤道対称な分布をする. したがって, 速度ベクトルは赤道反対称な分布をする. また, 南北風は東西風と比べて 1/4 周期だけ位相がずれている. これより, 速度ベクトルは北半球で時計周り, 南半球では反時計周りの回転をすることが分かる. 次に, 速度ベクトルの大きさを計算すると以下の様になる:

u(x, y, t)^{2} + v(x, y, t)^{2} = (\frac{4}{ω^{2}} y^{2}(2y^{2} − 1)^{2} sin^{2} ωt + (4y^{2} − 2)^{2} cos^{2} ωt) e^{−y^{2}}.(G.0.2)

(G.0.2) より, 速度ベクトルの大きさは緯度を固定しても時間により変化することがわかる. 速度ベクトルの大きさが時間変化しないのは, y = ±\sqrt{5}, ±1/\sqrt{2} の場合である. このうち, y = ±1/\sqrt{2} は速度ベクトルの大きさが 0 となる緯度を表す. y = ±\sqrt{5} では, 後で見るように圧力傾度力が 0 となり, コリオリ力だけが働いている. 次に速度ベクトルの方向の緯度分布を調べる. 東西風と南北風の大きさの比は,

\frac{\frac{2}{ω} y(2y^{2} − 1)e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt}{(4y^{2} − 2)e^{− \frac{1}{2} y^{2}} cos ωt} = \frac{y tan ωt}{ω},  (G.0.3)

となり, 南北風の大きさに対する東西風の大きさは高緯度ほど大きくなっていて, 高緯度のベクトルほど赤道側を向くことが分かる. (G.0.3) と (11.1.5) を比べて分かるように, k = 0 地球流体波動ノート

Appendix G n = 2, k = 0 の慣性重力波の構造を決める物理量 178

の場合には東西風と南北風の大きさの比は n の値によらず y tan ωt/ω で決まる. なぜなら (9.4.76), (9.4.77) より

\frac{u(y, t)}{v(y, t)} = Re [\frac{i(1/2ω)(H_{n+1} + 2nH_{n−1})e^{−ωt}}{H_{n}e^{−ωt}} ]
= \frac{1}{2ω} \frac{H_{n+1} + 2nH_{n−1}}{H_{n}} \frac{sin ωt}{cos ωt}
= \frac{y tan ωt}{ω},  (G.0.4)

となるからである. ここで, (9.2.42) の関係 (H_{n+1} − 2yH_{n} + 2nH_{n−1} = 0) を用いた. n の値が大きくなるにつれて ω は大きくなるから, (G.0.4) は, 同じ緯度であっても n が増加すれば南北風の大きさに対する東西風の大きさは小さくなることを示している. 次に速度ベクトルに作用する圧力分布の緯度, 時間変化を考える. (9.4.78) より, n = 2, k = 0 の時, ジオポテンシャルは次の様に表される:

Φ(x, y, t) = Re [\frac{i}{2} (\frac{1}{ω} H_{3} − \frac{4}{ω} H_{1}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(−ωt)}]
= \frac{2}{ω} y(2y^{2} − 5)e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt,  (G.0.5)

となる. したがって, ジオポテンシャルは赤道反対称な分布をしながら u(x, y, t) と同位相で振動することがわかる. 次に, 圧力傾度力の成分を計算する. (G.0.5) より, 圧力傾度力の x, y 成分は次の様に表される:

( −\frac{∂Φ}{∂x}, −\frac{∂Φ}{∂y} ) = ( 0, −\frac{∂}{∂y} \{\frac{2}{ω} y(2y^{2} − 5)\} sin ωt)
= ( 0, −\frac{2}{ω} (−2y^{4} + 11y^{2} − 5) e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt )
= ( 0, +\frac{2}{ω} (2y^{2} − 1)(y^{2} − 5)e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt )  (G.0.6)

したがって, 圧力傾度力の y 成分は緯度 ±1/\sqrt{2}, ±\sqrt{5} で 0 となり, ±1/\sqrt{2}, ±\sqrt{5} 度を境界として圧力傾度力は符号を変える.

地球流体波動ノート

Appendix H n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波の構造を決める物理量 179

Appendix H

n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波の構造を決める物理量

本章では, 第 13.1節でまとめた特徴が得られる理論的背景について, 第 9章の結果に基づき n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波の構造を支配する諸量をまとめておく. (9.4.67), (9.4.68) より, n = 0, k = 0 の時, 東西・南北風速は次の様に表される:

( u(x, y, t), v(x, y, t) ) = (Re [\frac{i}{ω} yH_{0}e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(−ωt)}] , Re [H_{0}e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(−ωt)}])
= (\frac{1}{ω} ye^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt, e^{− \frac{1}{2} y^{2}} cos ωt) .  (H.0.1)

ただし, H_{0} = 1 を用いた. (H.0.1) より, 東西風の振幅は, 赤道で 0 となり赤道反対称な分布をすることが分かる. 南北風の振幅は, 赤道で最大値をとり赤道対称な分布をする. したがって, 速度ベクトルは赤道非対称な分布をする. また, 南北風は東西風と比べて 1/4 周期だけ位相がずれている. これより, 速度ベクトルは北半球で時計周り, 南半球では反時計周りの回転をすることが分かる. 次に, 速度ベクトルの大きさを計算すると以下の様になる:

u(x, y, t)^{2} + v(x, y, t)^{2} = (\frac{y^{2}}{ω^{2}} sin^{2} ωt + cos^{2} ωt) e^{−y^{2}}.  (H.0.2)

(H.0.2) より, 速度ベクトルの大きさは緯度を固定しても時間により変化することがわかる. 速度ベクトルの大きさが時間変化しないのは, y = ±1 のみである. y = ±1 では, 後で見るように圧力傾度力が 0 となり, コリオリ力だけが働いている. 次に速度ベクトルの方向の緯度分布を調べる. 東西風と南北風の大きさの比は,

\frac{\frac{1}{ω} ye^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt}{e^{− \frac{1}{2} y^{2}} cos ωt} = \frac{y tan ωt}{ω},  (H.0.3)

となり, (11.1.5) 式や (G.0.3) 式と同様, 南北風の大きさに対する東西風の大きさは高緯度ほど大きくなっていて, 高緯度のベクトルほど赤道側を向くことが分かる.

地球流体波動ノート

Appendix H n = 0, k = 0 の混合ロスビー重力波の構造を決める物理量 180

次に速度ベクトルに作用する圧力分布の緯度, 時間変化を考える. (9.4.69) より, n = 0, k = 0 の時, ジオポテンシャルは次の様に表される:

Φ(x, y, t) = Re [\frac{i}{ω} yH_{0}e^{− \frac{1}{2} y^{2}}e^{i(−ωt)}]
= \frac{1}{ω} ye^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt,  (H.0.4)

となる. したがって, ジオポテンシャルは赤道反対称な分布をしながら u(x, y, t) と同位相で振動することがわかる. 次に, 圧力傾度力の成分を計算する. (H.0.4) より, 圧力傾度力の x, y 成分は次の様に表される:

( −\frac{∂Φ}{∂x}, −\frac{∂Φ}{∂y} ) = ( 0, −\frac{∂}{∂y} \{\frac{1}{ω} ye^{− \frac{1}{2} y^{2}}\} sin ωt)
= ( 0, −\frac{1}{ω} (1 − y^{2}) e^{− \frac{1}{2} y^{2}} sin ωt ) .  (H.0.5)

したがって, 圧力傾度力の y 成分は緯度 ±1 で 0 となり, ±1 度を境界として圧力傾度力は符号を変える.